NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ

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1 NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ BRUNO BIZZARRI, FRANCO EUGENI, DANIELA TONDINI 1 1. Su tutti i testi scolastici di Scuola Media, oostate siao riportati i criteri di divisibilità per i umeri, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 1, 11, viee omesso, com è immediato costatare, il criterio di divisibilità sia per 7 che per i successivi valori 1, 13, etc. Ma allora esiste u criterio di divisibilità per 7? La risposta a tale domada risulta essere affermativa ache se i vari criteri oti, sia per il 7 che per altri umeri, quali il 1 ed il 13, soo i geerale difficili, o solo da applicare ma ache e soprattutto da ricordare. a) Il più oto ed atico criterio cosiste el predere uumero i rappresetazioe decimale, scriverlo i ordie iverso come vettorecifre e moltiplicarlo scalarmete, ovvero effettuado la somma dei prodotti cifra per cifra, per i umeri della sequeza 1, 3,, 6, 4, 5 accorciata o ripetuta a secoda della lughezza del vettore dato. Esempio 1. Il umero è divisibile per 7? Se cosideriamo il umero, cifra per cifra, scritto al rovescio (5, 3, 1, 9, 1, ) e lo moltiplichiamo scalarmete per la sequeza (1, 3,, 6, 4, 5), otteiamo: = 84 = = che è divisibile per 7! Esempio. Il umero 191 è divisibile per 7? Se cosideriamo il umero, cifra per cifra, scritto al rovescio, ovvero (1, 9, 1, ), e lo moltiplichiamo per (, 6, 4, 5), otteiamo: = 7 = 7 1 (divisibile per 7!) o acora: = 4 = 7 6 (divisibile per 7!) Esempio 3. Il umero è divisibile per 7? Se cosideriamo il umero, cifra per cifra, scritto al rovescio, ovvero (7, 8,, 3, 5, 7, 1), e lo moltiplichiamolo per (1, 3,, 6, 4, 5, 1), otteiamo: = 15 = 7 15 (divisibile per 7!) b) U ulteriore criterio cosiste el rovesciare sempre il umero, utilizzado, però, ua sequeza più riduttiva, precisamete 1, 3,, 1, 3,. Esempi. Il umero è divisibile per 7 se e solo se lo è: 5,3,1,9,1, 1,3,, 1, 3, (divisibile per 7!) 1 Dipartimeto di Scieze della Comuicazioe Uiversità degli Studi di Teramo eugeif@ti.it, dtodii@uite.it 47

2 Il umero 191 è divisibile per 7 se e solo se lo è: 1,9,1, 1,3,, (divisibile per 7!) Il umero è divisibile per 7 se e solo se lo è: 7,8,,3,5, 7,1 1,3,, 1, 3,, (divisibile per 7!) c) U altro criterio, attribuito a David SENCE (The Mathematical Gazette, 1956) ache se, i realtà, era già stato scoperto dal russo Adrej ZIBOSKI (cfr. E. Dickso, History of Theory of Numbers), cosiste el sottrarre al umero origiario, privato della sua ultima cifra, il doppio dell ultima cifra stessa, iterado il ragioameto fio a quado o si ha la certezza di trovarsi di frote ad u umero divisibile per 7. Esempio. Il umero 191 è divisibile per 7 se e solo se lo è che, a sua volta, è divisibile per 7 se e solo se lo è (divisibile per 7!). Scopo della presete ota è di illustrare, o solo u semplice criterio di divisibilità per 7, a ostro avviso scoosciuto e la cui dimostrazioe risulta baale, ma ache ua sua estesioe, altrettato facile, a casi più geerali (cfr. paragrafo 3). Possiamo euciare suddetto criterio, applicabile ad uumero di almeo tre cifre, essedo il caso di due cifre ovvio, el modo seguete: Criterio di divisibilità per 7. Uumero (i rappresetazioe decimale) N CC CC1C è divisibile per 7 se e solo se lo è il umero C1C CC C, ovvero la somma tra le ultime due cifre a destra ed il doppio della parte residua. Esempio. Il umero 191 è divisibile per 7 se solo se lo è che, a sua volta, è divisibile per 7 se solo se lo è (divisibile per 7!). Acora il umero è divisibile per 7 se e solo se lo è che, a sua volta, è divisibile per 7 se e solo se lo è che, iterado il ragioameto, è divisibile per 7 se e solo se lo è (divisibile per 7!). Nel paragrafo, dopo aver richiamato i classici criteri di divisibilità, derivati dal cosiddetto Criterio Geerale di Divisibilità, che deomieremo I Criterio, ci soffermeremo sulle difficoltà che siamo costretti ad affrotare più frequetemete. Nel paragrafo 3, ivece, dopo aver dimostrato il criterio di divisibilità per 7, ci cocetreremo sulle sue geeralizzazioi, sì da giugere a quello che chiameremo II Criterio Geerale di Divisibilità. Nel paragrafo 4, ifie, porremo i risalto le varie cosegueze che e discedoo, illustrado ache ulteriori criteri di divisibilità. 48

