ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO

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1 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO Capitolo 6 ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 6. Itroduzioe Oggetto del calcolo combiatorio è quello di determiare il umero dei modi mediate i quali possoo essere associati, secodo prefissate regole, gli elemeti di uo stesso isieme o di più isiemi. I molte applicazioi sorge il problema di sapere i quati modi possibili si può presetare u certo feomeo. Il problema, all appareza, sembra baale: ciò è vero se il umero degli elemeti presi i cosiderazioe è piccolo, ma quado questo umero è elevato si presetao delle difficoltà el formare tutti i raggruppameti possibili e seza cosiderare ripetizioi. Nelle applicazioi ci si può, per esempio, chiedere: I quati modi diversi si possoo scegliere tre libri da ua libreria che e cotiee? I quati modi si possoo scegliere tre umeri diversi, compresi tra e 50, i modo che la loro somma sia divisibile per? Nel meù di u ristorate si può scegliere tra cique primi piatti, sei secodi e sette dessert: quati tipi di pasti, co almeo ua portata diversa, può sommiistrare il ristoratore? e così via. Il calcolo combiatorio oltre che a rispodere a domade del tipo precedete costituisce ache uo strumeto aritmetico che è di supporto idispesabile el Calcolo delle Probabilità poiché cosete di determiare il umero di eveti possibili (ma ache quelli favorevoli e cotrari) che si possoo verificare i ua prova. I defiitiva possiamo dire che il Calcolo combiatorio forisce quegli strumeti di calcolo per determiare il umero di raggruppameti che si possoo formare co u umero k di oggetti presi da u isieme coteete oggetti ( k ) secodo le modalità segueti: a) i k oggetti possoo formare gruppi ordiati (che chiameremo disposizioi); b) i k oggetti possoo formare gruppi o ordiati (che chiameremo combiazioi); c) se k otterremo dei gruppo ordiati che chiameremo permutazioi. Esamiiamo i dettaglio questi raggruppameti. 6. Disposizioi semplici Cosideriamo u isieme A formato da elemeti distiti ed u umero k. Si chiamao disposizioi semplici degli elemeti presi a k a k ( o disposizioi della classe k) u gruppo ordiato formato da k degli elemeti dell isieme dato A i modo che valgao le segueti proprietà:. i ciascu raggruppameto figurao k oggetti seza ripetizioe; 80

2 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO. due di tali disposizioi si ritegoo diverse quado differiscoo per almeo u elemeto oppure per l ordie co cui gli stessi elemeti si presetao. Il umero delle disposizioi semplici di elemeti distiti, della classe k, si idica co il simbolo il cui valore è dato dal teorema (che o dimostreremo) seguete: D, k Il umero delle disposizioi semplici di elemeti distiti della classe k, è uguale al prodotto di k umeri iteri cosecutivi decresceti dei quali il primo è. Si ha cioè: D, k ( ) ( ) Λ ( k + ) e si dimostra che:! D, k ( k)! Il simbolo! si legge fattoriale e o è altro che il prodotto di umeri iteri decresceti a partire da e per defiizioe si poe 0!. Così, ad esempio, se vogliamo calcolare D7, ei due modi descritti, si ha: D , 7! D 7, 0. ( 7 )! 6. Disposizioi co ripetizioe Cosideriamo u isieme costituito elemeti distiti ed u umero aturale k seza alcua limitazioe superiore. Il problema che ci poiamo è quello di costruire tutti i possibili raggruppameti distiti prededo k oggetti i modo che: a) i ciascu raggruppameto figurao k oggetti ed uo stesso oggetto può figurare, ripetuto, fio ad u massimo di k volte; b) due qualsiasi raggruppameti soo distiti se uo di essi cotiee almeo u oggetto che o figura ell altro, oppure gli oggetti soo diversamete ordiati, oppure gli oggetti che figurao i uo figurao ache ell altro ma soo ripetuti u umero diverso di volte. Il umero delle disposizioi co ripetizioe si idica co il simbolo D ', e si k dimostra che tale umero è dato da: k D ', k. Esempi. Usado le cifre sigificative,,,,5,6,7,8,9 del sistema decimale, quati umeri di cifre differeti si possoo formare co esse? E quati se e possoo formare se o tutte le cifre soo differeti? Per rispodere alla prima domada occorre cosiderare le disposizioi (cota l ordie) semplici (le cifre o si ripetoo) di 9 9! elemeti di classe, cioè: Per rispodere alla secoda domada 6! occorre cosiderare le disposizioi (cota l ordie) co ripetizioe (le cifre si ripetoo) di 9 elemeti di classe, cioè: Quati umeri aturali co cifre distite si possoo formare? Le cifre sigificative soo: 0,,,,,5,6,7,8,9. Occorre cosiderare le disposizioi (cota l ordie) semplici (le cifre devoo essere distite) di 0 elemeti di classe : D 0, 70. Occorre poi teere preseti che calcolado D si cosiderao ache le 0, disposizioi del tipo , che o è u umero aturale co 0 cifre. Pertato, teedo coto che esistoo 7 0 0, lo 0, il umero richiesto sarà: D 0, D disposizioi aveti come cifra iiziale 8

