UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA SPECIALIASTICA IN SCIENZE STATISTICHE, ECONOMICHE, FINANZIARIE E AZIENDALI TESI DI LAUREA IL METODO DELLE COPULE: ifereza, calcolo del VaR ed implemetazioe i R RELATORE: CH.MO PROF. NUNZIO CAPPUCCIO LAUREANDO: ALESSANDRO ZILIO ANNO ACCADEMICO

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3 3 Alla memoria di mia madre, a mio padre e mio fratello che mi hao sempre dato fiducia. Ai miei amici, ai compagi d Uiversità e a quati mi soo stati vicii i questi mesi difficili, ma idimeticabili.

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5 INDICE INTRODUZIONE..9. COPULE MULTIVARIATE.... DEFINIZIONE E PROPRIETA BASE.... LIMITI DI FRECHET E ORDINE DI CONCORDANZA:.5.3 IL TEOREMA DI SKLAR E L INTERPRETAZIONE PROBABILISTICA DI BASE 6.4 DISTRIBUZIONE CONDIZIONALE VIA COPULA 9.5 COPULA DI SOPRAVVIVENZA E FUNZIONE DI SOPRAVVIVENZA CONGIUNTA 0.6 DENSITA E RAPPRESENTAZIONE CANONICA DI UNA COPULA MULTIDIMENSIONALE.3. MISURE DI DIPENDENZA E FAMIGLIE DI COPULE...5. LE COPULE COME FUNZIONI DI DIPENDENZA: 5.. Idipedeza 5.. Comootoicità 6. MISURE DI ASSOCIAZIONE 7.. CONCORDANZA 8.. τ DI KENDALL ρ DI SPEARMAN 3..4 CORRELAZIONE LINEARE DIPENDENZA DI CODA DIPENDENZA POSITIVA DI QUADRANTE 39 5

6 .3 FAMIGLIE PARAMETRICHE DI COPULE N- DIMENSIONALI 4.3. COPULA GAUSSIANA MULTIVARIATA (M.G.C) COPULA T-STUDENT MULTIVARIATA (MTC) COPULA DI DISPERSIONE MULTIVARIATA (MDC) COPULE DI ARCHIMEDE PLACKETT COPULA INFERENZA STATISTICA PER LE COPULE METODO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA ESATTA METODO IFM IL METODO IFM APPLICATO AD UN CASO PRATICO I DATI STIMA DEI PARAMETRI DELLE MARGINALI STIMA DEI PARAMETRI DELLA COPULA STIMA DELLA MATRICE DI VARIANZA E COVARIANZA APPLICAZIONE DELLE COPULE AL CALCOLO DEL VALUE AT RISK (VAR) DEFINIZIONE DI VAR CALCOLO DEL VaR CON IL METODO DELLE COPULE ESEMPIO PRATICO DI CALCOLO DEL VAR CON LE COPULE IMPLEMENTAZIONE IN R: LA FUNZIONE COPULA CONCLUSIONI...89 APPENDICE 94 BIBLIOGRAFIA 6 6

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9 INTRODUZIONE Il metodo delle copule è ua strumeto relativamete recete che permette di maipolare i maiera flessibile i fattori di rischio ed altre variabili rilevati studiate i fiaza. Sebbee gli strumeti di questa metodologia siao adottate dalla statistica, essi soo stati fatti propri da molti addetti ai lavori el campo della fiaza per far frote ai problemi legati : alla volatilità; alla o-ormalità della distribuzioe dei redimeti degli asset fiaziari (i particolare per il problema delle code-pesati ); alla dipedeza tra gli asset, spesso diversa da quella ormale (spiegata solamete dalla correlazioe lieare). I particolare, quado ci si trova a lavorare i ambiti multidimesioali, dove soo preseti più fattori di rischio, l assuzioe di ua distribuzioe ormale multivariata per essi porta a coclusioi elle aalisi svolte che soo distati da quelle riscotrate empiricamete. La ricerca di uove distribuzioi multivariate che meglio si adattio al reale comportameto dei fattori di rischio, ha portato la metodologia delle copule ad essere uo strumeto utile per la risoluzioe di queste problematiche. La caratteristica che meglio defiisce questo uovo strumeto di aalisi fiaziaria è il fatto di poter scidere le questioi legate all aalisi uivariata delle margiali, da quelle che si riferiscoo alla struttura di dipedeza. La presete tesi ha lo scopo di presetare questa uova metodologia e di forire u applicazioe all aalisi fiaziaria. Nel cocreto, gli obiettivi che ci si propoe di otteere soo: Raccogliere le proprietà matematiche delle fuzioi copula ed evideziare le basi su cui si foda la loro teoria. Dare ua defiizioe di copula dal puto di vista probabilistico, e di procedere quidi ad affrotare i problemi di atura ifereziale sui parametri che caratterizzao la fuzioe copula. Defiire le più importati famiglie di copule 9

10 Applicare la metodologia delle copule al rischio di mercato e precisamete al calcolo del Value at Risk, per vedere come la o-ormalità della distribuzioe multivariata cambi la cosisteza di questa misura. Implemetare i u liguaggio iformatico i precedeti due puti 0

11 . COPULE MULTIVARIATE I questo primo capitolo vegoo presetate le defiizioi e le proprietà matematiche che stao alla base del cocetto di copula e che cosetoo alla stessa di essere ua fuzioe di distribuzioe. Da questa caratterizzazioe si arriva poi ad euciare il teorema di Sklar (il risultato maggiore della teoria delle copule) che cosete di scrivere la copula come fuzioe delle margiali e viceversa.. DEFINIZIONE E PROPRIETA BASE Per dare ua defiizioe di copula, abbiamo bisogo di proprietà che cosetoo alla copula di rispettare le proprietà di fuzioe di distribuzioe. Le proprietà di crescita e cosisteza. Defiizioe. Sia la fuzioe G : R R co domiio Dom G =A.. A, dove gli isiemi o vuoti A i hao come valore più piccolo il valore a i. La fuzioe G è detta essere cosistete se e solo se si aulla i corrispodeza di u valore v k Dom G, tale che v k = a k. I simboli G(v) = G(v,.,v k-, a k,v k+,.,v )=0. I pratica, ua fuzioe è cosistete, se si aulla quado uo solo degli isiemi A i assume il suo valore più piccolo el suo domiio. Per mostrare la proprietà di -crescita si deve partire dal cosiderare u geerico -itervallo A. Esso è defiito come il prodotto cartesiao di itervalli chiusi: A = [u, u ] [u, u ] co u i u i, i =,,.,. Deotiamo ioltre co w u geerico vertice di A e co ver(a) l isieme di tutti i vertici di A: allora, w ver(a) se e solo se la sua i-esima compoete w i, co i=,,, è uguale a u i o u i. Si cosideri il prodotto

12 i= sg( wi ui ui ) Poiché ciascu fattore del prodotto è se w = u < u, 0 se w = u = u, e + se w = u > u, abbiamo che: i i i i i i i i i i= sg( w u u ) = i i i se u i u, i, # [ i : w = u ] = m + se i : ui = u i m N se u u, i, # [ i : w = u ] = m i i i i i i i Se ver(a) Dom G, defiiamo il G-volume di A come la somma G(w) w ver(a) i= sg(w - u i i u i ) (.) La (.) misura il volume dell -scatola A ed è stata itrodotta per spiegare il cocetto di fuzioe -crescete. Defiizioe. La fuzioe G: A x x A R è -crescete se il G-volume di A è o egativo per ogi -scatola A per la quale ver(a) Dom G: G(w) w ver(a) i= sg(w - u i i u i ) 0 Adesso che abbiamo defiito le proprietà di cosisteza e di fuzioe -crescete, possiamo presetare alcue defiizioi che valgoo per le fuzioi co queste proprietà. Teorema. La fuzioe G: A x x A a R cosistete ed -crescete, è o decrescete i ogi suo argometo. Dimostrazioe: Dobbiamo dimostrare che se ( u,,u i-,x,u i+,,u ) Dom G e x y, allora G( u,,u i-,x,u i+,,u ) G ( u,,u i-,y,u i+,,u ) (.) Per questo scopo cosideriamo la -scatola : A= [a,u ] [a i-,u i- ] [x,y] [a i+,u i+ ] [a,u ]. Dalla defiizioe di cosisteza, il G-volume di A è G( u,,u i-,y,u i+,,u )- G( u,,u i-,x,u i+,,u )

13 Ioltre, poiché G è -crescete, il G-volume è o egativo e e segue quidi la (.). Defiiamo ora il cocetto di margiali k-dimesioale e -dimesioale. Defiizioe.3 Se tutti i sottoisiemi A i soo o vuoti, le margiali k- dimesioali della fuzioe G : A.. A R, soo le fuzioi C i ik (u i,,u ik ) : A i A ik R, co k, k N, defiite da dove G i ik (u i,,u ik ) = G( a,,u i,, u i,, u ik,, a ), (.3) a i è l elemeto più grade del geerico sottoisieme A i, ed i,,i k è ciascua selezioe di k idici tra gli origiali. I particolare, abbiamo che: Defiizioe.4 Se ciascu A i è o vuoto e sia a i il suo elemeto più grade, allora la i-esima margiale -dimesioale della fuzioe G: A A R, è la fuzioe G i (u) : A i R defiita da G i (u) = G( a,, a i,u, a i+,, a ). Ua fuzioe cosistete e -crescete co margiali -dimesioali soddisfa i segueti lemmi, che soo usati ella dimostrazioe del teorema di Sklar. Lemma. : Ua fuzioe G : A A R cosistete, -crescete, co margiali -dimesioale, è tale che G(u y )-G(u x ) G i (y)- G i (x) per ogi i, x<y e co u y =( u,,u i-,y,u i+,,u ) Dom G e u x =( u,,u i-,x,u i+,,u ) Dom G. Lemma. : Per ogi fuzioe G del precedete lemma, G(u)-G(z) i= G i (u i )-G i ( u& i ) per ogi u=( u,,u ) e u& =( u&,, u& ) Dom G. 3

14 Ua volta assuta questa termiologia si arriva a dare ua defiizioe di copula e subcopula -dimesioale: Defiizioe.5 Ua subcopula -dimesioale è ua fuzioe C: A A R, co A i [0,] per ogi i, tale che i. C è cosistete ii. Le sue margiali -dimesioale soo le fuzioe idetità i [0,] : C i (u)=u, i=,, iii. C è -crescete. Nel caso i cui A i =[0,], per ogi i, ua subcopula -dimesioale diveta ua copula C. I particolare, Teorema. Per >, <k<, le margiali k-dimesioali di C soo copule k- dimesioali. Dimostrazioe: Si deve mostrare che, quado A i =[0,] per ogi i, per la fuzioe C i ik (u i,,u ik ) : I k R defiita come (.3), valgoo le 3 caratteristiche della defiizioe.5 La (i) vale se per almeo u idice i j tale che u ij =a i, abbiamo C i ik (u i,,u ik ) = C( a,,u i,, u ij-, a ij,u ij+,,u ik, a )=0, Dato che il vettore C( a,,u i,, u ij-, a ij,u ij+,,u ik, ella defiizioe., la (i) è dimostrata 4 a ) ha la caratteristica di v La (ii) deriva dal fatto che le margiali -dimesioali di C, soo ache margiali -dimesioali per le loro margiali k-dimesioali. La (iii) è ua cosegueza del fatto che il C i ik -volume di ciascua k-scatola è la C-coloa della -scatola [ a, a ] [ [ u i, i u, i u ] [ u ] [ i i k u, ik i k u, u i k u ] ] [ a, a ]

15 che è o egativa perché -crescete. Dal teorema. segue che la copula C è ua fuzioe di distribuzioe i [0,], co margiali uiformemete distribuite i [0,]. Come cosegueza di questo, la copula C È o decrescete i ogi suo argometo (teorema.) è uiformemete crescete (cosegueza del lemma.) : C(u)-C( u& ) u i u& i, i= per ogi u, u& [0,]. ammette derivate parziali miste co k e k C(u) 0 u u k. LIMITI DI FRECHET E ORDINE DI CONCORDANZA: Itroduciamo ei segueti teoremi i limiti di Frechet, che cosetoo di porre dei limiti superiori ed iferiori alle copule e permettoo di ordiarle secodo l ordie di cocordaza. Teorema.3 ogi copula soddisfa la disuguagliaza: per ogi u I. max (u + +u - -,0) C(u) mi (u,,u ) Il limite superiore è deotato come C + e soddisfa la defiizioe di copula, metre il limite iferiore o la rispetta per >. Teorema.4 Per >, per ogi u I esiste ua copula C u tale che C u (u) = max (u + +u - -, 0) Si veda Nelse (999) per la dimostrazioe Itroduciamo ora la ozioe di fuzioe di sopravviveza per vettori - dimesioali di variabili uiformi. 5

16 Defiizioe.6 La fuzioe di sopravviveza cogiuta per i vettori (U,,U ) di variabili casuali uiformi co copula C, deotato come C/, rappreseta, quado è valutato i (u,,u ), la probabilità cogiuta che (U,,U ) sia più grade di u,,u : C/ (u,,u ) = Pr(U >u, U >u ). Defiizioe.7 Diamo ora la defiizioe di ordie di cocordaza (Nelse,999). La copula C è più piccola della copula C se e solo se C (u) C (u) C/ (u) C/ (u) per ogi u I, dove co I deotiamo il domiio [0,].3 IL TEOREMA DI SKLAR E L INTERPRETAZIONE PROBABILISTICA DI BASE Il teorema di Sklar è il prodotto più rilevate di tutta la teoria alla base del metodo delle copule, poiché forisce il fodameto per l uso della copula i tutte le sue possibili applicazioi. Il teorema garatisce che o solo ogi copula è ua fuzioe di distribuzioe cogiuta, se i suoi argometi soo fuzioi di distribuzioe margiali, ma lo è ache l opposto. Ogi fuzioe di distribuzioe cogiuta può essere estesa a copula ed ioltre, se le margiali soo cotiue, l estesioe è uica. Teorema.5 (SKLAR,959) Siao date le fuzioi di distribuzioe margiali F (x ),, F (x ). Quidi per ogi x= (x,,x ) R : i. Se C è ua copula il cui domiio cotiee Ra F Ra F, C(F (x ),, F (x )) è ua fuzioe di distribuzioe cogiuta co margiali F (x ),, F (x ). ii. Al cotrario, se H è ua fuzioe di distribuzioe cogiuta co margiali F (x ),, F (x ) esiste u uica copula C, co domiio Ra F Ra F, tale che H(x)= C(F (x ),, F (x )) (.4) 6

17 Se F (x ),, F (x ) soo cotiue, la copula è uica; altrimeti la copula C è uicamete determiata i Ra F Ra F. Per ua dimostrazioe completa si veda Sklar (996) Per defiire il corollario al teorema di Sklar abbiamo bisogo di defiire F - come la fuzioe iversa geeralizzata di ua data fuzioe di distribuzioe uivariata F. F - (t)= if x R F(x) t, per ogi t i [0,]. Corollario. Sia H ua fuzioe di distribuzioe -dimesioale co margiali F (x ),, F (x ) cotiue e copula C, allora per ogi u I vale che C(u,,u )=H(F - (u ),, F - (u )), I altre parole ua fuzioe di distribuzioe multivariata H, co margiali F (x ),, F (x ) cotiue, si lega alla corrispodete copula C se e solo se gli argometi di H soo le fuzioi iverse delle fuzioi di distribuzioe margiali uivariate. Il teorema di Sklar assicura che la probabilità cogiuta cumulativa può essere scritta come fuzioe delle margiali cumulative e viceversa H(x)= C(F (x ),, F (x )). Questa possibilità (cioè di scrivere la probabilità cogiuta cumulata i fuzioe delle margiali) viee chiamata iterpretazioe probabilistica di base delle copule ed permette alle copule di avere due importati proprietà che sarao discusse di seguito: ) Sia X = (X,, X ) u vettore casuale e siao F(X ),, F(X ) le rispettive fuzioi di distribuzioe uivariate. È oto che le variabili casuali del vettore casuale X soo idipedeti se e solo se F(X)= F(X ) F(X ) Defiiamo la copula prodotto come co u = F(X ),, u = F(X ) Il teorema di Sklar implica che: C u) = u... ( u. 7

18 Teorema.6. I vettori casuali i X soo idipedeti se hao il prodotto della copula detro la RaF i. i= ) U altra proprietà delle copule è di essere ivariati rispetto a trasformazioi strettamete mootoe. Teorema.7 (Schweizer e Wolff, 976) Siao X,, X variabili casuali cotiue co fuzioi di distribuzioe F(X ),, F(X ) e co copula C. Se α,, α soo trasformazioi cresceti i α i : Ra F i co margiali R, le variabili casuali α (X ),, α (X ) G =F (α ),, G =F (α ) e distribuzioe cogiuta G, hao pure la copula C: C α (X ),, α (X ) (u)=c x,,x (u) per ogi u=(u,, u ) I o equivaletemete G(u)=C(G (u ),,G (u )). Dimostrazioe: Sia C la copula di (X,,X ) T e C α quella di (α (X ),, α (X )) T. Poiché α k è strettamete crescete per ogi k, G ( x) = Pr α ( X ) x = Pr ( ) X k α = F ( α ( x)) per ogi x i R, quidi x k k k k k C α ( X ) x,..., ( X x α ( G( x),..., G ( x )) Pr α = ) = Pr X α ( x ),..., X α ( x ) = C( F ( α ( x )),..., F ( α ( x ))) = C G ( x ),..., G ( x )). ( Poiché X,,X soo cotiue, Ra G = =Ra G = [0,], Ne deriva che C α =C i [0,]. Le copule soo quidi ivariati rispetto a trasformazioi strettamete mootoe. Il teorema di Sklar cosete di separare elle fuzioi di distribuzioe multivariate le margiali uivariate e la struttura di dipedeza multivariata, e la struttura di dipedeza può essere rappresetata dalla copula. 8