3 . Com è beoto, se,1,,,9 è la base per la umerazioe decimale, allora ogi umero aturale N si esprime, i modo uico, ella forma seguete: N C C C C C C 1 C 1 C 1 C 1 C Nel presete paragrafo richiameremo la teoria della divisibilità rispetto ad ua base di umerazioe così come essa si deduce dalla teoria delle cogrueze e del gaussiao. Allo scopo ricordiamo alcue defiizioi. Siao dati i umeri aturali m, a ed a '. Allora scrivere che a a ' mod m (si legge a cogruo ad a ' modulo m) sigifica dire che a ed a ', divisi per m, hao lo stesso resto. Ciò premesso ricordiamo che si chiama gaussiao i base a di m il umero: g m, a gauss m, a mi x t.c. a x 1 mod m Sia data ora la successioe: 3 1, a, a, a,, a, e sia R 1, R1, R,, R, la successioe dei resti della divisioe per m di tali umeri. Se m 1 è il più grade divisore di m costituito da fattori primi di a (i altre parole i fattori primi di a, comui ad m, ma elevati all espoete massimo co cui dividoo m), allora: Teorema 1. La successioe dei resti sopra idicati è i geerale periodico-mista co atiperiodo A e periodo G dati rispettivamete da: x A mi x t.c. a mod m m G gauss, a m1 N.B. Se a ed m soo primi tra loro allora m1 1, A, G g ; la sequeza dei resti arriva fio all idice g 1 ed iizia a ripetersi i corrispodeza dell idice g, essedo Rg h Rh. Segue, i tal caso, che i resti che formao il periodo soo esattamete: R 1, R1, R,, Rg 1 Osservazioe. Nel caso i cui sia 1 a (base decimale), allora periodica semplice se m è primo co ovvero co 5; periodico composta se m è divisibile per ovvero per 5. 1 R è: 49

4 Vediamo due esempi sigificativi: a) Sia m 3 ed 1 a. Poiché 3;1 1 occorre calcolare g g m, a g 3,1 x mi x t.c. 1 1 mod 3. Poiché costituito dal solo R 1. b) Sia m 4 ed a 1. Risulta m1 4 ovvero segue che è g 1 e che il periodo è, per cui dobbiamo calcolare: x mi x t.c. 1 mod 4 x 1,1 mi t.c. 1 1 mod 1 A G gauss x Quidi: A x e G x 1. I resti soo: 1,,,,, Nel seguito coviee, per le prime poteze del 1, effettuare le divisioi per m,3, 4,5, 6, per otteere la tabella che segue dalla quale si deducoo vari criteri di divisibilità. Accato al resto R porremo ache R m el caso i cui questi sia, i valore assoluto, iferiore ad R, essedo: R m R mod m I realtà il ricorso al Teorema 1 occorre solo se l aalisi procede per molti umeri, specie ei casi di gaussiao di gradi dimesioi. TABELLA Resti mod : R 1,,,,,1, atiperiodo = (1); periodo = () Resti mod 3: R 1,1,1,1,,1, 1 periodo = (1) Resti mod 4: R 1,,,,, atiperiodo = (1, ); periodo = () Resti mod 5: R 1,,,,,1, atiperiodo = (1); periodo = () Resti mod 6: R 1, 4, 4, 4,, 4, 4 atiperiodo = (1); periodo = (4) = () Resti mod 7: R 1,3,,6, 4,5, periodo = (1, 3,, 6, 4, 5) ovvero R 1,3,, 1, 3,, utilizzado ache resti egativi m R Resti mod 8: R 1,, 4,,,, atiperiodo = (1,, 4); periodo = () ovvero R 1,3,, 1, 3,, utilizzado ache resti egativi m R Resti mod 9: R 1,1,1,1,,1, 1 periodo = (1) Resti mod 1: R 1,,,,,1, atiperiodo = (1); periodo = () Resti mod 11: R 1,1,1,1,1,1, periodo = (1, 1) ovvero R 1, 1,1, 1,1, 1, utilizzado ache resti egativi m R Resti mod 1: R 1,1, 4, 4, 4, 4, atiperiodo = (1, 1); periodo = (4) ovvero R 1,, 4, 4, 4, 4, utilizzado ache resti egativi m R Resti mod 13: R 1,1,9,1,3, 4, periodo = (1, 1, 9, 1, 3, 4) ovvero R 1, 3, 4, 1,3,4, utilizzado ache resti egativi m R 5

