,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5

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1 Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio ha costruito i pochi secodi, davati ai miei occhi, il seguete quadrato magico 4x4 basato sulla mia data di ascita 19/1/1947 Come si può otare la somma dei umeri sulle righe, le coloe, le diagoali e altre zoe del quadrato dà sempre 1947! Se si ordiao i umeri si ottegoo le segueti due sequeze ,5 88,5 894,5 906,5 918,5 930,5 94,5 954,5 le quali soo due distite progressioi aritmetiche di ragioe 1 e il umero più piccolo è il 19: u vero capolavoro. Noostate che io possieda ua discreta letteratura sui quadrati magici o ho mai visto ulla del geere, o assomiglia a essu quadrato magico stadard. Purtroppo o ho avuto il tempo di discutere co l autore il quale sembra o avere eache u idirizzo attraverso cui cotattarlo. Mi è parso di capire che egli viva adado i giro, ache all estero, propoedo spettacoli e sfide sulla costruzioe di quadrati magici. U persoaggio davvero sigolare che meriterebbe u ricooscimeto pubblico per questa sua abilità, magari da parte del modo accademico dei matematici. Per capire quato origiale sia il tipo di quadrato magico costruito da Giuseppe Poloe riassumiamo di seguito le proprietà dei quadrati magici stadard. I quadrati magici stadard soo costituiti da soli umeri iteri tali che, dato u quadrato co lato di caselle e quidi di caselle totali, esso cotiee i primi umeri iteri. 1 Agelo Ricotta

2 Poiché la somma dei primi umeri iteri è ( + 1) = ovviamete la somma dei primi umeri iteri sarà ( + 1) = Siccome la proprietà fodametale del quadrato magico è quella che la somma dei umeri sulle sigole righe, coloe, diagoali, e a volte ache su altre parti del quadrato, è ua costate, per i quadrati magici di cui stiamo trattado questa costate magica deve essere ( + ) ( + 1) = = Ad esempio per u quadrato = 4 la costate magica è 34 e il quadrato è La somma 34 o è limitata alle sole righe, coloe e diagoali ma ache a zoe diverse che ho cotrassegate co lo stesso colore, e ce e soo ache altre. Cooscere la sequeza dei umeri ulla ci dice di come disporli elle caselle per otteere la costate magica calcolata. Che io sappia o esiste u algoritmo geerale per eseguire tale disposizioe ma esistoo diversi algoritmi per tipologie. Dal quadrato surriportato scambiado opportuamete i umeri tra le caselle si possoo otteere 880 cofigurazioi diverse, seza cotare le simmetrie di rotazioe e riflessioe. Dai quadrati magici stadard si possoo derivare immediatamete altri quadrati sommado ai umeri delle sigole caselle uo stesso umero. Ovviamete ciò cambia la costate magica. Per certe categorie di quadrati ache altre operazioi come moltiplicazioe ed elevameto a poteza geerao altri quadrati magici. Su HUhttp://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.htmlUH ho trovato ua formula che forisce la sequeza dei umeri per costruire u quadrato Agelo Ricotta

3 magico di ordie qualsiasi partedo da u umero qualsiasi a e seguedo ua progressioe aritmetica di ragioe D 1 M(, a, D) = a+ ( 1) D (Huter ad Madachy, 1975) I cui M(, a, D=Costate ) magica; =ordie del quadrato (umero caselle per lato); a =umero di parteza; D =ragioe della progressioe aritmetica. M a D=1947 ed =4 ci Se volessimo applicare questa formula per (,, ) troveremmo a dover risolvere la seguete equazioe idetermiata co le icogite a e D 1947 = 4a+ 30D Se vogliamo soluzioi itere si vede subito che soo impossibili i quato 1947 è dispari metre il membro di destra dà risultato sempre pari. Perciò per 1947, co la formula di cui sopra, o si può costruire ua sequeza di umeri iteri per u quadrato magico (aturalmete si può costruire ua sequeza o itera). Se ivece si vuole utilizzado il calcolatore olie 1946 = 4a+ 30D HUhttps:// co qualche calcolo si ottiee a = 14 e D = 63 e quidi si può costruire u quadrato magico co umeri iteri basato sulla formula surriportata. Naturalmete la formula ci forisce solo la sequeza dei umeri da utilizzare ma ulla ci dice di come posizioarli elle caselle del quadrato. Qui itervegoo gli algoritmi di posizioameto dei quali però o trattiamo. Sul sito HUhttp:// c è u calcolatore che aiuta a calcolare quadrati magici, però o forisce u aiuto per posizioare i umeri da oi calcolati i precedeza co la formula di cui sopra. Ifatti per la costate magica 1946 forisce Agelo Ricotta

