= = 32
|
|
- Arianna Rossini
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Algabra lieare (Matematica CI) - 9 Algebra delle matrici - Moltiplicazioe Euple, righe e coloe Notazioe I algebra lieare giocao u ruolo importate le coppie, tere,, ple ordiate di umeri reali; cosi come ua coppia ordiata di umeri reali puo essere pesata come u puto del piao, e ua tera ordiata di umeri reali puo essere pesata come u puto dello spazio, ache ua pla ordiata (a, a,, a ) di umeri reali a i R viee pesata come u uica etita, ed idicata co u uico simbolo: Si dice che a, a, soo la prima, secoda, ache, piu brevemete, a (a j ) j,, a (a, a,, a ) () compoete di a Si scrive Di regola, idicheremo le ple ordiate co lettere miuscole e, come fatto sopra, se idicheremo ua pla co ua certa lettera, allora idicheremo le sue compoeti co quella stessa lettera co idici Per ciascu itero positivo, l isieme delle ple ordiate di umeri reali viee idicato co R Ua pla ordiata puo essere idetificata ua matrice riga o co ua matrice coloa Se idicheremo ua pla co ua certa lettera, allora idicheremo la corrispodete matrice coloa co la stessa lettera, e la corrispodete matrice riga co la stessa lettera co u apice Cosi, per la pla () scriveremo a a a, e a [a a a a Prodotto di ua riga per ua coloa Defiiamo il prodotto di ua riga a di umeri reali per ua coloa b di umeri reali, aveti lo stesso umero di compoeti, come il umero reale otteuto moltiplicado ciascua compoete di a per la corrispodete compoete di b, e poi sommado Ad esempio [
2 I geerale, si ha a b [a a a b b b a b + a b + + a b a j b j j La moltiplicazioe di ua riga per ua coloa aveti diversi umeri di compoeti o viee defiita Questa operazioe puo essere utilizzata per rappresetare siteticamete le equazioi lieari Ad esempio, l equazioe puo essere scritta come I geerale, l equazioe lieare x + x + 4x 5 [ 4 x x x 5 a x + a x + + a x b puo essere scritta come [a a a x x x b e rappresetata siteticamete come a x b, dove a e la riga dei coefficieti e x e la coloa delle icogite Matrici Notazioe Ua tabella di umeri reali viee detta matrice; ciascua matrice viee pesata come u uica etita e viee idicata co ua lettere maiuscola; se ua matrice A possiede m righe ed coloe si dice che A ha tipo m ; per idicare che la matrice A ha tipo m si usa scrivere A m
3 Il umero reale che compare i A ella riga i ma e coloa j ma viee detto elemeto di posto (i, j) di A La geerica matrice A di tipo m viee rappresetata a a a a a a A, a m a m a m oppure, piu brevemete, A [ a ij i,,m, j,, o A [ a ij quado il tipo e chiaro dal cotesto Si oti che i e j o hao alcu particolare sigificato, potrebbero essere sostituiti da altri due simboli, come h e k Per ogi coppia di iteri positivi m,, l isieme delle matrici di umeri reali di tipo m viee idicato co R m Duque, l isieme delle coloe di m umeri reali viee idicato co R m, e l isieme delle righe di umeri reali viee idicato co R Noi useremo spesso ua otazioe u po diversa, suggerita dai liguaggi di alcue applicazioi per il calcolo come Matlab, o Octave Ua volta scelto u simbolo, el ostro caso A, per idicare ua matrice, si usa il simbolo A ij per idicare l elemeto di posto (i, j) i A; si usa il simbolo A i per idicare la riga i ma di A, e si usa il simbolo A j per idicare la coloa j ma di A Ad esempio, per si ha: 4 Prodotto di matrici A A, A [ 5 6 8, A Se il umero delle coloe di ua matrice A e uguale al umero delle righe di ua matrice B, allora possiamo moltiplicare ciascua riga di A per ciascua coloa di B, ed orgaizzare questi prodotti i ua tabella; otteiamo cosi,
4 ua matrice detta matrice prodotto (righe per coloe) di A per B, ed idicata co AB Ad esempio, si ha [ I simboli, il prodotto di ua matrice A di tipo m per ua matrice B di tipo p e la matrice AB di tipo m p A B AB m p m p data dalla tabella dei prodotti delle m righe di A per le p coloe di B : l elemeto di posto (i, j) i AB e dato dal prodotto della riga i ma di A per la coloa j ma di B : (AB) ij A i B j, i,, m, j,, p Co riferimeto agli elemeti, si ha (AB) ij A i B j [A i A i A i B j B j B j A i B j + A i B j + + A i B j h A ih B hj La moltiplicazioe di matrici estede la moltiplicazioe dei umeri reali, el seso che le matrici di tipo soo umeri reali, e la moltiplicazioe di matrici di tipo e la moltiplicazioe di umeri reali
