Esercizi di Probabilità e Statistica

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1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 24 maggio 26 Desità e distribuzioi cogiute e codizioate. Covergeza e approssimazioe Esercizio Uo studio dice che l ivestimeto i titoli di stato, rappresetato dalla v.a. X, e quello i azioi Y, hao ua distribuzioe cogiuta data da: [ (x + ) e x ] [ (y + ) e y ], x, y F (X,Y ) (x, y), altrimeti Dopo aver verificato che la defiizioe è be data, calcolare la desità cogiuta. Qual è la probabilità che u geerico portafoglio azioario abbia u iverstimeto i titoli di stato almeo doppio rispetto all ivestimeto azioario? Ifie calcolare la desità margiale di X e discutere l evetuale idipedeza delle 2 v.a.. [ 7 27 ; soo idipedeti] Per verificare che la defiizioe sia be data, cotrolliamo che i due limiti a ifiito siao e. lim x lim x + lim F (X,Y )(x, y) y lim F (X,Y )(x, y) y + Calcoliamoci velocemete le distribuzioi margiali F X (x) lim y F (X,Y )(x, y) (x + ) e x F Y (y) lim x F (X,Y )(x, y) (y + ) e y La desità cogiuta è data dalla derivata rispetto ad x e y della fuzioe di ripartizioe cogiuta. f (X,Y ) (x, y) 2 x y F (X,Y )(x, y) x F X(x) y F Y (y) ( e x + (x + ) e x ) ( e y + (y + ) e y ) x e x y e y per x e y.

2 Le due desità margiali soo date da f X (x) f Y (y) Da cui deduciamo che f (X,Y ) (x, y) dy x e x f (X,Y ) (x, y) dx y e y f (X,Y ) (x, y) f X (x) f Y (y) y e y dy x e x y e x dx y e y e quidi le due v.a. soo idipedeti. La probabilità che u geerico portafoglio azioario abbia u ivestimeto i titoli di stato almeo doppio rispetto all ivestimeto azioario è P X 2Y } ovvero l isieme dei puti del piao ell isieme A (x, y) : x 2y}. P X 2Y } P (X, Y ) A} 2y f X (x) f Y (y) dx dy y e y ( + 2y) e 2y dy e 3y y ( + 2y) 3 }} 2y f (X,Y ) (x, y) dx dy f Y (y) F X (x) 2y dy y ( + 2y) e 3y dy + 4y 3 e 3y dy 3 e 3y ( + 4y) e 3y dy }} e 3y 3 }} Esercizio 2 Si cosideri la seguete deistà bivariata k(x + y), x 2, y 2 f (X,Y ) (x, y), altrimeti defiita a meo di ua costate moltiplicativa k che si chiede di determiare. Qual è la probabilità che X sia maggiore di Y? Le due v.a. soo idipedeti? [k 8 ; 2 ; o] 2

3 Per calcolare la costate facciamo i modo che la proprietà fodametale di ua desità sia soddisfatta Sia A (x, y) x > y}. k 2k P X > Y } P (X, Y ) A} 8 y (x + y) dx dy x dx dy 2k 2y 2 dy 8 (x + y) dx dy 8 [ 3 2 y2 + 2y + 2 dy 8 y 2k 4 k 8 f (X,Y ) (x, y) dx dy x y x 2 y dy y 3 y 3 2 ] y y 2 8 [ ] 2 Calcoliamo ora le desità margiali di X e Y che soo uguali data la simmetria della fuzioe. f X (x) f Y (x) Verifichiamo ora l idipedeza f (X,Y ) (x, y) dy 8 x + y dy [ ] 8 x y 2 + y (2x + 2) (x + ) 4 f X (x) f Y (y) 6 (x + ) (y + ) f (X,Y )(x, y) (x + y) 8 da cui deriviamo che le due v.a. soo dipedeti. Esercizio 3 Si cosideri il vettore aleatorio (X, Y ) dell esercizio precedete. Si determii la deistà codizioata di X rispetto a Y y. Si calcoli la corrispodete distribuzioe codizioata. F X Y (x y) f X Y (x y) f (X,Y )(x, y) f Y (y) x f X Y (z y) dz 8 2 (y + ) (x + y) 4 (y + ) 2 x + y y + x z + y dz z2 2 x + y z x 2 (y + ) x2 + 2xy 4 ( + y) 3