19 9.4 DISTRIBUZIONE CONDIZIONALE VIA COPULA Il cocetto di distribuzioe codizioale via copula sarà utile quado si applicherà il metodo delle copule al calcolo del Value at Risk (vedi capitolo 4) Siao ),,...,,..., ( ),..., ( k k k u u C u u C =, co k=,,-, le margiali k- dimesioali di C= ),..., ( u u C = ),..., ( u u C. C, ioltre, sia la fuzioe di distribuzioe cogiuta delle variabili casuali U,,U. Allora la distribuzioe codizioale di U k dati i valori di U,,U k- è data da:,..., Pr ),..., ( = = = k k k k k k k u U u U u U u u u C =... ),..., (... ),..., ( k k k k k k k k u u u u C u u u u C dato che il umeratore e il deomiatore esistoo (come cosegueza della caratterizzazioe della copula come fuzioe di distribuzioe cogiuta) e che il deomiatore è diverso da zero. Questa proprietà è utile el caso si vogliao geerare variabili casuali (u,,u ) dalla copula C ed è usata i esempi di simulazioe della dipedeza di ua copula. Osservazioe.: Cosegueze della proprietà precedete, per =, soo: ) ( ), ( ), ( )) ( ), ( ( ), Pr( )) ( /( )) ( ), ( ( ) ( ), Pr( ) ( / )) ( ), ( ( ) Pr( )) ( ), ( ( ) ( ), Pr( )) ( ), ( ( ) ( ), Pr( y F z x F v z z v C y F x F C y Y x X y F y F x F C x F y Y x X y F y F x F C y Y x X y F x F C y F y Y x X y F x F C x F y Y x X = = = = = = > = = > = >

20 .5 COPULA DI SOPRAVVIVENZA E FUNZIONE DI SOPRAVVIVENZA CONGIUNTA I questo paragrafo itroduciamo la ozioe di copula di sopravviveza e la cofrotiamo co la fuzioe di sopravviveza cogiuta che abbiamo defiito precedetemete (defiizioe.6). Successivamete le applicheremo la prima alla valutazioe delle fuzioi di distribuzioe delle fuzioi massimo e miimo per >. Cosideriamo la probabilità F (x) = Pr(X > x,, X > x ) (.5) e la deotiamo come probabilità di sopravviveza cogiuta o fuzioe di sopravviveza di compoeti X i, Le fuzioi di sopravviveza (probabilità di sopravviveza margiali) soo ivece defiite come segue: F i (X i ) = Pr(X i > x i ). La copula che rappreseta la probabilità di sopravviveza cogiuta degli compoeti è defiita copula di sopravviveza. Defiizioe.8 Il teorema di Sklar garatisce l esisteza di ua copula C, uica su Ra F Ra F, tale che F (x) = C ( F (X ),, F (X )). (.6) E cosuetudie distiguere la copula sopravviveza dalla fuzioe di sopravviveza di variabili uiformi. I questo caso F (x) è: F (x)= C/ (F (x ),, F (x )). Ricordado che le trasformate itegrali di probabilità soo uiformemete distribuite e deotado co U i l eesima trasformata: U i =F i (X i ), si può scrivere F i (x i )=u i e - F i (x i )= u i. Co questa otazioe è facile trovare la relazioe tra copula di sopravviveza e la fuzioe di sopravviveza per variabili uiformi. Poiché è possibile esprimere F (x) rispettivamete come 0

21 e abbiamo che C ( F (X ),, F (X )) C/ (F (x ),, F (x )) C ( F (x ),, F (x )) = C/ (F (x ),, F (x )) = C/ (- F (x ),, - F (x )). Defiita questa relazioe, siamo ora iteressati a trovare la relazioe tra la copula di sopravviveza C e la corrispodete copula C Teorema.8 La copula di sopravviveza C può essere scritta i termii della corrispodete copula C come segue: C (u,,u )= C/ (-u,,-u )= ( ) i i = 0 w ( u ) Z ( i,,) C ( w) dove Z(-i,,) è l isieme dei, i uguali ad u i e possibili vettori co -i compoeti uguali a i -w=(-w,,-w ) Simmetricamete, la copula C può essere scritta i termii della corrispodete copula di sopravviveza C come segue: C(u,,u )= ( ) i i = 0 w( u) Z ( i,,) C( w) Per cocludere la discussioe sulla copula sopravviveza, presetiamo il seguete teorema, che permette di otteere la copula sopravviveza per alcue trasformazioi delle compoeti di u vettore casuale.

22 Teorema.9 Siao X,,X variabili aleatorie cotiue co fuzioi di distribuzioe F,,F e copula C. Cosideriamo fuzioi di distribuzioe cotiue G,,G e deotiamo co T j le variabili casuali T j= G - j (-F j (X j )). Di cosegueza, le margiali e la copula del vettore casuale (T,,T ) soo rispettivamete G,,G e C, ovvero la copula di sopravviveza di C. Dimostrazioe : Pr(T j t j )=Pr (G (-) j ( - F j (X j )) t j ) =-Pr (-F j (X j ) G j (t j )) = -Pr(F j (X j ) -G j (t j )) = -F j (F (-) j (-G j )(t j )))= G j (t j ). Il fatto che la copula del vettore casuale (T,,T ) è C dipede dal teorema di Schweizer e Wolff, perché G j - e -F j soo rispettivamete fuzioi cresceti e decresceti. Vediamo ora come le fuzioi di distribuzioe delle fuzioi massimo e miimo di variabili casuali, defiite rispettivamete el modo seguete: m=mi(x,,x ) e M=max(X,,X ) siao esprimibili ei termii della loro copula o della loro copula di sopravviveza Per la fuzioe massimo abbiamo F M (a) = Pr (M a) = Pr (X a,,x a) = F (a,,a)=c (F (a),, F (a)). Per la fuzioe miimo : F m (a) = Pr (m a) = - Pr (m > a) = - Pr (X > a,,x > a) =- C/ (F (a),,f (a)) = - C ( F (a),, F (a)).

23 .6 DENSITA E RAPPRESENTAZIONE CANONICA DI UNA COPULA MULTIDIMENSIONALE Questo paragrafo itroduce la ozioe di desità e di rappresetazioe caoica di ua copula, isieme a quelle di compoeti assolutamete cotiue e sigolari. Defiizioe.9 La desità c(u,,u ) associata ad ua copula C(u,,u ) è: c(u,,u )= C( u,..., u ) u... u Essa esiste quasi ovuque i I. La desità può essere usata per defiire le compoeti assolutamete cotiue e sigolare di C, deotate come A c e S c, come segue: u u u C( s,..., s ) A C (u,,u )=... d s s s d s S C ((u,,u )= C(u,,u ) A C (u,,u ) Ua copula per cui C = A C su I è chiamata assolutamete cotiua, metre è chiamata sigolare se C = S C su I. ua copula è detta avere sia ua compoete sigolare che ua assolutamete cotiua se o appartiee é all ua, é all altra classe. Ifie per cocludere la discussioe sul cocetto di desità per ua copula, diciamo che, per variabili casuali cotiue, la desità della copula è collegata alla desità della distribuzioe F, deomiata f, dalla rappresetazioe caoica: f (u,,u )=c(f (x ),, F (x )) j= f ( ), j x j co c(f (x ),, F (x ))= metre f j soo le desità delle margiali ( C( F ( x),..., F ( x ))) F ( x )... F ( x ), (.7) f j (x j )= df ( x ) j dx j j 3

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25 . MISURE DI DIPENDENZA E FAMIGLIE DI COPULE Le copule rappresetao ua maiera aturale per studiare e misurare la dipedeza tra variabili casuali, dato che esse stesse soo fuzioi di dipedeza. Ioltre, separado il comportameto margiale da quello di dipedeza, soo ivariati rispetto a trasformazioi mootoe delle variabili casuali cotiue che le caratterizzao. I questo capitolo sarao studiati alcui cocetti legati a quello di dipedeza e verrao presetate alcue misure ad essi associati. Il primo paragrafo sarà, tuttavia, dedicato all esposizioe di alcue defiizioi che verrao riprese più avati.. LE COPULE COME FUNZIONI DI DIPENDENZA: Le defiizioi presetate di seguito riguardao le ozioi d idipedeza e di comootoicità. I teoremi e le defiizioi esposte trattao u cotesto bivariato... Idipedeza Siao X e Y due variabili casuali cotiue i I. Poiché X e Y soo idipedeti se e solo se F(x,y)= F (x)f (y), dal teorema di Sklar scaturisce che X e Y soo idipedeti se e solo se possiedoo la copula prodotto C. Teorema. Siao X e Y due variabili casuali cotiue i I, tali da ammettere almeo ua tra C + e C. Allora esistoo due fuzioi mootoe ua variabile casuale Z tale che (X,Y)= ( α( Z ),β( Z)), α, β : R R e co α crescete e β decrescete el caso di C ed etrambe cresceti el caso di C +. Vale ache il cotrario di questo risultato. Per la dimostrazioe, si veda Embrechts (999). 5

26 .. Comootoicità Due variabili casuali soo comootoe o cotromootoe, e quidi perfettamete dipedeti, se e solo se le loro copule corrispodoo rispettivamete ai limiti superiore ed iferiore di Frechét (teorema.3). Defiizioe. L isieme A ogi (x,y ), (x,y ) i A, vale x x R è detto essere comootoo se e solo se, per y y oppure x x y y Defiizioe. U vettore casuale (X,Y) è comootoo o perfettamete dipedete positivo se e solo se esiste u isieme comootoo A Pr((X,Y) A ) = R tale che I altre parole, ua coppia di variabili casuali comootoe X e Y è tale che a realizzazioi di X più gradi corrispodao realizzazioi di Y ach esse più gradi. Il seguete teorema è u ulteriore caratterizzazioe della proprietà comootoa Teorema. U vettore casuale (X,Y), co fuzioi di distribuzioe F,F e distribuzioe cogiuta F(x,y) è comootoo se e solo se soddisfa i segueti argometi: ) (X,Y) ha supporto comootoo ) per ogi (x,y) 3) C(v,z)=C + (v,z) R F(x,y)=mi(F (x),f (y)) 4) (X,Y) è distribuito come (F (U), F (U)), dove U è la variabile casuale uiforme stadardizzata 5) (X,Y) è distribuito come (F (F (y)), F (F (x))), Dal teorema. deriva il seguete corollario: 6

27 Corollario. Se F =F, allora X e Y soo comootoe se e solo se soo uguali Per itrodurre la defiizioe di cotromootoicità o di dipedeza perfettamete egativa, si può procedere simmetricamete alla defiizioe data per comootoicità Defiizioe.3 L isieme A per ogi (x,y ), (x,y ) i A, vale x x R è detto essere cotromootoo se e solo se, y y oppure x x y y Defiizioe.4 U vettore casuale (X,Y) è cotromootoo o perfettamete dipedete egativo se e solo se esiste u isieme comootoo A Pr((X,Y) A ) = R tale che Per simmetria rispetto al cocetto di comootoicità vale il seguete teorema Teorema.3 U vettore casuale (X,Y), co fuzioi di distribuzioe F,F e distribuzioe cogiuta F(x,y) è cotromootoo se e solo se soddisfa le segueti asserzioi: ) (X,Y) ha supporto cotromootoo ) per ogi (x,y) 3) C(v,z)=C (v,z) R F(x,y)=max(F (x)+f (y)-,0) 4) (X,Y) è distribuito come (F (U), -F (U)), dove U è la variabile casuale uiforme stadardizzata 5) (X,Y) è distribuito come (F (-F (y)), F (-F (x))).. MISURE DI ASSOCIAZIONE Questo paragrafo tratta le relazioi tra fuzioi copula e le misure di associazioe fra coppie di variabili casuali. 7

28 Geeralmete, le variabili casuali X e Y soo dette essere associate quado o soo idipedeti,ovvero quado la fuzioe di ripartizioe cogiuta bivariata F(x,y) F (x)f (x). Nel seguito sarao presetati alcui cocetti di associazioe: Cocordaza (diversa da dipedeza), correlazioe lieare, dipedeza delle code, dipedeza positiva di quadrate e alcue misure associate ad esse la Τ di Kedall, la ρ di Spearma, il coefficiete di correlazioe lieare e gli idici di dipedeza delle code. Tutte queste misure soo legate alle copule, poiché, el mettere isieme ua distribuzioe cogiuta co le sue margiali, la copula cattura certi aspetti della relazioe tra le variabili e di cosegueza i cocetti di dipedeza soo proprietà della copula (Nelse,99)... CONCORDANZA Il cocetto di cocordaza ha il compito di mettere i mostra il fatto che la probabilità di avere gradi (piccoli) valori delle due variabili è alta, metre la probabilità di avere valori gradi per ua variabile e bassa per l altra (o viceversa) è piccola. D ora i poi assumeremo che X e Y siao variabili casuali cotiue. Ua misura di cocordaza tra due variabili casuali può essere deotata co M X,Y o M C ed ha le segueti proprietà assiomatiche: Defiizioe.5 M X,Y è ua misura di cocordaza tra due variabili casuali X e Y se e solo se: ) È defiita per ogi paio di variabili casuali (completezza) ) È ua misura relativa: M X,Y [-,] 3) È simmetrica: M X,Y = M Y,X 4) Se X e Y soo idipedeti, allora M X,Y =0 5) M -X,Y = M Y,-X = -M X,Y 6) Coverge quado lo fa ache la copula : se, Y ) variabili casuali cotiue co copula C, e ( X è ua sequeza di 8

29 allora lim C + ( v, z) = C( v, z) lim M = M + per ogi (v,z) I X, Y X, Y 7) Rispetta l ordie di cocordaza : se C p C, allora M C M C Questa defiizioe implica ivariaza rispetto a trasformazioi cresceti e l esisteza di limiti per M i corrispodeza di comootoicità e cotromootoicità. I segueti teoremi e soo la coferma: Teorema.4 Se α i, i=,, soo fuzioi cresceti su Ra F i, allora M X,Y = M α X ), α ( ) ( Y Teorema.5 Se X e Y soo comootoe, M X,Y =; se soo cotromootoe, M X,Y =- Scarsii (984) ha provato che vale la seguete rappresetazioe, dalla quale si possoo otteere diverse misure di associazioe Teorema.6 Data ua fuzioe f limitata, debolmete mootoa e dispari, co Dom f =[-, ], allora k f ( v ) f ( z ) dc( v, z) (.) I Dove k = f ( u ) du è ua misura di cocordaza I Dalla specificazioe di f, si possoo otteere diverse misure di cocordaza. Ad esempio, per f (u) = u si ottiee la ρ di Spearma (che defiiamo dopo); per f (u) = sg(u) otteiamo la β di Blomqvist, defiita come q = 4C(, ) (.) Tuttavia altre misure di cocordaza o possoo essere otteute dalla rappresetazioe precedete: è il caso della τ di Kedall o del coefficiete γ di Gii, defiito come 9

30 γ = ( v + z v z ) dc( v, z) (.3) I Prima di passare i rassega alcue delle più importati misure di cocordaza, foriamo altre due caratteristiche proprie di queste misure: Affiché ua misura di cocordaza sia pari a 0, l idipedeza è ua codizioe sufficiete, ma o ecessaria Esse Soo diverse dalle misure di dipedeza, poiché le secode assumoo il valore più basso quado le due variabili casuali soo idipedeti, o quado soo cotromootoe Cosidereremo ora due misure di cocordaza ( τ di Kedall e ρ di Spearma) che soo valide alterative al coefficiete di correlazioe lieare per misurare la dipedeza i distribuzioi o ellittiche, per le quali il coefficiete di correlazioe lieare è iappropriato e fuorviate... τ DI KENDALL Questa misura, riscoperta da Kedall (938). è stata itrodotta da Fecher itoro al 900. Defiizioe.6 La tau di Kedall per le variabili casuali X e Y co copula C e deotata come τ o τ C è: τ = 4 C( v, z) dc( v, z) (.4) I Si può dimostrare che essa misura la differeza tra la probabilità di cocordaza e quella di discordaza tra vettori casuali idipedeti, (X,Y ) e (X,Y ), oguo co la stessa fuzioe di distribuzioe cogiuta e copula C. I vettori soo detti essere cocordati se X >X metre Y >Y, e X <X metre Y <Y ; discordati el caso opposto. Da questo segue che: Teorema.7 Dati (X,Y ) e (X,Y ) i.i.d. co copula C τ = Pr(( X X )( Y Y ) > 0) Pr(( X X )( Y Y ) < 0) (.5) 30

31 Per ua dimostrazioe del fatto che la tau di Kedall soddisfa gli assiomi i e vii per ua misura di cocordaza, si veda Scarsii (984). Questa misura di cocordaza, ioltre, è compresa tra e (- τ ) e se cosideriamo variabili casuali cotiue, vale che: τ =- se e solo se C=C τ = se e solo se C=C + Vediamo ora il legame tra la tau di Kedall e la desità di ua copula. Quado la copula è assolutamete cotiua, il differeziale C dc = dvdz vz può essere sostituito ella defiizioe di τ (equazioe.4). Se ivece C ha ua compoete assolutamete cotiua e ua sigolare, o solo sigolare, vale il seguete teorema: Teorema.8 La τ di Kedall può essere calcolata come C( v, z) C( v, z) τ = 4 dvdz (.6) I v z l equivaleza fra la.4 e la.6 segue dal seguete lemma (Nelse,99) Lemma. Se C è ua copula C( v, z) C( v, z) dvdz = z C ( v, z) dc( v, z) + I I v Usado la.6 è semplice dimostrare che Teorema.9 La tau di Kedall di ua copula e quella della sua associata copula di sopravviveza coicidoo. τ C = τ c Per stimare τ da u campioe casuale di coppie X, Y ), i=,,, si defiisce il seguete idicatore 3 ( i i

