Esercizi: analisi asintotica delle funzioni di complessitá ricorsive

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1 Esercizi: aalisi asitotica delle fuzioi di complessitá ricorsive Jauary, 00

2 Cotets 0. Il Metodo di Sostituzioe: esercizi risolti Il Metodo di Iterazioe: esercizi risolti Il metodo dell Albero di Ricorsioe: esercizi risolti Uso del cambiameto di variabili: esercizi risolti Esercizi da svolgere Il Metodo di Sostituzioe: esercizi risolti Si utilizzi il metodo di sostituzioe per studiare le segueti ricorreze (per le ricorreze, viee suggerito a destra l ordie di gradezza). T () = T () = T () = T () = { T ( ) + Θ() se >, Θ() se =. { T ( ) + Θ() se >, Θ() se =. { T ( ) + O( ) se >, Θ() se. { T ( ) + T ( ) + se >, Θ() se =. () [T () = Θ(lg )] () [T () = O( lg )] () () Soluzioe:

3 Il metodo di sostituzioe prevede due passi. Nel primo passo si stima l ordie di gradezza asitotico per T (). Nel secodo passo si dimostra, per iduzioe su, la correttezza dell ordie di gradezza stimato. Il metodo si rivela utile quado si ha gia u idea della soluzioe alla ricorreza studiata a. a Per stimare l ordie di gradezza di ua fuzioe di complessita ricorsiva e ecessario avere u miimo di backgroud ed esperieza: duque bisoga aver fatto u po di esercizi e bisoga destreggiarsi bee co le ricorreze che esprimoo la complessita di algoritmi oti () Guess La fuzioe di complessita data e la fuzioe di complessita della versioe ricorsiva di selectiosort. Duque stimeremo T () = Θ( ). Iduzioe Provo per iduzioe su che 0 > 0:. T () c (cioe T () = Ω( )). T () c (cioe T () = O( )) dove c e c soo costati positive.. Base Per 0 =, T () = Θ() c ( ) a patto di sciegliere ua frazioe positiva c abbastaza piccola Passo Iduttivo Ipotesi Iduttiva T ( ) c ( ) per ogi < Provo che T () c. T () = T ( ) + Θ() usado la relazioe ricorsiva T ( ) + b Θ() rappreseta b f() b c ( ) + b ipotesi iduttiva c + (b c ) + c c + (b c ) c per 0 < c b Base Per 0 =, T () = Θ() c ( ) a patto di sciegliere c abbastaza grade. Passo Iduttivo Ipotesi Iduttiva T ( ) c ( ) per ogi <

4 Provo che T () c. T () = T ( ) + Θ() usado la relazioe ricorsiva T ( ) + b Θ() rappreseta b f() b c ( ) + b ipotesi iduttiva c + (b c ) + c c per c b L ultima disuguagliaza segue dal fatto che, su 0 =, la retta (b c ) + c assume valori 0 per c b. Ifatti, da ua parte il sego della derivata ci assicura che la retta e decrescete per c b. Dall altra, per 0 = si ha (b c ) + c 0 se e solo se c b. () Guess Il testo dell esercizio suggerisce che T () = T ( ) + Θ() stia i Θ(lg()). Iduzioe Provo per iduzioe su che 0 > 0:. T () c lg() (cioe T () = O(lg())). T () c lg() (cioe T () = Ω(lg())) dove c e c soo costati positive.. Base Per 0 =, T () = Θ() c lg() a patto di sciegliere c abbastaza grade Passo Iduttivo Ipotesi Iduttiva T ( ) c lg( ) per ogi < Provo che T () c lg(). No potevo sciegliere 0 = perche lg = 0 e duque T () c lg per essua c > 0. Si oti che avedo scielto 0 = o riesco a trattare el passo iduttivo T () = T () + Θ() perche dipede da T ( < 0 = ). Tuttavia basta aver scelto c grade a sufficieza per far valere T () c lg(). I geerale basta sempre scegliere c grade a sufficieza per far valere la tesi sui T () che dipedoo da T ( < 0 ).

