ESEMPIO 1. Immaginiamo come si distribuirebbero le stime campionarie se l operazione di campionamento venisse ripetuta più volte.

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1 ESEMPIO Prima dell esplosioe di ua cetrale ucleare, i terrei di ua certa regioe avevao ua produzioe media di grao pari a 00 quitali co uo scarto di 5. Dopo la catastrofe si selezioao 00 uità di superficie di terreo e su ciascua di queste si misura la quatità di grao prodotta. La media di queste 00 osservazioi è pari a Si può riteere, a livello del 5%, che la produzioe media o sia dimiuita dopo la catastrofe? H0 : µ 00 I questo caso l obiettivo o è quello di forire ua stima (itervallare) del parametro, ma quello di verificare se è vera ua certa ipotesi sul valore del parametro.

2 ESEMPIO. Il problema è che, ua volta estratto u campioe, oi dispoiamo di u solo valore stimato e co questo vogliamo verificare l ipotesi che il vero valore del parametro sia 00. Come fare? Immagiiamo come si distribuirebbero le stime campioarie se l operazioe di campioameto veisse ripetuta più volte. µ x 0 xµ z σ

3 ESEMPIO. A questo puto suppoiamo che il vero valore del parametro sia 00. Dove si posizioa la stima putuale lugo questa distribuzioe? E abbastaza vicio al valore ipotizzato? (e cosa vuol dire abbastaza vicio? x oss µ00 µ0 Occorre defiire u area di accettazioe (ovvero ua di rifiuto). z oss

4 ESEMPIO. L area di accettazioe sarà caratterizzata dai valori della variabile ormale stadardizzata z che lasciao alla loro dx e sx ua probabilità bassa (geeralmete per probabilità bassa si itede u valore complessivo pari a 0.05). -z -α/ z -α/ Poiché il valore osservato della stima (corrispodete valore z) cade ella regioe di accettazioe si accetta l ipotesi ulla che il vero valore del parametro sia 00 z oss µ0 Rifiuto H 0 Rifiuto H 0 Accetto H 0

5 ESEMPIO. Ma abbiamo veramete bisogo di cautelarci fissado u limite superiore di accettazioe ache ella coda di destra? Il problema, per come è stato posto idica che o ci si attede u migliorameto della produzioe e quidi possiamo lasciare u solo limite iferiore da superare -z -α Il altri termii l ipotesi viee rifiutata se e solo se la stima osservata (corrispodete valore z) è iferiore al valore critico -z -α (adesso o si prede α/ ma α) z oss µ0 Rifiuto H 0 Accetto H 0

6 ESEMPIO. Se l errore di I tipo da cui vogliamo cautelarci è sempre 0.05 allora -z -α/ z -α/ z oss µ0 -z -α z oss µ0

7 ESEMPIO. e la poteza del test P(rifiutare H 0 quado falsa) -z -α/ z -α/ P(rifiutare H 0 quado falsa) z oss µ0 P(rifiutare H 0 quado falsa) -z -α z oss µ0

8 ESEMPIO. z oss µ0 z.47 p value oss p value a code a coda P-value: probabilità di osservare u valore uguale o superiore alla stima quado è vera l ipotesi ulla (el caso della coda dx). È chiaro che el caso della coda sx va calcolata la probabilità di osservare u valore uguale o iferiore alla stima.

9 ESEMPIO. Riassumedo: Il p-value el caso code: P ( Z z ) < α / P( Z > z ) < α / < oss oss Il p-value el caso coda sx: P ( Z z ) < α < oss Il p-value el caso coda dx: P ( Z z ) < α > oss

10 ESEMPIO. Ua popolazioe ha media scoosciuta e scarto.03. Verificare l ipotesi che la media sia 80, ad u livello del 5%, mediate u campioe di 80 elemeti e co media pari a 80.. Quato vale il p-value u questa situazioe? [Soluzioe: z oss.6486 p-value0.05 (coda dx) ]

11 ESEMPIO 3. Per superare u test attitudiale occorre u puteggio di almeo 75. Si ritiee che la preparazioe degli studeti di ua certa scuola o coseta di poter superare il test. U campioe di 840 studeti proveieti da questa scuola provao il test ed ottegoo u puteggio medio di 7. E questo risultato covicete per poter affermare che i media gli studeti di questa scuola o abbiao la preparazioe adeguata per superare il test? Si assuma che lo scarto ella popolazioe sia pari a 60. N.B.: specificare le ipotesi da testare e la decisioe presa alla luce dei risultati del test. [Soluzioe: p-value0.0735]