32 A ij sg( X i X j )( Y i Y j ) dal quale si può otare che E ( Aij ) = ( + ) Pr(( X i X j )( Yi Y j ) > 0) + ( ) Pr Pr(( X i X j )( Yi Y j ) < 0) = τ Segue che uo stimatore o distorto e cosistete per il coefficiete di Kedall è il cosiddetto τ campioario di Kedall: A ij ( ) i= j> i (.7)..3 ρ DI SPEARMAN Defiizioe.7 La rho di Spearma per le variabili casuali X e Y co copula C,deotata come ρ S o ρ SC, è ρ S = C( v, z) dvdz 3 = vzdc( v, z) 3 (.8) I I Ache questa misura sfrutta le probabilità di cocordaza e discordaza. Essa parte dal cosiderare tre coppie di vettori casuali i.i.d. [, Y ), (X, Y ), (X, Y ) ] (X 3 3, co copula C. La rho di Spearma è u multiplo della differeza tra la probabilità di cocordaza e discordaza tra i vettori (X,Y ), (X,Y 3 ), co X e Y3 variabili casuali tra loro idipedeti. Perciò, le probabilità di cocordaza e discordaza soo misurate i u caso d idipedeza. Abbiamo, quidi, che: Teorema.0 Dati (X,Y ),(X,Y ), (X 3,Y 3 ) i.i.d. co copula C, allora ρ = Pr(( X X )( Y Y ) > 0) Pr(( X X )( Y Y ) 0) (.9) S < Sostituedo ella.8, si può scrivere [ C( v, z vz] ρ S = ) I dvdz La seguete osservazioe permette di scrivere l espressioe per la rho di Spearma i ua maiera più semplice. 3

33 Osservazioe. Poiché le trasformate itegrali U =F (X), U =F (x) soo uiformi stadardizzate, co fuzioe di distribuzioe cogiuta C, l itegrale precedete può essere visto come E[U U ]. Di cosegueza ρ S [ ] = E U U [ ] E UU 3 = 4 Ioltre, dato che e segue che soo la media e la variaza delle uiformi stadard, e ρ = cov( F ( X ), F ( Y )) S var( F ( X )) var( F ( Y )) (.0) La rho di Spearma è, duque, la correlazioe di rago, cioè la correlazioe delle trasformazioi itegrali, di X e Y. Ioltre ρ S soddisfa la defiizioe di misura di cocordaza e raggiuge i suoi limiti se e solo se X e Y soo rispettivamete variabili casuali cotromootoe e comootoe: ρ S =- se e solo se C=C ρ S = se e solo se C=C + Usado la.9 per defiire la rho di Spearma, Teorema. E facile dimostrare, che la ρ S di ua copula e quella della copula sopravviveza coicidoo ρ SC = ρ SC Per stimare ρ S partedo da u campioe casuale di coppie (X i,y i ), co i=,, ricordado che ρ S è la correlazioe di rago, secodo la.0, si procede cosiderado i raghi delle variate campioarie: R i =rago(x i ), S i =rago(y i ) dove il rago deve essere fatto i ordie ascedete. Così facedo, si ottiee il seguete risultato per ρ S, che prede il ome di ρ S campioario. 33

34 i= ( R R)( S i ( R R ) i= i i= i S ) ( S i S ) Teedo i cosiderazioe il fatto che i raghi di dati soo i primi umeri iteri, si semplifica l espressioe precedete e si ottiee o = ( R R)( S i i ( ) i S ) ( R ) = 6 i Si ( ) Questo stimatore campioario è o distorto rispetto a quello della popolazioe. (.) Preseteremo ora il cocetto di correlazioe lieare, che è la misura di dipedeza più usata ella pratica. Tuttavia, poiché la correlazioe lieare o è ua misura di dipedeza basata sulla copula, spesso porta a risultati fuorviati e di cosegueza o è cosiderata come ua misura di dipedeza caoica...4 CORRELAZIONE LINEARE Per variabili casuali co mometi secodi fiiti, la cocordaza può essere spiegata ache dalla covariaza. Poiché la covariaza o è ua misura ormalizzata ormalizzata, é relativa, è stato itrodotto il coefficiete di correlazioe lieare. Defiizioe.8 Per variabili casuali o degeeri X e Y co mometi secodi fiiti, il coefficiete di correlazioe lieare ρ XY è ρ XY = cov( X, Y ) var( X ) var( Y ) Teorema. Il coefficiete di correlazioe lieare soddisfa gli assiomi da (i) a (v) e (vii) della defiizioe di misura di cocordaza Dimostrazioe: (i) è sempre verificato, co l esclusioe delle variabili degeeri. 34

35 L assioma (ii) segue dal fatto che cov( X, Y ) var( X ) var( Y ), metre l assioma (iii) dipede dalla simmetria della covariaza, cov (X,Y)=cov (Y,X). La proprietà (iv) segue dal fatto che l idipedeza tra X e Y implica cov(x;y)=0 La (v) è ua cosegueza del fatto che se Y=aX+b, co a allora ρ XY = e viceversa. R \0, b R, Per quato riguarda la proprietà (vii), si deve ricorrere all espressioe di Hoeffdig (940) per la covariaza: co D = Dom F x Dom F. Cov(X,Y)= ( D F ( x, y) F ( x) F ( y)) dxdy (.) Da questa espressioe e dalla disuguagliaza di Fréchet segue che, se C p C, e deotiamo co ρ e ρ le corrispodeti correlazioi lieari, allora da si ottiee che ρ ρ. ( D C ( F ( x) F ( y)) F ( x) F ( y)) dxdy ( F ( x) F ( y)) ( F ( x) F D C ( y)) dxdy Ciooostate, il coefficiete di correlazioe o soddisfa l assioma (vi) e quidi o è ua misura di cocordaza, tuttavia esso verifica le proprietà segueti, che violao i teoremi.4 e.5. Proprietà. ρ XY è ivariate sotto trasformazioi lieari cresceti, ma o sotto trasformazioi cresceti o lieari. Dimostrazioe: Per dimostrare il primo fatto, si cosideri che + b, cy + d = sg( XY per a,c R ρ α X ac ) ρ \0,b,d R Trasformazioi lieari cresceti producoo sg(ac) = e quidi ρ = ρ XY. α X + b, cy + d Proprietà. ρ XY è limitata ρ ρ l XY ρ u dove i limiti ρ l e ρ u soo defiiti come ( C ( F ( x), F ( y)) F ( x) F ( y)) dxdy D ρ l = (.3) ( x EX ) df ( x) ( y EY ) df ( y) DomF 35 DomF

36 + ( C ( F ( x), F ( y)) F ( x) F ( y)) dxdy D ρ u = (.4) ( x EX ) df ( x) ( y EY ) df ( y) DomF DomF Questi limiti soo raggiuti quado rispettivamete X e Y soo cotromootoi e comootoi. Dimostrazioe: I limiti per ρ XY possoo essere otteuti dall espressioe di Hoeffdig (940) per la covariaza (3.), isieme co la disuguagliaza di Fréchet: C ( F ( x), F ( y)) F ( x) F ( y)) dxdy cov( X, Y ) ( D + ( C ( F ( x), F ( y)) cov( X, Y ) F ( x) F ( y)) dxdy D Dividedo per la radice quadrata delle variaze, si ottegoo rispettivamete i limiti C e C +. Proprietà.3 ρ XY per variabili casuali comootoe può essere diverso da (-) Dimostrazioe: si cosideri u esempio di comootoicità Proprietà.4 ρ XY =0 o implica idipedeza tra X e Y, a meo che ua o sia Gaussiaa. Dimostrazioe: Se X e Y soo Gaussiae, ρ XY =o implica F(x,y)=F (x)f (y). Questo può essere cotrollato sostituedo ρ XY =0 ell espressioe della fuzioe di distribuzioe cogiuta della Gaussiaa: ad esempio co ρ XY =0, la distribuzioe cogiuta di due variabili casuali ormali stadardizzate diveta: = x y s t F( x, y) exp dsdt π Poiché le margiali soo F i = φ, si dimostra che F(x,y)=F (x)f (y). Per altre fuzioi di distribuzioe questa proprietà o è dimostrabile. Proprietà.5 Se ρ XY =0, o sigifica che ua variabile casuale o possa essere fuzioe dell altra. 36

37 Dimostrazioe: Per la dimostrazioe, si cosideri la seguete copula defiita da Nelse (999) v z / v + z 0 v z / / 0 z / Data questa copula, cov(u,u ) = 0, ma / v z / z / v Pr( U = U ) = Le variabili casuali U e U soo icorrelate, ma ua è fuzioe dell altra. Come abbiamo visto il coefficiete di correlazioe lieare o soddisfa la defiizioe di misura di cocordaza: esso porta ifatti a risultati fuorviati per distribuzioi cogiute o ellittiche e talvolta ache per quelle ellittiche...5 DIPENDENZA DI CODA La dipedeza di coda bivariata guarda alla cocordaza dei valori i coda alle variabili X e Y. Geometricamete parlado si cocetra l attezioe sulle code, iferiore e superiore, della fuzioe di distribuzioe cogiuta. E u cocetto rilevate per lo studio della dipedeza tra valori estremi. La dipedeza di coda tra due variabili casuali è ua proprietà della copula ed è perciò ivariate per trasformazioi cresceti delle variabili casuali Ua volta defiita la fuzioe di sopravviveza cogiuta per variabili uiformi,c/, abbiamo la seguete defiizioe: Defiizioe.9 Sia il C/ ( v, v) lim = λu v v fiito. C si dice avere dipedeza di coda superiore se e solo se µ U (0,], e o avere dipedeza di coda superiore se e solo se µ U =0. Aalogamete, sia C( v, v) lim = λ + L v v 0 37

38 fiito. C è detto avere dipedeza di coda iferiore se e solo se µ L (0,], e o avere dipedeza di coda iferiore se e solo se µ L =0. Per capire la corrispodeza tra questa defiizioe e l ituizioe di base, si ricordi che C / ( v, v) = Pr( U > v, U > v Cosicché il rapporto C/ ( v, v) /(-v) è la seguete probabilità codizioale: ) Perciò λ C/ ( v, v) = Pr( U > v U > v) = Pr( U > v U > v) v = lim Pr( U > v U > v) = lim Pr( U > v U > U v v v) Il valore µ U rappreseta il limite della probabilità codizioale che la fuzioe di distribuzioe di X ecceda la soglia v, data dalla corrispodete fuzioe di Y, quado v tede a. Aalogamete vale per µ L. Itroduciamo ora i coefficieti di dipedeza di coda per la copula di sopravviveza C e vediamo come essi si relazioao ai coefficieti di dipedeza di coda della copula C calcolati prima: v + C ( v, v) lim v v lim v 0 + C ( v, v ) = λ L v = λ Se questi limiti soo fiiti, allora vale la proprietà seguete: U Teorema.3 Se C è la copula di sopravviveza associata a C, allora dimostrazioe: implica λ = λ. Simmetricamete U L λ U = λ L λ L = λ U v + C ( v, v) C( v, v) lim = lim v v v v 38

39 da λ = λ. L U C ( v, v) lim+ v 0 v v + C( v, v) lim v 0 v = + w + C( w, w) lim v w..6 DIPENDENZA POSITIVA DI QUADRANTE Itroduciamo ora u altro cocetto di dipedeza: la dipedeza positiva di quadrate (PDQ), che può essere espressa i termii di copule ella maiera seguete. Defiizioe.0 Le variabili casuali X e Y hao dipedeza positiva di quadrate se e solo se C( v, z) vz Per ogi (v,z) I. I alterativa, usado l ordie di cocordaza tra copule, X e Y soo PDQ se e solo se la loro copula è più grade di quella prodotto. C f C I termii di fuzioi di distribuzioe, la PDQ può essere formalizzata come F x, y) F ( x) F ( ) per ogi (x,y) ( y R La probabilità cogiuta i ogi puto o deve essere più piccola del prodotto delle fuzioi di distribuzioe. La PDQ implica la o egatività della tau di Kedall, della rho di Spearma e del coefficiete di correlazioe lieare, dato che le variabili casuali idipedeti, per cui C= C, redoo questi coefficieti pari a zero e i coefficieti stessi rispettao l ordie di cocordaza. Applicado la regola di Bayes, la disuguagliaza della PDQ può essere riscritta come: Pr( X x Y y) Pr( X x) (.5) Perciò la codizioe di PDQ di Lehma (966) può essere riforzata poedo la probabilità codizioale come fuzioe o crescete di y. Questo implica che, 39

40 poedo ad esempio (X t,y t ) il vettore casuale bivariato dei redimeti di due titoli X e Y al tempo t, la probabilità che il redimeto X t preda u valore basso o cresce col valore preso dall altro redimeto Y t. Questo corrispode ad ua particolare mootoicità elle code. Aalogamete, si può dire che ua variabile casuale X ha ua coda siistra decrescete i Y, deotata come LTD(X Y), se Pr( X x Y y) è ua fuzioe o decrescete di y per ogi x. Questo è equivalete alla codizioe che, per ogi v i 0,, C(v,z)/z è ua fuzioe o decrescete i z, o: C ( v, z) C( v, z) per quasi tutti gli z. (.6) z z Per > come geeralizzazioe del quadrate abbiamo l ortate. Defiizioe. (dipedeza positiva dell ortate). vettore casuale -dimesioale. Sia X=(X,,X ) u ) X è detto avere la più bassa dipedeza positiva dell ortate se per ogi (x,,x ) i R, Ne segue che Cf C. Pr(X x,, X x ) i= Pr( X i x i ). ) X è detto avere la più alta dipedeza positiva dell ortate se per ogi (x,,x ) i e segue che C/ f C R, Pr(X > x,, X > x ) i= Pr( X i > x i ). 3) X è detta avere dipedeza positiva dell ortate se per ogi (x,,x ) i R, possiede le due proprietà precedeti. Si possoo defiire ache le dipedeze egative d ortate ivertedo il seso delle precedeti disuguagliaze. 40

41 .3 FAMIGLIE PARAMETRICHE DI COPULE - DIMENSIONALI I questa sezioe preseteremo alcue famiglie o classi di copule. Ogi famiglia di copule è caratterizzato dall avere u parametro o u vettore di parametri. Per ogi famiglia, daremo la defiizioe e l espressioe della desità. Le classi di copule che tratteremo si distiguoo pricipalmete i copule ellittiche e o ellittiche e per le secode i particolare vedremo di defiire le cosiddette copule archimediae La classe delle copule ellittiche foriscoo molte distribuzioi multivariate, fra queste defiiremo la copula Gaussiaa e la copula T-studet. Le copule ellittiche, i quato simmetriche, hao il difetto di o modellare bee i valori estremi delle distribuzioi multivariate. Le copule archimediae, ivece (che verrao defiite meglio ella sezioe.3.4) trattao meglio il problema dell asimmetria delle code che si preseta spesso elle applicazioi pratiche. Questa famiglia di copule hao ioltre la caratteristica di dipedere da u parametro solamete. I seguito tratteremo, per questa classe di copul, la Frack copula e la Gumbel copula. Da ultimo vedremo ua famiglia di copule (Plackett) caratterizzata da proprietà desiderabili..3. COPULA GAUSSIANA MULTIVARIATA (M.G.C) Diamo la defiizioe di copula Gaussiaa: Defiizioe. Sia R ua matrice simmetrica e defiita positiva, co diag(r) = (,,) T. Sia Φ R la distribuzioe ormale multivariata stadardizzata, co matrice di correlazioe R. La M.G.C. è defiita come C Ga R (u)= Φ R (Φ - (u ),, Φ - (u )) dove Φ - è l iversa della fuzioe di distribuzioe ormale uivariata Φ. Proprietà.6 La copula gaussiaa geera la fuzioe la distribuzioe cogiuta ormale, se le margiali soo ormali stadardizzate. 4

42 Usado la rappresetazioe caoica, la desità della copula è facilmete determiabile: (π ) / R / exp x T R x = c Ga R ( φ ( x ),..., φ( x )) j= exp π x j dove R è il determiate della matrice di correlazioe. Di cosegueza: c (π ) φ ( x ),..., φ( x )) = Ga R ( / exp x / R exp x j π j= T R x Siao u j = Φ(x j ), tale che x j= Φ - (u j ). La desità, allora. può essere riscritta come segue dove ζ=(φ - (u ),, Φ - (u )) T R Ga c R (u,, u )= / T exp ς ( R I )ς.3. COPULA T-STUDENT MULTIVARIATA (MTC) U altra apparteete alla classe delle copule ellittiche è la copula t-studet. Defiizioe.3 Sia R defiita come sopra, e sia t R,v la distribuzioe t-studet stadardizzata multivariata co matrice di correlazioe R e v gradi di libertà: t v + v x x x Γ R + T R, v ( x,..., x ) =... x R x dx v + v Γ ( vπ )... dx La MTC è quidi defiita come segue: T R,v (u,,u )= t R,v (t v - (u ),, t v - (u )) 4

43 43 = ( ) u t u t u t v T dx dx x R x v v v R v v v v ) ( ) ( ) ( + + Γ + Γ π dove t v è l iversa della fuzioe di distribuzioe di ua t-studet co v gradi di libertà. Ne scaturisce che la desità della copula per la MTC è: c R,v (u,,u )= = Γ Γ Γ + Γ j v j v T v R v v v v v R ς ς ς co ζ j = t v - (u j ).3.3 COPULA DI DISPERSIONE MULTIVARIATA (MDC) Di seguito presetiamo ua famiglia di copule co le caratteristiche della classe di copule ellittiche Defiizioe.4 Sia µ=( µ,, µ ) u parametro di posizioe,σ =( σ,, σ ) u parametro di dispersioe e R ua matrice di correlazioe. Diciamo che X~MDC(µ, σ,r) se f (y;µ, σ,r)= / R ( ) = j j j j j T y f I R, ; ) ( exp σ µ ς ς dove ζ j = Φ - (F j (y j ; µ j, σ j)) per j=,, e j f σ,,µ ( j j j y ) = ( ) j j j j j y y F, ; σ µ per ogi isieme di fuzioi di distribuzioe F j (y j ; µ j, σ j). Vediamo ora u esempio di applicazioe della copula di dispersioe multivariata: Esempio. Costruiamo ua MDC assumedo delle margiali co distribuzioe Weibull.