5 T () = T ( ) + Θ() usado la relazioe ricorsiva T ( ) + b Θ() ascode ua costate c lg( ) + b ipotesi iduttiva c lg( ) + b c lg() + c lg( ) + b propieta dei logaritmi c lg() basta aver scelto c abbastaza grade da far prevalere il termie egativo c lg( ) sul ter. pos. b. Base Per 0 =, T () = Θ() c lg() a patto di sciegliere ua frazioe positiva c abbastaza piccola Passo Iduttivo Ipotesi Iduttiva T ( ) c lg( ) per ogi < Provo che T () c lg(). T () = T ( ) + Θ() usado la relazioe ricorsiva c lg( ) + b ipotesi iduttiva c lg( ) + b = c lg( ) + b c lg( ) + b per ( ) = c lg() c lg(6) + b propieta logaritmi c lg() se frazioe positiva c e abbastaza piccola da far prevalere il termie positivo b sul ter. eg. c lg(6) NOTA Specificado che le fuzioi di floor ( ) e ceilig ( ) o hao effetto asitoticamete ci si poteva ridurre a studiare T () = T ( ) + Θ() evitado il passaggio i ( ). () Guess Il testo dell esercizio suggerisce T () = O( )lg(). Si oti che, poiche i T () = T ( ) + O( ) compare u O() e possibile dare solo ua stima dall alto ( co O ). Iduzioe Provo per iduzioe su che 0 > 0: T () c lg() (cioe T () = O( lg())) dove c e ua costate positiva opportua.

6 Base Per 0 =, T () = Θ() c lg() a patto di sciegliere c abbastaza grade. Passo Iduttivo Ipotesi Iduttiva T ( ) c( ) lg( ) per ogi < Provo che T () c() lg(). T () = T ( ) + O( ) usado la relazioe ricorsiva T ( ) + b O( ) rappreseta f() c c lg( ) + b ipotesi iduttiva c lg() c lg() + b propieta dei logaritmi c lg() per c b lg() () Guess La fuzioe di complessita data descrive u algoritmo che, per risolvere u problema di dimesioe, si riduce a risolvere due sottoproblemi di dimesioe, come MergeSort. Pero, metre MergeSort spede Θ() per comporre le soluzioi ai sottoproblemi, el ostro caso il costo estero alla ricorsioe e. Duque stimiamo ua complessita u po piu bassa di quella di MergeSort: T () = Θ(). Iduzioe Provo per iduzioe su che 0 > 0:. T () c (cioe T () = O()). T () c (cioe T () = Ω()) dove c e c soo costati positive.. Base Per 0 =, T () = Θ() c per c opportua. Passo Iduttivo Ipotesi Iduttiva T ( ) c per ogi < Provo che T () c. T () = T ( ) + T ( ) + usado la relazioe ricorsiva c + ipotesi iduttiva c??? No Fuzioa!!! ( ) Quado il passo iduttivo o fuzioa ci soo due possibilita. La prima e che la mia stima dell ordie di 5

7 gradezza di T () o sia corretta (e o e questo il caso). Oppure, ho stimato bee T () ma la mia ipotesi iduttiva e troppo debole. I questo caso rafforzado l ipotesi iduttiva e assumedo la codizioe T ( ) c b (piu forte di T ( ) c) riusciamo a portare a termie il passo iduttivo otteedo (T () c b) (T () c)) U idizio del fatto che bisoga rafforzare l ipotesi iduttiva (e o cambiare l ordie di gradezza stimato) e dato dal fatto che i ( ) ci avazao termii di ordie di gradeza iferiore a quello stimato. No sempre e facile rafforzare opportuamete l ipotesi iduttiva... T () = T ( ) + T ( ) + usado la relazioe ricorsiva c b + ipotesi iduttiva c b. Base Per 0 =, T () = Θ() c () a patto di sciegliere ua frazioe positiva c abbastaza piccola Passo Iduttivo Ipotesi Iduttiva T ( ) c ( ) per ogi < Provo che T () c. T () = T ( ) + T ( ) + usado la relazioe ricorsiva c + ipotesi iduttiva c Quado o si hao idee precise sull ordie di gradezza di ua fuzioe di complessita ricorsiva, soo utili i metodi di Svolgimeto della Ricorsioe (o Metodo dell Iterazioe) e di Albero Di Ricorsioe. Etrambi i metodi permettoo di capire come si dipaao i costi ella ricorsioe. Nel Metodo di Iterazioe si costruisce ua sommatoria di costi svolgedo la ricorsioe e ci si riduce allo studio di tale sommatoria. L Albero di Ricorsioe permette ivece di visulaizzare i u albero il dipaarsi dei costi delle chiamate ricorsive. 6