4 Esercizio 4 Si cosideri il vettore aleatorio bivariato (X, Y ) co desità 2 e (x+y), x y f (X,Y ) (x, y), altrimeti Dopo aver dimostrato la dipedeza tra i die compoeti, si calcoli il valore atteso della v.a. Z XY. [ 2 ] Calcoliamoci le desità margiali f X (x) f (X,Y ) (x, y) dy 2 e (x+y) dy 2 e x e y }} 2 e x f Y (y) y f (X,Y ) (x, y) dx 2 Verifichiamo ora la dipedeza y e (x+y) dx 2 e y e x y }} e y f X (x) f Y (y) 4 e (x+y) ( e y ) f (X,Y ) (x, y) 2 e y ( e y ) E[XY ] y y e y y xy f (X,Y ) (x, y) dx dy x e x dx dy y 2 e 2y dy y xy e (x+y) dx dy y e y [ x e x y e x y ] dy y e y ( y e y e y + ) dy y e 2y + y e y dy Esercizio 5 Dimostrare la covergeza i probabilità ella legge dei gradi umeri, ovvero se X (X X ) co X i idipedeti, E[X i ] µ e V ar[x i ] σ 2, allora X P µ. E[X ] V ar[x ] 2 i E[X i ] µ i 4 V ar[x i ] σ 2 σ2

5 Applichiamo la disuguagliaza di Chebyshev. lim P X V ar[x ] σ 2 E[X ] > η} lim η 2 lim η 2 Esercizio 6 Sia X } ua successioe di v.a. idipedeti di Poisso di parametro e poiamo X (X X ). a) Stimare co la disuguagliaza di Chebyshev la probabilità P X η} b) Stimare la stessa quatità usado l approssimazioe ormale. c) Cofrotare le due stime per, η 2,. [c) ;.3732] a) b) Sia P X η} V ar[x ] η 2 η 2 S X µ σ che per il teorema del limite cetrale coverge i legge ad ua ormale stadard. Ricordiamo che per ua v.a. di Poisso µ e σ 2, da cui Approssimiamo ora la probabilità S X P X η} P X η} + P X + η} P S η + P S η 2 2 P S c) Cofrotiamo le due stime P X η} η Φ P X η} 2 2 Φ() η ( η ) Esercizio 7 Sia f : [, ] R ua fuzioe limitata e sia X } ua successioe di v.a. idipedeti uiformi su [, ]. I che modo possiamo approssimare l itegrale di f? [Metodo di Motecarlo] 5

6 Cosideriamo Y f(x i ) k Per la legge dei gradi umeri sappiamo che per Y q.c E[f(X )] Se sviluppiamo la formula della media otteiamo E[f(X )] f(x) dx Che è l itegrale che volevamo approssimare. Esercizio 8 Marco e Giovai hao l abitudie di giocare a testa o croce a chi paga il caffè. Marco però ha l impressioe che tocchi a lui u po troppo spesso e, poichè è sempre Giovai che forisce la moeta, comicia a teere coto dei risultati. I effetti è toccato a lui 64 volte su, ma Giovai ha liquidato le sue proteste dicedo che si tratta solo di sfortua. Voi che e pesate? Sia X co X i Ber(, 2 ). Sappiamo che X 64. Utilizzado l approssimazioe ormale calcoliamoci, ricordado che V ar[x i ] p( p) 4, P X 64.5 } P X 64.5 } 64.5 Φ 2 4 k X i Φ(2.9) Quidi la probabilità di otteere u umero di vittorie superiore a 64 su giocate è molto bassa, da cui deduciamo che la moeta sia truccata. Esercizio 9 Si lacia u dado volte e si sommao gli esiti. probabilità che la somma totale superi 37? [.2] Qual è la Siao X i le v.a. discrete che dao l esito di u lacio. Hao distribuzioe uiforme sull isieme [, 6] co probabilità 6. E[X i ] 6 i i

7 ( 6 ) i 2 V ar[x i ] (3.5) i Utilizziamo il teorema del limite cetrale P X X > 37} P X N 37} ( ) Φ Φ(.7)