5 5 Rappresetazioe sitetica di sistemi lieari La moltiplicazioe di matrici puo essere utilizzata per rappresetare siteticamete i sistemi lieari Ad esempio, il sistema lieare puo essere riscritto come x + x 8 4x + 5x 9 6x + x 0 x + x 4x + 5x 6x + x e il primo membro puo essere fattorizzato el prodotto della matrice dei coefficieti per la coloa delle icogite: I geerale, il sistema lieare [ x x ,, a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b a m x + a m x + + a m x b m puo essere scritto come a a a a a a a m a m a m x x x b b b m e rappresetato siteticamete come Ax b, dove A e la matrice di tipo m dei coefficieti, x e la coloa delle icogite, e b e la coloa degli m termii oti
6 6 Matrici uita Le matrici quadrate che hao sulla diagoale e 0 altrove svolgoo il ruolo del umero, e per questa ragioe vegoo dette matrici uita Esplicitamete, queste matrici soo I [, I [ 0 0, I , ; la matrice I uita di ordie e la matrice quadrata di ordie data da (I ) ij { se i j 0 se i j i, j,, La proprieta di queste matrici e che I m A A AI, per ogi m, e per ogi matrice A di tipo m Verifichiamo la prima parte di questa proprieta per m e Per ogi matrice [ a b c A d e f di tipo si ha I A [ [ 0 a b c 0 d e f [ a + 0 d b + 0 e c + 0 f 0 a + d 0 b + e 0 c + f [ a b c A d e f I geerale, la proprieta si puo mostrare come segue Da ua parte si ha (I m A) ij (I m ) ih A hj (I m ) ii A ij A ij, h,,m per ogi i e j; duque I m A A La dimostrazioe dall altra parte e aaloga Associativita Date tre matrici A, B, C di tipi rispettivamete m, p, p q, abbiamo due modi di moltiplicarle per otteere ua matrice, che sara di tipo m q : (AB)C, A(BC)
7 Ad esempio, per A (AB)C A(BC) [ 4, B [ 4 5, e C 5 [ 6 ( [ 4 5 [ 6 ) [ , si ha [ 6 [ Quello che abbiamo visto su questo esempio vale i geerale La moltiplicazioe di matrici possiede la proprieta associativa: comuque siao date tre matrici A, B, C di tipi rispettivamete m, p, p q, si ha (AB)C A(BC) Questa affermazioe si puo dimostrare come segue Da u lato si ha dall altro si ha ((AB)C) ij (A(BC)) ij p h p h h h (AB) ih C hj [ k A ih (BC) hj A ih [ p k A ik B kh C hj B hk C kj p h h k p k A ik B kh C hj ; A ih B hk C kj ; si osservi che scambiado l ordie delle sommatorie e riomiado gli idici di sommatoria u espressioe si trasforma ell altra Potremo cosi scrivere u prodotto di piu matrici seza usare paretesi Gli elemeti (ABC) ij, i,, m; j,, q, della matrice ABC soo dati da (ABC) ij h,, k,,p A ih B hk C kj 8 Nocommutativita
8 Sappiamo che il prodotto di due umeri reali o cambia ivertedo l ordie dei fattori, cioe la moltiplicazioe di umeri reali possiede la proprieta commutativa Questa proprieta o vale per la moltiplicazioe di matrici, azi i geerale ci si aspetta che AB BA Puo succedere che u prodotto esista e che l altro prodotto o esista: [ e [ 4 5 o esiste U esempio i cui i due prodotti soo defiiti ma diversi: [ [ [ , [ [ [ Poteze Sia A ua matrice quadrata di ordie Per ogi umero aturale p 0,,,, la poteza p ma di A e defiita da A A A (p volte) per p > 0 A p I per p 0 Valgoo le proprieta A p A q A p+q, (A p ) q A pq, per ogi matrice quadrata A La proprieta (AB) p A p B p i geerale o vale La proprieta vale sotto al codizioe che A e B siao permutabili: (AB) p A p B p Ad esempio, si ha (A, B tali che AB BA) (AB) ABAB AABB A B (A, B tali che AB BA)
Algebra delle matrici
Algebra delle matrici Vettori riga, vettori coloa Sia u itero ositivo fissato Ciascu vettore di R uo essere esato come ua matrice riga oure come ua matrice coloa (co elemeti) Per covezioe, idetifichiamo
Dettagli(A + B) ij = A ij + B ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n.