12 ESEMPIO 4. Ua popolazioe ha media scoosciuta e scarto 4.. Si vuole che l itervallo i cui o viee rifiutata l ipotesi H0 : µ 80 a livello dell % abbia lughezza pari a.5. Qual è la umerosità campioaria miima per cui ciò accade? Il valore di dipede dal valore ipotizzato 80 della media della popolazioe? Giustificare la risposta [Soluzioe: 99; NO]

13 ESEMPIO 5. U gruppo ambietalista raccoglie u litro d acqua da 45 località scelte a caso lugo u fiume e e misura la quatità di ossigeo disciolto. La media è di 4.6 mg. E forte l evideza che il coteuto medio di ossigeo el fiume sia meo di 5 mg per litro? Si assuma che la quatità di ossigeo el fiume si distribuisca elle diverse località secodo ua ormale co scarto pari a 0.9 mg e si cosideri u livello di sigificatività dell % z.77 α. 33 oss z Rifiuto H 0 p value 0.003

14 ESEMPIO 6. La media di ua popolazioe è scoosciuta, lo scarto è oto. Si fa l ipotesi che la media abbia u certo valore. Ad u campioe si applica il test sulla media: il p-value è pari a Ioltre è oto l itervallo di cofideza a livello del 99%. Dispoedo di queste iformazioi dire se la media campioaria appartiee alla regioe di accettazioe del test: Sì No

15 ESEMPIO 7. La media di ua popolazioe è scoosciuta, lo scarto è oto. Si fa l ipotesi che la media abbia u certo valore. Ad uo stesso campioe si applicao, i relazioe alla stessa ipotesi, due test sulla media: il primo a livello del 5% e il secodo a livello dell %. Se il secodo test porta a rifiutare l ipotesi, il primo test porta ecessariamete a : Accettare Rifiutare.b.: aalizzare il problema graficamete

16 ESEMPIO 8.. Il gomito del teista è u problema legato alla forza co cui si colpisce la palla. U articolo dell Iteratioal Joural of Sport Biomechaics riporta la forza (i ewto) sulla mao dopo l impatto co la palla i 6 giocatori avazati e i 8 itermedi. Saggiare l ipotesi che giocatori avazati e itermedi sperimetio la stessa forza. Avazati Itermedi

17 ESEMPIO 9. La media di ua popolazioe è scoosciuta, lo scarto è oto. Si fa l ipotesi che la media sia pari a 50. Due campioi hao la stessa media campioaria. Il test sulla media, a livello del 5% fatto co il primo campioe porta al rifiuto dell ipotesi (sempre a livello del 5%). E possibile sapere a priori il risultato del test co il secodo campioe? Sì, accetto l ipotesi Sì, rifiuto l ipotesi No.b.: giustificare la risposta

18 ESEMPIO 0. Ua variabile quatitativa defiita su ua popolazioe ha media µ scoosciuta e scarto oto. Dalla popolazioe si estraggoo due campioi per saggiare (allo stesso livello α) l ipotesi che la media della popolazioe sia pari a u dato valore. Il test effettuato co il primo campioe porta a rifiutare l ipotesi ulla metre il secodo porta ad accettarla. Siao x e x le medie dei due campioi: delle tre segueti relazioi e esiste ua corretta? x < x x > x x x Siao p e p i p-value relativi ai due test: delle tre segueti relazioi e esiste ua corretta? p < p p p p > p

19 ESEMPIO. La media di ua popolazioe è scoosciuta metre lo scarto è oto. Se si applica il test a livello del 5%, si coferma l ipotesi che la media sia. Qual è il p-value del test?

20 ESEMPIO. Immagiiamo di saggiare l ipotesi ulla H0 : µ 0 cotro l alterativa H : µ > 0 utilizzado u campioe di 0 uità. I realtà vogliamo cooscere la poteza del test cotro l ipotesi alterativa H z oss : µ. x 0 0 sapedo che lo scarto della popolazioe è pari a Defiiamo u statistica test e e calcoliamo il valore z oss z.645 α Defiiamo ua regole di accettazioe dell ipotesi ulla x oss 0.50

21 ESEMPIO. z -α µ P( x.50 quado H è vera) 0 P x µ0 zoss P( z.83 ) poteza Ricordare che la poteza viee defiita come -β probabilità di rifiutare H 0 correttamete.

