a'. a' e b n y se e solo se x, y, divisi per n danno lo stesso resto.

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1 E.5. Cogrueze Nella sezioe D. (esempio (d)) abbiamo itrodotto la relazioe di cogrueza modulo : dati due umeri iteri x, y e u umero itero positivo diciamo che x è cogruo a y modulo (i formula x y se è u divisore di x y. Abbiamo visto che è ua relazioe di equivaleza, che verifica cioè le proprietà riflessiva, simmetrica, trasitiva. Cogrueze modulo 2: dati due iteri x, y, diciamo che soo cogrui modulo 2 (i formula x y ) se x y è 2 pari. Si vede subito che 0 è cogruo (modulo 2) a tutti i umeri pari, metre 1 è cogruo (modulo 2) a tutti i umeri dispari. Quidi ogi umero itero è cogruo (modulo 2) a 0 oppure a 1. Quidi ella partizioe defiita dalla cogrueza modulo 2 vi soo due classi di cogrueza: [0] 2, [1] 2. Cogrueze modulo 3: dati due iteri x, y, diciamo che soo cogrui modulo 3 (i formula x 3 y ) se x y è multiplo di 3. Si vede subito che 0 è cogruo (modulo 3) a tutti i multipli di 3. 1 è cogruo (modulo 3) a tutti i umeri del tipo {..., -5, -2, 1, 4, 7, 10,...} = {1+3k k Z}. 2 è cogruo (modulo 3) a tutti i umeri del tipo {..., -4, -1, 2, 5, 8, 11,...} = {2+3k k Z}. Quidi ella partizioe defiita dalla cogrueza modulo 3 vi soo tre classi di cogrueza: [0] 3, [1] 3, [2] 3. TEOREMA E.5.1. Dati due umeri iteri x, y, si ha che x y se e solo se x, y, divisi per dao lo stesso resto. Vediamo il solo se. Suppoiamo x y. Quidi esiste u itero k tale che x y = k. Suppoiamo che la divisioe euclidea di x per dia come quoziete q e come resto r (i formula, x = q+r, co 0=r<). Da queste due ipotesi, sostituedo troviamo y = q+r-k, e quidi y = (q k)+r, co 0=r<. Quidi, per l uicità del resto, ache il resto della divisioe euclidea di y per è r, cioè lo stesso di x. Adesso dimostriamo il se. Suppoiamo che x, y, divisi per diao lo stesso resto. Quidi possiamo scrivere x = q 1 +r, co 0=r<, e y = q 2 +r. Da questo segue x y = (q 1 q 2 ), e quidi x y. TEOREMA E.5.2. Le relazioi di cogrueza soo additive: dati i umeri iteri a, a, b, b, se a a' e b b' allora a+b a'+b'. Da a + a' e b + b' segue a a =h e b b =k (per h, k iteri opportui). Sommado membro a membro si ha a+b (a +b ) = (h+k), quidi a+b a'+b'. TEOREMA E.5.3. Le relazioi di cogrueza coservao gli opposti: dati i umeri iteri a, a, se a + a' allora a a'. Basta osservare che a ( a ) = (a a ), e quidi poiché a a è multiplo di (per ipotesi) lo deve essere ache a ( a ) e questa è la tesi. TEOREMA E.5.4. Le relazioi di cogrueza soo moltiplicative: dati i umeri iteri a, a, b, b, se a a' e b b' allora a b a' b'. Da a a' e b b' segue: a a =h e b b =k (per h, k iteri opportui). Moltiplicado membro a membro si ha: ab ab a b+a b = hk 2. Osserviamo che, sommado e sottraedo a b si ottiee: ab ab a b+a b = ab ab a b+a b +a b +a b a b = ab+(a-a )b +(b b )a a b = hk 2, e quidi ab a b = (a-a')b'+(b b')a'+hk 2.

