Elementi di statistica

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1 Elemeti di statistica La misura delle gradezze fisiche può essere effettuata direttamete o idirettamete. Se la misura viee effettuata direttamete si parla di misura diretta; se essa viee dedotta attraverso calcoli si parla di misura idiretta. Misure dirette Ua misura diretta viee otteuta cofrotado la gradezza del corpo e l uità del sistema di misura che scegliamo. Per l otteimeto della misura i campo scietifico impieghiamo le uità del Sistema Iterazioale dei pesi e delle misure, trattate el paragrafo 1.. Se l uità del Sistema Iterazioale è troppo piccola o troppo grade per il tipo di misura che dobbiamo effettuare allora impieghiamo rispettivamete u suo multiplo o u suo sottomultiplo. Per esempio se dobbiamo misurare ua distaza tra Milao e Roma impiegheremo i chilometri (1 km = m = 10 3 m), se ivece dobbiamo misurare il diametro di u cerchio i u compito di disego impiegheremo i millimetri (1 mm = 0,001 m = 10-3 m). Molto importate è la scelta dello strumeto di misura: i campo scietifico devoo essere impiegati strumeti molto accurati e precisi (si veda il paragrafo 3 del Percorso 1). No si possoo effettuare misure esatte i assoluto, perché è impossibile elimiare le icertezze dovute alla sesibilità degli strumeti di misura e al modus operadi dell operatore che effettua la misura. Le misure vegoo ripetute più volte per verificare l affidabilità e la precisioe dello strumeto di misura e della metodica utilizzata. Se i dati misurati o soo tutti uguali essi produrrao u itervallo che va da u valore miimo mi a u valore massimo ma. La differeza tra il valore massimo ( ma ) e il miimo ( mi ) viee detta ampiezza dell itervallo o dispersioe della misura: ma - mi Si può assumere come valore più probabile della misura il valore medio ( medio ) tra gli valori misurati: medio = = L icertezza massima (Δ) può essere assuta come la metà della dispersioe delle misure: Δ = ma mi quidi è possibile defiire il valore della misura come il valore più probabile a meo di ua certa icertezza cioè: = ± Δ 1

2 Misura umero Misura Misura umero Misura 1 0,1473 g 11 0,1474 g 0,1483 g 1 0,147 g 3 0,1463 g 13 0,1471 g 4 0,1478 g 14 0,1473 g 5 0,1474 g 15 0,1479 g 6 0,1473 g 16 0,1480 g 7 0,1483 g 17 0,1481 g 8 0,1463 g 18 0,1474 g 9 0,1478 g 19 0,1475 g 10 0,1474 g 0 0,1476 g Tabella 1 Ipotetiche misure di massa effettuate Per capire meglio facciamo u esempio: effettuiamo 0 misure di massa impiegado il grammo (g) come uità di misura. Ricordiamo che il grammo (g) è il sottomultiplo del chilogrammo (1 g = 10-3 kg). Il valore massimo di queste misure è 0,1483 g e il valore miimo è 0,1471 g, quidi la dispersioe della misura è: ma - mi = 0,1483 g - 0,1471 g = 0,001 g Il valore medio delle misure effettuate è dato dal rapporto tra la somma delle 0 misure (Σ ) e il umero delle misure ( = 0): medio = = =,9497 g 0 = 0,1475 g L icertezza massima è: Δ = ma mi = 0,001 g = 0,0006 g quidi è possibile defiire il valore della misura come il valore più probabile a meo di ua certa icertezza cioè: = ± Δ = 0,1475 g ± 0,0006 g Nel caso i cui la misura vega effettuata ua sola volta, si sceglie come icertezza la sesibilità dello strumeto di misura, cioè la quatità miima che esso è capace di misurare. Per poter esprimere la misura i maiera più precisa bisoga dividere l icertezza assoluta per il valore medio ( medio ) otteedo così l icertezza relativa [E R ()]: E R ( ) = Δ