5 Se ora vogliamo idividuare dei criteri affiché u altro umero aturale m sia u divisore di: N C C C C C C 1 C 1 C 1 C 1 C dobbiamo, i geerale, studiare il comportameto degli elemeti della successioe 1 1,1,1,,1,1, qualora ciascuo di essi vega diviso per m, ed i particolare, valutare la successioe dei resti della divisioe di tali elemeti per l itero m. A riguardo, deotata la successioe dei resti e quella delle cifre rispettivamete co: e quella delle cifre co: 1 1 R R 1, R, R,, R, R, 1 1 C C, C, C,, C, C, possiamo richiamare il seguete Teorema, oramai beoto i letteratura, la cui dimostrazioe è baale. Teorema (Primo Criterio Geerale di Divisibilità). Dato il umero aturale: 1 N CC CC1C C1 C 11 C1 C11 C risulta che N è divisibile per m se è solo se lo è l itero C R C R C R C R C R C R. N.B. Ogi sigolo R h può baalmete sostituirsi co Rh m. Esempio 1. N CC CC1C è divisibile per (ovvero per 5, ovvero per 1 ) se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1,,,,,, cioè se e solo se lo è C. Esempio. N CC CC1C è divisibile per 3 (ovvero per 9) se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1,1,1,1,,1,, cioè se e solo se lo è la somma delle cifre. Esempio 3. N CC CC1C è divisibile per 4 se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1,,,,,,, cioè se e solo è divisibile per 4 il complesso delle ultime due cifre a destra, che lo è se lo è il umero C C1. Esempio 4. N CC CC1C è divisibile per 6 se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1, 4, 4, 4,, 4,, cioè se e solo se lo è la somma tra l ultima cifra a destra e quattro volte la somma delle rimaeti, ovvero C C C C. 4 1 Esempio 5. N CC CC1C è divisibile per 7 se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1,3,, 1, 3,,

6 Esempio 6. N CC CC1C è divisibile per 8 se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1,, 4,,,,, cioè se e solo è divisibile per 8 il complesso delle ultime tre cifre a destra, che lo è se lo è il umero C C1 4C. Esempio 7. N CC CC1C è divisibile per 11 se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1, 1,1, 1,, cioè se e solo se lo è la somma delle cifre pari meo quella delle cifre dispari. Esempio 8. N CC CC1C è divisibile per 1 se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1,, 4, 4, 4, 4, Esempio 9. N CC CC1C è divisibile per 13 se e solo se lo è: C C R C R C R C R co R 1, 3, 4, 1,3,4, Osserviamo che gli esempi 1,,, 7 rappresetao proprio i criteri citati i premessa, ivi compreso il criterio di divisibilità per 7; gli esempi 8 e 9, ivece, esprimoo i complicati criteri di divisibilità per 1 e per 13, derivati dal primo criterio di divisibilità. 3. Nel presete paragrafo dimostreremo il criterio di divisibilità per 7, già euciato el paragrafo 1. I realtà, però, proveremo u po di più, precisamete il seguete: Teorema (Secodo criterio geerale di divisibilità). Sia dato uumero aturale N rappresetato, rispetto ad ua base,1,, 1, da: 1 N C C C C C C C C C C Allora N è divisibile per m se è solo se lo è l itero: r M km C C C C C C C C 1 r1 r r1 1 dove k è u itero arbitrario, quidi, i particolare, il più grade itero tale: r r km k m Dimostrazioe. Sia m u divisore di N. Allora: 1 1 N hm C C C r C r C C C 1 r r 1 1 r r r1 C C 1 C r Cr CC1C r 1 r r CC Cr CC r r C km C C C r km C C C 1 C C C r 1 r M hm km C C C C C C C C km C C C Duque m è u divisore di M. 5