3 ALTRO METODO Suppoiamo di avere dei vicoli (i questo caso la prima cifra o può essere zero) allora le possibili scelte sarao: per la prima cifra: 9 opzioi diverse (,...,9) per la secoda cifra: 9 opzioi diverse (tutti i umeri da 0 a 9 trae la cifra scelta come primo umero) per la terza cifra: 8 opzioi (soo escluse le cifre già scelte) I totale

4 Esempio: Avedo a disposizioe le cifre le cifre,,7,9 quati umeri dispari di tre cifre distite posso formare? 7 9 Le ultime due cifre devoo essere ecessariamete 7 o 9. Le restati due possoo essere scelte tra le tre rimaeti. Prima cifra: opzioi Secoda cifra: opzioi Terza cifra: opzioi cofigurazioi diverse D, 6

5 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 6. Permutazioi semplici Le permutazioi semplici altro o soo che le disposizioi di oggetti presi ad ad, ossia, dato u isieme di oggetti, si dicoo permutazioi di tali oggetti tutti i gruppi che si possoo formare co gli oggetti dati prededoli tutti. Se e deduce allora che le permutazioi semplici differiscoo soltato per l ordie co cui soo disposti gli oggetti distiti coteuti ei vari raggruppameti. Dalla defiizioe segue quidi che le permutazioi coicidoo co le disposizioi semplici di classe. Il umero delle permutazioi si idica co P e il calcolo delle permutazioi è uguale al calcolo del umero delle disposizioi semplici di elemeti di classe ; i pratica è: P D, P ( ) ( ) Λ cioè: il umero delle permutazioi di elemeti distiti è uguale al prodotto dei primi umeri aturali (escluso lo zero). Ricorredo alla defiizioe di fattoriale, possiamo ache dire che: il umero delle permutazioi semplici di elemeti distiti è dato dal fattoriale del umero, ossia: P! Gli aagrammi altro o soo che le permutazioi che si ottegoo da ua parola variado solo il posto delle lettere. Ad esempio, co la parola ROMA (composta da lettere) si ottegoo P! aagrammi. 6.5 Permutazioi di elemeti o tutti diversi Nel paragrafo precedete abbiamo supposto che gli elemeti dell isieme fossero tutti distiti. Suppoiamo ora che di questi elemeti ve e siao α uguali tra loro ( α < ). Ci propoiamo allora di trovare il umero delle loro permutazioi che ( ) idicheremo co P α. Iiziamo co u esempio. Cosideriamo la parola ORO che cotiee due lettere uguali. Abbiamo visto che il umero di aagrammi di ua parola (co lettere tutte diverse) di tre lettere è dato da: P! 6 Nel caso della parola ORO i possibili aagrammi distiti soo soltato: ORO ROO OOR cioè soo tre e o sei come ci si sarebbe aspettato, cioè soo i umero miore di P. I geerale, voledo calcolare le permutazioi di oggetti i cui ve e siao α idetici fra loro, si ottiee u umero di permutazioi dato da: ( α ) P! P. α! α! Nel ostro caso quidi è: ( ) 6! P 6.! Se poi, data ua parola di lettere ella quale ua lettera è ripetuta α volte, u altra β volte, ecc. o, più i geerale, dato u isieme di elemeti dei quali α soo uguali fra loro, β uguali fra loro, ecc., il umero delle permutazioi distite co elemeti ripetuti che si possoo otteere è dato da: ( α, β, Κ, γ ) P! P. α! β! Κ γ! α! β! Κ γ! Ad esempio, se prediamo i cosiderazioe la parola MATEMATICA, osserviamo che elle 0 lettere i essa coteute, la lettera M si ripete volte (α ), la lettera A si ripete volte ( β ) e la lettera T si ripete volte (γ ). Il umero di aagrammi distiti che si possoo costruire co essa è dato da: 8

