CAMBIAMENTO DI BASE IN UNO SPAZIO VETTORIALE

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1 CAMBIAMENTO DI BASE IN UNO SPAZIO VETTORIALE Sia V uo spazio vettoriale sul campo K. Siao v, v,..., v vettori dati apparteeti a V e siao, ioltre, assegati scalari k, k,..., k apparteeti a K. Si defiisce combiazioe lieare dei vettori v, v,..., v, mediate i coefficieti k, k,..., k, il vettore v otteuto tramite la relazioe: v kv + kv kv kivi i I tale cotesto, atteso quato premesso, si esplicitao le segueti defiizioi: è verificata co gli scalari k, k,..., k NON TUTTI NULLI se v k i v i cotemporaeamete, allora gli vettori v, v,..., v si dicoo se v i k v i i liearmete dipedeti. è verificata co gli scalari k, k,..., k cotemporaeamete TUTTI NULLI, allora gli vettori v, v,..., v soo liearmete idipedeti. i Cosideriamo il seguete esempio: I R siao assegati i tre vettori v (,, ), v (,, ) e v (,, ). Cosiderati i tre scalari k, k, k apparteeti al campo K, si cosideri la seguete combiazioe lieare: v k v + k v + k v k (,, ) + k (,, )+ k (,, ) (( k + k + k ), (k + k ), ( k + k )) Tale combiazioe lieare È NULLA, ovvero forisce il vettore ullo v O (,, ): v (( k + k + k ), (k + k ), ( k + k )) (,, ) allorché si verificao cotemporaeamete le codizioi segueti: k + k + k 4k k + k k k + k k k k k + k k k k Poiché la combiazioe lieare è ulla allora e solo allora che i tre coefficieti della combiazioe stessa soo cotemporaeamete ulli, k k k, i tre vettori v, v. v soo liearmete idipedeti. Sia V uo spazio vettoriale, u umero itero ed E {e, e,..., e } u isieme di vettori liearmete idipedeti. Se lo spazio vettoriale geerato da {e, e,..., e } coicide co V, ovvero se ogi vettore v V è otteuto come combiazioe lieare degli vettori e, e,..., e, allora si è soliti affermare che l isieme E {e, e,..., e } costituisce ua base per lo spazio vettoriale V. Cosideriamo alcui esempi a chiarimeto di quato asserito. a) Nello spazio vettoriale R i vettori e (, ) ed e (, ) costituiscoo ua base, la cosiddetta base caoica, i quato soo liearmete idipedeti ed ogi altro vettore v R è esprimibile come combiazioe lieare dei vettori della base stessa mediate la relazioe seguete: v (ξ, ξ ) (ξ, ) + (, ξ ) ξ (, ) + ξ (, ) ξ e + ξ e b) Nello spazio vettoriale R i vettori e (,,..., ); e (,,..., );... ; e (,,..., ); costituiscoo ua base, la base caoica, i quato soo liearmete idipedeti ed ogi altro vettore v R è esprimibile come combiazioe lieare dei vettori della base mediate la relazioe: v (ξ, ξ,..., ξ ) (ξ,,, ) + (, ξ,..., ) + (,, ξ,..., ) (,,..., ξ ) ξ (,,,, ) + ξ (,,,..., ) + ξ (,,,..., ) ξ (,,,..., )

2 ξ e + ξ e + ξ e ξ e c) Nello spazio vettoriale dei poliomi di grado ell idetermiata x, sul campo reale, lo spazio R [x], i poliomi P (x) defiiti da e ; e x; e x costituiscoo ua base i quato soo liearmete idipedeti, talché ogi altro poliomio p(x) di grado è esprimibile mediate la seguete combiazioe lieare: p(x) a + a x + a x a e + a e + a e d) Nello spazio vettoriale delle matrici quadrate M (R)di ordie, sul campo R, le matrici: m m m m,,, 4 costituiscoo ua base, la cosiddetta base caoica, i quato soo liearmete idipedeti, talché ogi altra matrice quadrata di ordie due è esprimibile come combiazioe lieare delle matrici della base tramite la scrittura di seguito riportata: M a b a b c d c d a b c d am bm cm dm Uo spazio vettoriale può avere basi diverse; ifatti, la base caoica e (, ), e (, ) e la base f (, ), f (, ) soo due basi diverse per lo spazio vettoriale R. Verifichiamo che i due vettori f e f soo liearmete idipedeti; la lieare idipedeza implica che la combiazioe lieare dei vettori f e f forisca il vettore ullo se e solo se tutti i coefficieti della combiazioe lieare soo cotemporaeamete ulli. Si ottiee: λ µ λ f + µ f λ µ + + λ + µ λ + µ λ + µ µ λ λ λ 7λ λ µ λ µ il che implica: Sia V uo spazio vettoriale sul campo K e B G {g, g,..., g } ua sua base. Lo spazio geerato dalla base coicide co lo spazio vettoriale V per cui ogi vettore v di V è, per defiizioe di base, esprimibile come combiazioe lieare degli vettori della base, secodo la relazioe: v ξg + ξg ξ g i cui i coefficieti ξ ξ,..., ξ della combiazioe lieare stessa appartegoo al campo K. Dato che a ciascu vettore v di V corrispode ua ed ua sola -pla di coefficieti (ξ ξ,..., ξ ) di K, i valori ξ ξ,..., ξ si chiamao le coordiate del vettore v rispetto alla base G {g, g,..., g }. Pertato, le compoeti di u vettore v rispetto ad ua base B soo le sue coordiate rispetto alla base B stessa. Cosideriamo, quale opportuo chiarimeto, l esercizio seguete: Si determiio le coordiate del vettore v (, ) rispetto alla base B G {g (, ), g (, )}. Poiché o altrimeti esplicitamete riferito per il vettore v, è da itedersi che le sue compoeti (, ) rappresetio le sue coordiate riferite alla base caoica B E {e (, ), e (, )}; ifatti, può sempre scriversi che: v e e + + α α α α α α Relativamete alla base B G, sempre i ossequio alla defiizioe di base, le coordiate del vettore v α α