8 0. Il Metodo di Iterazioe: esercizi risolti Si studio le segueti ricorreze co il metodo di Svolgimeto della Ricorsioe. T () = T ( ) + Θ() dove c > c. T () = T ( ) + Θ(lg()) I etrambe le ricorreze si assuma T () = Θ(). Soluzioe Il metodo dello Sviluppo dell Iterazioe prevede che si svolga la ricorsioe i ua sommatoria e si studi quidi la sommatoria otteuta.. Sviluppo l iterazioe e studio la sommatoria. T () = T ( ) + Θ() = c = (T ( ) + Θ()) + Θ() = c c = ((T ( ( c ) ) + Θ()) + Θ()) = = ((T ( ( c ) ) + Θ()) + Θ()) + Θ() = = = = T () + log c ()(Θ()) = Θ(lg()) Ad ogi passo dello sviluppo moltiplico per l argometo della fuzioe c di complessita T. Mi fermo quado ( c )k = cioe dopo k = log c () passi. Si ricordi ioltre che log c () = Θ(lg()) poiche la base del logaritmo o cota asitoticamete ( si veda il problema della prima dispesa di esercizi). Ifie si oti che, ad esempio, sia la fuzioe di complessita del caso peggiore di Heapify (T () T ( + Θ()), sia la complessita della Ricerca Biaria (T () T ( + Θ()) soo u caso particolare della fuzioe di complessita appea studiata. Sia Heapify che Ricerca Biaria hao complessita O(lg()). U ultima osservazioe: potevo assumere = c k per liberarmi del.. Sviluppo l iterazioe e studio la sommatoria. Esplicito la costate ascosta i Θ(lg() scrivedo c lg() T () = T ( ) + c lg() = = (T ( ) + c lg( )) + c lg() = = = = T () + c lg() + + c lg() = ( ) = Θ() + c( i= lg(i)) = = Θ( lg()). 7

9 Ifatti, i= lg(i) = Θ((lg()). Dimostrare che i= lg(i) = O((lg()) e baale (basta maggiorare ogi termie della sommatoria co il termie lg()). U suggerimeto per provare che i= lg(i) = Ω((lg()) e quello di otare che ci soo almeo termii ella sommatoria che superao lg( ). Se i suggerimeti o soo sufficieti a portare a termie la dimostrazioe si cosulti l esercizio della prima dispesa. Si oti l abuso di otazioe se i o esplicitavo la costate ascosta i Θ scrivedo lg() i= Θ(lg(i)). I tal caso i termii della sommatoria si iterpretao come il valore assuto i i dalla medesima fuzioe c lg() f() c lg() e vale lg() i= Θ(lg(i)) = Θ( lg() i= lg(i)). 0. Il metodo dell Albero di Ricorsioe: esercizi risolti -a Si aalizzio mediate l Albero di ricorsioe le segueti ricorreze:. T () = T ( ) +. T () = T ( ) +. T () = T ( ) + -b Si aalizzio mediate l Albero di ricorsioe le segueti ricorreze:. T () = T ( ) + T ( ) + Θ() 5. T () = T ( ) + T ( ) + Θ() Si oti che la prima delle due fuzioi di complessita e approssimativamete l equazioe di complessita per Order Statistics e l albero di ricorsioe mostra che sta i Θ(). La secoda delle equazioi sarebbe l equazioe che si otterrebbe se i Order Statistics si trovasse la mediaa di u gruppo di elemeti aziche di u gruppo di ele- 5 meti. L albero di ricorsioe mostra che quest ultima ricorreza e Θ((lg())). -c Si aalizzi co l albero di ricorsioe T () = T ( ) + 8