6 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO (,, ) 0! P !!! 6.6 Combiazioi semplici Dato u isieme di elemeti, si dicoo combiazioi semplici degli elemeti presi a k a k (o di classe k) k tutti i gruppi di k elemeti, scelti fra gli dell isieme dato, i modo che ciascu gruppo differisca dai restati almeo per uo degli elemeti i esso coteuti (seza cosiderare, quidi, l ordie degli elemeti). Da otare la differeza fra disposizioi e combiazioi (semplici): metre elle disposizioi si tiee coto dell ordie, elle combiazioi semplici, ivece, si cosiderao distiti solo quado due i raggruppameti differiscoo almeo per u elemeto. Per determiare il umero delle combiazioi semplici di elemeti di classe k, e che idichiamo co il simbolo, ci serviamo della formula: C, k D, k C, k Pk ossia: ( ) ( ) Λ ( k + ) C, k k ( k ) Λ Da questa formula si ricava che il umero delle combiazioi di oggetti di classe k è dato dal quoziete di k fattori iteri, cosecutivi, decresceti a partire da ed il prodotto di k fattori iteri, cosecutivi, decresceti, a partire da k. Questa formula può essere scritta ache sotto u altra forma; ifatti, moltiplicado umeratore e deomiatore per il fattore ( k)! si ottiee: ( ) ( ) Λ ( k + ) ( k)! C, k k ( k ) Λ ( k)! ( ) ( ) Λ ( k + ) ( k) ( k ) Λ C, k k ( k ) Λ ( k)! Essedo il umeratore di questa frazioe uguale ad!, possiamo scrivere:! C, k. k!( k )! Esempio Quati ambi si possoo formare co i 90 umeri del lotto? Occorre cosiderare tutte le possibili combiazioi di 90 umeri di classe, teedo presete che l ordie o ha importaza (ad esempio le coppie (,),(,) rappresetao lo stesso ambo) e che i u ambo i umeri o si possoo ripetere (combiazioi semplici). Quidi si! 90! ha: 005. k!( k)!! 86! 6.7 Combiazioi co ripetizioe Si possoo predere i cosiderazioe ache le combiazioi co ripetizioe. Cosideriamo u isieme formato da elemeti e fissiamo u umero k (seza alcua limitazioe superiore): ci propoiamo di costruire i possibili raggruppameti distiti prededo k elemeti dell isieme dato i modo che: a) i ciascu raggruppameto figurio k elemeti dell isieme dato potedovi uo stesso elemeto figurare più volte fio ad u massimo di k volte; b) due raggruppameti soo distiti se uo di essi cotiee almeo u elemeto che o figura ell altro, oppure gli elemeti che figurao i uo figurao ache ell altro ma soo ripetuti u umero diverso di volte. Cosideriamo, ad esempio, l isieme: A { a, b, c}. Le combiazioi di classe, co ripetizioe, soo: (a, a) (a, b) (a, c) (b, b) (b, c) (c, c) (soo sei). Le combiazioi di classe, co ripetizioe, soo: 8

7 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO (a, a, a) (a, a, b) (a, a, c) (a, b, b) (a, b, c) (a, c, c) (b, b, b) (b, b, c) (b, c, c) (a, c, c) (soo 0). La formula che dà il umero delle combiazioi co ripetizioe di elemeto di classe k è: ' ( + k )! C, k. k!( )! Nell esempio precedete si ha: ' ( + )!! C, 6!( )!!! ' ( + )! 5! 5 C, 0.!( )!!! Esempio Gli uici cocorreti di gare podistiche soo: Mario, Luigi, Fraco, Giorgio, Sergio. Ciascua gara ha come premio ua medaglia (le medaglie soo tutte uguali). Cosiderato che ogi cocorrete può vicere più di ua medaglia, i quati modi può avveire la suddivisioe delle medaglie? Sulle 5 persoe, occorre scegliere le co ua medaglia a testa, cosiderato che ua persoa può essere ripetuta u umero di volte uguale al umero di medaglie che prede; o cota l ordie i quato le medaglie soo tutte uguali. Si tratta pertato delle combiazioi co ripetizioe di 5 oggetti di classe, il cui umero è dato da: ( + k )! 8! 70. k!( )!!! 6.8 Coefficieti biomiali e poteza di u biomio Il umero delle combiazioi semplici, C, è spesso idicato co il simbolo k seguete: k che si legge su k e viee detto coefficiete biomiale perché se e fa uso ello sviluppo della poteza di u biomio. Per defiizioe è quidi:! C, k k k!( k)! Per la covezioe 0!, ha sigificato ache la scrittura!. 0 0!! I base a questa uova defiizioe possiamo dire che il umero delle combiazioi co ripetizioe è dato dalla: ' + k C, k. k Cosideriamo due umeri reali qualuque a e b. Soo ote le formule: ( a + b) a + b ( a + b) a + ab + 8 b ( a + b) a + a b + ab + b e così via. Aalizzado il calcolo della geerica poteza di u biomio otiamo che tutti gli sviluppi soo dei poliomi omogeei e completi, di grado uguale all espoete della poteza. Ordiado gli sviluppi secodo le poteze decresceti di uo dei due moomi, otiamo che i loro coefficieti soo umeri del seguete