Algebra lieare Matematica CI) 263 Somma di matrici Siao m ed due iteri positivi fissati Date due matrici A, B di tipo m, sommado a ciascu elemeto di A il corrispodete elemeto di B, si ottiee ua uova matrice
DettagliAlgebra delle matrici
Algebra delle matrici Prodotto di ua matrice per uo scalare Data ua matrice A di tipo m, e dato uo scalare r R, moltiplicado r per ciascu elemeto di A si ottiee ua uova matrice di tipo m, detta matrice
DettagliTEORIA DELLE MATRICI. dove aij K. = di ordine n, gli elementi aij con i = j (cioè gli elementi a 11
1 TEORIA DELLE MATRICI Dato u campo K, defiiamo matrice ad elemeti i K di tipo (m, ) u isieme di umeri ordiati secodo m righe ed coloe i ua tabella rettagolare del tipo a11 a12... a1 a21 a22... a2 A =.........
DettagliUnità Didattica N 33 L algebra dei vettori
Uità Didattica N 33 Uità Didattica N 33 0) La ozioe di vettore 02) Immagie geometrica di u vettore umerico 03) Somma algebrica di vettori 04) Prodotto di u umero reale per u vettore 05) Prodotto scalare
Dettagliv = ( v 1,..., v n ).
Lezioe del 21 ovembre. Sistemi lieari 1. Spaio vettoriale R Sia u itero positivo. ssatoمح Cosideriamo lلاiisieme R delle ple ordiate di umeri reali u (u 1, u 2,..., u ), u i R. Al posto di pla ordiata
DettagliSi estendono, in modo non banale, le operazioni di somma e prodotto da Q ad R; con queste operazioni R e un campo.
1 Numeri reali 1.1 Numeri reali Per umero reale itediamo u qualsiasi umero decimale, co u umero di cifre dopo la virgola fiito o ifiito, periodico o o periodico; possiamo pesare u umero decimale co u umero
Dettagli(a 0, a 1, a 2,..., a n,...) (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),... (1, 3, 5, 7,...) Lezione del 26 settembre. 1. Successioni.
Lezioe del 26 settembre. 1. Successioi. Defiizioe 1 Ua successioe di umeri reali e ua legge che associa a ogi umero aturale = 0, 1, 2,... u umero reale - i breve: e ua fuzioe N R; si scrive ella forma
DettagliPrecorso di Matematica, aa , (IV)
Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe
DettagliSomma E possibile sommare due matrici A e B ottenendo una matrice C se e solo se le due matrici hanno lo stesso numero di righe e di colonne.
Matrici Geeralità sulle matrici I matematica, ua matrice è uo schierameto rettagolare di oggetti; le matrici di maggiore iteresse soo costituite da umeri come, per esempio, la seguete: 1 s 6 4 4 2 v t
Dettaglia'. a' e b n y se e solo se x, y, divisi per n danno lo stesso resto.
E.5. Cogrueze Nella sezioe D. (esempio (d)) abbiamo itrodotto la relazioe di cogrueza modulo : dati due umeri iteri x, y e u umero itero positivo diciamo che x è cogruo a y modulo (i formula x y se è u
DettagliAPPENDICE 1 Richiami di algebra lineare
APPENDICE Richiami di algebra lieare vettore: isieme ordiato di elemeti (umeri reali, umeri complessi, variabili, fuzioi,...) B = b b M b 2 { } = b, co i =, L, i il vettore sopra defiito è detto ache vettore
DettagliInsiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:
Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,
DettagliDETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE
DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2010-11 MARCO MANETTI: 21 DICEMBRE 2010 1. Sviluppi di Laplace Proposizioe 1.1. Sia A M, (K), allora per ogi idice i = 1,..., fissato vale lo sviluppo
DettagliElementi di calcolo combinatorio
Appedice A Elemeti di calcolo combiatorio A.1 Disposizioi, combiazioi, permutazioi Il calcolo combiatorio si occupa di alcue questioi iereti allo studio delle modalità secodo cui si possoo raggruppare
DettagliAppendice A. Elementi di Algebra Matriciale
ppedice. Elemeti di lgebra Matriciale... 2. Defiizioi... 2.. Matrice quadrata... 2..2 Matrice diagoale... 2..3 Matrice triagolare... 3..4 Matrice riga e matrice coloa... 3..5 Matrice simmetrica e emisimmetrica...
DettagliLezione del dove a 1, a n e b sono numeri reali assegnati, detti coefficienti e termine noto dell equazione;
Le lezioni del 60 e 010 si riferiscono al Capitolo 1 Introduzione ai sistemi lineari Di seguito si elencano gli argomenti svolti, descrivendoli sinteticamente dando i riferimenti a tale capitolo, oppure
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si
DettagliNUMERI REALI Mauro Saita Versione provvisoria. Settembre 2012.
NUMERI REALI Mauro Saita maurosaita@tiscaliet.it Versioe provvisoria. Settembre 2012. Idice 1 Numeri reali. 1 1.1 Numeri aturali, iteri, razioali......................... 1 1.2 La scoperta dei umeri irrazioali.........................