10 -d Si aalizzi co l albero di ricorsioe T () = at ( b ) + p dove a e u itero maggiore o uguale ad, b >, p > 0 (b, p possoo essere ache frazioi). Soluzioe L Albero di Ricorsioe permette di visualizzare lo sviluppo della ricorsioe e dei costi mediate u albero. Ogi odo itero dell albero ha lo stesso umero di figli e quest ultimo dipede dal umero di chiamate ricorsive (ex. elle ricorreze i [-b] ho chiamate ricorsive. Nelle ricorreze i -a ho chiamate ricorsive). Ogi odo ell albero di ricorsioe per T () = p T (m) + f() rappreseta ua chiamata ricorsiva su u iput di dimesioi l ed e associato al costo f(l): f(l) e il costo di T (l) a meo delle chiamate ricorsive. Per valutare T () si calcolao i costi associati ad ogi livello dell albero di ricorsioe per T (), si calcola l altezza dell albero, ed ifie si perviee ad ua stima globale di T (). -a. L albero di Ricorsioe per T () = T ( ) + e rappresetato i Figura. Dato il odo rappresetate T (m), vi ho associato solo il costo f(m) = m seza specificare la dimesioe dell iput m (i questo caso dimesioe dell iput e fuzioe di costo estero alle chiamate ricorsive coicidoo). A destra di ogi livello ho calcolato il costo totale del livello stesso. Si oti che l albero e completo (ogi ramo ha la stessa lughezza perche i ogi ramo divido ogi volta l iput per ). L altezza dell albero e log () ed il umero di foglie e log = log. Dato l Albero di Ricorsioe i figura mostriamo che T () = O(). T () log () i=0 ( )i i=0 ( )i = T () = O() ( ) Per otteere il risultato sopra si e sfruttato il fatto che i=0 ( )i coverge a poiche e ua sommatoria geometrica di ragioe ) ( <. Baalmete, T () = Ω() poiche T (). Se e coclude che T () = Θ().. La figura rappreseta l albero di ricorsioe per T () = T ( )+. L albero ha altezza log ed ha log = foglie. Dato l albero di ricorsioe per T () = T ( ) + e possibile provare che T () = Θ((lg())). 9

11 0 log log Figure : Albero di Ricorsioe per T () = T ( ) + T () = (log + ) = Θ((lg())). La figura rappreseta l albero di ricorsioe per T () = T ( )+. L albero ha altezza log () ed ha log foglie. Dato l albero di ricorsioe per T () = T ( ) + e possibile provare che T () = Θ( log ) T () = log () i=0 ( )i = log + = = log = = log = = Θ( log ) log log = -b. L albero di Riorsioe che si ottiee per T () = T ( ) + T ( ) + 5 Θ() e rappresetato i Figura. Dato il odo rappresetate T (m), vi ho associato il costo f(m) = cm esplicitado co c m la costate sottoitesa da Θ(m). Accato ad ogi odo, i corsivo, ho specificato la dimesioe dell iput (su cui avviee la chiamata ricorsiva rappresetata dal odo). A destra di ogi 0

12 ( ) ( ). /. /, - * +, - * + log & ' & ' $ % $ % " # " #!! Figure : Albero di Ricorsioe per T () = T ( ) + livello ho calcolato il costo totale del livello stesso. Nel ramo + a siistra la dimesioe dell iput viee divisa ogi volta per 5: la lughezza di tale ramo e duque log 5. Nel ramo + a destra la dimesioe dell iput viee divisa ogi volta per : la lughezza di tale ramo e duque log. Nei rami i mezzo divido u po per 5 e u po per. Ne cosegue che il ramo + lugo e quello a destra e l altezza dell albero e log. Dato l Albero di Ricorsioe i figura mostriamo che T () = O(). T () c log () i=0 ( 9 0 )i c i=0 ( 9 0 )i = c T () = O() ( 9 ) 0 Per otteere il risultato sopra si e sfruttato il fatto che i=0 ( 9 0 )i coverge a poiche e ua sommatoria geometrica di ragioe ) 9 0 ( 9 0 <. (Si veda l appedice co il promemoria delle sommatorie) Baalmete, T () = Ω() poiche T (). Se e coclude che T () = Θ().

13 B C B C 0 H I H I F G D E F G D E N O N O J K J K L M L A >? >? < = < = : ; : ; log log Figure : Albero di Ricorsioe per T () = T ( ) +. I Figura 5 vi e l albero di ricorsioe per T () = T ( ) + T ( ) + Θ(). A destra di ogi livello vi e il costo associato al livello. Il ramo piu lugo (che determia l altezza dell albero) e il ramo a siistra coteete k = log archi (perche espado il ramo moltiplicado per fio a che (( )k ) = ). Il ramo piu corto e ivece il ramo piu a destra coteete log odi. Dato l albero di ricorsioe e possibile provare che T () = O((lg())) e T () = Ω((lg()). T () (log + ) c = Θ((lg())) T () = O((lg())) T () (log + ) c = Θ((lg())) T () = Ω((lg())) -c Dato l Albero di Ricorsioe i figura 6 mostriamo che T () = O(). T () log () i=0 ( 6 )i i=0 ( 6 )i = T () = O() ( ) 6 Baalmete, T () = Ω() poiche T (). Se e coclude che T () = Θ().

