Piano Lauree Scientifiche Laboratorio di Autovalutazione per il miglioramento della preparazione per i corsi di laurea scientifici

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1 Piao Lauree Scietifiche Laboratorio di Autovalutazioe per il migliorameto della preparazioe per i corsi di laurea scietifici Caserta, 14 febbraio 2011 Prof.ssa Maria Cocozza

2 Quate possibilità ho di icotrare la mia aima gemella?

3 Per la ricorreza della festa della mamma, la sig.ra Luisa orgaizza ua cea a casa sua, co le sue amiche che hao almeo ua figlia femmia. La sig.ra Aa è ua delle ivitate e perciò ha almeo ua figlia femmia. Durate la cea, la sig.ra Aa dichiara di avere esattamete due figli. Si chiede: qual è la probabilità che ache l altro figlio della sig.ra Aa sia femmia? (Quesito.7, Prova PNI 2010)

4 Nel 1572 era esplosa ua stella e dodici astroomi erao riusciti a determiare la sua posizioe, ma i risultati delle misurazioi erao diversi! Qual era la vera posizioe della stella? Galileo afferma che le osservazioi sperimetali soo sempre soggette ad errori; la posizioe più probabile della stella sarà quella dove si addesa il maggior umero di misure. Da queste cosiderazioi ha iizio la teoria degli errori dovuti al caso

5 Sempre a Galileo fu posta la seguete questioe: Nel lacio di tre dadi la somma 9 e la somma 10 possoo essere otteute etrambe i 6 modi, ma l esperieza mostra che la somma 10 si ottiee più spesso della somma 9. Come si spiega questo fatto?

6 I ua classe di 29 alui, il professore di matematica decide di iterrogare 4 a caso. I u ura predispoe dei foglietti cotrassegati co i umeri da 1 a 29 e e estrae 4. Qual è la probabilità che Federico (che è impreparato!) vega iterrogato?

7 Questioi di cuore, maschi o femmie, la posizioe di ua stella, laci di dadi, iterrogazioi di matematica Questi problemi sembrao tra loro molto diversi. È davvero così? [ ] la teoria della probabilità o è, i fodo, che buo seso ridotto a calcolo. Pierre Simo de Laplace,

8 Prima di affrotare questioi come quelle appea viste, itroduciamo u ramo della matematica chiamato calcolo combiatorio. Ache se viee spesso utilizzato per risolvere problemi di giochi, le sue applicazioi vao dalla chimica alla geetica, dalle scieze sociali alla musica, dal calcolo poliomiale alla statistica, al calcolo delle probabilità

9 Calcolo Combiatorio l isieme delle teciche che permettoo di cotare efficietemete il umero di possibili scelte, combiazioi, allieameti etc. di oggetti scelti da isiemi co u umero fiito di elemeti.

10 Osserviamo che: I alcue situazioi, il risultato che si ottiee dispoedo i ordie diverso alcui elemeti cambia a secoda dell ordie i cui vegoo presi. I altre, l ordie o iflueza il risultato Dati oggetti, ci soo casi i cui bisoga valutare quati possibili raggruppameti di oggetti si possoo fare i modo che ogi raggruppameto sia diverso dall altro.

11 Alle Olimpiadi di matematica della tua scuola hao partecipato 100 studeti. I quati modi diversi i 100 cocorreti possoo occupare i primi due posti della classifica? Si tratta di ua disposizioe semplice di oggetti di classe (). Le disposizioi semplici di elemeti distiti di classe soo tutti i gruppi di elemeti scelti fra gli. Due disposizioi soo diverse se cambiao gli oggetti che le formao, oppure se cambia l ordie co cui gli oggetti soo disposti.

