La legge di Hooke. Alessio Bianchi 5 aprile 2017

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1 La legge di Hooke Alessio Biachi 5 aprile 2017 Sommario Determiazioe delle costati elastiche k di alcue molle e di ua massa m icogita sfruttado la legge di Hooke. Verifica del legame tra costate elastica di due molle distite e costate cumulativa delle due molle i serie. Verifica della k i fuzioe delle proprietà geometriche della molla. Idice 1 Descrizioe delle gradezze fisiche e dei feomei coivolti 1 2 Descrizioe dell apparato strumetale 2 3 Raccolta dati sperimetali 2 4 Elaborazioe dati 4 5 Aalisi degli errori e risultati sperimetali 8 6 Commeti fiali 8 1 Descrizioe delle gradezze fisiche e dei feomei coivolti La legge di Hooke esprime la forza di richiamo di ua molla i fuzioe dell allugameto o della compressioe x rispetto alla sua codizioe iiziale di equilibrio x 0 e di ua costate elastica k caratteristica della molla stessa. F = x k (1) Tale forza è u vettore co stessa direzioe ma verso opposto a x (da qui il meo). La (1) può essere riscritta scalarmete come F = x k. k viee espressa, i accordo all aalisi dimesioale, come N/m. 1

2 Figura 1: Nella determiazioe della k icogita di alcue molle, si sfrutta il pricipio d ierzia tale per cui, se u sistema è i quiete o si muove a velocità costate, la sommatoria delle forze ageti su esso Σ F = 0. Fissado ifatti ua molla i verticale co ua massa m coosciuta e lasciado che si stabilizzi dopo ua fase trasiete di moto armoico, abbiamo che, scalarmete: F mg = 0 co F forza di richiamo, secodo il sistema di riferimeto i Figura 1. Aotado l allugameto dalla posizioe iiziale, i asseza della massa, si ricava k: F = mg = x k k = mg x 2 Descrizioe dell apparato strumetale Bilacia digitale co sesibilità 0.1 g; Sostego metallico; Supporti di fissaggio al sostego per la molla; Supporto di fissaggio alla molla per le masse muito di ago idicatore; Asta graduata co sesibilità 0.1 cm; 4 molle co k diverse; 4 piattelli metallici co masse diverse; 1 piattello metallico di massa icogita; Calibro aalogico co sesibilità 0.01 cm. 3 Raccolta dati sperimetali Determiazioe k di alcue molle Si pesao prevetivamete le masse i dotazioe per verificare il valore omiale. 2

3 N o massa Masse teoriche (g) Masse misurate effettive (g) Si fissao quidi le molle al sostego. Si aota il valore della lughezza iiziale x 0 seza massa letto co l ago idicatore sull asta graduata, poi si aggiugoo le masse sigole e combiate aotado la lughezza fiale x f. x f (cm) Masse usate m tot (g) Molla 1 Molla 2 Molla 3 Molla 4 // // x 0 = Determiazioe di ua massa icogita Ache stavolta si aotao le lughezze iiziali e fiali della massa icogita appesa alle 4 diverse molle. Molle x 0 (cm) x f (cm) Verifica relazioe tra k distite e k eq cumulativa di due molle i serie Si collegao assieme due molle uguali e si ripete il procedimeto co le diverse masse coosciute, sigole e combiate, aotado lughezze iiziali e fiali. 2 Molle N o 4, x 0 = 34.7 cm Masse usate m tot (g) x f (cm) Ogi allugameto x verrà determiato sottraedo al valore x f letto sull asta graduata il valore x 0 della molla specifica a riposo. 3

4 Verifica valore di k tramite le caratteristiche geometriche della molla Scelta ua molla, se e determia il umero di spire, il diametro del filo e il diametro della spira co l ausilio del calibro. Molla 4 Numero spire Ns = 74 Diametro filo d = 0.10 cm Diametro sigola spira D = 1.87 cm 4 Elaborazioe dati Determiazioe k di alcue molle Per ogi massa o combiazioe di masse si ricava la forza peso F covertedo prima g i kg. Si grafica quidi x VS F per tracciare la tedeza lieare. k si ricava come esposto ella trattazioe teorica ma può essere stimato ache dal coefficiete agolare della retta di tedeza. L errore sugli allugameti è dato da δ( x) = δx f + δx 0 = ±( ) m= ±0.1 cm ed è rappresetato dalle barre ei grafici 1. Questo tipo di elaborazioe viee ripetuta per tutte le molle. Masse usate F = mg (N) x (cm) k = F/ x (N/m) Errore δk k = k i = N/m 1 L errore sulle lughezze è la metà della sesibilità essedo l asta graduata uo strumeto aalogico. 4