14 h i h i c 5 j k l m j k c l m c 5 log 5 5 o c c c 9 o p p q r r s s q t t u u c log 9 c c x y x y c 9 0 log 5 c c v w v w 9 0 log c Figure : Albero di Ricorsioe per T () = T ( ) + T ( ) + Θ() 5 -d Questo puto geeralizza i puti -a e -c. L albero di ricorsioe per T () = at ( b ) + p sara u albero completo co: altezza h = log b () umero di foglie f = a logb = logba (il costo sulle foglie sara duque Θ( logba )) costo associato ai odi di profodita i pari a a i ( b i ) p = ( a b p ) i p Dato l albero di ricorsioe sopra descritto possiamo scrivere: log b T () = Θ( logba ) + p ( a b p )i dove Θ( log ba ) e il costo sulle foglie ed i termii ella somma soo i costi degli altri livelli. Mostriamo ora che. Se p > log b a allora T () = Θ( p ). Se p > log b a, allora b p > b logba = a e la ragioe della sommatoria ( a ) e miore di. Duque b p i=0 ( a ) i coverge ad ua costate b p c e si ha: i=0

15 c c log œ œ 6 c c c 6 š š ž Ÿ ž Ÿ c 6 c 9 c 6 log c c c c c Figure 5: Albero di Ricorsioe per T () = T ( ) + T ( ) + Θ() T () = Θ( logba ) + p log b i=0 ( a ) i b p Θ( logba ) + p i=0 ( a ) i = b p = Θ( logba ) + Θ( p ) = Θ( p ) perche l espoete p supera l espoete log b a! Si oti che la prima ricorreza el puto -a e la ricorreza i c ricadevao i questo caso.. Se p = log b a allora T () = Θ( p lg()) Se p = log b a, allora b p = b log ba = a ed ogi livello ell albero (foglie comprese!) costa p. Ci soo log b = Θ(lg()) livelli ell albero e duque: T () = Θ( p (lg)) Si oti che la secoda ricorreza el puto -a ricadeva i questo caso.. Se p < log b a allora T () = Θ( log ba ). Se p < log b a, allora b p < b logba = a e la ragioe della sommatoria ( a ) e maggiore di. Duque b p i=0 ( a ) i o coverge ma b p possiamo valutare esattamete quato vale log b i=0 ( a ) i usado b p la formula p. Otteiamo: i=0 xi = xp+ x

16 6 0 º» º» 6 6 ¼ ½ ² ³ ¼ ½ ² ³ µ µ 6 ¹ ¹ ª «ª «± ± 6 log 6 log 6 Figure 6: Albero di Ricorsioe per T () = T ( ) + T () = Θ( log ba ) + p log b i=0 ( a b p ) i = Θ( log ba ) + p ( a = Θ( log ba ) + p a = Θ( log ba ) + p a b p ) log b a b p log b b log b p a b p log b p a b p = Θ( logba ) + alog b p a b p = Θ( logba ) + log b a p a b p = Θ( logba ) Si oti che la terza ricorreza el puto -a ricadeva i questo caso. 0. Uso del cambiameto di variabili: esercizi risolti Spesso risulta utile/ecessario applicare u cambiameto di variabili prima di utilizzare uo dei metodi di soluzioe delle ricorreze visti sopra. Negli esercizi che seguoo le ricorreze vegoo maeggiate opportuamete me- 5

17 diate il cambio di variabili e quidi risolte co i metodi classici.. T () = T ( ) + lg. T () = T ( ) + lg. T () = T ( ) + lg( ). T () = T ( ) + O() Soluzioe. T () = T ( ) + lg Poiamo = k (e k = lg()). Sostituedo ella ostra ricorreza otteiamo: T ( k ) = T ( k ) + k = T ( k ) + k Poiamo ora S(p) = T ( p ) e ricaviamo la ricorreza: S(k) = S( k ) + k Nella ricorreza S(k) appea scritta ricoosciamo la fuzioe di complessita di MergeSort. La soluzioe di S(k) e duque S(k) = Θ(k(lg(k)). Riesprimedo la soluzioe S(k) = Θ(k(lg(k)) i termii di T ed otteiamo: T ( k ) = Θ(klg(k)) i.e. T () = Θ(lg()lg(lg())). T () = T ( ) + lg Poiamo = k (e k = lg()). Sostituedo ella ostra ricorreza otteiamo: T ( k ) = T ( k ) + k = T (k ) + k Dividiamo tutto per k e otteiamo: T ( k ) k = T (k ) k + k k = T (k ) k + k k I liea di massima il cambio di variabili puo far assumere u aspetto piu appettibile alle ricorreze i cui compaioo logaritmi e radici. per ora vi aticipo che questo serve a madare via il che moltiplica T ( k )... 6