2 Poiché tutti gli addedi dell espressioe di destra soo multipli di 3 (per ipotesi o esplicitamete), e segue ab a'b'. Vediamo qualche esempio di problemi i cui i ua relazioe di cogrueza compaiao icogite. Per ogi a itero, aturale, u problema del tipo x a ha ifiite soluzioi: tutti gli iteri della forma a+k, al variare di k egli iteri. Per ogi a,b itero, aturale, u problema del tipo ax b è equivalete a u problema del tipo ax y = b, e ha quidi soluzioi itere i x, y se e solo se MCD(a, ) divide b. Esercizi 1. Trovate, se e esistoo, tutte le soluzioi di 2x 4 5, di 2x 5 5, di 2x 4 4, di 3x te che per ogi x itero, x 3 x. 3. te che per og a, b, c iteri, il umero b 2 4ac è cogruo (modulo 4) a 0 oppure a te che se MCD(x,6) = 1, allora x te che se, dati gli iteri a, b e il aturale vale a b, allora MCD(a,) = MCD(b,). E.6. I quozieti di Z I questa sezioe cosideriamo gli isiemi formati dalle classi di cogrueza di Z modulo, che idicheremo co Z. Negli esempi della sezioe E.5. abbiamo visto che se =2 si hao 2 classi di cogrueza e se =3 se e hao 3. I geerale le classi di cogrueza modulo soo proprio, i quato dal teorema E.5.1. segue che le classi di cogrueza modulo soo tate quati i possibili resti della divisioe per ; questi ultimi soo evidetemete, e precisamete: 0, 1,..., 1. Quidi la scrittura Z idica l isieme {[0], [1], [2],..., [ 2], [ 1] }. Quado o vi siao rischi di ambiguità, le classi di cogrueza potrao essere rappresetate più brevemete co otazioi come 0, 0,0 o ache 0. I teoremi E cosetoo di istallare egli Z ua struttura algebrica. Dati due elemeti [a], [b] elemeti di Z defiiamo la loro somma el modo che segue: [a] +[b] : = [a+b]. A parole la defiizioe sigifica: per sommare due classi si sceglie u rappresetate di ciascua classe, si sommao (i base all usuale somma di umeri iteri) e si calcola la classe del risultato. Il simbolo di somma a destra dell uguagliaza rappreseta l usuale somma di umeri iteri, quello a siistra rappreseta la uova operazioe fra classi che si vuole defiire. È fodametale osservare che tutto questo è possibile grazie al teorema E.5.2., che garatisce che la somma o dipede dalla scelta del rappresetate. Vediamo come si comporta la somma i Z 2. [0] 2 +[0] 2 = [0+0] 2 = [0] 2 [0] 2 +[1] 2 = [0+1] 2 = [1] 2 [1] 2 +[0] 2 = [1+0] 2 = [1] 2 [1] 2 +[1] 2 = [1+1] 2 = [2] 2 = [0] 2 Possiamo rappresetare la somma i Z 2 co ua tabella a doppia etrata, co la 0 1 covezioe che ella cella all icrocio della riga etichettata a e della coloa etichettata b si riporta il valore a+b Verifichiamo i u caso particolare che la somma o dipede dalla scelta del rappresetate: come rappresetate della classe [1] 2 potrei scegliere 29, i quato [1] 2 = [29] 2. Allora si otterrebbe [1] 2 +[1] 2 = [29+29] 2 = [58] 2 = [0] 2. Vediamo come si comporta la somma i Z 3. [0] 3 +[0] 3 = [0+0] 3 = [0] 3 [0] 3 +[1] 3 = [0+1] 3 = [1] 3

3 [1] 3 +[0] 3 = [1+0] 3 = [1] 3 [1] 3 +[1] 3 = [1+1] 3 = [2] 3 [0] 3 +[2] 3 = [0+2] 3 = [2] 3 [2] 3 +[0] 3 = [2+0] 3 = [2] 3 [1] 3 +[2] 3 = [1+2] 3 = [3] 3 = [0] 3 [2] 3 +[1] 3 = [2+1] 3 = [3] 3 = [0] 3 [2] 3 +[2] 3 = [2+4] 3 = [4] 3 = [1] 3 Rappresetiamo ache la somma i Z 3 co ua tabella a doppia etrata I modo aalogo si può itrodurre l operazioe di passaggio al reciproco, defiedolo el modo che segue: [a] : = [ a]. Ache qui, il simbolo di cambiameto di sego ( ) a destra dell uguagliaza rappreseza l usuale operazioe fra umeri iteri, quello a siistra rappreseta la uova operazioe sull isieme delle classi di cogrueza. - È immediato verificare che i Z 2 si ha: [0] 2 = [ 0] 2 = [0] 2 [1] 2 = [ 1] 2 = [1] 2 - I Z 3 si ha: [0] 3 = [ 0] 3 = [0] 3 [1] 3 = [ 1] 3 = [2] 3 [2] 3 = [ 2] 3 = [1] 3 Cotiuado ell aalogia, si può itrodurre ache il prodotto fra classi di cogrueza, defiedo: [a] [b] : = [a b]. Esercizi Possiamo rappresetare ache il prodotto i Z 2 co ua tabella a doppia etrata Rappresetate co tabelle opportue somma, reciproco e prodotto i Z 4. TEOREMA E.6.1 Sia Z u quoziete