3 si possoo determiare attivado la seguete combiazioe lieare: β β β β β β β g + g + + β + β β 4 Ne cosegue la seguete coclusioe: Il vettore v (, ) ha coordiate (, ) riferite alla base caoica B E e coordiate (/, 4/) rispetto alla base B G. Così come evideziato i figura, i cui si è fatto riferimeto ai vettori del piao euclideo. (figura - ) e v e + e g (, ) v (/) g + (4/) g e (, ) e (, ) e β g β g g (, ) Nello spazio vettoriale dei poliomi di grado ell idetermiata reale x (o sul campo R) sia assegata la base E {e, e x, e x }; allora le coordiate del poliomio p(x) x + x soo rappresetate dalla tera (,, ). Che u poliomio p(x) possa essere determiato i modo uivoco da ua tera di umeri, riferiti ad ua base, costituisce la valeza del cocetto di vettore e di spazio vettoriale. Sia V uo spazio vettoriale sul quale è defiita ua base B V {v, v,..., v } costituita da vettori. Atteso che, proprio i ossequio alla defiizioe di base di uo spazio vettoriale, ogi altra base di V sarà composta ach essa da vettori, allora si afferma che lo spazio vettoriale V ha dimesioe, il che si esplicita tramite la posizioe seguete: dimv. Sia V uo spazio vettoriale sul campo K e sia la sua dimesioe. Si cosiderio assegate le due basi B G {g, g,..., g } e B F {f, f,..., f } e siao (ξ, ξ,..., ξ ) e (η, η,..., η ) le coordiate di u vettore v di V riferite, rispettivamete, alla base B G ed alla base B F. Poiché B G e B F soo due diverse basi dello spazio vettoriale V, proprio per defiizioe di base di uo spazio e di uicità del vettore v, risultao motivate le relazioi espresse dalla scrittura di seguito riportata: v ξg + ξ g ξ g ( a) v η f + η f η f ( b) ovvero, co ovvietà: v ξg + ξ g ξ g η f + η f η f ( ) È, ioltre, altrettato vero che ciascu vettore costituete la base {g, g,..., g } può essere espresso i dipedeza dei vettori della base {f, f,..., f } otteedo le segueti scritture: g a f + a f a f g a f + a f a f ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: g a f + a f a f alle quali corrispode la formulazioe sitetica espressa dalla forma e simbologia segueti: gi ai f + ai f ai f ( ) essedo (i,,..., ) ed i cui i coefficieti a jk (j,,..., ; k,,..., ) soo tutti elemeti del campo K e di valore opportuo. Teedo coto delle relazioi () adeguatamete sostituite elle (a), si perviee alla relazioe: ( ) v ξ a f + a f a f + ξ ( a f + a f a f ) ξ ( a f + a f a f )

