Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

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1 Probabilità e Statistica Esercitazioi a.a. 2006/2007 C.d.L.: Igegeria per l Ambiete ed il Territorio, Igegeria Civile, Igegeria Gestioale, Igegeria dell Iformazioe C.d.L.S.: Igegeria Civile Estrazioi-II Ies Campa e Marco Loghi Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 1

2 Problema delle prove ripetute Gettiamo u dado regolare e calcoliamo la probabilità che i successivi cique laci la faccia 1 si preseti soltato la prima volta e poi o si preseti più ei successivi laci. Siamo di frote a u eveto prodotto logico di ua sequeza di cique eveti idipedeti. La probabilità dell eveto E = {esce la faccia 1} è P (E = 1 6, metre P ( E = = 5 6. La probabilità richiesta è p = = 1 6 ( 4 5 = Abbadoiamo ora la richiesta che la faccia 1 esca la prima volta e cosideriamo il caso i cui la faccia 1 esca ua sola volta, o importa i quale posizioe della sequeza. Le cique possibilità soo tutte icompatibili tra di loro, ciascua co ugual valore di probabilità p. Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 2

3 Dobbiamo applicare il teorema della somma logica di eveti sommado cique volte il valore appea trovato, quidi 5 p = 5 1 ( = Il umero delle volte che si può presetare la sequeza è uguale al umero di permutazioi di 5 elemeti di cui 1 ripetuto ua volta e l altro ripetuto quattro volte o equivaletemete al umero dei modi co cui u elemeto può occupare cique posti a disposizioe. Ifatti P 1,4 = 5! 1! 4! = ( 5 1 Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 3

4 Geeralizziamo il problema. Cosideriamo eveti idipedeti E 1, E 2, E tali che P (E k = p co k = 1, 2,,. Sia q = P ( E k = 1 p co k = 1, 2,,. La probabilità che o si verifichi essuo degli eveti E k, co k = 1, 2,, è P ( E 1 E = q La probabilità che si verifichi almeo 1 degli eveti E k, co k = 1, 2,, è P (E 1 E = 1 P ( E 1 E = 1 q La probabilità che si verifichi u solo eveto è P (( E 1 E 2 E ( E1 E 2 E ( E1 E 2 E = = p q 1 Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 4

5 La probabilità che si verifichio esattamete k eveti tra gli dati è ( p k q k k = 0, 1, k Tale distribuzioe di probabilità è detta biomiale, se k = 1 di Beroulli Idichiamo co B k = {si verificao esattamete k eveti tra gli dati}, k = 0, 1,, Allora P (B k = k=0 ( k=0 k p k q k = 1 Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 5

6 Equivaletemete, se abbiamo u eveto E co probabilità costate p di verificarsi e vogliamo calcolare la probabilità che l eveto E si verifichi k volte i prove idipedeti. L eveto costate E ha probabilità di verificarsi q = 1 p. Se fissiamo l ordie delle k volte che l eveto si deve verificare, la probabilità richiesta è p k q k Se o ci iteressa l ordie, dobbiamo applicare il teorema della somma logica di eveti e quidi moltiplicare il valore precedete per il umero dei modi i cui si possoo scegliere k oggetti tra, quidi la probabilità richiesta è ( p k q k k Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 6

7 Sia {e 1, e 2, e N } ua popolazioe, ovvero u isieme fiito di N elemeti, suppoiamo che gli elemeti della popolazioe abbiao due caratteristiche distite i proporzioe rispettivamete p e q. Si estrae dalla popolazioe volte, co reimmissioe. Poedo E k = {escoo esattamete k elemeti co la prima caratteristica i estrazioi} co k = 0, 1,,. Si ha P (E k = ( k p k q k k = 0, 1, Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 7

8 Esercizio 1 (Esercizio tipo tema d esame 10/01/2006. Si laciao cotemporaeamete due dadi per 7 volte. Calcolare la probabilità che 1. la somma dei puteggi delle due facce rivolte verso l alto risulti 4 o u suo multiplo esattamete per 2 volte; 2. la somma dei puteggi delle due facce rivolte verso l alto risulti 4 o u suo multiplo almeo per 2 volte. Esercizio 2. U ura cotiee 25 pallie, di cui 10 rosse e 15 biache. Si estrae per 6 volte ua pallia, rimettedo ogi volta la pallia ell ura. Calcolare la probabilità di estrarre per 3 volte ua pallia rossa. Esercizio 3. I ua scatola soo coteute 20 lampadie di cui 5 guaste. Calcolare la probabilità che i ua successioe di estrazioi idipedeti e ripetute 1. la prima lampadia guasta estratta si abbia alla sesta estrazioe; 2. la prima lampadia guasta estratta si abbia dopo diciotto estrazioi. Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 8

9 Esercizio 4 (Tema d esame del 10/01/2006. U pescatore si reca a pescare solamete i due zoe: zoa A e zoa B. Egli ha probabilità 2 5 di scegliere la zoa A e 3 5 di scegliere la zoa B. I A il pescatore ha probabilità 1 5 di catturare u pesce ogi volta che getta l amo, i B, ivece, 1 2. Sapedo che il pescatore ha fatto 3 tetativi idipedeti seza riuscire a pescare u pesce, calcolare la probabilità che stia pescado ella zoa B. Esercizio 5 (Tema d esame del 25/07/2006. Ua famiglia ha 6 figli. Nell ipotesi che la ascita di u figlio maschio abbia la stessa probabilità della ascita di ua figlia femmia, determiare la probabilità che, scelti a caso 3 figli, almeo 1 sia maschio. Esercizio 6 (Tema d esame del 05/09/2006. Nella fase fiale dei campioati del modo, Italia e Fracia si affrotao i uo scotro ad elimiazioe diretta. Persistedo il risultato di parità (0 0 fio alla fie del secodo tempo supplemetare, le due squadre procedoo alla routie dei calci di rigore. Sapedo che ogi giocatore fracese ha probabilità 0, 8 di segare, metre ogi giocatore italiao ha probabilità 0, 6 di segare, calcolare la probabilità che, dopo due tiri dal dischetto effettuati da ogi squadra, il risultato sia ; ; ; 4. i parità. Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 9

10 Circuiti i serie o parallelo Macchiari co compoeti collegati i serie: {il fuzioameto dei macchiari} è uguale all itersezioe degli eveti fuzioameto dei sigoli compoeti. Macchiari co compoeti collegati i parallelo: {il fuzioameto dei macchiari} è uguale all uioe degli eveti fuzioameto dei sigoli compoeti. Esercizio 7. Marco compra ua serie di 20 lampadie per addobbare u albero di Natale. Calcolare la probabilità che dopo 150 ore, l albero sia acora illumiato, sapedo che le lampadie hao la stessa probabilità pari a 1 3 di fuzioare acora idipedetemete tra loro dopo 150 ore. Esercizio 8. Calcolare la probabilità che ua staza per cofereze co 20 lampadie sia illumiata, suppoedo che tali lampadie, dopo u dato periodo di fuzioameto, abbiao tutte la stessa probabilità pari a 1 3 di fuzioare acora idipedetemete tra loro. Probabilità e Statistica - Esercitazioi - a.a. 2006/2007 Estrazioi II - Ies Campa e Marco Loghi - p. 10