Algoritmi e Strutture Dati. Introduzione

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1 Algoritmi e Strutture Dati Itroduzioe

2 Complessità degli algoritmi Aalisi delle prestazioi degli algoritmi Servirà u Modello Computazioale di riferimeto. Tempo di eseuzioe degli algoritmi Notazioe asitotia Aalisi del Caso Migliore, Caso Peggiore e del Caso Medio Esempi di aalisi di algoritmi di ordiameto.

3 Come aalizzare u algoritmo Correttezza - Dimostrazioe formale matematia) - Ispezioe iformale Utilizzo delle risorse - Tempo di eseuzioe - Utilizzo della memoria - Altre risorse: bada di omuiazioe Sempliità - Faile da apire e da mauteere

4 Tempo di eseuzioe Il tempo di eseuzioe di u programma dipede da: - Hardware - Compilatore - Tipo e dimesioe dell Iput - Altri fattori: asualità,

5 U oto modello omputazioale Il modello della Mahia di Turig - Nastro di lughezza ifiita o I ogi ella può essere oteuta ua quatità di iformazioe fiita Ua testia u proessore programma I uità di tempo Legge o srive la ella di astro orrete e Si muove di ella a siistra, oppure di ella a destra, oppure resta ferma 7 U O E A # E! E

6 Il modello omputazioale RAM Modello RAM Radom-Aess Memory) - Memoria priipale ifiita o Ogi ella di memoria può oteere ua quatità di dati fiita. o Impiega lo stesso tempo per aedere ad ogi ella di memoria. - Sigolo proessore programma o I uità di tempo: operazioi di lettura, eseuzioe di ua omputazioe, srittura; o Addizioe, moltipliazioe, assegameto, ofroto, aesso a putatore Il modello RAM è ua semplifiazioe dei moderi omputer.

7 U problema di oteggio Iput - U itero N dove N. Output - Il umero di oppie ordiate i, ) tali he i e soo iteri e i N. Esempio: N4,,,),,3),,4),,),,3),,4), 3,3), 3,4), 4,4) Output 0

8 4 6 ) ) N N i N i N N N i N i Il tempo di eseuzioe è it Cout_it N) sum 0 for i to N 3 for i to N 4 sum sum 5 retur sum Algoritmo N i i N ) N i i N ) N

9 Algoritmo it Cout_it N) sum 0 for i to N 3 sum sum N-i) 4 retur sum N 4N Il tempo di eseuzioe è 6 N 4 Ma otate he: N N i) i N i i N N /

10 Algoritmo 3 N N i) i N i i N N / it Cout_3it N) sum N*N/ 4 retur sum Il tempo di eseuzioe è 5 uità di tempo

11 Riassuto dei tempi di eseuzioe Algoritmo Algoritmo Algoritmo Algoritmo 3 Tempo di Eseuzioe N 6N 6N4 5 4

12 Ordie dei tempi di eseuzioe Suppoiamo he operazoe atomia impieghi hs 0-9 s N ms 0 ms 00 ms ms 0 ms 0N 0 ms 00 ms ms 0 ms 00 ms N Log N 9.96 ms 3 ms.66 ms 9.9 ms 3 ms 0N Log N 99 ms.7 ms 33 ms 398 ms 4.6 se N ms 00 ms 0 se 7 mi. giori 0N 0 ms se 3.3 mi 5.6 ore 3 giori N 3 se 7 mi gior. 3 ai 3 millei

13 Riassuto dei tempi di eseuzioe Algoritmo Tempo di Eseuzioe Ordie del Tempo di Eseuzioe Algoritmo N 6N 4 N Algoritmo Algoritmo 3 6N4 5 N Costate

14 Limite superiore asitotio $>0, 0 >0 " 0. f) g) g) è detto u limite superiore asitotio di f). Sriviamo f) Og)) Leggiamo f) è O-grade di g). g) f) g) 0

15 Esempio di limite superiore asitotio 4 g) per ogi 3 > 3 5 f) Quidi, f) Og)). 4g)4 f)3 5 g) 3

16 Eserizio sulla otazioe O Mostrare he 3 5 O ) per 0, 0

17 Utilizzo della otazioe O I geere quado impieghiamo la otazioe O, utilizziamo la formula più semplie. - Sriviamo 3 5 O ) - Le segueti soo tutte orrette ma i geere o le si usera: 3 5 O3 5) 3 5 O ) 3 5 O3 )

18 Eserizi sulla otazioe O f ) 0 5 f ) 0 log 5 f 3 ) log 0.05 f 4 ) / 3 log O ) O log ) O ) O log )

19 Limite iferiore asitotio $>0, 0 >0 " 0. f) g) g) è detto u limite iferiore asitotio di f). Sriviamo f) Wg)) Leggiamo f) è Omega-grade di g). f) g) 0

20 Esempio di limite iferiore asitotio g)/4 /4 / /4 / 9 per tutti gli 6 < / 7 Quidi, f) Wg)). g) f) /-7 g) /4 4

21 Limite asitotio stretto f) Og)) e f) Wg)) g) è detto u limite asitotio stretto di f). Sriviamo f) Qg)) Leggiamo f) è Theta di g). g) f) g) 0

22 Riassuto della otazioe asitotia O: O-grade: limite superiore asitotio W: Omega-grade: limite iferiore asitotio Q: Theta: limite asitotio stretto Usiamo la otazioe asitotia per dare u limite ad ua fuzioe f)), a meo di u fattore ostate ).