8 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 85 prospetto che oi chiamiamo Triagolo di Tartaglia e che i fracesi chiamao Triagolo di Pascal: Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ per la cui costruzioe è sufficiete osservare che ogi riga iizia e termia co e gli altri valori si ottegoo come somma dei due elemeti sovrastati. Questo triagolo può essere scritto el modo seguete co lo sviluppo della poteza secodo Newto, il quale, ella sua dimostrazioe, fa uso delle combiazioi: Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Sussiste il teorema: qualuque siao i due umeri a e b e l itero positivo, si ha: ( ) b ab b a b a a b a Κ cioè lo sviluppo di (a + b) è u poliomio omogeeo di grado el complesso delle due variabili a e b che, ordiato secodo le poteze decresceti di a (e cresceti di b e viceversa) ha per coefficieti i umeri: 0,,,, Κ. Lo sviluppo della poteza del biomio co il metodo di Newto può essere scritto i maiera più compatta el modo seguete: ( ) + k k k b a k b a 0.

9 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO Esempio Si sviluppi la poteza seguete: ( x y). Si ha: x + x ( y) + x ( y) + x( y) + ( y). 0 Teedo presete che i coefficieti biomiali che appaioo i questo sviluppo si possoo leggere ella quita riga del triagolo di Tartaglia, si ha: x + x ( y) + 6x ( y) + x( y) + ( y) x 8x y + x y xy + 6 y. ESERCIZI PROPOSTI ) Il commissario Basettoi sta fiedo il blocchetto delle multe; gli restao solo moduli, ma vede 7 macchie i divieto di sosta (tutte elle stesse codizioi). I quati modi può scegliere macchie da multare? a)! b) 8 c) 0 d) 5 ) 8 ammiistratori pubblici vegoo codotti a S. Vittore, ove soo dispoibili solo 6 celle sigole (tutte uguali); i quati modi si possoo scegliere i 6 che avrao la sigola? a) 56 b) 8 c) 6! d) 8 ) Quati soo gli aagrammi, ache privi di seso, della parola cavalla? a) 500 b) 0 c) 80 d) 50 ) Per fare ua gita a mare, 5 persoe hao a disposizioe caoe sigole (uguali fra loro) e due pedalò sigoli (uguali fra loro), i quati modi possoo spartirsi le imbarcazioi? a) 60 b) 0 c) 0 d) Nessua delle precedeti è corretta 5) I quati modi, su 6 studeti, possoo occupare gli ultimi posti liberi i u aula d esame (uo, i prima fila, sotto gli occhi del docete, l altro i fodo all aula, e l ultimo vicio al primo della classe)? a) 0 b) 0 c) 6 d) 6 6) 7 persoe si cotedoo cioccolatii (tutti uguali); ogi persoa, se ci riesce, può predere più di uo. I quati modi può avveire la spartizioe? a) 5 b) 80 c) 0 d) 0 86

10 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 7) I ua gara ciclistica co atleti, oltre al traguardo fiale, c è u traguardo itermedio (gra premio della motaga); quati soo i casi possibili dei vicitori dei due traguardi? a) b) 66 c) 78 d) 6 8) Sviluppare le segueti poteze: ( x ), ( + x). Soluzioi ) d ) b ) b ) c 5) b 6) c 7) d 8) x 6x + 5x 0x + 5x 6x +, 8x + 08 x + 5x + x + 87

11 Osservazioe: Problema della tavola rotoda I quati modi diversi si possoo disporre persoe itoro ad u tavolo rotodo? Attoro ad u tavolo rotodo o esiste la posizioe iiziale e la posizioe fiale; ciò che importa è che ciascua persoa o abbia mai alla sua destra e alla sua siistra ua disposizioe di persoe già osservata i precedeza. Ad esempio:

12 formao la stessa cofigurazioe. Le permutazioi sarao allora P Nell'esempio sarao! 6 Questo tipo di permutazioi soo dette PERMUTAZIONI CICLICHE e soo le permutazioi di elemeti lugo ua circofereza (o circuito chiuso). Si calcolao P'() (-)!