di Z e siao a, b, c Z. Valgoo le segueti proprietà: Associativa della somma a+(b+c) = (a+b)+c Neutri additivi a+[0] = [0] +a = a Reciproci rispetto alla somma a+( a) = -a+a = [0] Commutativa della somma a+b = b+a Associativa del prodotto a (b c) = (a b) c Distributiva del prodotto rispetto alla somma a(b+c) = ab+ac Neutri moltiplicativi a [1] = [1] a = a Tutte queste uguagliaze si provao usado la stessa tecica, che cosiste el trasportare il problema dal livello delle classi a quello dei rappresetati, che soo umeri iteri e per i quali valgoo le proprietà corrispodeti. Vediamo u esempio (le prove rimaeti soo lasciate per esercizio). Proviamo a(b+c) = ab+ac. Siao p, q, r umeri iteri tali che a=[p], b=[q] e c=[r]. Ricordo che a, b, c soo classi di iteri. Allora a(b+c) = [p] ([q] +[r] ) = [p] [q+r] = [p (q+r)] = [pq+pr] = [pq] +[pr] = [p] [q] +[p] [r] = ab+ac.

4 Come abbiamo già visto i esempi della sezioe E.5., l equazioe ax = b o ha sempre soluzioi i Z. Essa equivale ifatti alla cogrueza ax + b che a sua volta equivale all equazioe diofatia ax y = b. Quest ultima ha soluzioi itere se e soltato se MCD(a,) divide b. I particolare questo sigifica che i Z o tutti gli elemeti diversi da 0 soo ivertibili. Se è u umero primo, e a è u umero diverso da 0, l equazioe ax = 1 ha soluzioi i Z. Quidi se è primo tutti gli elemeti diversi da 0 soo ivertibili i Z. U aello i cui il prodotto sia commutativo e dotato di eutro e i cui tutti gli elemeti diversi da 0 siao ivertibili è detto u campo. Quidi Z è u campo ei casi i cui sia u umero primo. Se o è u umero primo, allora Z o è u campo. Vediamo perché. Suppoiamo che sia u itero positivo o primo: questo sigifica che esistoo h,k iteri positivi diversi da 1 tali che = hk. Voglio dimostrare che la classe [h] o è ivertibile i Z, i altre parole che l equazioe [h] x = 1 o ha soluzioi i Z. L equazioe è equivalete all equazioe diofatia hx y = 1, che o ha soluzioi itere perché MCD(h,) = h, e h o è u divisore di 1.? I Z 4 la classe [2] 4 o è ivertibile; ifatti l equazioe [2] 4 x = 1 o ha soluzioi. Ivece la classe [3] 4 è ivertibile. Qual è la sua iversa?? I Z 5 tutti gli elemeti?1 soo ivertibili. I particolare l iverso di [4] 5 è [4] 5 metre l iverso di [3] 5 è [2] 5. Esercizi 1. Determiare tutti gli elemeti ivertibili di Z 12 e calcolare gli iversi. 2. te che se a, b soo ivertibili i Z, allora ache ab è ivertibile i Z. E.7. Criteri di divisibilità Aalizziamo alcui criteri di divisibilità per i umeri scritti i base dieci: divisibilità per 2 Cosideriamo l ultima cifra del umero desiderato: se è divisibile per 2 allora l itero umero lo è. Sia C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, allora ogi umero itero m si può scrivere i base dieci come m = Σ a i 10 i co itero e gli, a i elemeti di C, al variare di i fra 0 e. Va osservato che m =Σ a i 10 i = a 0 +Σ i=1 a i 10 i = a Σ i=1 a i 10 i 1. Poiché il secodo addedo di quest ultima somma è sicuramete pari, essedo multiplo di 10, e segue che m è pari se e solo se lo è a 0. divisibilità per 2 k U ragioameto aalogo si può applicare per verificare la divisibilità per ua qualuque poteza positiva di k 1 2. Se 0<k=, si ha: m =Σ a i 10 i = Σ a i 10 i + Σ a i 10 i. I questa somma il primo addedo è i=k proprio il umero costituito dalle k cifre più a destra della rappresetazioe decimale di m, metre il secodo addedo è multiplo di 10 k, quidi ache di 2 k. I coclusioe, u umero itero è divisibile per 2 k se e solo se lo è il umero costituito dalle k cifre più a destra della sua rappresetazioe decimale. Questo criterio è applicabile ache a umeri co u umero di cifre sigificative iferiore a k; ifatti ogi umero co h cifre sigificative (h<k) può essere iterpretato come u umero di k cifre i cui i coefficieti delle poteze di 10 co espoete compreso tra h e k (estremi iclusi) soo ulli. divisibilità per tre: u itero è divisibile per 3 se e solo se lo è la somma delle cifre della sua rappresetazioe i base dieci.