44 I questo caso abbiamo α α αx x f (x) = exp β β tramite la quale otteiamo la desità della MDC f ( x,..., x ) = / R T exp ς ( R I ) ς j= α x j β α j j j exp x α j j β j dove ζ j = Φ (- exp(- x α j β j j ))..3.4 COPULE DI ARCHIMEDE Le copule archimediae hao il vataggio dal puto di vista computazioale di avere pochi parametri (di solito o ) per rappresetare la struttura di dipedeza, ma dall altro lato ciò provoca ua poca flessibilità della copula ell adattarsi ai dati, soprattutto ei casi di gradi dimesioi. La loro trattazioe i questa sezioe riguarderà prima alcue defiizioi e proprietà e successivamete la presetazioe di particolari famiglie (Gumbel, Frack) La famiglia delle copule di Archimede, per essere costruita ha bisogo di ua fuzioe geeratrice o geeratoreφ. Questa fuzioe viee formulata dalle segueti defiizioi: + La fuzioe φ è defiita da I R, essa è cotiua e decrescete. Nelse (999) ha dimostrato che tale fuzioe deve essere covessa e tale che φ ()=0. Il geeratore si defiisce stretto quado φ (0)=+ I simboli φ (u):[0,]a [0,+ ] Defiiamo ora la fuzioe pseudo-iversa della fuzioe geeratrice: Defiizioe.5 La pseudo-iversa di φ è defiita come segue: 44

45 φ [-] φ (v)= 0 ( v ) 0 v φ(0) φ(0) v + Questa fuzioe pseudo-iversa è tale che, composta col geeratore, dà l idetità, come fao le iverse ordiarie co domiio e rago R. φ [ ] (φ (v)) = v per ogi v I. Teorema.4 (Kimberlig(974) Sia data φ, la fuzioe geeratrice, e la sua pseudo-iversa. La fuzioe C:[0,] [0,] defiita da C(u,,u )= φ - (φ (u )+ + φ (u )) è ua copula se e solo se φ - è completamete mootoa i [0, + ]. Come cosegueza del teorema precedete, possiamo dare la seguete defiizioe: Defiizioe.6 Sia φ u geeratore stretto, co φ - completamete mootoa i [0, + ]. Segue che la copula archimediaa -variata è la fuzioe C(u,,u )= φ - (φ(u )+ + φ(u )). U importate fote di geeratori per le -copule archimediae cosiste elle iverse delle trasformazioi di Laplace di fuzioi di distribuzioe. La prova è data dal teorema.5. Prima però diamo la defiizioe di trasformazioe di Laplace, Defiizioe.7 La trasformazioe di Laplace di ua variabile casuale γ, co fuzioe di distribuzioe F γ, è defiita come: sγ + st ( s) = Eγ ( e ) = e dfγ ( t 0 τ ) (.7) Teorema.5 (Feller 97) Ua fuzioe φ i [0, + ] è la trasformazioe di Laplace di ua fuzioe di distribuzioe, se e solo se φ è completamete mootoa e φ (0)=. 45

46 Le copule archimediae soo simmetriche; el seso che, ad esempio per =; C A A ( v, z) = C ( z, v) per ogi (v,z) Ioltre, esse possiedoo la proprietà associativa. Sempre come esempio, per =3 C A A A 3 ( C ( v, z), u) = C ( v, C ( z, u)) per ogi (v,z,u) I A Che implica etrambi i lati dell uguagliaza precedete pari a φ - (φ (v)+ φ (z)+ φ (u)). I Defiizioe.8 Defiiamo ora la formula geerale della desità di ua copula di Archimede el caso bivariato, utile per i ostri calcoli successivi: C A φ ( C( v, z)) φ ( v) φ ( z) ( v, z) = (.8) 3 ( φ ( C( v, z))) Allo stesso risultato, per la desità di ua copula archimediaa, si arriva usado la.7, co = E relativamete semplice a partire dalla defiizioe.7 geerare copule di Archimede multivariate. Di seguito e defiiremo alcue: copula di Gumbel Il geeratore è dato da φ(u) = (-l(u)) α, perciò φ - (t) = exp(-t α ); essa è completamete mootoa se α>. La -copula di Gumbel è quidi α α C(u,,u )= exp ( l u i ) co α>. i= Per = la copula di Gumbel diveta: C(u,u )= [ + ] α α exp ( l ) ( l u α u (.9) ) co u e u fuzioi di ripartizioe di due variabili casuali cotiue e pertato [0,]. La corrispodete desità bivariata, calcolata per mezzo della.8 è: 46

47 exp c( u, u ) = α α [ log( u )] α ( α ) [ log( u ) log( u )] [ log( u )] + [ log( u )] ( u u) α α α α [ log( u )] + [ log( u )] α + α (.0) copula di Frak Il geeratore è dato da φ(u) = perciò exp( l exp αu) ( α ) φ - α (t)= l( + e t ( e )) ; α essa è completamete mootoa se α>0. La -copula di Frak è data quidi da, C(u,,u )= l + α Per = la copula di Frak diveta: αu i ( e ) i= α ( e ) co α>0 quado 3. (exp( αu ) )(exp( αu ) ) C ( u, u ) = l + (.) α (exp( α ) ) co u e u fuzioi di ripartizioe di due variabili casuali cotiue e pertato [0,]. La corrispodete desità, calcolata tramite la.8 è: c( u, u ) = ( α [ exp( α )]) ( exp( α u α u ) exp( α ) [ exp( α u )] [ exp( α u )] ).3.5 PLACKETT COPULA (.) Presetiamo ora ua famiglia di copule o archimediae (i quato o derivate da alcua fuzioe geeratrice), ma molto utile per le sue proprietà: la famiglia delle copule di Plackett (965). Nel caso bivariato la copula di Plackett è defiita ella maiera seguete: siao X e Y, due variabili casuali cotiue e u=f(x), v=f(y) [0,] le rispettive fuzioi di distribuzioe. Allora 47

48 C( u, v) = ( ) uv [ + ( )( u + v) [ + ( )( u + v)] 4uv ( ) ] se se = (.3) Co >0. Questo tipo di copula è stata costruita i modo da avere correlazioe positiva e quidi dipedeza positiva per > e,viceversa, correlazioe e dipedeza egativa per <. La coseguete fuzioe di desità ricavata mediate l espressioe.8 è: [ + ( ) + ( u + v u + v) ] [ + ( ) ( u + v) ] 3 4 ( ) u c( u, v) = v (.4) La famiglia di Plackett è simmetrica e positivamete ordiata; ioltre è assolutamete cotiua ed ammette i limiti di Frechét come casi estremi. 48

49 3. INFERENZA STATISTICA PER LE COPULE Da u puto di vista statistico, come abbiamo visto dal teorema di Sklar, ua fuzioe copula è u espressioe di u modello multivariato. E come per molti modelli multivariati le teorie ifereziali classiche o soo applicabili. L uico metodo utilizzabile è quello della massima verosimigliaza asitotica. Le metodologie ifereziali proposte per le copule soo lo stimatore di massima verosimigliaza (esatto) propriamete iteso e ua sua versioe, detta IFM method (iferece for the margis). Etrambi i metodi di stima richiedoo u ottimizzazioe umerica della fuzioe obiettivo, i quato u modello multivariato (qual è ua copula) richiede il calcolo di derivate miste. Come prima cosa presetiamo i due metodi di stima e li mettiamo a cofroto. Successivamete applichiamo il metodo IFM ad u cotesto di serie storiche 3. METODO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA ESATTA Per itrodurre i due metodi basati sulla massima verosimigliaza alle copule, riprediamo la rappresetazioe caoica per la desità di ua copula dove,..., x ) = c( F ( x),..., F ( x )) f j ( x j ) j= f ( x (3.) c( F ( x ),..., F ( x ( C( F ( x),..., F ( x ))) )) = (3.) F ( x )... F ( x ) è la -sima derivata parziale mista della copula C, c è la desità della copula e f è la fuzioe di desità uivariata. Questa rappresetazioe per la desità multivariata ci permette di scomporre i due parti il modello statistico per le copule:. idetificazioe delle distribuzioi margiali. defiizioe di u appropriata fuzioe copula x ℵ =,..., la matrice dei dati campioari. L espressioe per la fuzioe = Sia T t x t t di log-verosimigliaza diveta: 49

50 T T l c( F ( x t ),..., F ( xt )) + l f j ( x jt ) t= t= j= l( ) = (3.3) dove è l isieme di tutti i parametri del modello ( sia delle margiali, che della copula). Massimizzado l espressioe precedete rispetto all isieme dei parametri, otteiamo lo stimatore di massima verosimigliaza: ˆ = max l( ) MLE Θ Assumiamo che valgao le codizioi di regolarità della teoria della massima verosimigliaza asitotica per i modelli multivariati e per le margiali (Serflig,980, Shao,999). Sotto queste codizioi di regolarità lo stimatore di massima verosimigliaza esiste ed è cosistete e asitoticamete efficiete. Ioltre è verificata la proprietà di ormalità asitotica: ˆ T MLE 0 ) N(0, I ( )) (3.4) ( 0 co I l usuale matrice d iformazioe di Fisher e 0 il valore esatto del parametro. La matrice di covariaza di ˆ può essere stimata tramite l iversa della matrice hessiaa della fuzioe di verosimigliaza. 3. METODO IFM Il metodo di massima verosimigliaza può essere computazioalmete difficile, specie ei casi di gradi dimesioi, poiché è ecessario stimare cogiutamete i parametri delle margiali e quelli della struttura di dipedeza rappresetata dalla copula. Joe e Xu (996) hao proposto di stimare quest isieme di parametri i due passi:. il primo passo cosiste el stimare i parametri delle margiali, a partire dalle distribuzioi margiali uivariate T = ArgMax l f j ( x jt ; ) t= j= ˆ (3.5). i u secodo tempo, dato ˆ, si procede alla stima del parametro della copula : 50

51 T ˆ l ( ( ),..., ( );, ˆ = ArgMax c F x ) t F xt (3.6) t= Questo metodo è chiamato ifereza per le margiali o IFM. Lo stimatore IFM è defiito come il vettore : IFM = ˆ, ˆ ) ( Chiamiamo l l itera fuzioe di log-verosimigliaza, l j la log-verosimigliaza per la j-esima margiale e l c la log-verosimigliaza per la copula stessa. Lo stimatore IFM è la soluzioe di: l l,..., lc, = 0 metre lo stimatore MLE deriva dalla soluzioe di: l l,..., l, = 0 L equivaleza tra i due stimatori di solito o si matiee. Tuttavia le stime IFM soo u buo puto di parteza per otteere le stime MLE (massima verosimigliaza esatta). Per quato riguarda l efficieza asitotica dello stimatore IFM, si deve cosiderare la matrice di covariaza asitotica. Joe (997) ha provato che sotto codizioi regolari, lo stimatore IFM verifica la proprietà di ormalità asitotica che vale ˆ T IFM 0 ) N(0, Σ ( )) (3.7) ( 0 Co Σ ) matrice d iformazioe di Godambe, defiita come Co e co ( 0 Σ( ) = D V ( D ) (3.8) 0 s( ) = E D e V = E[ s( ) s( ) ] l s ( ) = l,..., lc, Abbiamo così diviso la log-verosimigliaza i due parti :l,,l per ogi margiale e l c per la copula. 5

52 ( ) assume la forma dello stimatore di White per la matrice di variaza e Σ 0 covariaza dei parametri stimati col metodo dei miimi quadrati ordiari i caso di eteroschedasticità. La stima di questa matrice di covariaza richiede il calcolo di molte derivate. Joe (997) ha defiito il metodo IFM più efficiete del metodo di massima verosimigliaza esatta (MLE). Di seguito faremo sempre riferimeto al metodo IFM per l ifereza sui parametri e per il calcolo degli stadard error asitotici. 3.3 IL METODO IFM APPLICATO AD UN CASO PRATICO Vediamo el seguito come il metodo IFM per l ifereza sui parametri delle copule si applica a dati di tipo fiaziario ed i particolare alle serie storiche di idici azioari. Per semplicità di calcolo si è scelto di lavorare co dati bivariati, cosa che ha permesso di valutare co relativa facilità le matrici di variaze e covariaze dei parametri delle copule. La matrice dei dati campioari pertato è la seguete ℵ = T t xt t x, =, dove e rappresetao le serie storiche prese i cosiderazioe, metre t si riferisce alla umerosità di etrambe le serie (el ostro caso T=550). Si soo stimati i parametri di 5 copule (Gaussiaa, studet-t, Plackett, Gumbel e Frack) col metodo IFM, e successivamete per ogi parametro è stata calcolata la matrice d iformazioe di Godambe, la quale rappreseta la matrice di variaze asitotiche del parametro secodo la distribuzioe asitotica descritta ella I DATI I dati utilizzati riguardao i valori settimaali di due idici azioari (il Dow-Joes americao e il DAX30 tedesco), presi i cosiderazioe a partire da ottobre 994, fio ad aprile 005, per u totale di 550 osservazioi. Successivamete, a partire dai valori di etrambi gli idici, soo stati calcolati i redimeti logaritmici. Poiché siamo iteressati alla distribuzioe margiale delle serie dei redimeti, depurate della dipedeza temporale, si è proceduto a filtrare le due serie, ipotizzado per esse u adameto descritto da u processo GARCH(,). 5

53 Notiamo dai grafici dell ACF e del PACF per i residui e per i residui al quadrato delle serie dei redimeti che o ci soo ritardi sigificativamete diversi da 0 e che quidi il modello Garch(,) elimia l effetto di dipedeza temporale. Di seguito vegoo riportati, per etrambi gli idici azioari, i grafici delle serie: dei valori degli idici, dei redimeti degli idici: delle fuzioi di autocorrelazioe e autocorrelazioe parziale per i residui del Garch(,) Dow-Joes Time DAX Time Figura Serie storica dei valori degli idici azioari Dow-Joes e DAX30 53

54 redimeti Dow-Joes T im e redimeti DAX T im e Figura Serie storica dei redimeti del Dow-Joes e del DAX30 residui G AR CH (,)D -J resid ui G ARC H(,)D-J ACF Partial ACF Lag Lag residui G AR CH (,)D AX30 resid ui G ARC H(,)DAX30 ACF Partial ACF Lag Lag Figura 3 ACF e PACF dei residui stadardizzati del Garch(,) per i redimeti del Dow-Joes e del DAX30 54

55 re s id u i a l q u a d ra to G AR C H (, )D -J res id u i a l q u a d ra to G AR C H (, )D -J ACF Partial ACF La g Lag re s id u i a l q u a d ra to G AR C H (, )D AX 3 0 res id u i a l q u a d ra to G AR C H (, )D AX 3 0 ACF Partial ACF La g Lag Figura 4 ACF e PACF dei residui stadardizzati al quadrato del Garch(,) per i redimeti del Dow-Joes e del DAX STIMA DEI PARAMETRI DELLE MARGINALI Il metodo IFM ci permette, come abbiamo visto, di stimare i parametri delle margiali e delle copule i mometi diversi. Vediamo ora di stimare la distribuzioe margiale dei residui stadardizzati del Garch(,) per etrambe le serie dei redimeti. Ipotizziamo per le margiali ua distribuzioe t-studet co v gradi di libertà, co fuzioe di desità: dove v è il parametro d iteresse. v + v Γ Γ ( ) x f x = + vπ v ( v+ ) quella di ua ormale di media 0 e variaza uitaria. Pertato prima di passare 55 (3.9) Questa distribuzioe ha la proprietà di teer coto della curtosi, presete ei residui di molte serie storiche Col tedere di v verso l ifiito la fuzioe di desità della t-studet si avvicia a

56 alla stima del parametro v, si è verificata l ipotesi H 0 di ormalità della distribuzioe margiale, applicado, ai dati dei residui stadardizzati del Garch(,), il test di Jarque-Bera. La statistica test è come u χ. asimmetria ( curtosi 3) +, che sotto H 0 si distribuisce 6 4 Tabella Test di Jarque-Bera per i redimeti dei due idici azioari Dow- Idici Joes Azioari DAX30 Curtosi Asimmetria Statistica Jarque-Bera p-value Jarque-Bera Per etrambi gli idici si rifiuta l ipotesi di ormalità, pertato possiamo applicare la 3.5 per il calcolo del parametro v della distribuzioe t-studet ipotizzata per le margiali. La tabella seguete riporta i parametri stimati per v. Tabella stima col metodo IFM dei gradi di libertà delle margiali t-studet STIMA IFM Dow-Joes DAX30 νˆ I parametri, per avere seso, dovrebbero essere accompagati dai relativi stadard error asitotici, che permettoo di fare verifiche d ipotesi e test di sigificatività su di essi, approfittado della distribuzioe ormale asitotica dei parametri. Nel metodo della massima verosimigliaza le variaze asitotiche dei parametri stimati corrispodoo agli elemeti sulla diagoale dell iversa della matrice d iformazioe (cambiata di sego). Il metodo IFM sebbee basato sulla verosimigliaza o forisce stime efficieti per le variaze dei parametri semplicemete ivertedo la matrice d iformazioe. Pertato, bisoga ricorrere ad uo stimatore di esse più complesso che sarà presetato successivamete. Ioltre sarao cofrotati i risultati di questo metodo co quelli otteuti dalla semplice iversioe della matrice d iformazioe. 56