4 metre per 1947 dà C è u altro sito che calcola quadrati magici i u modo u po strao e apparetemete difficile da cotrollare HUhttp:// Comuque co qualche tetativo questo sito forisce il seguete quadrato magico per la costate magica metre per 1947 forisce Questo è quato soo riuscito fiora ad appurare cosultado tutta la letteratura i mio possesso. Il matematico di strada Giuseppe Poloe evidetemete e sa u bel po di più! Per uo che ha solo la quita elemetare, come egli afferma, è davvero u risultato eccezioale. 4 Agelo Ricotta

5 UNote ( + 1) 1) La somma dei primi umeri iteri, che è =, ha ua facile ed iteressate dimostrazioe. Per pari possiamo disporre i umeri el seguete modo su coloe e righe: ovvero si divide l isieme dei umeri i due parti uguali e si ripiega la secoda sotto la prima come qui di seguito ( 1) ( ) I tal modo la somma sulle coloe è sempre + 1 e ci soo coloe, da cui la formula della somma. Per dispari, aggiugedo alla sequeza il umero 0 i modo da otteere u umero pari di elemeti, possiamo acora disporre i umeri el seguete modo i cui stavolta la somma sulle coloe è e ci soo + 1= coloe, da cui si deduce sempre la stessa formula della somma. È solo u modo diverso di cosiderare la stessa somma. Ad esempio sommiamo i primi 101 umeri aturali. Aggiugedo lo 0 abbiamo u umero pari di 10 elemeti. Separado la sequeza i due parti uguali di 51 elemeti ciascua, secodo lo schema di cui sopra, avremo 51 coloe a somma 101 e quidi 51x 101= 5151, come ache da formula. 1 ) La dimostrazioe della formula M(, a, D) = a+ ( 1) D (Huter ad Madachy, 1975) è semplice. La somma di ua progressioe aritmetica i cui =umero dei termii, a =umero di parteza; D =ragioe della ( 1 ) progressioe aritmetica è data da S = a+ D. Per defiizioe è S M(, a, D) = da cui segue la formula. 5 Agelo Ricotta

6 3) Soluzioe del quadrato magico di Poloe Riprededo il discorso sul quadrato magico elaborato da Poloe sui umeri della data 19/1/1947 ossia calcoliamoe le sequeze di umeri e il riempimeto delle caselle co il seguete metodo. Si ripredao i primi 8 termii della progressioe aritmetica co primo umero uguale a 19 e ragioe e vi si aggiugao i segueti otto Per iserire questi 16 umeri i u quadrato magico 4x4 che poi ci permetta di otteere tutto il quadrato di Poloe cerchiamo ua cofigurazioe del quadrato magico stadard che abbia i primi otto umeri, ossia i umeri da 1 a 8, elle stesse caselle dei primi otto umeri, che vao dal 19 al 103, del quadrato di Poloe. Il quadrato stadard da utilizzare come modello è Agelo Ricotta

7 Seguedo questo modello i primi otto umeri del quadrato di Poloe si iseriscoo ei corretti posti e ache gli altri umeri della progressioe aritmetica prima calcolata vegoo iseriti i sequeza elle ulteriori caselle corrispodeti Essedo la costate magica di questo quadrato 436 e dovedo ivece otteere la costate magica 1947 si procede come di seguito. Si calcola la costate = 755,5. Questa costate deve essere sommata ai umeri i celeste del quadrato di cui sopra. Si ottiee 954, , ,5 894, , , ,5 930,5 19 che è proprio il quadrato magico di Poloe. I questo caso i umeri decimali hao ua forma semplice: c è solo uo 0,5 aggiuto agli otto iteri più gradi. I geerale però la costate da aggiugere potrebbe coteere più decimali e risultare quidi meo elegate. I altri casi ivece potrebbe essere itera e questo sarebbe il risultato più elegate. Affiché ciò accada la differeza al umeratore della frazioe per il calcolo della costate deve, ovviamete, essere u umero pari. Questo accade, ad esempio, per il umero 1946 che forisce ua costate di 755 e quidi u quadrato magico di soli iteri uguale a quello sopra mostrato ma seza lo 0,5. 7 Agelo Ricotta