7 Suppoiamo ora che m divida M. Allora: r M sm km C C C C C C 1 r 1 r da cui segue: M km C C C sm km C C C r C C C C C C N 1 r 1 r 1 r 1 r Duque l asserto è verificato. Osserviamo, i ultima aalisi che il precedete teorema vale, o solo per ua base qualsiasi, e quidi i particolare per la base 1, ma ache per u idice qualsiasi r e per u k qualsiasi, quidi ache per la suddetta parte itera. 4. Nuovi Criteri a) Criterio di divisibilità per 7. Per 1 9, m 7, r e k 14 euciato el primo paragrafo, essedo 1 k7., ritroviamo il teorema b) Criterio di divisibilità per 13. Per 1 9, m 13, r e k 7, otteiamo 1 k13 9 ; per 8 1 k13 4. Possiamo, quidi, euciare il k, ivece, abbiamo criterio di divisibilità per 13 el modo seguete: Uumero (i rappresetazioe decimale) N CC CC1C è divisibile per 13 se e solo se lo è il umero C1C 9 CC C [somma tra le ultime due cifre a destra e ove volte la parte residua], ovvero se e solo se lo è il umero C1C 4 CC C [differeza tra le ultime due cifre a destra e quattro volte la parte residua]. Esempi. 1 9 ; m 7 ; r ; 1 9 ; m 8 ; r ; 1 9 ; m 9 ; r ; k (si parte allora dal successivo!!!) m k m k m 1 9 ; m 1 ; r ; ; m 11; r ; ; m 1 ; r ; ; m 13 ; r ; ; m 14 ; r ; ; m 15 ; r ; ; m 16 ; r ; ; m 17 ; r ; ; m 18 ; r ; k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km ; km ; km 4 ; C1C 4 CC C 1; C1C CC C ; C1C 1; C1C CC C 4 ; C1C 4 CC C 9 4 ; C1C 9 CC C C1C 4 CC C ; C1C CC C 1 5 ; C1C 5 CC C 4 ; C1C 4 CC C 15 ; C1C CC C 1 8 ; C1C 8 CC C 53

8 1 9 ; m 19 ; r ; ; m ; r ; ; m 1; r ; ; m ; r ; ; m 3; r ; ; m 4 ; r ; ; m 5; r ; ; m 6 ; r ; ; m 7 ; r ; ; m 8; r ; ; m 9 ; r ; ; m 3 ; r ; ; m 31; r ; ; m 3 ; r ; ; m 33 ; r ; ; m 34 ; r ; 1 9 ; m 35 ; r ; 1 9 ; m 36 ; r ; 1 9 ; m 37 ; r ; 1 9 ; m 38 ; r ; 1 9 ; m 39 ; r ; 1 9 ; m 4 ; r ; 1 9 ; m 41; r ; 1 9 ; m 4 ; r ; 1 9 ; m 43; r ; 1 9 ; m 44 ; r ; 1 9 ; m 45; r ; 1 9 ; m 46 ; r ; 1 9 ; m 47 ; r ; 1 9 ; m 48; r ; 1 9 ; m 49 ; r ; 1 9 ; m 5 ; r ; k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km k ; km 5; C1C 5 CC C ; C1C 16 ; C1C 5 CC C 1 ; C1C 1 CC C 8 ; C1C 8 CC C 4 ; C1C 4 CC C ; C1C ; C1C 4 CC C 19 ; C1C 8 CC C 16 ; C1C 1 CC C 13; C1C 13 CC C 1 ; C1C 1 CC C 7 ; C1C 7 CC C 4 ; C1C 4 CC C 1; C1C CC C 3; C1C CC C 3; C1C 5 CC C 8 ; C1C 8 CC C 6 ; C1C 11 CC C 4 ; C1C 14 CC C ; C1C 17 CC C ; C1C CC C 18; C1C 18 CC C 16 ; C1C 16 CC C 14 ; C1C 14 CC C 1 ; C1C 1 CC C 1 ; C1C 1 CC C 8 ; C1C 8 CC C 6 ; C1C 6 CC C 4 ; C1C 4 CC C ; C1C CC C ; C1C 54