23 Teoremi sulla otazioe asitotia Teoremi: f) Og)) sse g) Wf)). Se f ) Og )) e f ) Og )), allora Of ) f )) Omax{g ), g )}) Se f) è u poliomio di grado d, allora f) Q d )

24 Teoremi sulla otazioe asitotia Proprietà: Se lim f)/g) 0 allora f) Og)) Se lim f)/g) k > 0 allora f) Og)) e f) Wg)) quidi f) Qg)) Se lim f)/g) allora f) Wg))

25 Algoritmo 4: aalisi asitotia it Cout_4 it N) sum 0 for i to N 3 for to N 4 if i < the 5 sum sum 6 retur sum O ON) ON ) ON ) N N O O N O ) Il tempo di eseuzioe è ON )

26 Tempi di eseuzioe asitotii Algoritmo Algoritmo Algoritmo Algoritmo 3 Tempo di Eseuzioe N 6N 6N4 5 4 Limite asitotio ON ) ON) O Algoritmo 4 4N 5N 4 ON )

27 Somma Massima di ua sottosequeza Iput - U itero N dove N. - Ua sequeza a, a,, a N ) di N iteri. Output - U itero S tale he S dove k i k i, N e S è il più grade possibile. Esempio: N9,,-4,8,3,-5,4,6,-7,) Output a

28 Algoritmo it Max_seq_sum_it N, array a[]) maxsum 0 for i to N for i to N sum 0 for ki to ON 3 ) sum sum a[k] maxsum maxmaxsum,sum) retur maxsum O ON) ON ) Tempo di eseuzioe ON 3 )

29 Algoritmo it Max_seq_sum_it N, array a[]) maxsum 0 for i to N ON) sum 0 for i to N ON ) sum sum a[] maxsum maxmaxsum,sum) retur maxsum Tempo di eseuzioe ON ) O Esiste u algoritmo he risolve il problema i tempo ON)

30 Algoritmo 3 it Max_seq_sum_3it N, array a[]) maxsum 0 sum 0 for i to N ON) if sum a[i]>0) the sum sum a[i] else sum 0 maxsum maxmaxsum,sum) retur maxsum Tempo di eseuzioe ON) O

31 Ordiameto di ua sequeza Iput : ua sequeza di umeri. Output : ua permutazioe riordiameto) tale he tra ogi elemeti adiaeti ella sequeza valga qualhe relazioe di ordiameto ad es. ). Isert Sort - È effiiete solo per piole sequeze di umeri; - Algoritmo di ordiameto sul posto. La sequeza viee sadita dal dal primo elemeto; l idie i, iizialmete assegato al primo elemeto, idia l elemeto orrete; ) Si osidera la parte a siistra di i ompreso) già ordiata; 3) Si selezioa il primo elemeto suessivo ad i ella sottosequeza o-ordiata assegado i; 4) Si era il posto giusto per l elemeto ella sottosequeza ordiata. 5) Si iremeta i, si tora al passo 3) se la sequeza o è termiata;

32 Isert Sort Algoritmo : A[..] : sequeza umeri di iput Key : umero orrete da mettere i ordie for to LeghtA) do Key A[] /* Selta del -esimo elemeto da ordiare */ 3 i - 4 while i > 0 ad A[i] > Key 5 do A[i] A[i] 6 ii- 7 A[i] Key

33 Aalisi di Isert Sort for to LeghtA) do Key A[] /* Commeto */ 3 i - 4 while i>0 ad A[i] > Key 5 do A[i] A[i] 6 ii- 7 A[i] Key t t t T ) 3 4 t 5 t 6 t 7

34 Aalisi di Isert Sort: Caso migliore ) t t t T ) t T ) ) ) T Il aso migliore si ha quado l array è già ordiato: Ioltre, i questo aso t è, quidi: T) ab

35 Aalisi di Isert Sort: Caso migliore T ) ) ) T) ab T) ab b

36 Aalisi di Isert Sort: Caso peggiore ) t t t T ) T Il aso peggiore si ha quado l array è i ordie iverso. I questo aso t è perhé?) Quidi: t t t t