12 Il umero di disposizioi semplici di oggetti di classe () è: D, ( 1)...( 1) co, N

13 Alle Olimpiadi di matematica della tua scuola hao partecipato 100 studeti. I quati modi diversi i 100 cocorreti possoo occupare i primi due posti della classifica? A B. 200 C. 50 D E. 980 Si tratta di ua disposizioe di 100 oggetti distiti presi a 2 a 2 e quidi: D ,2 9900

14 I umeri di quattro cifre diverse, che si possoo scrivere utilizzado le dieci cifre decimali, soo: A B C D E

15 La prima cifra può essere ua qualuque delle 9 (dato che è escluso lo 0) La secoda cifra può essere ua qualuque delle 8 rimaeti da quelle usate per la prima più lo 0, per u totale di 9 cifre La terza cifra va scelta tra le 8 rimaeti (escluse le due già usate per la prima e la secoda) La quarta cifra va scelta tra le 7 restati. Si possoo formare allora

16 Sia N co 1, si dice fattoriale di il prodotto dei primi umeri aturali, cioè! ( 1) ( 2)... 21! viee detto simbolo di Kramp Si poe 0! 1 1! 1 Ioltre,! ( 1)!

17 Osserviamo che )! (! )! ( 1 2 ) ( 1) ( 2) ( 1) (!,, D D

18 Quate parole di tre lettere, ache prive di sigificato, si possoo comporre co le 21 lettere dell alfabeto seza che essua lettera sia ripetuta più di ua volta? D 21! (21 3)! 21,3 7980

19 U caso particolare: le permutazioi Permutazioi di elemeti: soo tutti i possibili gruppi che si ottegoo scambiado di posto gli oggetti. Soo, quidi, le disposizioi semplici di elemeti di classe. Il umero delle permutazioi di elemeti è! P D,! ( )!

20 Quati soo i possibili aagrammi della parola AMORE? P5 5! 120

21 Dieci ciclisti si cimetao i ua gara a croometro. Supposto che ogi corridore realizzi u tempo diverso, le possibili classifiche che si possoo otteere a fie competizioe soo i umero di: A B C D E La risposta esatta è la C

22 I ua scuola matera 9 bambii giocao al ''girotodo''. I diversi modi i cui si possoo mettere i circolo soo: A B C D E

23 Questo è u esempio di permutazioe circolare, i quato gli elemeti o soo i fila, ma i cerchio. I tal caso bisoga fare attezioe che ci soo delle permutazioi che, poste i ordie circolare, coicidoo. 1,2,3,4,5,6,7,8,9 2,3,4,5,6,7,8,9,1 3,4,5,6,7,8,9,1,2 ecc. I modi che coicidoo soo tati quato i bambii, cioè 9. Allora, i diversi modi soo P 98! 9 9 8! 9 P 8

24 Cosideriamo il seguete problema: calcolare il umero di aagrammi, ache privi di sigificato, della parola AMARE. I questo caso, ci soo due lettere uguali. Si tratta di ua permutazioe co ripetizioe di 5 oggetti fra i quali ve e soo 2 uguali. Ovviamete, il umero degli aagrammi deve essere miore di 5! Se usiamo degli idici per redere le lettere distiguibili, possiamo osservare, ad esempio, che A 1 MA 2 RE e A 2 MA 1 RE dao la stessa permutazioe. Il umero di permutazioi che si ottegoo scambiado tra loro le lettere A è 2! Quidi, gli aagrammi soo i totale 5! 2! ! 2! 60

25 Più i geerale, si ha che: Il umero delle permutazioi di oggetti fra i quali ve e soo m 1 uguali fra loro,,m r uguali fra loro co m 1 + m m r, è ( m1,..., m P r ) m 1! m! 2!... m r!

26 Utilizzado solo i caratteri 0 e 1, quate sequeze diverse di 5 caratteri si possoo scrivere? A 50 B 10 C 25 D 32 E 120

27 I questo caso si tratta di ua disposizioe co ripetizioe. Le disposizioi di oggetti di classe soo tutti i gruppi di elemeti scelti fra gli dati, co la covezioe che ogi oggetto possa essere ripetuto più volte. Due disposizioi co ripetizioe soo diverse se: almeo u oggetto è diverso cambia il umero di volte i cui u oggetto compare ell allieameto è diverso l ordie degli oggetti.