5 divisibilità per ove: u itero è divisibile per 9 se e solo se lo è la somma delle cifre della sua rappresetazioe i base dieci. Cosideriamo u umero m di +1 cifre: i i 1 Si ha: m = Σ a i 10 i = Σ a i (1+9) i = Σ a i Σ i k=0 k 1 k 9i k = Σ a i + Σ a i Σ k=0 i k 1 k 9i k. I pratica dalla doppia sommatoria abbiamo tirato fuori l addedo che si ottiee el caso k=i. Il primo dei due addedi è proprio la somma delle cifre di m, il secodo è difficile da calcolare, e o ha importaza farlo, ma è immediato otare che si tratta di u multiplo di 9. Quidi m e la somma delle cifre della sua rappresetazioe decimale soo cogrui modulo 9, e, a maggior ragioe, modulo 3. Esercizi svolti Esercizio 07 (sezioe E.4.) È vero che per ogi umero itero m vale quato segue: se si divide m 2 per 4 si ottiee 0 oppure 1 come resto? Se dividiamo m per 4 otteiamo: m=4q+r co q, r iteri e r maggiore o uguale a 0 e miore di 3 Allora m 2 =16q 2 +8qr+r 2 = 4(4q 2 +2qr) +r 2 = 4k+r 2 (k itero). Se r=0 allora r 2 =0 quidi m 2 =4k+0; se r=1 allora r 2 =1 quidi m 2 =4k+1; se r=2 allora r 2 =4 quidi m 2 =4k+4 = 4(k+1)+0; se r=3 allora r 2 =9 quidi m 2 =4k+9 = 4(k+2)+1; Esercizio 08 (sezioe E.4.) È vero che se si divide u qualuque umero primo, maggiore di 6, per 6 si ottiee sempre come resto 1 oppure 5? Sia p u umero primo maggiore di 6, lo possiamo scrivere come: p = 6q+r co q itero, 0<q e r maggiore o uguale a 0 e miore di 6. Il caso r=0 o è possibile, perché allora1<q, quidi 6 e q dividerebbero etrambi p che è primo per ipotesi; Il caso r=1 è possibile: ad esempio, 7=6 1+1; Il caso r=2 o è possibile, perché allora m sarebbe pari, e o esistoo umeri primi pari diversi da 2; Il caso r=3 o è possibile, perché m sarebbe multiplo di 3, e o esistoo primi multipli di 3 diversi da 3; Il caso r=4 o è possibile, perché allora m sarebbe pari, e o esistoo primi pari diversi da 2; Il caso r=5 è possibile: ad esempio, 11=6 1+5; I altre parole la codizioe che deve soddisfare r è: MCD(6, r) =1 Esercizio 09 (sezioe E.4.) Determiare per quali valori iteri di a hao soluzioi itere le segueti equazioi: (a) 2ax+y=a perché questa equazioe abbia soluzioi itere il MCD(2a, 1) deve dividere a; ma MCD(2a, 1) = 1, per ogi valore itero di a. Quidi (b) 4ax+2ay=a perché questa equazioe abbia soluzioi itere il MCD(4a, 2a) deve dividere a; ma MCD(4a, 2a) = 2 a e 2 a o divide a qualuque sia a itero. (c) 4ax+2ay=a+1 perché questa equazioe abbia soluzioi itere il MCD(4a, 2a) deve dividere a+1; ma 2 a può dividere a+1 solo se a=1 oppure a= 1. I etrambi i casi l equazioe ha soluzioi itere. (d) 2ax+4ay=4 perché questa equazioe abbia soluzioi itere il MCD(4a, 2a) deve dividere 4. 2 a divide 4 se e solo se a è u elemeto di { 2, 1,1,2}. (e) 2ax+4y=a perché questa equazioe abbia soluzioi itere il MCD(4a, 2) deve dividere a; ma MCD(4a, 2) = 2, e 2 divide a se e solo se a è pari. (f) a2x-ay=a-1 perché questa equazioe abbia soluzioi itere il MCD(a 2, a) deve dividere a 1; ma MCD(a 2, a) = a, e a divide a-1 se e solo se a = 1.