5 σ k = ( k k i ) 2 = 0.11 N/m 1 k dal coefficiete agolare della retta di tedeza 2 : k r = 100 m = 100 = N/m 9.38 Masse usate F = mg (N) x (cm) k = F/ x (N/m) Errore δk k = k i = N/m σ k = ( k k i ) 2 = 0.37 N/m 1 k dal coefficiete agolare della retta di tedeza: k r = 100 m = 100 = N/m A puro scopo di coferma. Il fattore 100 deriva dalla coversioe cm m di x el grafico. 5

6 Masse usate F = mg (N) x (cm) k = F/ x (N/m) Errore δk k = k i = N/m σ k = ( k k i ) 2 = 4.52 N/m 1 k dal coefficiete agolare della retta di tedeza: k r = 100 m = 100 = N/m

7 Masse usate F = mg (N) x (cm) k = F/ x (N/m) Errore δk k = k i = N/m σ k = ( k k i ) 2 = 0.26 N/m 1 k dal coefficiete agolare della retta di tedeza: k r = 100 m = 100 = N/m 4.21 Determiazioe di ua massa icogita Sapedo che mg = x k m = x k g m N/m m k1 = = ( ± ) kg 9.81 N/kg m k2 = m k3 = m N/m 9.81 N/kg m N/m 9.81 N/kg = ( ± ) kg = ( ± 0.017) kg m N/m m k4 = = ( ± ) kg 9.81 N/kg m = m i = kg = g σ m = ( m m i) 2 = kg = 5.9 g 1 Verifica relazioe tra k distite e k eq cumulativa di due molle i serie Il procedimeto è il medesimo utilizzato per la costate delle molle sigole. Masse usate F = mg (N) x (cm) k = F/ x (N/m) Errore δk

8 Si verifica la relazioe: k = k i = N/m σ k = ( k k i ) 2 = 0.18 N/m 1 1 k eq = 1 k k 4 (2) 1 1 = k eq N/m = m/n 1 k k 4 = N/m = m/n Verifica valore di k tramite le caratteristiche geometriche della molla k 4 = N/m Si verifica: co G = N/mm 2 k G = G d4 8D 3 N s (3) k G = N/mm 2 (1.0 mm) 4 8 (18.7 mm) 3 = N/m 74 5 Aalisi degli errori e risultati sperimetali Allugameti: Masse pesate: Masse cumulate (1+2, 3+4): Forza peso (masse sigole): Forza peso (masse cumulate): Costate elastica: Massa icogita: Diametri molla d e D: Costate elastica geometrica: δ( x) = ±0.1 cm δm = ±0.1 g δm tot = δm 1 + δm 2 = ±0.2 g δf = δm g = N δf = δm( tot g = 1.96 ) 10 3 N δf δk = k (riportati elle tabelle) δm = m F + δ( x) ( x δ( x) x + σk k δd = δd = ( ±0.005 cm δk G = k G 4 δd d + 3 ) δd D = ±4.42 N/m ) 1/g (riportati ella sezioe relativa) Risultati k = ( k ± σ): k 1 = (10.79 ± 0.11) N/m k 2 = (21.84 ± 0.37) N/m k 3 = (46.93 ± 4.52) N/m k 4 = (24.03 ± 0.26) N/m k eq4+4 = (11.66 ± 0.18) N/m k G = (21.03 ± 4.42) N/m Massa icogita m = ( m ± σ): m = (113.5 ± 5.9) g 8

9 6 Commeti fiali La k r ricavata tramite il coefficiete agolare della liea di tedeza dei dati della fuzioe x(f ) è coerete co quella calcolata col pricipio d ierzia. Le fuzioi o passao dall origie, come previsto i liea teorica, i quato cosiderare la molla reale come ideale è solo u approssimazioe. Soo ioltre verificate le equazioi (2) e (3). Il valore della massa icogita di g si avvicia cosiderevolmete alla massa effettiva di g. Le discrepaze tra i dati e le possibili cause di errore possoo derivare da: Parallassi elle letture dell asta graduata; Avvitameti o sempre uguali del sostego per le masse (per quato siao stati sempre costati e uguali a 5); Smorzameto o completo del moto armoico della molla dopo l aggiuta delle masse itoro al valore x f da leggere. 9