57 3.3.3 STIMA DEI PARAMETRI DELLA COPULA Prima di stimare i parametri delle copule per mezzo della 3.6, si devoo trasformare le serie dei residui stadardizzati del Garch(,) a secoda della distribuzioe di probabilità che si è ipotizzata per essi. I sostaza i valori dei residui stadardizzati soo i quatili x i della fuzioe di distribuzioe trovata e i base ad essa vegoo trasformati elle rispettive probabilità y i. y i =F(x i ) Questa operazioe deriva direttamete dalla defiizioe di copula. Ifatti la copula è uo strumeto mediate il quale si dà ua struttura di dipedeza alle fuzioi di distribuzioe di variabili casuali. Soo state cosiderate 5 copule: la gaussiaa, la studet-t, due copule di Archimede (Frack e Gumbel) e la copula di Plackett. Di queste, 4 soo caratterizzate dall avere solo u parametro da stimare, metre la copula studet e ha. La tabella che segue riporta le stime per i parametri. Come per i parametri delle margiali, ache per le copule gli stadard error calcolati dall iversioe della matrice d iformazioe o soo efficieti. Riviamo al paragrafo successivo il calcolo delle deviaze asitotiche mediate la matrice d iformazioe di Godambe. Tabella 3 stima col metodo IFM dei parametri delle copule COPULA ρˆ νˆ αˆ Gaussia 0.3 Studet Frack.99 Gumbel.6 Plackett STIMA DELLA MATRICE DI VARIANZA E COVARIANZA Come abbiamo già detto la stima dei parametri col metodo IFM, impropriamete detto verosimigliaza a due passi, o porta a risultati efficieti per il calcolo 57

58 58 degli stadard error asitotici, se si cosidera l iversa cambiata di sego della matrice d iformazioe di Fisher. Per arrivare a risultati che siao efficieti si utilizza l espressioe 3.8, dove V e D, defiite sopra, o soo altro che, rispettivamete, la matrice attesa dei prodotti delle fuzioi puteggio (derivate prime rispetto ai parametri delle fuzioi di verosimigliaza delle margiali e della copula) e la matrice attesa delle derivate secode e delle derivate secode miste delle fuzioi di verosimigliaza. Nel ostro caso pratico cosideriamo due distribuzioi margiali, che implicao fuzioi di verosimigliaza e quidi parametri (uo per margiale) da stimare. Ioltre ogi copula comporta u ulteriore fuzioe di verosimigliaza e o (el caso della copula t-studet) parametri i più da stimare. Pertato el caso della copula studet (viee presa come esempio poiché, avedo u parametro i più delle altre, è la più complessa ) le matrici V e D divetao : = V E c c c c l l l l l l l l (3.9) e = D E c c c c c c c c l l l l l l l l l l l l l l l l (3.0) dove co c l l l,, deotiamo le fuzioi di log-verosimigliaza, rispettivamete, della prima e della secoda margiale e della copula. Ioltre è il parametro della prima margiale, della secoda e, soo i parametri della copula. Poiché l ed l dipedoo solo dai propri parametri e, le derivate di esse rispetto a qualsiasi altra variabile è 0. c l, ivece, dipede da tutti i parametri. Per questo motivo la matrice D può essere riscritta come segue:

59 59 = D E c c c c c c c c l l l l l l l l l l (3.) I valori attesi valgoo a livello di popolazioe e possoo essere sostituiti da stime a livello campioario. Avremmo perciò: = = T t T V ˆ ct ct t t ct ct t t l l l l l l l l (3.) e = = T t T D ˆ ct ct ct ct ct ct ct ct t t l l l l l l l l l l (3.3) dove il pedice t idica la log-verosimigliaza di ogi sigola osservazioe. Sappiamo ifatti che la log-verosimigliaza è defiita a partire dalla somma di quelle di tutte le osservazioi Sostituedo le 3. e 3.3 ella 3.8, troviamo che ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ 0 = Σ D D V (3.4) Che rappreseta lo stimatore della matrice di Godambe e di cosegueza della matrice di variaze e covariaze asitotiche dei parametri.

60 Possiamo, a questo puto, calcolare i maiera efficiete gli stadard error dei parametri e cofrotarli co quelli otteuti semplicemete ivertedo l hessiao delle fuzioi di verosimigliaza (quelle delle margiali e quella della copula). I risultati soo raccolti ella tabelle segueti: Tabella 4 parametri stimati ed errori stadard otteuti dalla matrice di Godambe COPULA margiale margiale ρ v α Gaussia Studet Frak Gumbel Plackett 8.94 (0.87) 8.94 (0.8) 8.94 (0.76) 8.94 (0.78) 8.94 (0.70) (3.57) (3.06) (3.60) (3.6) (3.0) 0.3 (0.046) 0.3 (0.045) 8.07 (4.6).99 (0.30).6 (0.054).79 (0.44) Tabella 5 parametri stimati ed errori stadard otteuti dalla matrice d'iformazioe COPULA margiale margiale ρ v Α Gaussia Studet Frak Gumbel Plackett 8.94 (7.77) 8.94 (7.77) 8.94 (7.77) 8.94 (7.77) 8.94 (7.77) (4.87) 34,07 (4.87) (4.87) (4.87) (4.87) 0.3 (0.040) 0.3 (0.044) 8.07 (3.48).99 (0.87).6 (0.045).79 (0.378) Come si ota gli stadard error calcolati ella tabella a partire dalla matrice di Godambe soo più gradi rispetto al caso i cui soo calcolati co la semplice iversioe della matrice d iformazioe. Questo fatto sta ad idicare come il primo metodo tega i maggiore cosiderazioe l eteroschedasticità. Sfruttado la distribuzioe asitotica dei parametri, si soo calcolati i valori dei t- test dei parametri ed i rispettivi p-value mediate l utilizzo degli stadard error 60

61 stimati dalla matrice di Godambe. I p-value soo calcolati secodo la distribuzioe ormale stadardizzata. Tabella 6 Test di sigificatività dei parametri e rispettivi p-value COPULA margiale margiale ρ v Α Gaussia Studet Frak Gumbel Plackett.74 (0.04).86 (0.03).76 (0.039).76 (0.039).77 (0.038).08 (0.40).06 (0.45).05 (0.47).04 (0.49).06 (0.45) 6.74 (0.000) (0.000) (0.06) 6.4 (0.000) 3.33 (0.000) 6.59 (0.000) Si oti come ad u livello di sigificatività del 5%, i parametri che o risultao sigificativi soo quelli riferiti ai gradi di libertà della distribuzioe t-studet delle margiali. 6

62 6

63 4. APPLICAZIONE DELLE COPULE AL CALCOLO DEL Value at Risk (VaR) Vediamo ora ua delle possibili applicazioi del metodo delle copule i fiaza: la misurazioe del rischio di mercato, o più precisamete il calcolo del Value at Risk Scopo di questo studio è vedere se l uso di copule diverse porta a risultati sigificativamete differeti el calcolo del VaR. I sostaza vogliamo capire come varia questa misura di performace al variare delle strutture di dipedeza e delle assuzioi su come si distribuiscoo le margiali (ricordiamo che ua copula si può scidere ed aalizzare i due parti: le margiali e la struttura di dipedeza tra di esse). Ioltre, si desidera studiare ache come varia il VaR al mutare del peso dato alle sigole compoeti del portafoglio. Gli esiti della misura del VaR per copule diverse viee ifie cofrotato col risultato che si avrebbe calcolado il Value at Risk ella maiera usuale, cioè assumedo ua distribuzioe ormale multivariata per le osservazioi. 4. DEFINIZIONE DI VaR Come prima cosa diamo ua defiizioe di Value at Risk. Il VaR è ua stima della massima perdita poteziale attesa su di u portafoglio di strumeti fiaziari, i u arco temporale defiito (holdig period), co u certo grado di probabilità, a seguito del verificarsi di codizioi di mercato sfavorevoli. Attraverso il VaR si defiisce u idicatore sitetico che cosete il cofroto tra diverse tipologie di strumeti preseti all itero di u portafoglio, sulla base di u uica uità di misura che è la perdita poteziale. Il VaR esprime quale sarà la perdita massima che si potrà avere sulla posizioe aperta al rischio elle successive 4 ore o ei giori segueti, a frote di cambiameti elle variabili di riferimeto ovvero ua perdita che può essere geerata da u movimeto avverso di u prezzo, u cambio, u tasso, i altre parole di u fattore di rischio. Il VaR idica quidi qual è l ammotare di capitale adeguato a coprire le perdite iattese del portafoglio. 63

64 La metodologia VaR è i grado di calcolare il rischio complessivo del portafoglio teedo coto delle dipedeze esisteti tra i diversi fattori di rischio e quidi dell effetto diversificazioe. E qui che le copule hao u ruolo chiave, i quato essedo ogua costruita co ua struttura di dipedeza diversa dalle altre, di cosegueza determiao i legami tra i fattori di rischio all itero del portafoglio, portado a risultati a volte molto discordati. Il valore del VaR complessivo di u portafoglio è iferiore alla somma dei sigoli VaR. I termii matematici il Value at Risk può essere rappresetato come segue; sia X ua variabile casuale che rappreseta la distribuzioe dei profitti e delle perdite di u portafoglio di strumeti fiaziari, il VaR a livello di cofideza (- α) può essere defiito come: ( X ) = if x P( X x) > α VaR La metodologia VaR cosidera la distribuzioe di frequeza dei redimeti che u portafoglio di strumeti fiaziari può possedere i u determiato orizzote temporale e focalizza l attezioe solamete su u percetile, l α -esimo, di tale distribuzioe. Tradizioalmete il Value at Risk viee calcolato assumedo ua distribuzioe ormale multivariata dei fattori di rischio, cosicché la dipedeza tra di essi sia spiegabile semplicemete dalla correlazioe. Ad esempio, cosideriamo u portafoglio di due idici azioari e idichiamo co X e Y le variabili casuali dei rispettivi redimeti. Siao µ X e µ Y le medie e σ X, σ Y le variaze dei redimeti dei due titoli. Il portafoglio composto dai due titoli R = w X X + Y +, dove co co w X e w Y p w Y idichiamo i pesi dei due titoli el portafoglio, ha ua distribuzioe ormale bivariata N (µ P, σ P ). σ P = w X σ X + µ P = w X µ X + w Y µ Y w Y σ Y + ρ XY σ X σ Y w X w Y. w X + w Y = 64

65 La formula per il calcolo del VaR di questo portafoglio ad u livello di cofideza α del 5% diveta: =- µ P - q 0.05 ( w σ X + VaR 95% (R P ) = - µ P - q 0.05 σ P X w Y σ Y + ρ XY σ X σ Y w X w Y ) = ( w VaR ( X ) + w VaR ( Y ) + w w ρ VaR ( X ) VaR ( Y )) X 95% Y 95% X Y 95% 95% / 4. CALCOLO DEL VaR CON IL METODO DELLE COPULE Abbiamo visto come usualmete viee misurato il VaR per u portafoglio di due titoli. Cerchiamo ora ua maiera per applicare il metodo delle copule al calcolo di questo idicatore. Dato u livello di cofideza, il VaR è la soglia sotto la quale i redimeti cadoo solamete co probabilità. Se idichiamo co Z il redimeto del portafoglio di u dato orizzote di tempo T, il VaR è il valore per cui: Pr(Z VaRz)=. Equivaletemete, usado la fuzioe di distribuzioe di Z, ξ(z), il Value at Risk può essere defiito come la soluzioe z * dell equazioe ξ(z * ) =. La fuzioe di distribuzioe ξ può essere scritta i termii di copule ella maiera seguete : cosideriamo u portafoglio di due titoli e siao X e Y i redimeti i u uguale orizzote di tempo T. Sia β (0,) il peso di allocazioe. Il redimeto del portafoglio è Z= βx + (- β)y, co fuzioe di distribuzioe ξ(z)=pr(z z)=pr(βx + (- β)y z) β + z y β β = c( F ( x), F ( y)) f( x) dx f ( y) dy (4.) + β = Pr X z y, Y = y f ( y) dy β β + = β C F z y, F ( y) f ( y) dy β β dove è stata usata la probabilità codizioale via copula (vedi paragrafo.4) 65

66 Nel calcolo del VaR col metodo delle copule o etra la serie storica dei redimeti azioari, i quali etrao ella fuzioe del VaR solo tramite la loro distribuzioe. 4.3 ESEMPIO PRATICO DI CALCOLO DEL VaR CON LE COPULE Mettedo i pratica l espressioe precedete, si è calcolato il Value at Risk di 4 portafogli, composti oguo da coppie di idici azioari. I particolare si è misurato il VaR al livello di sigificatività dell % e del 5% per i segueti abbiameti di idici: Mibtel-CaC40, Mibtel-DAX30, Mibtel-Dow- Joes e Mibtel-FTSE00. Il VaR è stato calcolato facedo uso della copula Gaussiaa, di quella Studet-t, di due copule archimediae (Frack e Gumbel) e della copula di Pluckett. Per quato riguarda le margiali, si è cosiderato u primo caso i cui si assume che esse siao distribuite come studet-t co v gradi di libertà. Successivamete le margiali soo state valutate come ormali di media zero e variaza uitaria I parametri utilizzati: per la copule vere e proprie (cioè le strutture di dipedeza), soo quelli stimati col metodo IFM per ogi coppia di idice azioario. per le margiali soo i gradi di libertà della distribuzioe t-studet, sempre stimati col metodo IFM Si è proceduto ioltre a calcolare il VaR per ogi portafoglio ella maiera tradizioale, ovvero suppoedo ua distribuzioe cogiuta dei redimeti ormale bivariata. I dati usati si riferiscoo alle serie storiche settimaali dei redimeti dei 5 idici mezioati sopra, a partire da ottobre 994 fio all ultimo dato a disposizioe che si riferiva ad Aprile 005, per u totale di 550 osservazioi. Per ogi portafoglio Z i = βx + (- β)y i, co i=,,4 e X e Y i che rappresetao le variabili casuali dei redimeti degli idici azioari, si è fatto variare β, cioè il peso di ogi idice detro al portafoglio Z i, per studiare come cambia il VaR rispetto alla variabile β. L aalisi del VaR per oguo dei 4 portafogli, così come è stata impostata, ha il duplice scopo di: 66

67 esamiare come la struttura di dipedeza tra le serie dei redimeti ifluisce sulla misura del VaR aalizzare l adameto della misura del rischio al variare della composizioe dei pesi all itero del portafoglio. L idagie viee replicata per tutti i portafogli per vedere se i risultati si ripetoo o meo i tutte e 4 le circostaze. Di seguito riportiamo le tabelle che raccolgoo i risultati del calcolo del VaR per i portafogli e per le diverse combiazioi di copule e margiali. Tabella 7 VaR calcolati co livello di cofideza del 5% e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- CaC40. Si cosiderao margiali distribuite come studet-t. (tra paretesi gli stadard error) v mibtel =8.9 (0.6), v CaC40 =30.7 (.69) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ=0.30 (0.044) Studet-t ρ =0.30 (0.046) v=8. (4.04) Gumbel p=. (0.054) Frack p=.95 (0.3) Plackett p=.84 (0.470) Tradizioale ρ= Tabella 8 VaR calcolati co livello di cofideza del 5% e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- CaC40. Si cosiderao margiali distribuite come N(0,). (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.30 (0.044) Gumbel ρ =. (0.054) Frack p=.95 (0.3) Plackett p=.84 (0.470) Tradizioale ρ=

68 Tabella 9 VaR calcolati co livello di cofideza del % e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- CaC40. Si cosiderao margiali distribuite come studet-t. (tra paretesi gli stadard error) v mibtel =8.9 (0.6), v Cac40 =30.7 (.69) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.30 (0.044) Studet-t ρ =0.30 (0.046) v=8. (4.04) Gumbel p=. (0.054) Frack p=.95 (0.3) Plackett p=.84 (0.470) Tradizioale ρ= Tabella 0 VaR calcolati co livello di cofideza del % e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- CaC40. Si cosiderao margiali distribuite come N(0,). (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.30 (0.044) Gumbel p =. (0.054) Frack p=.95 (0.3) Plackett p=.84 (0.470) Tradizioale ρ=

69 Tabella VaR calcolati co livello di cofideza del 5% e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- DAX30. Si cosiderao margiali distribuite come studet-t. (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula v mibtel =8.9 (0.6), v DAX30 =34.06 (3.7) β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.34 (0.044) Studet-t ρ =0.36 (0.045) v=7.76 (3.83) Gumbel p=.9 (0.06) Frack p=.4 (0.335) Plackett p=3.49 (0.58) Tradizioale ρ= Tabella VaR calcolati co livello di cofideza del 5% e vari pesi β per il portafoglio Mibtel-DAX30. Si cosiderao margiali distribuite come N(0,). (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.34 (0.044) Gumbel p=.9 (0.06) Frack p=.4 (0.335) Plackett p=3.49 (0.58) Tradizioale ρ=

70 Tabella 3 VaR calcolati co livello di cofideza del % e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- DAX30. Si cosiderao margiali distribuite come studet-t. (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula v mibtel =8.9 (0.6), v DAX30 =34.06 (3.7) β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.34 (0.044) Studet-t ρ =0.36 (0.045) v=7.76 (3.83) Gumbel p=.9 (0.06) Frack p=.4 (0.335) Plackett p=3.49 (0.58) Tradizioale ρ= Tabella 4 VaR calcolati co livello di cofideza del % e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- DAX30. Si cosiderao margiali distribuite come N(0,). (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.34 (0.044) Gumbel p=.9 (0.06) Frack p=.4 (0.335) Plackett p=3.49 (0.58) Tradizioale ρ=

71 Tabella 5 VaR calcolati co livello di cofideza del 5% e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- Dow-Joes. Si cosiderao margiali distribuite come studet-t. (tra paretesi gli stadard error) v mibtel =8.9 (0.6), v Dow-Joes =34.06 (3.7) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.59 (0.09) Studet-t ρ =0.58 (0.09) v=8.87 (4.59) Gumbel p=.6 (0.077) Frack p=4.4 (0.30) Plackett p=6.3 (0.78) Tradizioale ρ= Tabella 6 VaR calcolati co livello di cofideza del 5% e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- Dow-Joes. Si cosiderao margiali distribuite come N(0,). (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.59 (0.09) Gumbel p=.6 (0.077) Frack p=4.4 (0.30) Plackett p=6.3 (0.78) Tradizioale ρ=