28 Il umero delle disposizioi co ripetizioe di oggetti di classe () è: D r, Il umero di sequeze è, duque,

29 Cosiderate gli isiemi A=1,2,3,4 e B=a,b,c; quate soo le applicazioi (le fuzioi) di A i B? (Quesito.10, Prova L.S. Ord. 2004) Dovedo associare a ciascuo dei quattro elemeti di A uo dei tre elemeti di B si ottegoo 3 4 diverse applicazioi, ovvero tutte le possibili disposizioi co ripetizioe di 3 elemeti presi a gruppi di 4.

30 Tredici persoe si strigoo la mao. Ciascua strige la mao a tutte le altre. Quate soo le strette di mao i totale? A. 78 B. 13 C. 26 D. 156 E. 169

31 I questo caso, o ha alcua importaza l ordie co cui si cosiderao gli elemeti. Si tratta di ua combiazioe semplice. Le combiazioi semplici di oggetti di classe () soo tutti i gruppi di elemeti scelti fra gli, idipedetemete dall ordie i cui vegoo presi. Due combiazioi soo diverse solamete se differiscoo per almeo u oggetto.

32 Il umero di combiazioi semplici di oggetti di classe () è: C, D, P ( 1)...(! 1) co, N

33 Siao e due umeri aturali tali che 1. Si chiama coefficiete biomiale di rispetto a Si poe )!!(!! 1) (... 2) ( 1) ( N 1, 0

34 Per il coefficiete biomiale valgoo le segueti proprietà: 1 1 3) ) 1)

35 Tredici persoe si strigoo la mao. Ciascua strige la mao a tutte le altre. Quate soo le strette di mao i totale? A. 78 B. 13 C. 26 D. 156 E ! 2!(13 2)! ! 2!11! Le strette di mao soo

36 Il primo ao di scuola superiore tutti abbiamo imparato a sviluppare la poteza -esima di u biomio utilizzado il famoso Triagolo di Tartaglia (Nicolò Fotaa, )

37 Per lo sviluppo di (a+b) possiamo ache utilizzare i coefficieti biomiali

38 Teorema (Formula del biomio di Newto) Questa relazioe può essere scritta i modo più sitetico b ab b a b a a b a ) ( b a 0

39 Si dimostri che la somma dei coefficieti dello sviluppo di (a+b) è uguale a 2 per ogi N (Quesito.5, Prova L.S. Ord. 2006) Basta porre a=b=1 ella formula di Newto ) (1 0

40 I coefficieti biomiali possoo essere utilizzati per cotare i sottoisiemi di u isieme fiito. Siao ed umeri aturali tali che, e sia S u isieme fiito di ordie. Allora il umero di sottoisiemi di ordie di S è dato dal coefficiete biomiale Sia S u isieme fiito di ordie. Allora il umero dei sottoisiemi di S è dato da 2.

41 U applicazioe di questo risultato ci cosete di calcolare il umero delle diagoali di u poligoo. Sia P u poligoo di lati, co 3. Allora il umero delle diagoali di P è 2 ( 1) 2 ( 2 3)

42 Il umero delle diagoali di u decagoo è: A. 25. B. 30. C. 35. D. 40. E

43 Le combiazioi co ripetizioe di elemeti di classe soo tutti i gruppi di oggetti scelti fra gli ei quali: ogi elemeto può essere ripetuto al massimo fio a volte No iteressa l ordie co cui gli elemeti si presetao Due combiazioi co ripetizioe soo diverse se: almeo u oggetto è diverso cambia il umero di volte i cui u oggetto compare.