22 ESEMPIO 3. A 8 idividui adulti viee misurata la pressioe (a) i codizioi ormali e (b) dopo l appredimeto di ua otizia capace di rederli asiosi. Verificare se l essere i asia aumeta la pressioe rispetto a situazioi ormali Soggetto Pressioe i codizioi ormali Pressioe dopo la otizia

23 ESEMPIO 3. H µ µ : µ µ 0 : a e H a ( x ) ( ) x µ µ ( + ) * * s pooled t + No è verificato l assuto di idipedeza tra le osservazioi

24 ESEMPIO 4. Soggetto Pressioe i codizioi ormali Pressioe dopo la otizia Differeza tra dopo e prima della otizia Come si modifica l ipotesi ulla?

25 ESEMPIO 4. X diff N (, ) µ σ diff diff x µ diff s x diff diff H 0 : µ diff 0 e H : µ diff > 0 x s diff xdiff t

26 ESEMPIO 4. xdiff s diff ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( 45 35) 8 (6,55) 35 t7 5, 6,55 tα ; t0,05;7, Si rifiuta l ipotesi ulla che la media delle differeze delle pressioi i codizioi ormali o asiose sia pari a 0 co ua sigificatività α pari al 5%

27 ESEMPIO 5. Verificare se gli idividui i codizioi di asia maifestao u aumeto della pressioe sistolica che supera mediamete i 30 mmhg H0 : δ 30 e H : δ > 30 x diff s x δ, 6 t 6,55 diff 8 t t α; 0,05;7,895 Si rifiuta l ipotesi ulla che la media delle differeze delle pressioi i codizioi ormali o asiose sia pari a 30 mmhg co ua probabilità d errore α uguale al 5%

28 ESEMPIO 5. Calcolare l itervallo di cofideza della media della v.c. differeza. x diff t * ; α s x diff x diff + t * ; α s x diff 35,36*,6 9, ,36*,6 40,47

29 ESEMPIO 6. Gli ecologisti hao sviluppato diversi metodi per stimare il umero di semi ei campioi di terreo. Due di questi metodi, soo il metodo diretto e quello stratificato. Nella tabella soo riportati i dati relativi al di semi rilevati i 0 campioi, stimato co i due metodi. Saggiare l ipotesi che i due metodi diao gli stessi risultati

30 ESEMPIO 6. Campioe Diretto Stratificato [Soluzioe: accetto l ipotesi ulla]

31 ESEMPIO 7. l efficacia di u certo farmaco viee valutata sulla base della dimiuzioe di u certo parametro serico. A 4 pazieti viee sommiistrato il farmaco e il parametro viee rilevato prima e dopo la sommiistrazioe. Ci si chiede se il farmaco è efficace. paziet e Prima dopo

32 ESEMPIO 8. Ua variabile defiita su ua popolazioe ha distribuzioe ormale co variaza uguale a. Due campioi idipedeti, di 00 elemeti ciascuo, portao etrambi a rifiutare a livello del 5% l ipotesi: H0 : µ 5 Se si cosiderao le 00 osservazioi complessive come u uico campioe accade che la stessa ipotesi allo stesso livello viee: sempre rifiutata sempre accettata talvolta rifiutata, talvolta accettata, a secoda dei valori delle medie dei due campioi iiziali

33 ESEMPIO 9. Si estraggoo campioi casuali : la umerosità del primo campioe è di 0 idividui, la umerosità del secodo è di 6 idividui. Otteiamo le segueti iformazioi sulla variabile X: 0 i x i 0 0 i ( x i x ) i x i 3. 6 i ( x i x) 0.5 Possiamo affermare che le due medie campioarie o differiscoo sigificativamete? Si valuti l ipotesi H 0 : µ µ a livello di sigificatività α 0. calcolado u opportua stima itervallare.