72 Tabella 7 VaR calcolati co livello di cofideza del % e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- Dow-Joes. Si cosiderao margiali distribuite come studet-t (tra paretesi gli stadard error) v mibtel =8.9 (0.6), v Dow-Joes =34.06 (3.7) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.59 (0.09) Studet-t ρ =0.58 (0.09) v=8.87 (4.59) Gumbel p=.6 (0.077) Frack p=4.4 (0.30) Plackett p=6.3 (0.78) Tradizioale ρ = Tabella 8 VaR calcolati co livello di cofideza del % e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- Dow-Joes. Si cosiderao margiali distribuite come N(0,). (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.59 (0.09) Gumbel p=.6 (0.077) Frack p=4.4 (0.30) Plackett p=6.3 (0.78) Tradizioale ρ =

73 Tabella 9 VaR calcolati co livello di cofideza del 5% e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- FTSE00. Si cosiderao margiali distribuite come studet-t (tra paretesi gli stadard error) v mibtel =8.9 (0.6), v FTSE00 =7.7 (8.03) Stima del COPULA parametro della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.7 (0.049) Studet-t ρ =0.7 (0.049) v=5.9 (.956) Gumbel p=. (0.05) Frack p=.77 (0.336) Plackett p=.6 (0.439) Tradizioale ρ = Tabella 0 VaR calcolati co livello di cofideza del 5% e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- FTSE00. Si cosiderao margiali distribuite come N(0,) (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.7 (0.049) Gumbel p=. (0.05) Frack p=.77 (0.336) Plackett p=.6 (0.439) Tradizioale ρ =

74 Tabella VaR calcolati co livello di cofideza del % e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- FTSE00. Si cosiderao margiali distribuite come studet-t (tra paretesi gli stadard error) v mibtel =8.9 (0.6), v FTSE00 =7.7 (8.03) Stima del COPULA parametro della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.7 (0.049) Studet-t ρ =0.7 (0.049) v=5.9 (.956) Gumbel p=. (0.05) Frack p=.77 (0.336) Plackett p=.6 (0.439) Tradizioale ρ = Tabella VaR calcolati co livello di cofideza del % e vari pesi β per il portafoglio Mibtel- FTSE00. Si cosiderao margiali distribuite come N(0,) (tra paretesi gli stadard error) Stima del parametro COPULA della copula β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel β mibtel Gaussia ρ =0.7 (0.049) Gumbel p=. (0.05) Frack p=.77 (0.336) Plackett p=.6 (0.439) Tradizioale Ρ =

75 Come si può otare, maca la misura del VaR per la copula Studet-t ei casi i cui le margiali siao cosiderate distribuite come N(0,), i quato la fuzioe usata per misurare il VaR co il software R o è riuscita a calcolarlo. Naturalmete ad u livello di sigificatività più basso, aumeta i valore assoluto il valore della misura del rischio di perdita, poiché cosideriamo valori della distribuzioe sempre più lotai dal cetro della distribuzioe. Per ogi portafoglio e per etrambi i livelli di sigificatività, laddove si valutao margiali studetizzate, la copula Studet-t ha u valore del VaR miore i valore assoluto rispetto alle altre copule. Si può dire quidi che tale copula sottovaluta la perdita di capitale che potrebbe esserci i caso di sorte avversa. Le altre copule cosiderate hao valori che si avviciao tra loro ache se la copula Gumbel (ua delle copule archimediae) sembra avere, i tutti i casi, valori maggiori i termii assoluti delle altre copule. Rispetto alla variabile rappresetata dal peso β, si ota i ogi caso come il VaR dimiuisca ma mao che ci si avvicia ad u valore del β pari a 0.5 (50%). Ciò sta ad idicare che quato più il portafoglio è bilaciato tra i titoli azioari, tato è miore il rischio di icorrere i perdite, poiché siamo el caso di massima diversificazioe. Al cotrario ma mao che i pesi soo squilibrati ( β che tede a 0 o a ), il rischio di icorrere i perdita di capitale aumeta, poiché ivestedo tutto i u uico idice, etra i gioco il rischio specifico dell idice i cui putiamo tutto. L aumeto del rischio è abbastaza simmetrico ei casi cotrapposti che si pesi di più u idice del portafoglio rispetto all altro o viceversa. Tuttavia il VaR sarà maggiore, ei casi estremi di β=0 o β=, per quell idice co volatilità (stadard error) maggiore. Sempre rispetto al variare della composizioe dei portafogli, si riscotra ella copula Gaussiaa la variazioe più elevata della misura del Value at Risk tra valori estremi e cetrali del parametro β. Da otare ioltre che le copule cosiderate (ad esclusioe di quella studet) tedoo a coicidere per i vaori estremi di β. Se cofrotiamo i risultati otteuti assumedo distribuzioi diverse per le margiali, si ota come: 75

76 per il livello di cofideza del 5% i valori ei due casi siao abbastaza vicii, ache se el caso di margiali studetizzate il valore del VaR i termii assoluti è maggiore. Per il livello di cofideza del %, la differeza tra i due casi aumeta, perché si sete maggiormete il fatto che le margiali distribuite come ua studet t hao code più pesati. Questa differeza è più grade el caso i cui si stimi u valore basso dei gradi di libertà per la margiale T- studet, perché al variare del parametro dei gradi di libertà all ifiito la margiale ha u comportameto sempre più simile a quello di ua ormale. Se cofrotiamo il VaR calcolato ella maiera tradizioale (ultima riga di ogi tabella), cioè suppoedo ua distribuzioe cogiuta delle osservazioi ormale multivariata, co quello valutato dalle copule, ci accorgiamo come i ogi caso cosiderato la misura della perdita poteziale di capitale sia sovrastimata. Ad ua baca che calcoli il VaR per iformare i clieti circa il rischio di perdita poteziale di capitale di u portafoglio di titoli, o cosigliamo di usare il metodo tradizioale di misurazioe del VaR. Tra i vari portafogli quelli che hao la maggiore probabilità di icorrere i perdite soo quelli composti dall idice Mibtel co l idice Dow-Joes e dal Mibtel co il FTSE00 iglese. Questi portafogli, ifatti, hao valori del VaR i ogi caso maggiori rispetto agli altri portafogli. 76

77 5. IMPLEMENTAZIONE IN R: La fuzioe copula. Il programma, scritto col software R, ha lo scopo di tradurre i pratica il metodo di stima IFM (spiegato el capitolo 3) per i parametri delle copule e delle margiali. Ioltre vegoo calcolati gli stadard error dei parametri a partire dalla matrice d iformazioe di Godambe (3.8). Da ultimo viee presetata la procedura tecica per il calcolo del VaR per mezzo delle copule. Questo capitolo raccoglie i comadi più importati del programma che viee riportato per itero ell appedice. Le librerie d iteresse per il programma soo: library(ts) library(tseries) Il loro uso è limitato alla fase di aalisi delle serie di iput, alla stima del modello Garch(,) e al calcolo dei residui stadardizzati del modello. I dati di iput soo le osservazioi di due serie storiche di idici azioari. serie<-read.table("c:\\winnt\\profiles\\zilio\\desktop\\ serietutte.txt", header=t) copula<-fuctio(dati,pesi) La fuzioe copula, che dipede dalle variabili dati (dati di iput) e pesi (pesi del portafoglio bivariato su cui è calcolato il VaR), ha al suo itero tutte le procedure per aalizzare e stimare u modello Garch(,) per le serie dei redimeti degli idici azioari dati come iput, per stimare i parametri delle copule e i relativi stadard error, per calcolare i test di sigificatività sui parametri (e i p-value) e per valutare umericamete il VaR per il portafoglio formato dai idici azioari cosiderati. 77

78 I coclusioe, basta assegare, alla fuzioe copula, i dati di iput e i pesi del portafoglio, per otteere i output ciò che si desidera studiare. lserie<-log(dati) rserie<-matrix(0,549,) rserie[,]<-diff(lserie[,],) rserie[,]<-diff(lserie[,],) Questi comadi calcolao i redimeti logaritmici per etrambe gli idici azioari. Successivamete per le serie dei redimeti viee stimato u modello Garch(,) uigarch=fuctio(y) garch.y=garch(y,order=c(,),trace=f) resid.stad=residuals(garch.y,stadardize=t) retur(resid.stad) parg<-array(0,c(,3)) se.g<-array(0,c(,3)) rgserie<-array(0,c(549,)) for (i i :) parg[i,]<-garch(rserie[,i],order=c(,))$coef se.g[i,]<-garch(rserie[,i],order=c(,))$asy.se.coef test.g<-parg/se.g p.value.g<-porm(test.g) rgserie[,i]<-uigarch(rserie[,i]) rgserie[,]<-0 Per i modelli Garch(,) (uo per serie), vegoo stimati co il metodo della massima verosimigliaza, mediate il comado Garch, i parametri del modello e i relativi stadard error. A partire da queste iformazioi si ottegoo i test di sigificatività dei parametri e i rispettivi p-value. 78

79 La fuzioe uigarch restituisce, per etrambe le serie, i residui stadardizzati del modello. par(mfrow = c(, )) hist(rgserie[,],freq=f,right=f,mai="residui stadardizzati del Garch(,) della serie",ylab="desity", xlab="quatili") hist(rgserie[,],freq=f,right=f,mai="residui stadardizzati del Garch(,) della serie",ylab="desity", xlab="quatili") Col comado hist vegoo disegati gli istogrammi dei residui stadardizzati del Garch(,) per le due serie. Si vuole vedere se tali residui hao u adameto della distribuzioe ormale (N(0,) visto che soo stadardizzati) o se, data la pesatezza delle cose, è preferibile stimare per essi ua distribuzioe t- studet. jbt<-rep(0,) p.val<-rep(0,) for (i i :) jjbt<-jarque.bera.test(rgserie[,i]) jbt[i]<-jjbt$statistic p.val[i]<-(-pchisq(jbt[i],)) Co il comado jarque.bera.test si testa l ipotesi di ormalità (tramite l omoimo test) della distribuzioe dei residui stadardizzati delle due serie. La statistica test sotto l ipotesi di ormalità ha distribuzioe χ. Il comado p.val restituisce i p.value del test. Si procede ora alla stima dei gradi di libertà, ipotizzado per le serie dei residui ua distribuzioe t-studet. pr<-array(0,) stderr.t<-c(0,0) 79

80 for ( i i :) tstudet<-fuctio(p) sum(log(dt(rgserie[,i],p))) pri<optim(p=0,tstudet,gr=null,method=c("bfgs"),cotrol=list(f scale=-),hessia=true) pr[i]<-pri$par stderr.t[i]<-sqrt(-solve(pri$hessia)) Il comado optim calcola il valore della variabile p, per cui la fuzioe (fuzioe di verosimigliaza della distribuzioe t-studet) ammette valore massimo. Ioltre viee restituito il valore dell hessiao, il quale ivertito e cambiato di sego rappreseta la matrice d iformazioe osservata, che è ua stima della variaza del parametro stimato col metodo della massima verosimigliaza. Come abbiamo visto questa stima o è efficiete. se<-array(0,c(549,)) for ( i i :) se[,i]<-pt(rgserie[,i],pr[i]) Le due serie dei residui vegoo trasformate col comado pt elle rispettive serie delle probabilità cumulate delle fuzioi di distribuzioe studet-t stimate. D ora i poi queste serie rappreseterao le margiali delle fuzioi copula. parametri<-fuctio(dati,dati) La fuzioe parametri raccoglie i comadi per la stima dei parametri delle copule e dei corrispodeti stadard error el modo tradizioale (o efficiete el ostro caso) e mediate il calcolo della matrice di Godambe. Ioltre questa fuzioe restituisce i valori del VaR calcolato co le copule per il portafoglio formato dai due idici azioari. 80

81 <-legth(dati) cor<-c(0,0) stderr.stud<-c(0,0) studcopbiv<-fuctio(p) (-(/)*log(-p[]^)+*lgamma((p[]+)/)+*lgamma(p[]/)- **lgamma((p[]+)/)-((p[]+)/)*sum(log(+ (qt(dati,p[])^+qt(dati,p[])^-*p[]*qt(dati,p[])* qt(dati,p[]))/(p[]*(-p[]^))))+((p[]+)/)*sum (log((+(qt(dati,p[])^)/p[])*(+(qt(dati,p[])^)/p[]) ))) cor<-optim(p=c(0.5,3),studcopbiv,gr=null,method=c("bfgs"), cotrol=list(fscale=-),hessia=true) par<-cor$par stderr.stud[]<-sqrt(-solve(cor$hessia[,])) stderr.stud[]<-sqrt(-solve(cor$hessia[,])) Come prima cosa mediate optim calcoliamo i parametri della copula e il loro hessiao, che serve per stimare le rispettive variaze. La fuzioe da massimizzare è quella di verosimigliaza della copula d iteresse. Nel seguito, per comodità, riportiamo i comadi solo per la copula t-studet, ma le stesse procedure devoo essere svolte ache per le altre copule. La fuzioe parametri ha al suo itero ache i comadi per il calcolo del VaR del portafoglio composto dai due idici azioari. Esso può essere calcolato per diverse composizioi del portafoglio, date dalla combiazioi di pesi assegati a ciascu idice (per vari valori della variabile pesi). Da otare che per il calcolo del VaR si ricorre ad u doppio itegrate, come suggerito dall espressioe 4.. ro <-par[] v<-pr[] v<-pr[] v<-par[] prob<-fuctio(z) 8

82 f3 <- fuctio(y) itegrate(fuctio(x)(/sqrt(- ro^))*gamma((v+)/)*gamma(v/)/ gamma ((v+)/)^*((+(qt(pt(x,v),v)^+qt(pt(y,v),v)^- *ro*qt(pt(x,v),v)*qt(pt(y,v),v))/(v*(-ro.s^)))^- (v+)/)/(((+(qt(pt(x,v),v)^)/v)^(-(v+)/))*((+ (qt(pt(y,v),v)^)/v)^(-(v+)/)))*dt(x,v),lower=-if, upper=(/pesi)*z-((-pesi)/pesi)*y)$value itegrate(fuctio(y) sapply(y,f3)* dt(y,v),lower=- If,upper=If)$value-0.0 st<-uiroot(prob,0,-4) Poiché la fuzioe che defiisce il VaR dipede da u parametro (z), si deve trovare il valore di questo parametro per il quale la fuzioe valga 0. il comado uiroot serve a tale proposito. Il passo successivo fatto dalla fuzioe parametri è quello di determiare i maiera efficiete gli stadard error, partedo dalla rappresetazioe della matrice di Godambe (3.8) Si defiisce per prima la matrice V, ovvero la matrice attesa dei prodotti delle fuzioi puteggio (ua per la copula e due per le margiali). Al posto del valore atteso che defiisce V, usiamo ua stima per esso, come ella 3. Di seguito vegoo calcolate le derivate prime campioarie delle fuzioi di verosimigliaza delle margiali e della copula (come già detto, riportiamo solo quella della copula t-studet). Le derivate soo calcolate a partire dalla defiizioe di derivata come rapporto icremetale di ua data fuzioe. L aprossimazioe data (eps) varia da 0-4 a 0-5. Derivata prima della fuzioe di verosimigliaza della margiale rispetto al parametro dei gradi di libertà. f=fuctio(p) log(dt(rgserie[,],p)) 8

83 dermarg <- fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps marg<-(dermarg(pr[])) f=fuctio(p) log(dt(rgserie[,],p)) dermarg <- fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps marg<-(dermarg(pr[])) Derivata prima della fuzioe di verosimigliaza della copula rispetto ai parametri della copula f=fuctio(ro) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/) +lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+ (qt(se[,],v)^+qt(se[,+],v)^-*ro*qt(se[,],v)* qt(se[,+],v))/(v*(-ro^)))) +((v+)/)*(log((+(qt (se[,],v)^)/v)*(+(qt(se[,+],v)^)/v)))) dersturo<-fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps studet<-dersturo(par[]) ro<-par[] f=fuctio(v) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(se[,],v)^ +qt(se[,+],v)^-*ro*qt(se[,],v)*qt(se[,+],v))/(v*(- ro^)))) +((v+)/)*(log((+(qt(se[,],v)^)/v)* (+(qt(se[,+],v)^)/v)))) dersturo<-fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps studet<-dersturo(par[]) Il secodo passo è il calcolo della matrice D, ovvero la matrice delle derivate secode e delle derivate secode miste delle fuzioi di verosimigliaza rispetto a tutti i parametri. Come prima, al posto del valore atteso si è proceduto alla stima della matrice delle derivate secode campioarie (3.3). Derivata secoda della fuzioe di verosimigliaza della margiale rispetto al parametro dei gradi di libertà. 83

84 f=fuctio(p) log(dt(rgserie[,],p)) dermarg <- fuctio(p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv marg<-dermarg(pr[]) f=fuctio(p) log(dt(rgserie[,],p)) dermarg <- fuctio(p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv marg<-dermarg(pr[]) Derivata secoda della fuzioe di verosimigliaza della copula rispetto ai parametri della copula f=fuctio(v) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)-*lgamma ((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^ +qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p),v)* qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)*(log((+ (qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[,],p),v) ^)/v)))) der <- fuctio(p,eps=e-5) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet3<-(der(par[])) f=fuctio(ro) 84

85 Derivata secoda mista della fuzioe di verosimigliaza della copula rispetto a ciascu parametro della copula (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/) *(log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,eps=e-5) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet7<-(der(par[])) p<-pr[] p<-pr[] f=fuctio(v,ro) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p ),v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet<-(der(par[],par[])) f=fuctio(v,p) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* 85

86 (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet4<-(der(par[],pr[])) f=fuctio(v,p) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet5<-(der(par[],pr[])) f=fuctio(ro,v) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p), v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv 86

87 studet6<-(der(par[],par[])) f=fuctio(ro,p) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p), v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet8<-(der(par[],pr[])) f=fuctio(ro,p) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p), v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet9<-(der(par[],pr[])) Il passo fiale è ricomporre le due matrici secodo la 3.4 i maiera da trovare la matrice di Godambe per il calcolo degli errori stadard efficieti per i parametri stimati. vstudet<-0 for (i i :) 87