44 Il umero di combiazioi co ripetizioe di oggetti di classe è: C r, ( 1)...(! 1) 1

45 Come ricooscere se si tratta di disposizioi, permutazioi o combiazioi? Si verifica se il raggruppameto richiesto deve essere ordiato (cioè due gruppi co gli stessi elemeti posti i ordie diverso devoo essere cosiderati diversi)

46 Quado il problema richiede u raggruppameto ordiato si tratta di disposizioi o permutazioi. Quado o ha importaza l ordie el gruppo si tratta di combiazioi

47 La probabilità Le due gemelle della buoa e cattiva sorte hao ossessioato l umaità come essu altra. Che potere abbiamo di prevedere ed evetualmete cotrollare il futuro? Molto spesso ci capita di dover predere delle decisioi i situazioi di icertezza. I questi casi: cerchiamo di utilizzare le iformazioi che abbiamo Valutiamo le possibilità che certi fatti hao di accadere

48 La matematica, attraverso il calcolo delle probabilità, quatifica co u umero il grado di icertezza di ua particolare soluzioe di u problema. I umeri cosetoo, ioltre, di poter cofrotare situazioi diverse e, quidi, di orietare le scelte.

49 A gettare le basi di ua vera e propria teoria del calcolo delle probabilità furoo i fracesi Pierre Fermat ( ) e Blaise Pascal ( ). Nel 1654, metre Pascal era iteto a studiare le Coiche, il suo amico A. Gombaud, Cavaliere di Méré, giocatore appassioato ma poco esperto i matematica, gli poeva questioi sul gioco dei dadi. Pascal le comuicava a sua volta a Fermat per uo scambio d opiioi.

50 Uo dei problemi posti a Pascal fu quello della divisioe delle parti. Due amici, Davide e Tommaso, decidoo di giocare alcue partite, stabiledo che i ogi partita vice l uo o l altro co uguale probabilità di vittoria vice la posta chi per primo vice 4 partite. Dopo 5 partite, quado Davide e ha vite 3 e Tommaso 2, i due amici decidoo di iterrompere il gioco. Come deve essere divisa la posta?

51 La soluzioe proposta da Fermat fu più o meo di questo tipo: dopo altre due partite uo dei due amici e avrebbe vite 4. Le possibilità di vittoria elle due partite possoo essere schematizzate così 1)Vice Davide, vice Davide 2)Vice Davide, vice Tommaso 3) Vice Tommaso, vice Davide 4) Vice Tommaso, vice Tommaso Nei primi 3 casi, Davide vice la posta, el caso 4 vice Tommaso. Poiché Davide vice 3 volte e Tommaso 1, la posta va ripartita tra Davide e Tommaso el rapporto 3 a 1.

52 I due matematici o diedero mai ua sistemazioe alle loro idee. Si deve a Christia Huyges ( ) la pubblicazioe della prima opera De Ratiociiis i Ludo Aleae (Sui ragioameti el gioco dei dadi), 1657 Nel 1713, Jaob Beroulli ( ) ell Ars Cojectadi tratta questioi di permutazioi e combiazioi. Il cocetto di probabilità fa capolio per la prima volta el 1718 ell opera The Doctrie of Chages di Abraham De Moivre ( ).

53 Si deve a Pierre Simo de Laplace ( ) ua vera e propria sistemazioe della teoria della probabilità. I suoi risultati soo coteuti i due opere Théorie aalytique des probabilitiés e Essai philosophique des probabilitès. Tra questi, troviamo quella che oggi è ota come Defiizioe classica di probabilità

54 Defiizioe classica di probabilità. È il rapporto fra il umero f di casi favorevoli all eveto e il umero dei casi possibili, ell ipotesi che questi siao fiiti p( E) f Tale defiizioe è valida solo se gli eveti soo equiprobabili cioè u eveto ha la stessa possibilità di accadere di u altro.