4 ovvero eseguedo i dovuti e ecessari passaggi algebrici, si ottiee: ( ) v ξ a + ξ a ξ a f + ( ξ a + ξ a ξ a ) f ( ξ a + ξ a ξ a f ) f Ricordiamo ora che ello spazio vettoriale V, riferita alla base B F, sussiste la validità della relazioe (b) oché della relazioe (), per cui dovrà essere: ( ) v ξ a + ξa ξ a f + ( ξ a + ξa ξ a ) f ( ξ a + ξa ξ a ) f η f + η f η f Dal cofroto delle due coformazioi del vettore v V si perviee alla defiizioe delle relazioi di seguito mostrate: η ξ a + ξa ξa η ξ a + ξa ξa η ξ a + ξa ξa :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: η ξ a + ξ a ξ a a cui corrispode la forma compatta: ηi a ijξ j co i (,,..., ) j La relazioe () cosete di determiare le coordiate (η, η,..., η ) del vettore v rispetto alla base B F {f, f,...,f } ote le coordiate (ξ, ξ,..., ξ ) rispetto alla base B G {g, g,..., g }. La matrice A E,G di dimesioe (x) di seguito riportata: A a a... a a a... a ( a ) ::::: ::::: ::::: ::::: ( j,,..., ) a a... a ( E, G) ( ) ij ( i,,..., ) defiisce la matrice del cambiameto di base dalla base B G alla base B F. Ifatti se si cosidera il vettore v V le cui coordiate rispetto alla base B G soo espresse dalla matrice vettore coloa (ξ, ξ,..., ξ ) T, la matrice vettore coloa (η, η,..., η ) T esprimete le coordiate dello stesso vettore v V rispetto alla base B F soo determiate, i modo uico, dalla relazioe fra matrici che di seguito si riporta: η η ::: η a a... a ξ a a... a ξ ::::: ::::: ::::: ::::: a a... a ξ η A ::: ( E, G) È, poi, importate cosiderare che le coloe della matrice del cambiameto di base A E,G soo le compoeti dei vettori della base di parteza B E calcolate rispetto alla base B G di arrivo. ξ ( ) ESERCIZIO.: Sia v u vettore di R le cui coordiate rispetto alla base caoica {e (, ), e (, )} soo v (, ). Calcolare le sue coordiate rispetto alla base {f (, ), f (, )}. Modo: Il vettore assegato v R preseta, rispetto alla base caoica di R le coordiate (, ) Poiché il vettore v R è uico, beché rappresetato co coordiate diverse rispetto alle due basi assegate, proprio i ossequio al cocetto di base di uo spazio, dovrà sussistere la relazioe che di seguito si riporta: α α β α β α β β α + β β α β 7 il che comporta, ovvero, i coclusioe: α β α ( β)

5 Ne cosegue che il vettore v R è idividuato da due coppie di coordiate, ciascua coppia riferita alla specifica base che la defiisce; i altri termii, defiite co (v) BE e co (v) BF, rispettivamete, le coordiate del vettore v rispetto alla base B E ed alla base B F, può scriversi: ( v) ( v) BE BF 7 Modo: Si procede al calcolo delle coordiate del vettore v R ella base B F determiado la matrice A E,F del cambiameto di base, dalla base caoica B E alla uova base B F. La matrice da determiare è caratterizzata dall avere come sue coloe i coefficieti delle combiazioi lieari che esprimoo i vettori della base B E rispetto ai vettori della base B F. Per tale motivo, esprimiamo i vettori e ed e della base caoica B E come combiazioe lieare dei vettori f ed f della base B F ; si ottegoo le scritture di seguito esplicitate: e a f + a f e a f + a f a a a + a + Dovrao, quidi, essere soddisfatte le segueti relazioi fra i coefficieti delle combiazioi lieari: a + a a + a a + a a + a a + 6a a a 6a + a a a a + a 6a a a + a a 6a a a + a + a I coclusioe, i valori dei coefficieti delle combiazioi lieari che esprimoo i vettori della base B E i fuzioe dei vettori della base B F soo: a, a, a, a Pertato, la matrice del cambiameto di base è: A E, F Ne cosegue, che per il vettore v di coordiate (, ) rispetto alla base caoica B E, le coordiate rispetto alla base B F soo calcolate mediate: ( v) A ( v) 7 BF E, F BE Resta, ora, da osservare che la matrice del cambiameto di base A F,E dalla base B F alla base B E è legata alla matrice A E,F dalla relazioe che caratterizza la matrice iversa; ifatti risulta: AF, E AE, F ( v) A ( v) A ( v) BE F, E BF E, F BF Pertato, basta verificare che risulta proprio quato segue: Si verifica, ioltre, che le coloe della matrice A F,E soo costituite, proprio, dai coefficieti delle combiazioi lieari che esprimoo i vettori della base B F i fuzioe dei vettori della base B E. f β e + β e (, ) (, ) + (, ) f β e + β e (, ) (, ) + (, )