34 ESEMPIO 9. Ricaviamo iazitutto la distaza empirica fra le due medie campioarie: 0 3. x x Questa differeza fra medie è dovuta al caso (i campioi provegoo dalla stessa popolazioe) o è dovuta al fatto che i campioi provegoo da popolazioi diverse co medie diverse? Utilizzo il metodo della stima itervallare per rispodere a questa domada. Gli estremi dell itervallo di cofideza soo dati da: ( ) x x ± t s α, g x x

35 ) ( 0 x x s i i ) ( 6 x x s i i ) ( ) ( ) ( ) ( s s x x s x x ESEMPIO 9.

36 ) ( ) ( ) ( ) ( s s x s x ESEMPIO 9.

37 ESEMPIO 9. Valore della T di Studet critico: Ho (0 + 6 ) 4 gradi di libertà e u livello di cofideza di 0.0 T 0.90, 4.76 ( x ) x ± t 0. ± α, g s x x L itervallo comprede il valore ullo e quidi le medie o soo sigificativamete diverse. ACCETTO l ipotesi ulla.

38 ESEMPIO 0. Saggiare se la cocetrazioe algale ifluisce positivamete sulla crescita (valori i mm) di Daphia maga. I laboratorio si allevao 40 idividui dello stesso ceppo: 0 i ua soluzioe co cocetrazioe algale 0000 cellule/ml 0 i ua soluzioe co cocetrazioe algale 4000 cellule/ml

39 0000/ml (X ) 4000/ml (X ) 0000/ml (X ) 4000/ml (X ) 4,9 3, 3,939 3, 3,9 3, 3,978,964 3,783 3, 4,07 3,003 3,9,847 4,5 3,08 4,095 3,08 4,07 3,04 4,056 3,04 3,900,95 4,73 3,04 4,095 3,98 4,095 3,98 4,73 3,0 4,095 3,08 3,978,964 4,056,964 4,095 3,003

40 H : µ µ µ > µ H0 e H : 0 : µ µ 0 e H : µ µ > 0 media campioaria variaza campioaria X X 0 0 4,0443 3,054 0,058 0,008

41 A questo puto occorre calcolare la variabilità della statistica che si itede utilizzare ovvero la differeza tra le medie campioarie 9* * s p s x x 0.095* *

42 t t α; + t0.95; Si rifiuta l ipotesi ulla di uguagliaza delle medie a favore dell ipotesi alterativa che la crescita sia maggiore ella soluzioe a maggior cocetrazioe algale

43 ESEMPIO. E stata misurata la produzioe di muffe (tempo trascorso prima della loro comparsa) i due formaggi da tavola di composizioe simile: trattati co polifosfati durate il cofezioameto 3 trattati co derivati dell acido salicilico La differeza osservata tra le medie dello sviluppo di coloie ei due gruppi è statisticamete sigificativa?

44 Polifosfati 7,94 9,03 8,8 8,03 8,9 8,0 8,6 8,6 8,8 8,9 7,94 8,9 Acido salicilico 7,30 7,6 6,8 7,08 7,3 7,37 7,4 7,6 6,89 6,96 7,3 7,08 7,7

45 media campioaria variaza campioaria X X 3 8,08 7,09 0,083 0,03 t s pooled 8, *3 7,09 3 ( ) * s + ( ) * * s t α ;

46 ESEMPIO. Col proposito di verificare l efficacia di u fertilizzate, u appezzameto di terreo coltivato a grao è stato ripartito i 0 parcelle di area uguale delle quali 0, scelte a caso, soo state trattate col fertilizzate i questioe. Si vuole verificare, a livello di sigificatività α 0.05, l ipotesi ulla H 0 : µ µ. Il fertilizzate è efficace? I risultati, espressi i ua coveiete uità di misura, soo di seguito riportati. Parcelle trattate Parcelle o trattate

47 Valore della T di Studet critico: Ho (0 + 0 ) 8 gradi di libertà e u livello di cofideza di 0.05 t 0.95, Valore della T di Studet empirico. Ho bisogo di due quatità: ) x x ) s x x

48 ) x x ) x x s ) ( ) ( ) ( ) ( s s ) ( 0 x x s i i ) ( 0 x x s i i

49 s( x x ) ( ) s ( ) + + ( + ( ) s ) t e t e > t 8;0.95 si rifiuta H 0 Il fertilizzate è efficace.