3 L icertezza relativa è u umero dimesioale, ovvero espresso seza uità di misura poiché deriva da u rapporto di due gradezze che hao la stessa uità di misura. Dall icertezza relativa si può calcolare l icertezza relativa percetuale [E R% ()]: E R% Δ 100 ( ) = Nel caso del ostro esempio si ha: E R E R% ( ) = Δ = 0,0006 g 0,1475 g = 0,0041 Δ 100 ( ) = = 0,41 Misure idirette Spesso o è possibile eseguire misure dirette e si deve ricorrere a misure idirette. Esse vegoo determiate misurado altre gradezze relative al corpo i esame e soo legate alla gradezza da determiare da ua relazioe matematica. Per esempio, se vogliamo determiare il volume di u cubo basta misurare la lughezza del lato e fare di questo dato il suo cubo: V cubo = l 3 Nel caso delle misure idirette, come i quello delle misure dirette, bisoga teere coto delle icertezze della misura. Nel caso i cui ella relazioe matematica vi è ua somma o ua differeza, l icertezza è prodotta dalla somma delle icertezze assolute delle due misure, per esempio a e b: Δ(a ± b) = Δa + Δb Nel caso i cui ella relazioe matematica vi sia u prodotto o u quoziete, l icertezza relativa [E R (ab)] e l icertezza relativa percetuale [E R% (ab)] soo prodotte dalla somma delle icertezze relative o percetuali delle sigole determiazioi: E R (ab) = E R (a/b) = E R (a) + E R (b) E R% (ab)= E R% (a/b) = E R% (a) + E R% (b) Nel caso di misure ripetute molte volte si calcola subito il valore medio e si possoo determiare gli scarti. Gli scarti vegoo determiati facedo le differeze tra ogi valore i trovato (i sta per idice, idicado 1,, 3, 4. ) e il valore medio ( medio ): 3

4 Idicado lo scarto co ε i si ha: ε 1 = i Lo scarto (ε i ) può avere valore positivo o egativo, a secoda se la misura effettuata è rispettivamete miore o maggiore del valore medio delle misure. Misura umero Misura Scarto (ε i ) Misura umero Misura Scarto (ε i ) 1 0,1473-0, ,1474-0,0001 0,1483 0, ,147-0, ,1463-0, ,1471-0, ,1478 0, ,1473-0, ,1474-0, ,1479 0, ,1473-0, ,1480 0, ,1483 0, ,1481 0, ,1463-0, ,1474-0, ,1478 0, ,1475 0, ,1474-0, ,1476 0,0001 Tabella Scarti ( i meo il valore medio 0,1475) di geeriche ed ipotetiche misure effettuate Se cosideriamo tutti gli scarti el loro valore assoluto (sempre positivo), il valore medio di questi scarti o è zero e questo dato rappreseta l icertezza più probabile della misura: ε = i=1 i dove Σ è la sommatoria dei valori assoluti degli scarti ε i. Da otare ella relazioe dell icertezza più probabile che i = 1 e della sommatoria (Σ) stao a sigificare che si predoo i cosiderazioe tutti gli scarti ε i di tutte le 0 misure effettuate. Nel caso del ostro esempio si ha: ε = i=1 i = 0, = 0, Misura umero Misura Scarto (ε i ) Quadrato dei valori assoluti di ε i 1 0,1473-0,000 0, ,1483 0,0008 0, ,1463-0,0010 0, ,1478 0,0003 0, ,1474-0,0001 0, ,1473-0,000 0, ,1483 0,0008 0,

5 8 0,1463-0,0010 0, ,1478 0,0003 0, ,1474-0,0001 0, ,1474-0,0001 0, ,147-0,0003 0, ,1471-0,0004 0, ,1473-0,000 0, ,1479 0,0004 0, ,1480 0,0005 0, ,1481 0,0006 0, ,1474-0,0001 0, ,1475 0, ,1476 0,0001 0, Tabella 3 Quadrati degli scarti di geeriche ed ipotetiche misure effettuate A questo puto possiamo ricavare la sommatoria di tutti i quadrati degli scarti della tabella 3: Σ ε i = 0, = 4, Questo valore è utile per ricavare la deviazioe stadard, detta ache scarto quadratico medio, che si idica co la lettera σ (sigma) e corrispode alla radice quadrata della media dei quadrati degli scarti: σ = ε i 1 Per il ostro esempio si ha: σ = ε i 1 = 4, = 4, Riassumedo, per quato riguarda le ostre determiazioi si ha la seguete situazioe: medio = 0,1475 ε medio = 3, σ = 4, dove medio rappreseta la media delle misurazioi, ε medio l errore medio e σ la deviazioe stadard dei dati. 5

6 Il 57,5% delle misure sarà compreso tra il valore di medio più o meo l errore medio ε medio : 0,1475-3, e 0, , Il 68,3% delle misure sarà compreso tra il valore di medio più o meo deviazioe stadard σ: 0,1475-4, e 0, , Il 95,5% delle misure sarà compreso tra il valore di medio più o meo il doppio della deviazioe stadard σ: 0,1475-9, e 0, , E ifie il 99,7% delle misure sarà compreso tra il valore di medio più o meo il triplo della deviazioe stadard 3σ (errore massimo): 0,1475-1, e 0, ,