DettagliCenni di calcolo combinatorio
Appedice B Cei di calcolo combiatorio B Disposizioi, combiazioi, permutazioi Il calcolo combiatorio si occupa di alcue questioi iereti allo studio delle modalità secodo cui si possoo raggruppare degli
DettagliPreparazione al corso di statistica Prof.ssa Cerbara
Preparazioe al corso di statistica Prof.ssa Cerbara Esistoo molti isiemi umerici, ciascuo co caratteristiche be precise. Alcui importatissimi isiemi umerici soo: N: isieme dei umeri aturali, cioè tutti
DettagliDisposizioni semplici
Disposizioi semplici Calcolo combiorio D, K ( ) ( )...( K+ ) co 0< K Di elemeti e K (umero urale) si dicoo disposizioi semplici di elemeti di classe K i raggruppameti otteuti scegliedo K elemeti tra gli
Dettagli7 LE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI. SUCCES- SIONI
7 LE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI. SUCCES- SIONI Abbiamo usato alcue proprietà dei umeri aturali che coviee mettere i evideza. Per prima cosa otiamo che N gode delle due proprietà (i 0 N; (ii se N allora
DettagliEsercizi settimanali
Geometria (per il corso di laurea i Fisica), AA 5-6, I semestre Doceti: Erico Arbarello, Alberto De Sole Esercizi settimaali Esercizi per martedì 6 Ottobre Esercizio (Maetti 75) Scrivere i segueti umeri
Dettagli1 Congruenze. Definizione 1.1. Siano a, b, n Z con n 2, definiamo a b (mod n) se n a b.
1 Cogrueze Defiizioe 1.1. Siao a, b, Z co 2, defiiamo a b (mod ) se a b. Proposizioe 1.2. 2 la cogrueza mod è ua relazioe di equivaleza su Z. a a () perché a a a b () b a () a b () b c () a b b c a c =
Dettagli2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)
Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego,
Dettagli1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.
Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):
DettagliCALCOLO COMBINATORIO
CALCOLO COMBINATORIO Che cosa sigifica cotare Tutti coosciamo la successioe dei umeri iteri Naturali N = {0, 1,,, } si tratta di ua struttura metale fodametale, chiaramete presete alla ostra ituizioe che
DettagliPROPRIETÀ DELLE POTENZE IN BASE 10
PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN BASE Poteze i base co espoete itero positivo Prediamo u umero qualsiasi che deotiamo co la lettera a e u umero itero positivo che deotiamo co la lettera Per defiizioe (cioè per
DettagliConsideriamo un insieme di n oggetti di natura qualsiasi. Indicheremo questi oggetti con
Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 1 Calcolo combiatorio Cosideriamo u isieme di oggetti di atura qualsiasi. Idicheremo questi oggetti co a1 a2... a. Co questi oggetti si voglioo formare dei gruppi
DettagliFUNZIONI SUCCESSIONI PRINCIPIO DI INDUZIONE
FUNZIONI SUCCESSIONI PRINCIPIO DI INDUZIONE. Le Fuzioi L'operazioe di prodotto cartesiao relazioe biaria La relazioe biaria fuzioe Fuzioi iiettive, suriettive, biuivoche Fuzioi ivertibili. Le Successioi
DettagliAritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Seconda lezione
Aritmetica 06/07 Esercizi svolti i classe Secoda lezioe Dare ua formula per 3 che o coivolga sommatorie Dato che sappiamo che ( + e ( + ( + 6 vogliamo esprimere 3 mediate, e poliomi i U idea possibile
DettagliAppendice 2. Norme di vettori e matrici
Appedice 2. Norme di vettori e matrici La ozioe esseziale per poter defiire il cocetto di distaza e lughezza i uo spazio vettoriale lieare è quello di orma. Il cocetto di orma è ua geeralizzazioe del cocetto
DettagliA. EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE E SISTEMI DI 1 GRADO
A. EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE E SISTEMI DI 1 GRADO 1. I sistemi di equazioi di primo grado U problema può coivolgere più icogite, ma soprattutto può coivolgere più codizioi riferite ad esse, che
DettagliStima di somme: esercizio
Stima di somme: esercizio Valutare l'ordie di gradezza della somma k l (1 + 3 k ) Quado x
DettagliProgetto Matematica in Rete - Numeri naturali - I numeri naturali
I umeri aturali Quali soo i umeri aturali? I umeri aturali soo : 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,,11 I umeri aturali hao u ordie cioè dati due umeri aturali distiti a e b si può sempre stabilire qual è il loro ordie
DettagliLezione 2. . Gruppi isomorfi. Gruppi S n e A n. Sottogruppi normali. Gruppi quoziente. , ossia, equivalentemente, se x G Hx = xh.