55 Poiché f è u umero aturale sempre miore o uguale ad, la probabilità di u eveto E è sempre u umero reale compreso fra 0 e 1: 0 p( E) 1 I particolare, si dice impossibile u eveto co probabilità 0 certo u eveto co probabilità 1

56 Purtroppo, le situazioi i cui si può applicare la defiizioe classica o soo spesso legate a problemi reali e cocreti, come quelli attieti l ecoomia, le scieze sperimetali ecc.. Se dobbiamo valutare le probabilità che ha u malato di sopravvivere ad u certo iterveto, o possiamo decidere a priori se gli eveti siao o o equiprobabili. I questo caso si utilizza

57 Defiizioe frequetista di probabilità. Essa asce dall esperieza, cioè dall osservazioe di ua ripetizioe di prove e dal umero di volte i cui si verifica l eveto richiesto. Laprobabilità frequetista è il rapporto fra la frequeza f co cui si è verificato l eveto richiesto i osservazioi precedeti e il umero stesso p( E) f Tale defiizioe è valida solo se è abbastaza grade.

58 L espressioe abbastaza grade ha u sigificato relativo allo specifico eveto che si sta aalizzado. Guido Casteluovo defiisce la probabilità frequetista mediate la seguete affermazioe (legge empirica del caso): I ua serie di prove ripetute u gra umero di volte, elle stesse codizioi, ciascuo degli eveti possibili si maifesta co ua frequeza relativa (probabilità frequetista) che è presso a poco uguale alla sua probabilità, l approssimazioe cresce al crescere del umero delle prove. L affermazioe di Casteluovo esprime la cosiddetta legge dei gradi umeri: Co il crescere del umero delle prove, è sempre più probabile che la frequeza relativa di u eveto si avvicii alla sua probabilità.

59 La defiizioe frequetista si può applicare, seza dubbio, ad u umero di situazioi maggiore rispetto alla defiizioe classica. Noostate questo, ci soo dei limiti dovuti al fatto che ci soo esperimeti che ci coivolgoo direttamete o sempre è possibile o ha seso fare molte prove o possiamo ripetere l esperimeto sempre alle stesse codizioi. I questi casi, il problema si risolve ricorredo alla Defiizioe soggettiva di probabilità

60 Defiizioe soggettiva di probabilità. La probabilità di u eveto E è rappresetata dal rapporto tra il prezzo P che u idividuo ritiee giusto pagare e la somma S che ha diritto ad avere i cambio se l eveto si verifica: p( E) La probabilità soggettiva è utilizzata el caso i cui o abbia seso cosiderare ciò che è avveuto per ua successioe di eveti aaloghi o si deve assegare ua probabilità ache agli eveti i cui i casi possibili soo ifiiti. P S

61 Ache i questo caso, la probabilità dà u umero compreso fra 0 e 1 perché si suppoe che la somma che si è disposti ad aticipare sia, i caso di esito favorevole, iferiore o tutt al più uguale a quella che si vicerà. Ifatti, se fosse p > 1 la scommessa sarebbe sempre i perdita! La teoria secodo la cocezioe soggettivista si è sviluppata tutta el secolo scorso ed ha avuto come fodatore e massimo espoete il matematico italiao Bruo De Fietti ( ). La sua opera Teoria delle Probabilità del 1970 costituisce il pricipale puto di riferimeto per i probabilisti.

62 Le tre cocezioi soo, sostazialmete, modi diversi di valutare l icertezza che si utilizzao i cotesti diversi Il modello classico si usa quado gli eveti soo tutti equiprobabili oppure o si coosce il umero dei casi favorevoli o di quelli possibili Il modello statistico si utilizza quado le prove possoo essere ripetute molte volte (idagii demografiche, matematica attuariale, ecc. ) Il modello soggettivo si usa quado diveta prepoderate il fattore persoale (scommesse, gare sportive, ecc)

63 Nel lacio di u dado, la probabilità di o otteere u umero pari: A. 1/6 B. 1/5 C. 1/4 D. 1/3 E. 1/2 La risposta esatta è la E

