Appunti complementari per il Corso di Statistica

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1 Apputi complemetari per il Corso di Statistica Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Tessile Ilia Negri 24 settembre Schemi di campioameto Co il termie campioameto si itede l operazioe di estrazioe di u certo umero di pallie da u ura. Il risultato dell estrazioe è detto campioe. L isieme di tutti i possibili campioi costituisce lo spazio campioario. Diversi esperimeti casuali possoo dare come esito uo stesso tipo di campioameto. I questa sezioe ci propoiamo di catalogare l isieme degli esiti di alcui diversi tipi di esperimeti casuali. Gli esperimeti cosistoo ell estrazioe di pallie da u ura che cotiee M pallie. Essi si distiguoo prima di tutto per il modo i cui possoo essere estratte le pallie e i secodo luogo per l importaza o meo data all ordie i cui soo estratte. L utilizzo del modello costituito dall ura e dalle pallie è fatto solo per semplicità. Come vedremo elle applicazioi tale modello può essere visto come l esemplificazioe di modelli assai più complessi. Il problema della costruzioe di Ω per questi esperimeti si riduce quidi a cercare di dare ua risposta alla domada: i quati modi si possoo estrarre pallie da u ura che e cotiee M distite? Come abbiamo già acceato il umero di modi i cui si possoo estrarre le pallie dipede da due fattori che caratterizzao l esperimeto casuale: 1. Si ripoe ell ura la pallia estratta prima dell estrazioe successiva? Dipartimeto di Igegeria Uiversità degli Studi di Bergamo Dalmie 1

2 2. Ha importaza l ordie co cui le pallie soo estratte? A secoda delle risposte date alle due domade precedeti si distiguoo 4 tipi diversi di schema di campioameto. Si suppoe che le M pallie coteute ell ura siao cotraddistite dai umeri 1, 2,..., M. U campioe di lughezza estratto dall ura può essere idicato come (a 1, a 2,..., a, dove ciascu a i per i 1, 2,... può assumere valori ell isieme {1, 2,..., M} e rappreseta il valore della i-esima estrazioe. Il umero delle -uple (a 1, a 2,..., a diverse che si possoo formare dipede dalle risposte che si dao ai due ultimi quesiti. Ad esempio ua possibile realizzazioe el gioco del totocalcio può essere vista come u campioe otteuto estraedo 13 pallie da u ura che e cotiee 3, ripoedo ell ura la pallia prima di procedere all estrazioe successiva e dado importaza all ordie co cui le 13 pallie soo estratte. Nel seguito si aalizzao i quattro schemi diversi di campioameto. Primo caso. Estrazioe co riposizioe e si da importaza all ordie. I questo caso due campioi (a 1, a 2,..., a e (b 1, b 2,..., b soo diversi tra loro o se differiscoo per il valore che assumoo le a i e le b i ovvero se queste soo tutte uguali ma cambia l ordie co cui compaioo ella -upla. Per cotare quati campioi diversi si possoo formare si ragioa el modo seguete. Nella prima estrazioe la pallia può essere scelta i M modi diversi. Nella secoda estrazioe, poiché la pallia estratta viee rimessa ell ura, questa può essere scelta di uovo i M modi diversi. Per oguo dei modi i cui è estratta la prima pallia vi soo M modi possibili di estrarre la secoda pallia, quidi i totale M 2 modi di estrarre due pallie. I geerale se si effettuao estrazioi si avrao M modi diversi di estrarre le pallie. Il umero di campioi otteuti è ache detto disposizioi co ripetizioe. Ad esempio le combiazioi possibili al gioco del totocalcio soo Si oti che i questo schema di campioameto si può avere M. Secodo caso. Estrazioe seza riposizioe e si da importaza all ordie. Per cotare quati campioi si possoo formare si osserva che la prima estrazioe può essere fatta i M modi. La secoda può essere fatta i M 1 modi i quato la pallia scelta alla prima estrazioe o viee rimessa ell ura. Per ogi scelta 2