Prerequisiti: Lezioe Gruppi Lezioe 2 Z Gruppi isomorfi Gruppi S e A Riferimeti ai testi: [FdG] Sezioe ; [H] Sezioe 26; [PC] Sezioe 58 Sottogruppi ormali Gruppi quoziete L Esempio 7 giustifica la seguete
DettagliFoglio 3 Strutture Algebriche, Interi
Esercizi di Algebra I (A.A. 2012-13) prof.ssa Valetia Barucci, prof. Eresto Spielli Foglio 3 Strutture Algebriche, Iteri Esercizio 1. Dimostrare il teorema biomiale: ( ) (a + b) = a k b k N. k Esercizio
DettagliLa comparsa dei numeri complessi è legata, da un punto di vista storico, alla risoluzione delle equazioni di secondo grado.
Capitolo 3 3.1 Defiizioi e proprietà La comparsa dei umeri complessi è legata, da u puto di vista storico, alla risoluzioe delle equazioi di secodo grado. L equazioe ammette le soluzioi x 2 + 2px + q =
DettagliEsercitazioni del corso: STATISTICA
A. A. Esercitazioi del corso: STATISTICA Sommario Esercitazioe : Matrice di dati Distribuzioi uivariate Rappresetazioi grafiche Idici di Posizioe Statistica a. a. - RICHIAMI MATEMATICI ) Approssimazioe
Dettagli1 Congruenze. Definizione 1.1. a, b, n Z n 2, allora definiamo a b (mod n) se n a b.
1 Cogrueze Defiizioe 1.1. a, b, Z 2, allora defiiamo a b (mod ) se a b. Proposizioe 1.2. 2 la cogrueza mod è ua relazioe di equivaleza su Z. a a () perché a a a b () b a () a b () b c () a b b c a c =
DettagliMatematica I, Limiti di successioni (II).
Matematica I, 05102012 Limiti di successioi II) 1 Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2, α R), b, = 0, 1, 2, b R), log b, = 1, 2, b > 0, b 1), si, = 0, 1, 2,, cos, = 0, 1, 2,, per + hao il seguete
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!
DettagliForme Bilineari 1 / 34
Forme Bilieari 1 / 34 Defiizioe applicazioe Dicesi forma bilieare su uo spazio vettoriale V, ua ϕ : V V R che è lieare i etrambi gli argometi, ossìa tale che u,v,w V e a,b R si abbia: ϕ(au + bv,w) =aϕ(u,w)
DettagliI TRIANGOLI ARITMETICI
I TRIANGOLI ARITMETICI Atoio Salmeri Qui di seguito si prederao i esame alcui triagoli aritmetici. Essi soo ell ordie i triagoli che foriscoo i coefficieti dei poliomi geerati dalle segueti espressioi:.
DettagliProposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.
Laboratorio di Matematica, A.A. 009-010; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile
Dettagli(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali.
Lezioe 0 Prerequisiti: Simmetrie di poligoi regolari. Gruppi di permutazioi. Cetro di u gruppo. Cetralizzate di u elemeto di u gruppo. Riferimeto al testo: [PC] Sezioe 5.4 I gruppi diedrali. Ogi simmetria
DettagliElementi di algebra per la chimica. Antonino Polimeno Dipartimento di Scienze Chimiche Università degli Studi di Padova
Elemeti di algebra per la chimica toio Polimeo Dipartimeto di Scieze Chimiche Uiversità degli Studi di Padova 1 Corpi & spazi Corpo: u corpo K è u isieme di umeri tali che Se a e b appartegoo a K, allora
DettagliIl Teorema di Markov. 1.1 Analisi spettrale della matrice di transizione. Il teorema di Markov afferma che
1 Il Teorema di Marov 1.1 Aalisi spettrale della matrice di trasizioe Il teorema di Marov afferma che Teorema 1.1 Ua matrice di trasizioe regolare P su u isieme di stati fiito E ha ua uica distribuzioe
DettagliEsercizi sui numeri complessi per il dodicesimo foglio di esercizi
Esercizi sui umeri complessi per il dodicesimo foglio di esercizi 6 dicembre 2010 1 Numeri complessi radici ed equazioi Ricordiamo iazitutto che dato u umero complesso z = x + iy, il suo coiugato, idicato
DettagliDef. R si dice raggio di convergenza; nel caso i) R = 0, nel caso ii)
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi : Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale. -Si cosiglia vivamate di fare gli esercizi del testo. Cap. 9.5 - Serie di poteze,
DettagliELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 1 Elemeti di calcolo combiatorio Si tratta di ua serie di teciche per determiare il umero di elemeti di u isieme seza eumerarli direttamete. Dati elemeti distiti ci chiediamo
DettagliCongruenze in ; l insieme quoziente / n
Cogrueze i ; l isieme quoziete / Per ogi, si cosideri i la relazioe così defiita: a b divide a-b. La relazioe biaria è detta cogrueza modulo. Se a b scriveremo pure a b (mod. ) e leggeremo a cogruo b (modulo
DettagliAnalisi Matematica I
Aalisi Matematica I Isiemi di umeri Naturali, iteri, razioali I primi umeri che si icotrao soo gli iteri positivi, detti ache umeri aturali: 1, 2, 3,.... L isieme dei umeri aturali si idica co il simbolo
DettagliGLI INSIEMI NUMERICI
GLI INSIEMI NUMERICI R 2 π 2, _ -,8 2,89 Q Z N -2 2 28-87 -87 _, 7,76267 7 - e 2,7-7 -,6 _ -,627 7 6 R Numeri Reali Q Numeri Razioali Z Numeri Iteri Relativi N Numeri Naturali Dal diagramma di Eulero-Ve
DettagliLezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali
Lezioe 10 - Tesioi pricipali e direzioi pricipali ü [A.a. 2011-2012 : ultima revisioe 23 agosto 2011] I questa lezioe si studiera' cio' che avviee alla compoete ormale di tesioe s, al variare del piao
DettagliUnità Didattica N 32 Grandezze geometriche omogenee e loro misura
Uità Didattica N 3 Uità Didattica N 3 01) Classi di gradezze omogeee 0) Multipli e sottomultipli di ua gradezza geometrica 03) Gradezze commesurabili ed icommesurabili 04) Rapporto di due gradezze 05)
DettagliCorso Propedeutico di Matematica
POLINOMI RICHIAMI DI TEORIA Defiizioe: u poliomio ( o fuzioe poliomiale) ella variabile x di grado a coefficieti reali ha la forma A = a0 + a1x + + a 1 x, dove a 0, a 1,..., a soo umeri reali assegati
DettagliAppunti complementari per il Corso di Statistica
Apputi complemetari per il Corso di Statistica Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Tessile Ilia Negri 24 settembre 2002 1 Schemi di campioameto Co il termie campioameto si itede l operazioe di estrazioe
Dettagli11 IL CALCOLO DEI LIMITI
IL CALCOLO DEI LIMITI Il calcolo di u ite spesso si ricodurrà a trattare separatamete iti più semplici, su cui poi si farao operazioi algebriche. Dato che uo o più di questi iti possoo essere ±, bisoga
DettagliANNO ACCADEMICO 2016/2017 INGEGNERIA CHIMICA
Fisica Matematica pputi di Simoe De Martio Prof.essa De gelis NNO CCDEMICO 2016/2017 INGEGNERI CHIMIC Vettori liberi Defiizioe cosideriamo ua coppia ordiata ( ; B); si defiisce segmeto orietato u ete che
DettagliSULLE PARTIZIONI DI UN INSIEME
Claudia Motemurro Ricordiamo la SULLE PRTIZIONI DI UN INSIEME Defiizioe: Ua partizioe di u isieme è ua famiglia { sottoisiemi o vuoti di X tali che: - X è l uioe degli isiemi X i (i I ), cioè X = U i X
DettagliProgramma (orientativo) secondo semestre 32 ore - 16 lezioni
Programma (orietativo) secodo semestre 32 ore - 6 lezioi 3 lezioi: successioi e serie 4 lezioi: itegrali 2-3 lezioi: equazioi differeziali 4 lezioi: sistemi di equazioi e calcolo vettoriale e matriciale
DettagliMATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010
elemeti di calcolo combiatorio ao acc. 2009/2010 Cosideriamo u isieme fiito X. Chiamiamo permutazioe su X u applicazioe biuivoca di X i sè. Ad esempio, se X = {a, b, c}, le permutazioi distite soo 6 e
Dettagli06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI
06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI Ua successioe è ua fuzioe defiita i. I simboli ua f : A tale che f ( ) è ua successioe di elemeti di A. Se poiamo f ( i) ai co i,...,,..., ua successioe può essere rappresetata
DettagliEsercitazione 3 Sistemi lineari
Esercitazioe 3 Sistemi lieari a.a. 2018-19 Esercizio 1 (M) Scrivere ua M-fuctio che calcola l iversa di ua matrice triagolare iferiore L di ordie mediate ua tecica compatta, memorizzadola ella matrice
DettagliCampionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento )
Campioameto casuale da popolazioe fiita (caso seza reiserimeto ) Suppoiamo di avere ua popolazioe di idividui e di estrarre u campioe di uità (co < ) Suppoiamo di studiare il carattere X che assume i valori
DettagliCAMBIAMENTO DI BASE IN UNO SPAZIO VETTORIALE
CAMBIAMENTO DI BASE IN UNO SPAZIO VETTORIALE Sia V uo spazio vettoriale sul campo K. Siao v, v,..., v vettori dati apparteeti a V e siao, ioltre, assegati scalari k, k,..., k apparteeti a K. Si defiisce
DettagliEquazioni differenziali
Equazioi differeziali Defiizioe 1 Si chiama equazioe differeziale u tipo particolare di equazioe fuzioale, ella quale la fuzioe icogita compare isieme ad alcue sue derivate, ossia u equazioe ella quale,
DettagliAccenni al calcolo combinatorio
Accei al calcolo combiatorio Dario Malchiodi e Aa Maria Zaaboi ottobre 2017 Pricipio fodametale del calcolo combiatorio: se ci soo s 1 modi per operare ua scelta e, per ciascuo di essi, ci soo s 2 modi
DettagliALGEBRA I MODULO PROF. VERARDI - ESERCIZI. Sezione 1 NUMERI NATURALI E INTERI
ALGEBRA I MODULO PROF. VERARDI - ESERCIZI Sezioe 1 NUMERI NATURALI E INTERI 2 1.1. Si dimostri per iduzioe la formula: N, k 2 "1( * " 3 ) " 3k +1(. 3 1.2. A) Si dimostri che per ogi a,b N +, N +, se a
DettagliFUNZIONI RADICE. = x dom f Im f grafici. Corso Propedeutico di Matematica. Politecnico di Torino CeTeM. 7 Funzioni Radice RICHIAMI DI TEORIA
Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice FUNZIONI RADICE RICHIAMI DI TEORIA f ( x) = x dom f Im f grafici. = = =7 =9. dispari R R -. - -. - - -. Grafici di fuzioi radici co pari pari [,+ ) [,+ ).. = = =6 =8
DettagliTEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER
TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER I uo spazio euclideo di dimesioe fiita, ad esempio R 3, cosideriamo u sottospazio, ad esempio u piao passate per
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
METODI MATEMATICI PER LA FISICA SECONDO ESONERO - 8 GIUGNO 8 Si risolvao cortesemete i segueti problemi, sapedo che verrao valutati:. la correttezza del risultato otteuto e della procedura utilizzata;.
DettagliCongruenze in ; l insieme quoziente / n
Cogrueze i ; l isieme quoziete / Per ogi, si cosideri i la relazioe, che per il mometo deoteremo co ( ), così defiita: a ( ) b divide a-b Esempio: 5 (7 ) 19, perché 7 5-19=-14, metre 4 o è ella relazioe
DettagliNon presenta difficoltà concettuali il passaggio dalle equazioni lineari a coefficienti costanti del secondo ordine a quelle di ordine maggiore.
Le equazioi differeziali lieari di ordie > a coefficieti costati. No preseta difficoltà cocettuali il passaggio dalle equazioi lieari a coefficieti costati del secodo ordie a quelle di ordie maggiore.
DettagliELEMENTI DI STATISTICA. Giancarlo Zancanella 2015
ELEMENTI DI STATISTICA Giacarlo Zacaella 2015 2 Itroduzioe I termii statistici soo molto utilizzati el liguaggio correte 3 Cos è la STATISTICA STATISTICA = scieza che studia i feomei collettivi o di massa
DettagliIntroduzione all Analisi di Fourier. Prof. Luigi Landini Ing. Nicola Vanello. (presentazione a cura di N. Vanello)
Itroduzioe all Aalisi di Prof. Luigi Ladii Ig. Nicola Vaello (presetazioe a cura di N. Vaello) ANALII DI FOURIER egali tempo cotiui: egali periodici egali aperiodici viluppo i serie di Itroduzioe alla
DettagliTeoria della Calcolabilità
Teoria della Calcolabilità Si occupa delle questioi fodametali circa la poteza e le limitazioi dei sistemi di calcolo. L'origie risale alla prima metà del vetesimo secolo, quado i logici matematici iiziaroo
Dettagli3. Calcolo letterale
Parte Prima. Algera 1) Moomi Espressioe algerica letterale 42 Isieme di umeri relativi, talui rappresetati da lettere, legati fra loro da segi di operazioi. Moomio Espressioe algerica che o cotiee le operazioi
Dettagli1 Esponenziale e logaritmo.