64 U tifoso di calcio sarebbe disposto a scommettere 10 euro per ricevere 18 euro i caso di vicita della sua squadra preferita. La probabilità di vicita che egli attribuisce alla squadra è: A. 4/9 B. 9/14 C. 5/9 D. 4/7 E. 5/14 La risposta esatta è la C

65 Qual è la probabilità che el lacio simultaeo di tre moete si preseti la stessa faccia? A. 1/4 B. 1/2 C. 1/8 D. 1/3 E. 1/6 La risposta esatta è la A

66 La probabilità che, laciado due dadi a 6 facce, si ottega come somma 3 è: A 1/3 B 1/12 C 1/18 D 1/36 E 1/6 La risposta esatta è la C

67 Risolviamo il problema posto a Galileo sui dadi Nel lacio di tre dadi la somma 9 e la somma 10 possoo essere otteute etrambe i 6 modi, ma l esperieza mostra che la somma 10 si ottiee più spesso della somma 9. Come si spiega questo fatto? Galileo segalò che c era u errore ella premessa. Ifatti, la somma 10 può essere otteuta u umero di volte (27) maggiore di quello della somma 9 (25).

68 Toriamo alla festa della sigora Luisa. Per la ricorreza della festa della mamma, la sig.ra Luisa orgaizza ua cea a casa sua, co le sue amiche che hao almeo ua figlia femmia. La sig.ra Aa è ua delle ivitate e perciò ha almeo ua figlia femmia. Durate la cea, la sig.ra Aa dichiara di avere esattamete due figli. Si chiede: qual è la probabilità che ache l altro figlio della sig.ra Aa sia femmia?

69 Aa ha due figli, che chiameremo F1 e F2. Poiché Aa è stata ivitata alla festa, sappiamo che ci soo solo 3 possibilità, relativamete ai sessi di F1 e F2: F1 e F2 soo etrambe femmie F1 è maschio, F2 è femmia F1 è femmia, F2 è maschio Abbiamo quidi tre casi possibili equiprobabili dei quali solo il primo è favorevole. La probabilità cercata è 1/3

70 A voi tocca risolvere il problema di Federico che o è preparato i matematica Vediamo se è davvero possibile dare ua risposta all altro quesito

71 Troverò l aima gemella? Rallegratevi, la teoria della probabilità può davvero aiutarvi È stato dimostrato u teorema matematico che ci dà la miglior regola di campioatura e decisioe che ci suggerisce come scegliere. Per maggiori dettagli potete, ad esempio, cosultare F. Mosteller, Fifty Challegig Problems i Probability, Dover 1987

72 Questo teorema propoe, più o meo, questa strategia: Massimizzerete la vostra probabilità di trovare il parter migliore se uscirete co circa il tretasette per ceto dei cadidati che potete cooscere i vita vostra e poi deciderete di stare col primo che sarà migliore di tutti i precedeti

73 Ache se sembra strao, i matematici hao dimostrato che questa strategia fuzioa meglio di tutte le altre. Il 37% è u approssimazioe di 1 e 1 2, Qualsiasi altra strategia dimiuisce sigificativamete la probabilità di trovare il cadidato (o la cadidata) migliore.

74 Ad esempio, suppoiamo che ella vostra vita prevediate di cooscere 100 cadidate. Se scegliete la prima, la probabilità di aver trovato la migliore è 1/100 Se scegliete l ultima, avrete respito le 99 precedeti e la probabilità che l ultima icotrata sia la migliore sarà di uovo 1/100. La strategia suggerita dal teorema vi fa predere u campioe del 37% del totale, per poi scegliere la prima cadidata che batterà tutte quelle veute prima.

75 Ovviamete, c è la possibilità di o trovare mai ua migliore di tutte quelle del 37% iiziale..ma i AMORE ulla è certo! Grazie a tutti