88 dstudet<dstudet+(rbid(marg[i],marg[i],studet[i],studet[i])%*% cbid(marg[i],marg[i],studet[i],studet[i]))/ o<-0; p<-0;q<-0;r<-0 for (i i :) o<-o+(cbid(marg[i],0,0,0))/ p<-p+(cbid(0,marg[i],0,0))/ q<q+(cbid(studet8[i],studet9[i],studet7[i],studet6[i]))/ r<r+(cbid(studet4[i],studet5[i],studet[i],studet3[i]))/ dstudet<-rbid(o,p,q,r) gstudet<sqrt((solve(dstudet%*%solve(vstudet)%*%t(dstudet))/)) Ifie si soo usati gli stadard error efficieti appea stimati per calcolare test di sigificatività sui parametri della copula e delle margiali, calcolado ache il rispettivo p-value facedo leva sulla distribuzioe campioaria dei parametri (3.7). t.studet<-par[]/gstudet[3,3] t.studet<-par[]/gstudet[4,4] t.marg<-pr[]/gstudet[,] t.marg<-pr[]/gstudet[,] p.studet<--porm(t.studet) p.studet<--porm(t.studet) p.marg<--porm(t.marg) p.marg<--porm(t.marg) 88

89 6. CONCLUSIONI Il presete lavoro ha tra i suoi scopi quello di presetare il cocetto di copula, la quale possiede la proprietà di legare tra loro sigole fuzioi di distribuzioe margiali, secodo ua struttura di dipedeza, per formare ua fuzioe di distribuzioe multivariata. E ua peculiarità propria delle copule quella di essere scompoibile i queste due parti. Dopo avere dato ua defiizioe dal puto di vista teorico-matematico, ed avere cosiderato i legami co le misure di associazioe, si è proceduto all aalisi ifereziale della copula, che può essere vista come u modello multivariato. Successivamete la ozioe di copula è stata applicata al campo dell aalisi fiaziaria ed i particolare al calcolo del Value at Risk. L aalisi svolta dal puto di vista ifereziale e per la misura del VaR è stata implemetata co il software statistico R. Il risultato più importate della teoria delle copule è sez altro il teorema di Sklar il quale garatisce che ogi copula è ua fuzioe di distribuzioe cogiuta, se i suoi argometi soo fuzioi di distribuzioe margiali, e vale ache l opposto, cioè ogi fuzioe di distribuzioe cogiuta può essere estesa a copula e se le margiali soo cotiue l estesioe è uica. Il teorema di Sklar permette di scrivere la probabilità cogiuta come fuzioe delle margiali cumulative e viceversa : F(x)= C(F (x ),, F (x )). Questa possibilità viee chiamata iterpretazioe probabilistica di base delle copule. U implicazioe del teorema è quella di permettere alla copula di essere trattata come u modello multivariato e di otteere quidi la relativa fuzioe di desità, che può essere scritta i forma caoica,come segue, separado la desità della copula vera e propria (struttura di dipedeza) dalle desità margiali f ( x,..., x ) = c( F ( x),..., F ( x )) f j ( x j ) j= 89

90 Le pricipali famiglie di copule soo : la Gaussiaa, la studet-t (che derivao dalle omoime distribuzioi multivariate), le copule archimediae (Frach, Gumbel) e la copula di Plackett. Dal puto di vista ifereziale esistoo due metodi di stima per i parametri delle copule : il classico metodo di verosimigliaza (detta ache esatta) ed il metodo IFM (iferece for the margis). Il secodo metodo parte dalla rappresetazioe caoica, e stima (col metodo della verosimigliaza) prima i parametri delle margiali e successivamete quelli della struttura di dipedeza. Questo metodo può essere defiito, impropriamete, come verosimigliaza a due passi. Il metodo IFM è preferibile al primo perché è computazioalmete più semplice, specie ei casi di gradi dimesioi, dato che o è ecessario stimare cogiutamete i parametri delle margiali e quelli della struttura di dipedeza. Tuttavia gli stadard error calcolati come semplice iversioe della matrice d iformazioe di Fisher (hessiao della fuzioe di verosimigliaza calcolato el puto di stima del parametro) o soo efficieti e si deve ricorrere al calcolo della matrice di Godambe (3.8). Gli stadard error così otteuti possoo essere usati per calcolare test di sigificatività sui parametri delle copule e delle margiali sfruttado la distribuzioe asitotica 3.7 dei parametri. Il metodo IFM e la stima della matrice di Godambe, cofrotata co l iversioe dell hessiao della fuzioe di verosimigliaza, soo stati applicati ai dati settimaali di due idici azioari (DAX30 e Dow-Joes). Si ota come el secodo caso gli stadard error risultio sottostimati rispetto al primo caso. Il metodo delle copule viee applicato alla misura del Value at Risk tramite il cocetto di distribuzioe codizioale via copula C u u,..., u ) ed i k ( k k particolare tramite l espressioe 4.. L utilizzo delle copule per il calcolo del VaR è iteressate per vedere come la struttura di dipedeza, scelta per legare le margiali, ifluezi il valore del Value at Risk. Allo stesso modo si può studiare come le ipotesi sulla distribuzioe margiale ifluezi tale misura. 90

91 L aalisi è stata svolta per 4 portafogli di idici azioari (Mibtel-Cac, Mibtel-Dax, Mibtel-Dow-Joes e Mibtel-FTSE) su dati settimaali, co livelli di sigificatività dell e del 5%, facedo uso delle 5 pricipali famiglie di copule. Le margiali soo state cosiderate, i u primo caso, distribuite come studet-t co v gradi di libertà, successivamete distribuite come ormali co media zero e variaza uitaria. Da ultimo, soo stati fatti variare i pesi attribuiti ai portafogli per misurare la sesibilità del valore del VaR a tale parametro. La copula Studet-t è risultata avere u valore del VaR miore i valore assoluto rispetto alle altre copule, metre dal puto di vista dei pesi attribuiti ai portafogli si ota come il VaR dimiuisca ma mao che ci si avvicia ad u valore del β pari a 0.5, poiché siamo el caso di massima diversificazioe. 9

92 93

93 APPENDICE library(ts) library(tseries) library(s) serie<-read.table("a:\\ seriedati.txt",header=t) serie<-cbid(serie[,3],serie[,]) copula<-fuctio(dati,pesi) lserie<-log(dati) rserie<-matrix(0,549,) rserie[,]<-diff(lserie[,],) rserie[,]<-diff(lserie[,],) uigarch=fuctio(y) garch.y=garch(y,order=c(,),trace=f) resid.stad=residuals(garch.y,stadardize=t) retur(resid.stad) parg<-array(0,c(,3)) se.g<-array(0,c(,3)) rgserie<-array(0,c(549,)) for (i i :) parg[i,]<-garch(rserie[,i],order=c(,))$coef se.g[i,]<-garch(rserie[,i],order=c(,))$asy.se.coef test.g<-parg/se.g p.value.g<-porm(test.g) rgserie[,i]<-uigarch(rserie[,i]) rgserie[,]<-0 par(mfrow = c(, )) 94

94 hist(rgserie[,],freq=f,right=f,mai="residui stadardizzati del Garch(,) della serie",ylab="desity",xlab="quatili") hist(rgserie[,],freq=f,right=f,mai="residui stadardizzati del Garch(,) della serie",ylab="desity",xlab="quatili") jbt<-rep(0,) p.val<-rep(0,) for (i i :) jjbt<-jarque.bera.test(rgserie[,i]) jbt[i]<-jjbt$statistic p.val[i]<-(-pchisq(jbt[i],)) pr<-array(0,) stderr.t<-c(0,0) for ( i i :) tstudet<-fuctio(p) sum(log(dt(rgserie[,i],p))) pri<optim(p=0,tstudet,gr=null,method=c("bfgs"),cotrol=list(f scale=-), hessia=true) pr[i]<-pri$par stderr.t[i]<-sqrt(-solve(pri$hessia)) se<-array(0,c(549,)) for ( i i :) se[,i]<-pt(rgserie[,i],pr[i]) parametri<-fuctio(dati,dati) 95

95 <-legth(dati) cor<-c(0,0) stderr.stud<-c(0,0) studcopbiv<-fuctio(p) (-(/)*log(-p[]^)+*lgamma((p[]+)/)+*lgamma(p[]/)- ** lgamma((p[]+)/)-((p[]+)/)*sum(log(+ (qt(dati,p[])^+qt(dati,p[])^-*p[]*qt(dati,p[])*qt (dati,p[]))/(p[]*(-p[]^))))+((p[]+)/)* sum(log((+ (qt(dati,p[])^)/p[])*(+(qt(dati,p[])^)/p[])))) cor<-optim(p=c(0.5,3),studcopbiv,gr=null,method=c("bfgs"), cotrol=list(fscale=-),hessia=true) par<-cor$par stderr.stud[]<-sqrt(-solve(cor$hessia[,])) stderr.stud[]<-sqrt(-solve(cor$hessia[,])) gaussbiv<-fuctio(p) (-/*log(-p^)+sum((qorm(dati)^+qorm(dati)^)/+ (*p*qorm(dati) *qorm(dati)-qorm(dati)^- qorm(dati)^)/(*(-p^)))) corr<-optim(p=0.,gaussbiv,gr=null,method=c("bfgs"), cotrol=list(fscale=-),hessia=true) par<-corr$par stderr.gauss<-sqrt(-solve(corr$hessia)) plackett<-fuctio(p) (*log(p)+sum(log(+(dati-*dati*dati+dati)*(p-)))-.5*sum(log((+(p-)*(dati+dati))^-4*dati*dati*p*(p- )))) pl<-optim(p=0.,plackett,gr=null,method=c("bfgs"), cotrol=list(fscale=-),hessia=true) par<-pl$par stderr.pl<-sqrt(-solve(pl$hessia)) Frack<-fuctio(p) sum(log(-((/p)*((exp(-p*dati))*p*(exp(-p*dati)*p)/(exp(- p)-)/(+((exp(-p*dati))-)*(exp(-p*dati)-)/(exp(-p)-))- ((exp(-p*dati))*p*(exp(-p*dati)-)/(exp(-p)-))*(((exp(- 96

96 p*dati))-)*(exp(-p*dati)*p)/(exp(-p)-))/((+((exp(- p*dati))-)*(exp(-p*dati)-)/(exp(-p)-))^))))) fr<-optim(p=0.,frack,gr=null,method=c("bfgs"), cotrol=list(fscale=-),hessia=true) par3<-fr$par stderr.fr<-sqrt(-solve(fr$hessia)) gumbel<-fuctio(p) (sum(-((-log(dati))^p+(-log(dati))^p)^(/p))-sum(log(dati *dati))+(p-)*sum(log(-log(dati)))+(p-)*sum(log(-log (dati)))+((-*p)/p)*sum(log((-log(dati))^p+(-log (dati ))^p))+sum(log(((-log(dati))^p+(-log(dati))^p)^(/p) +p- ))) gm<-optim(p=,gumbel,gr=null,method=c("bfgs"), cotrol=list(fscale=-),hessia=true) par4<-gm$par stderr.gm<-sqrt(-solve(gm$hessia)) p<-par4 v<-pr[] v<-pr[] prob<-fuctio(z) f3 <- fuctio(y) itegrate(fuctio(x) exp(-((-log(pt(x,v)))^p+(- log(pt(y,v)))^p)^(/p)) *(/pt(x,v))*(/pt(y,v))*(- log(pt(x,v)))^(p-)*(-log(pt(y,v)))^(p-)* ((- log(pt(x,v)))^p+(-log(pt(y,v)))^p)^((-*p)/p) *(((- log(pt(x,v)))^p+(-log(pt(y,v)))^p)^(/p)+p-)* dt(x,v),lower=-if,upper=(/pesi)*z-((-pesi)/pesi)*y)$value itegrate(fuctio(y) sapply(y,f3)*dt(y,v),lower=- If,upper=If)$value-0.0 gu<-uiroot(prob,0,-4) p<-par 97

97 prob<-fuctio(z) f3 <- fuctio(y) itegrate(fuctio(x) p*(+(pt(x,v)- *pt(x,v)*pt(y,v)+pt(y,v))*(p-))/ ((+(p- )*(pt(x,v)+pt(y,v)))^-4*pt(x,v)*pt(y,v)*p*(p-))^.5* dt(x,v),lower=-if,upper=(/pesi)*z-((-pesi)/pesi)*y)$value itegrate(fuctio(y) sapply(y,f3)*dt(y,v),lower=- If,upper=If)$value-0.0 pl<-uiroot(prob,0,-4) p<-par3 prob<-fuctio(z) f3 <- fuctio(y) itegrate(fuctio(x) dt(x,v)*-( (/p) * ((exp(-p * pt(x,v))) * p * ( exp(-p * pt(y,v)) * p)/(exp(-p ) - )/( + (( exp(-p * pt(x,v))) - ) * ( exp(-p * pt(y,v)) - )/(exp(-p ) - ))- (( exp(-p * pt(x,v))) * p * ( exp(-p * pt(y,v)) - )/(exp(-p ) - )) * ((( exp(-p * pt(x,v))) - ) * ( exp(-p * pt(y,v)) * p)/(exp(-p ) - ))/(( + (( exp(-p * pt(x,v))) - ) * ( exp(-p *pt(y,v)) - )/(exp(-p ) - ))^))),lower=-if,upper=(/pesi)*z-((- pesi)/pesi)*y)$value itegrate(fuctio(y) sapply(y,f3)*dt(y,v),lower=- If,upper=If)$value-0.0 fr<-uiroot(prob,0,-4) ro.s<-par[] v<-par[] prob<-fuctio(z) 98

98 f3 <- fuctio(y) itegrate(fuctio(x) (/sqrt(-ro.s^))*gamma((v+)/)* gamma(v/) /gamma((v+)/)^*((+(qt(pt(x,v),v)^+ qt(pt(y,v),v)^-*ro.s* qt(pt(x,v),v)*qt(pt(y,v), v))/(v*(-ro.s^)))^-(v+)/)/(((+(qt(pt(x,v),v)^) /v)^(-(v+)/))*((+(qt(pt(y,v),v)^)/v)^(- (v+)/)))*dt(x,v),lower=-if,upper=(/pesi)*z-((- pesi)/pesi)*y)$value itegrate(fuctio(y) sapply(y,f3)* dt(y,v),lower=- If,upper=If)$value-0.0 st<-uiroot(prob,0,-4) ro<-par prob<-fuctio(z) f3 <- fuctio(y) itegrate(fuctio(x) /sqrt(-ro^)*exp(((qorm(pt(x,v)))^ + (qorm(pt(y,v)))^)/+(*ro*(qorm(pt(x,v))) *(qorm(pt(y,v)))-(qorm(pt(y,v)))^-(qorm(pt(x,v)))^) /(*(-ro^)))*dt(x,v),lower=-if, upper=(/pesi)*z-((- pesi)/ pesi)*y)$value itegrate(fuctio(y) sapply(y,f3)* dt(y,v),lower=- If,upper=If)$value-0.0 ga<-uiroot(prob,0,-4) a<-cbid(0,0) b<-cbid(0,0) for (i i :) a[i]<-mea(rgserie[,i]) b[i]<-sqrt(var(rgserie[,i])) 99

99 rot<-cor(rgserie)[,] vartrad<--(pesi^*(-a[]-qorm(0.99,a[],b[]^)*b[])^+(- pesi)^*(-a[]-qorm(0.99,a[],b[]^)*b[])^+pesi*(- pesi)*ro[,]*(-a[]-qorm(0.99,a[],b[]^)*b[])*(-a[]- qorm(0.99,a[],b[]^)*b[])) f=fuctio(p) log(dt(rgserie[,],p)) dermarg <- fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps marg<-(dermarg(pr[])) f=fuctio(p) log(dt(rgserie[,],p)) dermarg <- fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps marg<-(dermarg(pr[])) f=fuctio(p) log(dt(rgserie[,],p)) dermarg <- fuctio(p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv marg<-dermarg(pr[]) f=fuctio(p) log(dt(rgserie[,],p)) dermarg <- fuctio(p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv marg<-dermarg(pr[]) f=fuctio(p) log(-( (/p) * ((exp(-p * se[,])) * p * ( exp(-p * se[,]) * p)/(exp(-p ) - )/( + (( exp(-p * se[,])) - ) * ( exp(-p * se[,]) - )/(exp(-p ) - ))- (( exp(-p * se[,])) * p * ( exp(-p * se[,]) - )/(exp(-p ) - )) * ((( exp(-p * se[,])) - ) * ( exp(-p * se[,]) * p)/(exp(-p ) - 00

100 ))/(( + (( exp(-p * se[,])) - ) * ( exp(-p * se[,]) - )/(exp(-p ) - ))^)))) derfra<-fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps frack<-(derfra(par3)) f=fuctio(p) log(-( (/p) * ((exp(-p * se[,])) * p * ( exp(-p * se[,+]) * p)/(exp(-p ) - )/( + (( exp(-p * se[,])) - ) * ( exp(-p * se[,+]) - )/(exp(-p ) - ))- (( exp(-p * se[,])) * p * ( exp(-p * se[,+]) - )/(exp(-p ) - )) * ((( exp(-p * se[,])) - ) * ( exp(-p * se[,+]) * p)/(exp(-p ) - ))/(( + (( exp(-p * se[,])) - ) * ( exp(-p * se[,+]) - )/(exp(-p ) - ))^)))) derfra <- fuctio(p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv frack<-derfra(par3) p<-pr[] f=fuctio(p,p) log(-( (/p) * ((exp(-p * pt(rgserie[,],p))) * p * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) * p)/(exp(-p ) - )/( + (( exp(-p * pt(rgserie[,],p))) - ) * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) - )/(exp(-p ) - ))- (( exp(-p * pt(rgserie[,],p))) * p * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) - )/(exp(-p ) - )) * ((( exp(-p * pt(rgserie[,],p))) - ) * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) * p)/(exp(-p ) - ))/(( + (( exp(-p * pt(rgserie[,],p))) - ) * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) - )/(exp(-p ) - ))^)))) derfrap <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv frackp<-derfrap(par3,pr[]) 0