Espoeziale e logaritmo.. Risultati prelimiari. Lemma a b = a b Lemma Disuguagliaza di Beroulli per ogi α e per ogi ln a k b k. k=0 + α + α Teorema Disuguagliaza delle medie Per ogi ln, per ogi upla {a
Dettagli138. MOLTIPLICARE I NUMERI CON LA GEOMETRIA Luca Lussardi Technische Universität Dortmund, Vogelpothsweg , Dortmund (Germania)
138. MOLTIPLICARE I NUMERI CON LA GEOMETRIA Luca Lussardi Techische Uiversität Dortmud, Vogelpothsweg 87 44227, Dortmud (Germaia) No c è certo da stupirsi se oggi troviamo relazioi tra operazioi matematiche
DettagliAlgoritmi e Strutture Dati (Mod. B) Programmazione Dinamica (Parte I)
Algoritmi e Strutture Dati (Mod. B) Programmazioe Diamica (Parte I) Numeri di Fiboacci Defiizioe ricorsiva (o iduttiva) F() = F() = F() = F() + F() Algoritmo ricorsivo Fib(: itero) if = or = the retur
DettagliAPPLICAZIONI di MATEMATICA A.A
APPLICAZIONI di MATEMATICA A.A. 2011-2012 Tracce delle lezioi del 20 e 22 settembre 2011 September 26, 2011 1 Richiami sui umeri complessi 1.1 Forma algebrica. U umero complesso z i forma algebrica è u
Dettagli,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5
Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio
DettagliSeconda prova in itinere di Istituzioni di Probabilità
Secoda prova i itiere di Istituzioi di Probabilità 18 Dicembre 1 Problema 1. Su uo spazio di probabilità Ω, A, P sia defiito u moto browiao reale B t t. Fissato e due -uple di umeri reali r i,...,, σ i,...,
DettagliSpazio vettoriale Euclideo
Spazio vettoriale Eclideo Nell isieme R delle ple ordiate, o vettori ad compoeti, di meri reali abbiamo defiito la somma + v di de vettori e il prodotto αv di o scalare per vettore; la strttra cosi otteta
DettagliA.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 8.
A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 8. Esercizio 8.1. Siao, m N due umeri aturali tali che MCD(, m) = 1; dimostrare che il gruppo Z Z m è u gruppo
DettagliGiulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN
Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica Zaichelli (Bologa), 998, ISBN 88-08-069-0 Capitolo NUMERI REALI Soluzioe dei problemi posti al termie di alcui paragrafi. Numeri aturali, iteri,
DettagliIl discriminante Maurizio Cornalba 23/3/2013
Il discrimiate Maurizio Coralba 3/3/013 Siao X 1,..., X idetermiate. Cosideriamo i poliomi V (X 1,..., X ) = i>j(x i X j ) (X 1,..., X ) = V (X 1,..., X ) Il poliomio V (X 1,..., X ) è chiaramete atisimmetrico.
DettagliAlgoritmi e Strutture Dati (Elementi)
Algoritmi e Strutture Dati (Elemeti Esercizi sulle ricorreze Proff. Paola Boizzoi / Giacarlo Mauri / Claudio Zadro Ao Accademico 00/003 Apputi scritti da Alberto Leporati e Rosalba Zizza Esercizio 1 Posti
DettagliMatematica III. 1 Richiami di teoria
appresetazioe dei umeri reali el calcolatore La rappresetazioe avviee el formato matissa espoete: pn q dove: - p matissa - N base di umerazioe - q espoete La rappresetazioe si dice ormalizzata quado N
DettagliEquazioni Differenziali
Equazioi Differeziali Nota itroduttiva: Lo scopo di queste dispese o è trattare la teoria riguardo alle equazioi differeziali, ma solo dare u metodo risolutivo pratico utilizzabile egli esercizi che richiedoo
DettagliCerchi di Mohr - approfondimenti
Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Stato di tesioe e di deformazioe Cerchi di Mohr - approfodimeti L algebra dei cerchi di Mohr Proprietà di estremo dei cerchi di Mohr Costruzioe
Dettagli1. I numeri naturali. 2. Confronto degli interi naturali. 3. Il sistema di numerazione decimale
umeri aturali Scrivere il precedete e il successivo dei segueti umeri Milleciquecetoovatacique ottomilasettecetoottatuo Diecimilioisettecetoottatuomilaciquecetoveti Zero umiliardosettecetomilioiciquecetomila
DettagliSottospazi associati a matrici e forma implicita. Sottospazi associati a una matrice Dimensione e basi con riduzione Sottospazi e sistemi. Pag.
Spazi vettoriali Sottospazi associati a ua matrice Dimesioe e basi co riduzioe Sottospazi e sistemi 2 Pag. 1 2006 Politecico di Torio 1 Spazi delle righe e delle coloe Sia A M m, ua matrice m x. Allora
DettagliPrimo appello di Calcolo delle probabilità Laurea Triennale in Matematica 22/01/2018
Primo appello di Calcolo delle probabilità Laurea Trieale i Matematica 22/0/20 COGNOME e NOME... N. MATRICOLA... Esercizio. Siao X e Y due variabili aleatorie idipedeti, co le segueti distribuzioi: X Uif(0,
Dettagli3.1 Rappresentazione dello stato tensionale nel piano di Mohr: circoli di Mohr.
DIDATTICA DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA MODULO TRE I CONCETTI FONDAMENTALI NELL ANALISI DELLA TENSIONE PARTE B) MODULO PER LO SPECIALIZZANDO Modulo. Rappresetazioe dello stato
Dettagli