3 della prima pallia vi soo quidi M 1 scelte della secoda. I totale le prime due scelte possoo essere effettuate i M (M 1 modi. I casi possibili se si eseguoo estrazioi soo quidi M (M 1... (M + 1. Il umero di campioi otteuti è detto disposizioi semplici. Itroduciamo la otazioe fattoriale dove co k! per k itero e maggiore di zero di itede il prodotto di tutti gli iteri da k fio a 1. Si assume per defiizioe che 0! 1. Allora il umero di casi possibili può essere scritto come (M!. Quati umeri di sei cifre tutte diverse si possoo formare? Si tratta di cotare il umero dei campioi diversi che si ottegoo facedo sei estrazioi seza riposizioe i u ura che cotiee 10 pallie. Chiaramete i questo tipo di esperimeto ha importaza l ordie co cui vegoo estratte le pallie i quato u umero i ua posizioe assume u sigificato be preciso. I casi possibili soo I quati modi possibili si possoo ordiare 12 persoe diverse? Ogi ordie possibile corrispode ad effettuare 12 estrazioi da u ura coteete 12 pallie i questo schema di campioameto. I casi possibili soo 12! Terzo caso. Estrazioe seza riposizioe e o ha importaza l ordie. Per cotare i campioi possibili i questo caso facciamo la seguete osservazioe. Due campioi dello schema precedete che differiscoo solo per l ordie delle pallie estratte ma o per le pallie estratte soo lo stesso campioe i questo schema. Per ogi estrazioe di pallie diverse vi soo! modi di ordiare queste pallie. I campioi otteuti i questo modo rappresetao u uico campioe per questo schema. I casi possibili soo duque M (M 1... (M + 1.! I pratica si applica quella che viee detta regola del pastore: per sapere quate pecore vi soo el gregge si cotao prima le zampe e poi si divide per quattro. Il umero di campioi otteuto i questo schema prede il ome di combiazioi semplici. Per idicare il umero di campioi otteuto co questo schema si utilizza 3

4 la seguete scrittura: ( M M (M 1... (M + 1! (M!!. La quatità ( M viee ache detta coefficiete biomiale. Ad esempio si suppoga di voler sapere quate ciquie si possoo formare el gioco del Lotto. I questo caso si devoo cotare i campioi possibili otteuti facedo estrazioi seza riposizioe da ura che cotiee 90 pallie. I casi possibili soo ( Quarto caso. 1 Estrazioe co riposizioe e o ha importaza l ordie. Si suppoga di idetificare le M pallie coteute ell ura co M 1 barre che dividoo M celle (la prima e l ultima cella o hao la parete a siistra e rispettivamete a destra. L estrazioe di pallie ello schema dell ura co riposizioe e seza dare importaza all ordie, corrispode all assegazioe di oggetti idistiguibili (chiamiamoli asterischi alle M celle seza esclusioe (cioè ogi cella poò coteere più asterischi. Se pesiamo agli M 1 bastocii e agli asterischi come ad M 1 + oggetti diversi, ogi cofigurazioe corrispode ad ua permutazioe di questi oggetti. Ci soo quidi (M 1 +! cofigurazioi possibili. Due permutazioi di questo tipo corrispodoo allo stesso campioe ello schema che si sta cosiderado, quado, fissate le posizioi e i valori degli asterischi, si permutao gli M 1 bastocii. I modo aalogo due permutazioi i cui soo fissate le posizioi dei bastocii rappresetao lo stesso campioe quado si permutao gli asterischi. I defiitiva i casi possibili soo (M 1 +! (M 1!! ( M 1 +. Il umero di tali campioi è detto combiazioi co ripetizioe. Ad esempio quate tessere diverse del domio si possoo formare? Tate quate il umero di estrazioi diverse che si possoo effettuare estraedo due pallie co riposizioe da u ura che e cotiee sei. I casi possibili soo ( Per i quattro schemi cosiderati abbiamo costruito lo spazio Ω degli eveti elemetari. Il umero di elemeti che appartegoo ad Ω ei quattro schemi è riassuto ella tabella 1. Se si vuole calcolare la probabilità di u particolare eveto i uo di 1 Questo caso è presetato solo per completezza ma o fa parte del programma d esame 4

5 ORDINATI NON ORDINATI ( CON RIPOSIZIONE M M 1+ SENZA RIPOSIZIONE (M! ( M Tabella 1: Numero di campioi elemetari ei differeti schemi di campioameto. questi schemi di campioameto si può supporre che ciascu eveto elemetare sia equiprobabile. Co l ipotesi fatta la probabilità degli eveti si può calcolare come umero di casi favorevoli all eveto fratto umero dei casi possibili. Esempio 1.1. Calcolare la probabilità di fare ambo avedo giocato 2 umeri su ua ruota del Lotto. I questo caso i casi possibili soo ( Metre i casi favorevoli soo ( Ifatti le ciquie favorevoli soo quelle che cotegoo i due umeri giocati e altri tre umeri qualuque scelti tra gli 88 rimasti. La probabilità richiesta è pertato p Quidi per cosiderare equo il gioco del Lotto ua vicita otteuta co l ambo dovrebbe essere pagata circa 00 volte o le 0 attuali!