6 Esercizio 09 bis (sezioe E.4.) te che la retta di equazioe y = x+ 1 2 o passa per puti del piao co etrambe le coordiate itere. La risoluzioe di questo problema equivale alla ricerca delle soluzioi itere dell equazioe 2y = 2x+1; dal mometo che MCD(2, 2) = 2, e 2 o divide 1, o esistoo soluzioi itere per questa equazioe. Esercizio 11 (sezioe E.4.) Si idica a mod il resto di ua divisioe euclidea di u itero a per. Determiate, se e esistoo, alcui valori di a (a itero) per cui siao cotemporaeamete verificate: a mod 3 = 2 e a mod 5 = 1. Possiamo scrivere a come u geerico multiplo di 3 a cui sommiamo 2 e come u multiplo di 5 a cui sommiamo 1, i formule: a =3x+2 e a = 5y+1 da cui si ricava 3x+2 = 5y+1. Determiare qualche valore itero di a che soddisfi le codizioi equivale a trovare le soluzioi itere, se e esistoo, dell equazioe 3x-5y = -1; poiché MCD(3, -5) =1, allora esistoo ifiite soluzioi itere per tale equazioe, ad esempio ua soluzioe particolare è: x = 3 0 da cui si ricava y = 2 0 la rappresetazioe di tutte le soluzioi itere dell equazioe al variare di t i Z: x = 3 5t. y = 2 3t Quidi a=3(3-5t)+2 = 5(2-3t)+1al variare di t i Z. Esercizio 13 (sezioe E.4.) È vero che l isieme {3x+5y x, y i Z} coicide co Z? 3x+5y = c ha soluzioi itere qualuque sia c i Z, poiché MCD(3, 5)=1 e 1 c, quidi l isieme dato coicide co Z. Esercizio 14 (sezioe E.4.) È vero che l isieme {6x+9y x, y i Z} coicide co Z? 6x+9y= c ha soluzioi itere solo se MCD(6, 9) c ma MCD(6, 9) = 3, quidi l equazioe data ha soluzioi itere solo se c = 3k co k i Z. L isieme dato equivale all isieme {3k k i Z}. Esercizio 16 (sezioe E.4.) È vero che l isieme {7x+1 x i Z} coicide co Z? 7x = c 1 ha soluzioi itere se e solo se MCD(7,0) (c 1). quidi se e solo se il resto della divisioe di c per 7 è 1, cioè c è cogruo a 1 modulo 7 (c 7 1). Esercizio 4 (sezioe E.5.) te che se MCD(x,6) = 1, allora x Per il teorema E.2.1. vale x = 6k+r (co k, r iteri opportui, 0=r<6). Allora x 2 =36k 2 +12kr+r 2 = 12k(3k+r)+r 2. Da MCD(x,6) = 1 segue r=1 oppure r=5. Se k è pari, allora 12k è multiplo di 24; se k è dispari, poiché ache r lo è, si ha che (3k+r) è pari. I etrambi i casi, 12k(3k+r) è multiplo di 24. Quidi x 2 24 r 2. Ma, dato che r=1 oppure r=5, e segue che r