9 k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; 1 9 ; m 51; r ; k 1; 1 9 ; m 5 ; r ; ; m 53 ; r ; ; m 54 ; r ; ; m 55 ; r ; ; m 56 ; r ; ; m 57 ; r ; ; m 58 ; r ; ; m 59 ; r ; ; m 6; r ; ; m 61; r ; ; m 6; r ; ; m 63; r ; ; m 64; r ; ; m 65; r ; ; m 66; r ; ; m 67 ; r ; ; m 68; r ; ; m 69; r ; ; m 7; r ; ; m 71; r ; ; m 7; r ; ; m 73; r ; ; m 74; r ; ; m 75; r ; ; m 76; r ; ; m 77 ; r ; ; m 78; r ; ; m 79; r ; ; m 8 ; r ; ; m 81; r ; ; m 8 ; r ; 1 km 49 ; C1C CC C km 48 ; C1C 4 CC C km 47 ; C1C 6 CC C km 46 ; C1C 8 CC C km 45 ; C1C 1 CC C km 44 ; C1C 1 CC C km 43; C1C 14 CC C km 4 ; C1C 16 CC C km 41; C1C 18 CC C km 4 ; C1C CC C km 39; C1C CC C km 38; C1C 4 CC C km 37 ; C1C 6 CC C km 36; C1C 8 CC C km 35; C1C 3 CC C km 34; C1C 3 CC C km 33; C1C 33 CC C km 3; C1C 3 CC C km 31; C1C 31 CC C km 3; C1C 3 CC C km 9 ; C1C 9 CC C km 8 ; C1C 8 CC C km 7 ; C1C 7 CC C km 6 ; C1C 6 CC C km 5 ; C1C 5 CC C km 4 ; C1C 4 CC C km 3; C1C 3 CC C km ; C1C CC C km 1; C1C 1 CC C km ; C1C CC C km 19 ; C1C 19 CC C km 18; C1C 18 CC C 55

10 k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; k ; 1 9 ; m 83 ; r ; k 1; 1 9 ; m 84 ; r ; ; m 85 ; r ; ; m 86 ; r ; ; m 87 ; r ; ; m 88 ; r ; ; m 89 ; r ; ; m 9 ; r ; ; m 91; r ; ; m 9 ; r ; ; m 93 ; r ; ; m 94 ; r ; ; m 95 ; r ; ; m 96 ; r ; ; m 97 ; r ; ; m 98 ; r ; ; m 99 ; r ; 1 km 17 ; C1C 17 CC C km 16 ; C1C 16 CC C km 15; C1C 15 CC C km 14 ; C1C 14 CC C km 13; C1C 13 CC C km 1 ; C1C 1 CC C km 11; C1C 11 CC C km 1 ; C1C 1 CC C km 9; C1C 9 CC C km 8 ; C1C 8 CC C km 7 ; C1C 7 CC C km 6 ; C1C 6 CC C km 5; C1C 5 CC C km 4 ; C1C 4 CC C km 3; C1C 3 CC C km ; C1C CC C km 1; C1C CC C Si oti che se uumero N C C o è divisibile per m allora il resto della divisioe di N per m è dato dal risultato dell ultima divisioe effettuata. Esempio. Il umero 113 o è divisibile per 7. Operado co il criterio di divisibilità per 7, cosiderado che e che , risulta co Divisibilità per 3 Notiamo che uumero è divisibile per 3 se, comuque ripartito, il doppio della somma delle cifre della ripartizioe di siistra meo la somma delle cifre della ripartizioe di destra è divisibile per 3. Dimostrazioe. Sappiamo che uumero N C C è divisibile per 3 se e solo se lo è la somma delle sue cifre (decimali), cioè se e solo se lo è il umero M C C C1 C. Cosideriamo l idetità: C C C C C C C C C che chiaramete prova l asserto. 1 i i1 1 C C C C C 3 C C C i i1 1 i1 1 56

11 Esempio. Il umero 8453 (co ; 4 6!) è divisibile per 3: ripartito, ifatti, i , che è divisibile per tre. e 53, risulta: Bibliografia F. EUGENI M.A. GARZIA D. TONDINI, La divisibilità ell aello degli iteri relativi, i: (vedi: Comuicazioe, Scieze e Società, voce umeri). A. CHIELLINI R. GIANNARELLI, L esame orale di Matematica ei cocorsi a cattedre di scuole, Libreria Eredi Virgilio Veschi, Roma,