37 Aalisi di Isert Sort: Caso peggiore ) T ) ) T T) a b

38 Aalisi di Isert Sort: Caso peggiore ) ) T T) a b T) a b ab b

39 Aalisi di Isert Sort: Caso medio ) t t t T Il aso medio è il valore medio del tempo di eseuzioe. Suppoiamo di segliere ua sequeza asuale e he tutte le sequeze abbiao uguale probabilità di essere selte. I media, metà degli elemeti ordiati sarao maggiori dell elemeto he dobbiamo sistemare. I media otrolliamo metà del sottoarray ad ogi ilo while. Quidi t è /. 4 t 4 3 t

40 Aalisi di Isert Sort: Caso medio ) t t t T 4 t 4 3 t T) a b a b T) a b

41 Aalisi del Caso Migliore e Caso Peggiore Aalisi del Caso Migliore - W-grade, limite iferiore, del tempo di eseuzioe per u qualuque iput di dimesioe N. Aalisi del Caso Peggiore - O-grade, limite superiore, del tempo di eseuzioe per u qualuque iput di dimesioe N.

42 Aalisi del Caso Medio Aalisi del Caso Medio - Alui algoritmi soo effiieti i pratia. - L aalisi è i geere molto più diffiile. - Bisoga geeralmete assumere he tutti gli iput siao ugualmete probabili. - A volte o è ovvio quale sia la media.

43 Teihe di sviluppo di algoritmi Agli esempi visti fio ad ora seguoo l approio iremetale: la soluzioe viee ostruita passo dopo passo. Isert sort avedo ordiato ua sottoparte dell array, iserise al posto giusto u altro elemeto otteedo u sottoarray ordiato più grade. Esistoo altre teihe di sviluppo di algoritmi o filosofie differeti: - Divide-et-Impera

44 Divide-et-Impera Il problema viee suddiviso i sottoproblemi aaloghi, he vegoo risolti separatamete. Le soluzioi dei sottoproblemi vegoo ifie fuse isieme per otteere la soluzioe dei problemi più omplessi. Cosiste di 3 passi: - Divide il problema i vari sottoproblemi, tutti simili tra loro e) al problema origiario ma più semplii. - Impera oquista) i sottoproblemi risolvedoli riorsivamete. Quado u sottoproblema diviee baale, risolverlo direttamete. - Fodi le soluzioi dei sottoproblemi per otteere la soluzioe del sotto)problema he li ha origiati.

45 Divide-et-Impera e ordiameto Iput: ua sequeza di umeri. Output: ua permutazioe riordiameto) tale he tra ogi elemeti adiaeti ella sequeza valga qualhe relazioe di ordiameto ad es. ). Merge Sort divide-et-impera) - Divide: sompoe la sequeza di elemeti i sottosequeze di / elemeti iasua. - Impera: oquista i sottoproblemi ordiado riorsivamete le sottosequeze o Merge Sort stesso. Quado ua sottosequeza è uitaria, il sottoproblema è baale. - Fodi: ompoe isieme le soluzioi dei sottoproblemi per otteere la sequeza ordiata del sotto-)problema.

46 Merge Sort Algoritmo : A[..]: sequeza dei umeri i iput p,r: idii degli estremi della sottosequeza da ordiare Merge_Sortarray A, it p,r) if p < r the q epr)/u 3 Merge_SortA,p,q) Divide Impera 4 Merge_SortA,q,r) 5 MergeA,p,q,r) Combia Eserizio: defiire la proedure Merge

47 Merge Sort: aalisi Merge_Sortarray A, it p,r) if p < r the q epr)/u 3 Merge_SortA,p,q) 4 Merge_SortA,q,r) 5 MergeA,p,q,r) T) Q se Equazioe di Riorreza T) T/) T merge ) Q T merge ) Q) Θ se T ) T /) Θ ) Θ se >

48 Merge Sort: aalisi Merge_Sortarray A, it p,r) if p < r the q epr)/u 3 Merge_SortA,p,q) 4 Merge_SortA,q,r) 5 MergeA,p,q,r) T ) Θ T / ) Θ ) Θ se se > Soluzioe: T ) Q log)

49 Divide-et-Impera: Equazioi di riorreza Divide: D) tempo per dividere il problema Impera: se si divide il problema i a sottoproblemi, iasuo di dimesioe /b, il tempo per oquistare i sottoproblemi sarà at/b). Quado u sottoproblema diviee baale l iput è miore o uguale ad ua ostate ), i tempo è Q. Fodi: C) tempo per omporre le soluzioi dei sottoproblemi ella soluzioe più omplessa. T ) Θ at / b) D ) C ) se se >

50 Gli argometi trattati Aalisi della botà di u algoritmo - Correttezza, utilizzo delle risorse, sempliità Modello omputazioali: modello RAM Tempo di eseuzioe degli algoritmi Notazioe asitotia: O-grade, W-grade, Q Aalisi del Caso Migliore, Caso Peggiore e del Caso Migliore