18 Poiamo ora S(p) = T (p ) p e ricaviamo la ricorreza: S(k) = S(k ) + k k La ricorreza appea scritta si risolve facilmete co lo svolgimeto della ricorreza: S(k) = S(k ) + k = k = S(k ) + k + k = k k = = = S() + k i= i( )i = = Θ() + k i= i( )i Θ() + i= i( )i = = Θ() + = Θ() Risostituedo all idietro otteiamo: T () Θ() = S(k) = T (k ) = T () k = Θ() T () = Θ() T () = Θ(). T () = T ( ) + lg( ) Al solito, poiamo = k (e k = lg()). Sostituedo ella ostra ricorreza otteiamo: T ( k ) = k T ( k ) + k lg( k ) = k T ( k ) + k k Dividiamo per k e otteiamo: T ( k ) = k k T ( k k k ) + k k = T ( k k ) Poiamo ora S(p) = T (p ) p e ricaviamo la ricorreza: + k S(k) = S( k ) + k Svolgedo la ricorreza otteiamo la sommatoria: lg(k) S(k) = S() + k i= Θ() + k 7 i= = Θ() + k = Θ(k)

19 Risostituedo all idietro: T () = T (k ) k = S(k) = Θ(k) = Θ(lg() T () = Θ(lg()) T () = Θ( lg()). T () = T ( ) + O() Esplicitado le costati ell O ho: T () T ( ) + c Sostituedo ella ostra ricorreza otteiamo: Dividiamo per k e otteiamo: T ( k ) k T ( k ) + c k T ( k ) k k T ( k k ) + c Poiamo ora S(p) = T (p ) p e ricaviamo la ricorreza: S(k) S( k ) + c = S(k ) + Θ() Sappiamo che S(k) S( k ) + Θ() sta i O(lg(k)) (si veda il primo puto dell esercizio o altrimeti si provi a risolvere la ricorreza co uo dei tre metodi visti: e facilissimo!). Risostituedo all idietro: T () = T (k ) k = S(k) = O(lg(k)) = O(lg(lg())) T () 0.5 Esercizi da svolgere = O(lg(lg())) T () = O( lg(lg())) Si aalizzio le segueti ricorreze dove si assuma T () costate per sufficietemete piccoli:. T () = T ( ) + [Sol. T () = T heta( lg())] Si utilizzi il metodo di sostituzioe 8

20 . T () = T ( ) + O( ) [Sol. T () = O( )] Si utilizzi il metodo di iterazioe (si tega presete che i=0 i = ()(+)(+) = Θ( )) o il metodo di sostituzioe. 6. T () = T (m) + T ( m) + [Sol. T () = Θ()]. T () = T (m) + T ( m) + dove 0 < m < [Sol. T () = Θ()] 5. I questo esercizio e egli esercizi, 5, 6, 7 e utile fare l albero di ricorsioe. Si cosulti gli esercizi risolti sull albero di ricorsioe ed i particolare l esercizio -d. Si disegi sempre l albero di ricorsioe e si facciao bee i coti. T () = T ( 0 ) + [Sol. T () = Θ()] 6. T () = T ( ) + T ( 9 ) + [Sol. T () = Θ(lg())] T () T ( ) + [Sol. T () = O( )] 8. T () = 9T ( ) + [Sol. T () = Θ( log 9 )] 9. T () T ( 6 ) + ( =...ache qui va bee usare albero di ricorsioe e, mimado il caso giusto dell esercizio risolto -d si avra T () = O( lg ) 0. T () = T ( ) + [Sol. T () = Θ(lg(lg())] (si usi il cambio di variabili...). T () = T ( ) + lg () [Sol. T () = Θ(lg )] Ache qui e molto utile il cambio di variabili (si tega presete ioltre che i=0 i = ()(+)(+) = Θ( )). 6. T () = T ( ) + lg () [Sol. T () = Θ( lg )] 9