13 ESEMPI SVOLTI SULLA SCELTA DELLE FORMULE: PERMUTAZIONI, COMBINAZIONI, DISPOSIZIONI ) Le targhe automobilistiche soo costituite da lettere, seguite da cifre, seguite a loro volta da lettere. Sapedo che le lettere possoo essere scelte fra le 6 dell'alfabeto aglosassoe, si calcoli quate automobili si possoo immatricolare i questo modo.

14 Svolgimeto: come già spiegato dal testo del problema ua targa automobilistica ha questa struttura: lettera lettera umero umero umero lettera lettera Abbiamo cioè tre tipi di raggruppameti diversi. Nel primo " lettera lettera " abbiamo k elemeti che si possoo scegliere tra 6 elemeti distiti (le lettere dell'alfabeto aglosassoe) L'ordie ha importaza? SI, i quato, due lettere scambiate di posto geerao due targhe distite. Abbiamo a che fare quidi co Disposizioi (i quato ). Uo stesso elemeto, all'itero di u raggruppameto, può essere ripetuto? SI, vi soo ifatti targhe che iiziao co due lettere uguali

15 Siamo quidi di frote a disposizioi co ripetizioe di classe k. Ne segue che le lettere possoo essere raggruppate i: modi diversi Per quato riguarda le cifre, esse soo raggruppameti di k elemeti, scelti da u isieme che e cotiee 0. Ache i questo caso l'ordie ha importaza e ua stessa cifra può essere ripetuta fio a tre volte. Utilizzeremo quidi le disposizioi co ripetizioe da cui: modi diversi Avedo tre raggruppameti (lettere - cifre - lettere) il umero totale delle targhe automobilistiche che si possoo formare è dato da:

16 ) amici, ex compagi di liceo, si rivedoo dopo qualche ao e orgaizzao ua cea. A fie serata si salutao e oguo strige la mao a tutti gli altri. Quate strette di mao ci sarao? Soluzioe: come di cosueto iiziamo co l'idividuare (umero totale elemeti) e k (umero di elemeti co cui si forma u raggruppameto). Ovviamete e k i quato ua stretta di mao avviee fra due persoe. L'ordie ha importaza? NO, oguo può strigere la mao a chi vuole e i che ordie vuole. Ci orietiamo quidi verso le Combiazioi

17 Uo stesso elemeto, all'itero di u raggruppameto può essere ripetuto? NO, sarebbe assurdo ifatti che ciascu tipo salutasse se stesso strigedosi da solo la mao! Per cotare il umero delle strette di mao ricorreremo quidi alle combiazioi semplici, da cui:

18 ) 8 amici si icotrao settimaalmete per u bachetto, cambiado ogi volta la loro posizioe a tavola. Dopo quati ai avrao esaurito tutte le possibili cofigurazioi? Soluzioe: l'ordie ha importaza? Certo che SI. Ogi disposizioe a tavola varierà dalle altre proprio per l'ordie i cui gli amici occuperao i posti. Quato valgoo k ed? I questo caso k8. Gli elemeti so tutti distiti? SI. Utilizzeremo quidi le permutazioi semplici, da cui troveremo: possibili modi di occupare i posti a tavola. Cosiderado che si vedoo ua volta la settimaa ed i u ao vi soo circa 5 settimae, ci impiegherao la bellezza di circa 00:5 775 ai per esaurire tutte le possibili disposizioi a tavola.

19 ) Sei amici, Aldo, Baldo, Carla, Dio, Eza e Fausto viaggiao isieme i treo occupado uo scompartimeto di 6 posti. I quati modi possibili si possoo sedere sapedo che Eza e Carla voglioo sedersi accato al fiestrio? Soluzioe: k si tratta di ua permutazioe ma co il vicolo che due posti devoo essere occupati ecessariamete da Eza e Carla. E C C E Restao posti liberi che i restati ragazzi occuperao! I totale 8 cofigurazioi diverse

20 5) I quati modi uo studete può scegliere 5 materie per il proprio piao di studi avedo a disposizioe 5 materie iformatiche e matematiche ed essedo vicolato a scegliere almeo due materie iformatiche ed almeo ua matematica. Soluzioe: Gli elemeti soo 9 e tutti distiti. La stessa materia o può essere ripetuta e l'ordie o ha importaza. A causa del vicolo le scelte potrebbero essere: - iformatiche e matematiche C 5, C, iformatiche e matematiche C 5, C, iformatiche e matematica C 5, C, 5 0 I totale soo piai di studio