101 p<-pr[] f=fuctio(p,p) log(-( (/p) * ((exp(-p * pt(rgserie[,],p))) * p * ( exp(- p * pt(rgserie[,],p)) * p)/(exp(-p ) - )/( + (( exp(-p * pt(rgserie[,],p))) - ) * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) - )/(exp(-p ) - ))- (( exp(-p * pt(rgserie[,],p))) * p * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) - )/(exp(-p ) - )) * ((( exp(-p * pt(rgserie[,],p))) - ) * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) * p)/(exp(-p ) - ))/(( + (( exp(-p * pt(rgserie[,],p))) - ) * ( exp(-p * pt(rgserie[,],p)) - )/(exp(-p ) - ))^)))) derfrap <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv frackp<-derfrap(par3,pr[]) f=fuctio(p) log(p)+(log(+(se[,]-*se[,+]*se[,]+se[,+])*(p-)))-.5*(log((+(p-)*(se[,]+se[,+]))^- 4*se[,]*se[,+]*p*(p-))) derpla<-fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps plackett<-derpla(par) f=fuctio(p) log(p)+(log(+(se[,]-*se[,+]*se[,]+se[,+])*(p-)))-.5*(log((+(p-)*(se[,]+se[,+]))^- 4*se[,]*se[,+]*p*(p-))) derpla <- fuctio(p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv plackett<-derpla(par) 0

102 p<-pr[] f=fuctio(p,p) log(p)+(log(+(pt(rgserie[,],p)-*pt(rgserie[,],p)* pt(rgserie[,],p) +pt(rgserie[,],p))*(p-)))-.5*(log((+(p-)*(pt(rgserie[,],p)+ pt(rgserie[,],p) ))^-4*pt(rgserie[,],p)*pt(rgserie[,],p)*p*(p-))) derplap <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv plackettp<-derplap(par,pr[]) p<-pr[] f=fuctio(p,p) log(p)+(log(+(pt(rgserie[,],p)-*pt(rgserie[,],p)* pt(rgserie[,],p) +pt(rgserie[,],p))*(p-)))-.5*(log((+(p-)*(pt(rgserie[,],p)+ pt(rgserie[,],p) ))^-4*pt(rgserie[,],p)*pt(rgserie[,],p)*p*(p-))) derplap <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv plackettp<-derplap(par,pr[]) f=fuctio(p) (-((-log(se[,]))^p+(-log(se[,+]))^p)^(/p))- (log(se[,]*se[,+]))+(p-)*(log(-log(se[,])))+(p- )*(log(-log(se[,+])))+((-*p)/p)*(log((- log(se[,]))^p+(-log(se[,+]))^p))+(log(((- log(se[,]))^p+(-log(se[,+]))^p)^(/p)+p-)) dergum<-fuctio(p,eps=e-4) (f(p+eps)-f(p))/eps gumbel<-dergum(par) 03

103 f=fuctio(p) (-((-log(se[,]))^p+(-log(se[,+]))^p)^(/p))- (log(se[,]*se[,+]))+(p-)*(log(-log(se[,])))+(p- )*(log(-log(se[,+])))+((-*p)/p)*(log((- log(se[,]))^p+(-log(se[,+]))^p))+(log(((- log(se[,]))^p+(-log(se[,+]))^p)^(/p)+p-)) dergum <- fuctio(p,eps=e-5) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv gumbel<-(dergum(par4)) p<-pr[] f=fuctio(p,p) (-((-log(pt(rgserie[,],p)))^p+(-log(pt(rgserie[,], p)))^p)^(/p))-(log(pt(rgserie[,],p)*pt(rgserie[,],p) ))+(p-)*(log(-log(pt(rgserie[,],p))))+(p-)*(log(- log(pt(rgserie[,],p))))+((-*p)/p)*(log((-log(pt (rgserie[,],p)))^p+(-log(pt(rgserie[,],p)))^p))+(log(((- log(pt(rgserie[,],p)))^p+(-log(pt(rgserie[,], p)))^p)^(/p)+p-)) dergump <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv gumbelp<-dergump(par4,pr[]) p<-pr[] f=fuctio(p,p) (-((-log(pt(rgserie[,],p)))^p+(-log(pt(rgserie[,], p)))^p)^(/p))-(log(pt(rgserie[,],p)*pt(rgserie[,], p)))+(p-)*(log(-log(pt(rgserie[,],p))))+(p-)*(log(- log(pt(rgserie[,],p))))+ ((-*p)/p)*(log((-log(pt (rgserie[,],p)))^p +(-log(pt(rgserie[,],p)))^p))+ 04

104 (log(((-log(pt(rgserie[,],p)))^p+(-log(pt(rgserie[,], p)))^p)^(/p)+p-)) dergump <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv gumbelp<-dergump(par4,pr[]) f=fuctio(p) -/*log(- p^)+((qorm(se[,])^+qorm(se[,])^)/+(*p *qorm(se[,])* qorm(se[,])-qorm(se[,])^- qorm(se[,])^)/(*(-p^))) dergau<-fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps gaussia<-dergau(par) f=fuctio(p) -/*log(-p^)+((qorm(se[,])^+qorm(se[,])^)/+(*p* qorm(se[,])* qorm(se[,])-qorm(se[,])^- qorm(se[,])^)/(*(-p^))) dergau <- fuctio(p,eps=e-5) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv gaussia<-(dergau(par)) p<-pr[] f=fuctio(p,p) -/*log(-p^)+((qorm(pt(rgserie[,],p))^+qorm(pt (rgserie[,],p))^) /+(*p*qorm(pt(rgserie[,],p))* qorm(pt(rgserie[,],p))-qorm(pt(rgserie[,],p))^- qorm(pt(rgserie[,],p))^)/(*(-p^))) dergaup <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps 05

105 deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv gaussiap<-dergump(par,pr[]) p<-pr[] f=fuctio(p,p) -/*log(-p^)+((qorm(pt(rgserie[,],p))^+qorm (pt(rgserie[,],p))^)/ +(*p*qorm(pt(rgserie[,],p))* qorm(pt(rgserie[,],p))-qorm(pt(rgserie[,],p))^- qorm(pt(rgserie[,],p))^)/(*(-p^))) dergaup <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv gaussiap<-dergaup(par,pr[]) v<-par[] f=fuctio(ro) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(se[,],v)^+ qt(se[,+],v)^-*ro*qt(se[,],v)* qt(se[,+],v))/(v*(- ro^))))+((v+)/)*(log((+(qt(se[,],v)^)/v) *(+(qt(se[,+],v)^)/v)))) dersturo<-fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps studet<-dersturo(par[]) ro<-par[] f=fuctio(v) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(se[,],v)^+ qt(se[,+],v)^-*ro*qt(se[,],v)* qt(se[,+],v))/(v*(- ro^))))+((v+)/)*(log((+(qt(se[,],v)^)/v)* (+(qt(se[,+],v)^)/v)))) dersturo<-fuctio(p,eps=e-5) (f(p+eps)-f(p))/eps studet<-dersturo(par[]) 06

106 p<-pr[] p<-pr[] f=fuctio(v,ro) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,], p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet<-(der(par[],par[])) ro<-par[] f=fuctio(v) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p), v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,eps=e-5) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet3<-(der(par[])) f=fuctio(v,p) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)-* lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p) 07

107 ,v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet4<-(der(par[],pr[])) f=fuctio(v,p) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p), v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet5<-(der(par[],pr[])) f=fuctio(ro,v) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,], p),v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt (pt(rgserie[,],p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(- ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv 08

108 studet6<-(der(par[],par[])) f=fuctio(ro) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,eps=e-5) deriv <- fuctio(y) (f(y+eps)-f(y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet7<-(der(par[])) f=fuctio(ro,p) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^-*ro*qt(pt(rgserie[,],p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*(-ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[, ],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet8<-(der(par[],pr[])) f=fuctio(ro,p) (-(/)*log(-ro^)+lgamma((v+)/)+lgamma(v/)- *lgamma((v+)/)-((v+)/)*(log(+(qt(pt(rgserie[,], p),v)^+qt(pt(rgserie[,],p),v)^- *ro*qt(pt(rgserie[,],p),v)*qt(pt(rgserie[,],p),v))/(v*( 09

109 -ro^))))+((v+)/)* (log((+(qt(pt(rgserie[,],p), v)^)/v)*(+(qt(pt(rgserie[,],p),v)^)/v)))) der <- fuctio(p,p,eps=e-4) deriv <- fuctio(y) (f(p+eps,y)-f(p,y))/eps deriv <- (deriv(p+eps)-deriv(p))/eps deriv studet9<-(der(par[],pr[])) vgaussia<-0;vfrack<-0;vplackett<-0;vgumbel<-0;vstudet<-0 for (i i : ) vgaussia<-vgaussia+(rbid(marg[i],marg[i],gaussia[i]) %*%cbid (marg[i],marg[i],gaussia[i]))/ vfrack<-vfrack+(rbid(marg[i],marg[i],frack[i]) %*%cbid (marg[i],marg[i],frack[i]))/ vplackett<-vplackett+(rbid(marg[i],marg[i],plackett[i]) %*%cbid (marg[i],marg[i],plackett[i]))/ vgumbel<-vgumbel+(rbid(marg[i],marg[i],gumbel[i]) %*%cbid (marg[i],marg[i],gumbel[i]))/ vstudet<vstudet+rbid(marg[i],marg[i],studet[i],studet[i])%*%c bid(marg[i],marg[i],studet[i],studet[i]))/ a<-0; b<-0;c<-0;d<-0; e<-0;f<-0;g<-0; h<-0;i<-0;l<-0;m<- 0;<-0;o<-0; p<-0 ;q<-0;r<-0 for (i i : ) a<-a+(cbid(marg[i],0,0))/ b<-b+(cbid(0,marg[i],0))/ c<-c+(cbid(frackp[i],frackp[i],frack[i]))/ d<-d+(cbid(marg[i],0,0))/ e<-e+(cbid(0,marg[i],0))/ f<-f+(cbid(gumbelp[i],gumbelp[i],gumbel[i]))/ g<-g+(cbid(marg[i],0,0))/ h<-h+(cbid(0,marg[i],0))/ 0

110 i<-i+(cbid(plackettp[i],plackettp[i],plackett[i]))/ l<-l+(cbid(marg[i],0,0))/ m<-m+(cbid(0,marg[i],0))/ <-+(cbid(gaussiap[i],gaussiap[i],gaussia[i]))/ o<-o+(cbid(marg[i],0,0,0))/ p<-p+(cbid(0,marg[i],0,0))/ q<-q+(cbid(studet8[i],studet9[i],studet7[i],studet6[i]))/ r<-r+(cbid(studet4[i],studet5[i],studet[i],studet3[i]))/ dfrack<-rbid(a,b,c) dgumbel<-rbid(d,e,f) dplackett<-rbid(g,h,i) dgaussia<-rbid(l,m,) dstudet<-rbid(o,p,q,r) gstudet<sqrt((solve(dstudet%*%solve(dstudet)%*%t(dstudet))/ )) ggaussia<-sqrt((solve(dgaussia%*%solve(vgaussia) %*%t(dgaussia))/ )) gfrack<-sqrt((solve(dfrack%*%solve(vfrack)%*%t(dfrack))/ )) gplackett<-sqrt((solve(dplackett%*%solve(vplackett) %*%t(dplackett))/ )) ggumbel<-sqrt((solve(dgumbel%*%solve(vgumbel)%*%t(dgumbel))/ )) t.gaussia<-par/ggaussia[3,3] t.studet<-par[]/gstudet[3,3] t.studet<-par[]/gstudet[4,4] t.frack<-par3/gfrack[3,3] t.gumbel<-par4/ggumbel[3,3] t.plackett<-par/gplackett[3,3] t.marg<-pr[]/ggaussia[,] t.marg<-pr[]/ggaussia[,] p.gaussia<--porm(t.gaussia) p.studet<--porm(t.studet)

111 p.studet<--porm(t.studet) p.frack<--porm(t.frack) p.gumbel<--porm(t.gumbel) p.plackett<--porm(t.plackett) p.marg<--porm(t.marg) p.marg<--porm(t.marg) prit("stime e stadard error dei parametri delle copule") prit(paste(" Gaussia ",roud(par,)," ",roud(stderr.gauss[],4))) prit(paste(" Studet ",roud(par[],)," ",roud(stderr.stud[],4))) prit(paste(" Studet ",roud(par[],)," ",roud(stderr.stud[],4))) prit(paste(" Frack ",roud(par3,)," ",roud(stderr.fr,4))) prit(paste(" Gumbel ",roud(par4,)," ",roud(stderr.gm,4))) prit(paste(" Plackett ",roud(par,)," ",roud(stderr.pl,4))) prit(" ") prit("stime e uovi stadard error dei parametri delle copule e delle margiali") prit(paste(" Gaussia ",roud(par,)," ",roud(ggaussia[3,3],4))) prit(paste(" Studet ",roud(par[],)," ",roud(gstudet[3,3],4))) prit(paste(" Studet ",roud(par[],)," ",roud(gstudet[4,4],4))) prit(paste(" Frack ",roud(par3,)," ",roud(gfrack[3,3],4))) prit(paste(" Gumbel ",roud(par4,)," ",roud(ggumbel[3,3],4))) prit(paste(" Plackett ",roud(par,)," ",roud(gplackett[3,3],4))) prit(paste(" margiale ",roud(pr[],)," ",roud(ggaussia[,],4)))

112 prit(paste(" margiale ",roud(pr[],)," ",roud(ggaussia[,],4))) prit(" ") prit("test di sigificatività e relativi p-value per i parametri delle copule e delle margiali") prit(paste(" Gaussia ",roud(t.gaussia,)," ",roud(p.gaussia,))) prit(paste(" Studet ",roud(t.studet,)," ",roud(p.studet,))) prit(paste(" Studet ",roud(t.studet,)," ",roud(p.studet,))) prit(paste(" Frack ",roud(t.frack,)," ",roud(p.frack,))) prit(paste(" Gumbel ",roud(t.gumbel,)," ",roud(p.gumbel,))) prit(paste(" Plackett ",roud(t.plackett,)," ",roud(p.plackett,))) prit(paste(" margiale ",roud(t.marg,)," ",roud(p.marg,))) prit(paste(" margiale ",roud(t.marg,)," ",roud(p.marg,))) prit(" ") prit(paste(" Calcolo del VaR per le diverse copule co peso",roud(pesi,3))) prit(paste(" Gaussia ",roud(ga$root,3))) prit(paste(" Studet ",roud(st$root,3))) prit(paste(" Frack ",roud(fr$root,3))) prit(paste(" Gumbel ",roud(gu$root,3))) prit(paste(" Pluckett ",roud(pl$root,3))) prit(paste("tradizioale ",roud(vartrad,3)," coeff.correlazioe ",roud(rot,))) prit(paste(" Stima e stadard error per i parametri del Garch(,) della serie ")) prit(paste(" alfa0 ",roud(parg[,],3)," ",roud(se.g[,],6)," ",roud(test.g[,],)," ",roud(p.value.g[,],))) 3

113 prit(paste(" alfa ",roud(parg[,],3)," ",roud(se.g[,],6)," ",roud(test.g[,],)," ",roud(p.value.g[,],))) prit(paste(" beta ",roud(parg[,3],3)," ",roud(se.g[,3],6)," ",roud(test.g[,3],)," ",roud(p.value.g[,3],))) prit(paste(" ")) prit(paste(" Stima e stadard error per i parametri del Garch(,) della serie ")) prit(paste(" alfa0 ",roud(parg[,],3)," ",roud(se.g[,],6)," ",roud(test.g[,],)," ",roud(p.value.g[,],))) prit(paste(" alfa ",roud(parg[,],3)," ",roud(se.g[,],6)," ",roud(test.g[,],)," ",roud(p.value.g[,],))) prit(paste(" beta ",roud(parg[,3],3)," ",roud(se.g[,3],6)," ",roud(test.g[,3],)," ",roud(p.value.g[,3],))) prit(paste(" ")) prit(paste("risultati del test di Jarque-Bera sui residui del Garch(,)")) prit(paste(" serie "," statistica di Jarque-Bera ",roud(jbt[],6)," p-value ",roud(p.val[],6))) prit(paste(" serie "," statistica di Jarque-Bera ",roud(jbt[],6)," p-value ",roud(p.val[],6))) prit(paste(" ")) prit(paste("stima e stadard error per i gradi di libertà delle margiali")) prit(paste(" margiale "," v ",roud(pr[],6)," ",roud(stderr.t[],6))) prit(paste(" margiale "," v ",roud(pr[],6)," ",roud(stderr.t[],6))) prit(paste(" ")) parametri(se[,],se[,]) prit(paste(" ")) 4

114 5

115 Bibliografia Cherubii, U., Luciao, E. & Vecchiato, W. (004) Copula methods i fiace. Joh Wiley & Sos, New York. Durrlema, V., Nikeghbali, A., & Rocalli, T. (000) Copulas for Fiace: A Readig Guide ad Some Applicatios. Groupe de recherche operatioelle, Credit Lyoais, workig paper. Embrechts, P., McNeil, A., Strauma, D. (999) Correlatio ad Depedecy i risk maagemet: Properties ad Pitfalls. Departmet of Mathematik, ETHZ, Zurich, workig paper. Embrechts, P., McNeil, A., Lidskog, F. (00) Modellig depedece with Copulas ad Applicatios to risk Maagemet. Departmet o Mathematik, ETHZ, Zurich, workig paper. Feller, W. (97) A itroductio to Probability Theory ad Its Applicatios, Vol. II. Joh Wiley & Sos, New York. Hoeffdig, W (940) Masstabivariate Korrelatiostheorie, Schrifte des mathematische Istituts ud des Istituts fur Agewadte Mathematik der uiversitat Berli, 5, Joe, H. & Xu, J.J. (996) The Estimatio Method of Iferece Fuctios for Margis for Multivariate Models. Dept. of Statistics Uiversity of British Columbia, Tech. Rept. 66. Joe, H. (997) Multivariate Models ad Depedece Cocepts. Chapma & Hall, Lodo. Kedall, M.G. (938) A ew measure of rak correlatio, Biometrika, 30,

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