6 ESERCIZIO.: Nello spazio euclideo R siao assegate due basi B e B, rispettivamete, defiite dai vettori B :{v (,, ), v (,,,), v (,, )}, B :{w (,, ), w (,,,), w (,, )}. Si desidera determiare la matrice del cambiameto delle basi da B a B oché le coordiate riferite alla base B del vettore v R defiito dalla scrittura v (,, 7). È stabilito che la matrice del cambiameto di base è la matrice le cui coloe soo determiate dai coefficieti delle combiazioi lieari relative ai vettori della base di parteza espressi i fuzioe dei vettori della base di arrivo. Pertato, il cambiameto della base da B a B si caratterizza elle relazioi di seguito riportate: v αw + βw + γ w α + β + γ ( ) v αw + βw + γ w α + β + γ ( ) v αw + βw + γ w α + β + γ ( ) La relazioe () geera u sistema di tre equazioi i tre icogite; ifatti, deve essere: + γ β + γ α + β γ β α β α + β β γ β β γ La relazioe () implica che valgao cotemporaeamete le scritture di seguito riportate: + γ β + γ α + β β β + γ γ β β γ 4 β β γ La relazioe () si esplicita ella validità cotemporaea delle tre scritture di seguito mostrate: + γ β + γ α + β γ α β α α + β β α γ α β γ Pertato, la matrice del cambiameto di base, dalla base B alla base B assume la forma: A B, B α α α β β β γ γ γ Ciò premesso calcoliamo le coordiate del vettore v R assegato come v (,, 7). Poiché ulla si dice del vettore v R sigifica che la tera delle coordiate assegate è da itedersi riferita alla base caoica B E :{e (,, ), e (,, ), e (,,,)} di R. Poiché è a oi ota la matrice A B,B del cambiameto di base dalla base B alla base B è ecessario calcolare le coordiate del vettore v riferite alla base B ; a tale scopo basta ricorrere alla combiazioe lieare seguete:

7 λ + µ + η 7 λ + µ + η µ + η λ + η 7 µ η λ ( 7 η) η 9 da cui, operado i ecessari calcoli, si perviee così alla determiazioe dei valori dei coefficieti della combiazioe lieare ovvero delle coordiate del vettore v R riferite alla base B ; si ha: λ, µ, η ( v) B (,, ) Atteso quato premesso, le coordiate del vettore v R riferite alla base B si determiao facedo ricorso alla matrice A B,B del cambiameto di base dalla base B alla base B secodo la relazioe seguete: ( v) B AB, B ( v) B Verifica : il vettore v R descritto rispetto alla base caoica B E dalle coordiate (,, 7), verrà idividuato ella base B dalle coordiate determiate dai coefficieti della combiazioe lieare seguete: a + b + c 7 a + c b + c a + b 7 ovvero, si ritrovao i valori delle coordiate del vettore v R a, b, c ( v) B (,, ) c a a 7 b b b rispetto alla base B date da: COMPLEMENTI. Prefiggiamoci di ricavare la matrice del cambiameto di base dalla base caoica B E :{e (,, ), e (,, ), e (,,,)} di R alla base B facedo ricorso alla matrice del cambiameto di base dalla base caoica B E alla base B ; quale legame dovrà sussistere fra le matrici A, A, A E, B E, B B, B A tale riguardo determiiamo la matrice del passaggio di base dalla base caoica B E alla base B. Si dovrao, cioè, impostare le combiazioi lieari che esprimoo i vettori della base caoica B E i dipedeza dei vettori della base B ; si ottiee, pertato, il complesso delle relazioi segueti: λ + µ + η λ + µ + η λ + µ + η λ + µ + η µ + η λ + η λ + µ + η µ + η λ + η λ + µ + η µ + η λ + η Pertato, la matrice del cambiameto di base cercato è così strutturata: λ µ η λ µ η + λ + µ η +

8 λ λ λ A E, B µ µ µ η η η La coosceza sia della matrice A E,B del cambiameto di base dalla base caoica B E alla base B sia della matrice A B,B del cambiameto di base dalla base B alla base B cosete di determiare la matrice diretta del cambiameto di base dalla base caoica B E alla base B. A tale scopo si può osservare lo schema di seguito riportato: base B base B base B E A E, B A B, B base B ( AB, B ) ( AE, B ) base B E La matrice diretta, che caratterizza il cambiameto di base i R dalla base caoica B E alla base B è la matrice A E,B così costruita: AEB AB B A EB Per completezza determiiamo di uovo le coordiate, rispetto alla base B, del vettore v R che preseta le coordiate (,, 7) riferite alla base caoica B E ; si ottiee: 7 ( v) A ( v) B EB BE Verifica : Calcoliamo direttamete la matrice del cambiameto di base dalla base caoica B E alla base B. Si impostao le combiazioi lieari come di seguito evideziato: δ + σ + ρ δ + σ + ρ δ + σ + ρ δ + ρ σ + ρ δ + σ δ + ρ σ + ρ δ + σ δ + ρ σ + ρ δ + σ δ + σ ρ + δ σ + ρ + δ + σ + ρ Ne cosegue che la matrice A E,B del cambiameto di base dalla base caoica B E alla base B è: A EB