La stima per intervalli

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1 La stima per itervalli U itervallo di cofideza per u parametro è u itervallo di estremi [t - ; t + ] defiito itoro alla stima t di ed i cui è tale che: P t t È cioè l itervallo, cetrato su t, che co u grado di fiducia pari ad - cotiee. L = T - U = T + Prima di estrarre il campioe L ed U soo de v.c. ed [L; U] è detto itervallo casuale Soo due espressioi equivaleti: IC L, U P L U

2 Z~N 0; z - 0 z z P Z z F z P Z z F z P z Z z F z F z

3 Itervallo casuale per la media icogita X~N, ota Campioe casuale X, X,, X X ~ N, X X ~ N 0, X P z z z - 0 z X

4 Itervallo casuale per la media X P z z P z X z P z z X X P z X z Verifica di ipotesi P X z X z P X z X z IC z X L z U z X X Estremi dell itervallo casuale: X ~ N(, ) ota

5 Itervallo di cofideza per la media L itervallo casuale è defiito itoro alla v.c. : X P X z X z IC X z Itervallo di cofideza per la media È ua realizzazioe dell itervallo casuale, otteuta calcolado l itervallo casuale sul campioe: P z z IC z

6 Utilità dell IC: stima del parametro icogito IC X z P z X z Ua macchia produce bulloi il cui peso ha distribuzioe Normale co media =63 grammi e variaza =0,8. Scegliedo a caso 8 bulloi, qual è l itervallo che co probabilità 0,95 comprederà la loro media? P 63,96 0,89 X 63,96 0,89 0, P 63 0,6 X 63 0,6 0,95 P 6,38 X 63,6 0,95 P X z X z Ua macchia produce bulloi il cui peso ha distribuzioe Normale co media icogita e variaza =0,8. Scelti a caso 8 bulloi, il loro peso medio è risultato pari a 6,6 grammi. Qual è l itervallo che, co probabilità 0,95, cotiee il parametro icogito? 0,89 0,89 P 6,6,96 6,6,96 0, P 6,6 0,6 6,6 0,6 0,95 P 6,98 63, 0,95 I geere è icogita. Se è ota o serve sapere quale possa essere la media campioaria, a meo di o volere ua coferma empirica del valore oto (verifica di ipotesi) Valori frequeti: - = 68% z,00 - = 95% z,96 - = 99% z,58

7 Rispetto alla distribuzioe della v.c. X: L itervallo P z X z è fisso, perché è cetrato su e, al variare del campioe tra tutti i possibili campioi, è u valore fisso z z X L itervallo P X z X z??? ivece, si muove, perché è cetrato su e, al variare del campioe tra tutti i possibili campioi, varia z z X??? z z X

8 Ad esempio: P X z X z 0,95 vuol dire che su 0 campioi 9 (ossia il 95%) cotegoo il parametro metre (ossia il 5%) o lo cotiee Il livello di cofideza ( - ) è la frequeza (relativa) degli itervalli casuali che cotegoo il valore icogito : fra tutti i possibili itervalli di cofideza costruiti i questo modo sulla base di tutti i possibili campioi, il 95% cotiee e il 5% o la cotiee. È scorretto, quidi, cofodere il livello di cofideza co la probabilità che sia coteuto ell itervallo

9 Esempio L altezza delle matricole uiversitarie di sesso maschile può essere cosiderata ua variabile co distribuzioe Normale, co media icogita e variaza pari a 0,66. Per stimare l altezza media si estrae u campioe casuale di 58 matricole e se e misura l altezza media, che risulta pari a 75,4 cm. Si defiisca l itervallo che cotega il parametro icogito della popolazioe ad u livello di fiducia: a) del 90% b) del 95% c) del 99% Soluzioe X~N ; 0, , 4 a) - = 0,90 = 0,0 / = 0,05 z / =,645 3,65 3,65 P 75, 4,645 75, 4,645 0, P 75, 4 0,705 75, 4 0,705 0,90 P 74,70 76, 0,90 IC0,90 74,70; 76,

10 b) - = 0,95 = 0,05 / = 0,05 z / =,96 3,65 3,65 P 75, 4,96 75, 4,96 0, P 75, 4 0,840 75, 4 0,840 0,95 P 74,6 76, 0,95 IC0,95 74,6; 76, c) - = 0,99 = 0,0 / = 0,005 z / =,58 3,65 3,65 P 75, 4,58 75, 4,58 0, P 75, 4,06 75, 4,06 0,99 P 74,3 76,5 0,99 IC0,95 74,3; 76,5

11 Il ruolo della variaza Maggiore la variaza, più ampio l itervallo di cofideza (a parità di ed ) Se la variaza è grade i possibili campioi soo molto diversi tra loro, quidi la stima è ach essa molto variabile (meo precisa) Il ruolo della umerosità campioaria Maggiore, più piccolo l itervallo di cofideza (a parità di e ) Via via che aumeta il campioe diveta sempre più simile alla popolazioe, quidi la stima diveta più precisa

12 Ipotesi geerale: << N

13 Itervallo di cofideza per la media X ~ N(, ) o ota X s i i Radice quadrata dello stimatore corretto della variaza X s t s s P t, t, g= La distribuzioe t di Studet ha ua forma simmetrica che dipede dal valore di, parametro che idica i gradi di libertà e che deriva dalla variabile, al deomiatore della g=0 formula. Y ~ t E Y 0 ; Var Y ; Relazioe co la Normale: g=3 g= Quado, la v.c. t coverge alla Normale. Quidi, quado è elevato, la f(t) può essere approssimata dalla N(0,).

14 Esempio L altezza delle matricole uiversitarie di sesso maschile può essere cosiderata ua variabile co distribuzioe Normale, co media e variaza icogite. Per stimare l altezza media si estrae u campioe casuale di 8 matricole e si misura l altezza media, che risulta pari a 75,4 cm, co sqm campioario corretto pari a 4,4 cm. Si defiisca l itervallo che cotega il parametro icogito della popolazioe, ad u livello di fiducia a) del 95% b) del 99% Soluzioe 8 X~N ; 75, 4 s 4, 4 s s P t, t, a) - = 0,95 = 0,05 / = 0,05 t 0,05;7 =,0 4, 4 4, 4 P 75, 4, 75, 4, 0, P 73, 77,6 0,95 IC0,95 73,; 77,6 a) - = 0,99 = 0,0 / = 0,005 t 0,005;7 =,898 4, 4 4, 4 P 75, 4,898 75, 4,898 0, P 7,4 78,4 0,99 IC0,99 7,4; 78,4

15 Itervallo di cofideza per la media X ~? ota o o ota Disuguagliaza di Chebchev: Pr X k k che, riferita alla v.c. media campioaria: P k k P k k k itervallo di cofideza k livello miimo di cofideza: k da cui: k k Se o è oto, si sostituisce co la stima campioaria s, seza che ulla cambi (o essedovi riferimeti ad alcua distribuzioe ota)

16 Disuguagliaza di Chebchev Dimostrazioe: (per v.c. discreta) Per qualsiasi > 0 si ha: p p p p i i i i i i i i i i i i 0 0 p p Pr X i i i i P X P X P X P X Ai fii pratici, se si fissa = k: k k Pr X k k 6

17 Esempio L altezza delle matricole uiversitarie di sesso maschile può essere cosiderata ua variabile co distribuzioe, media e variaza icogite. Per stimare l altezza media si estrae u campioe casuale di 8 matricole e si misura l altezza media, che risulta pari a 75,4 cm, co sqm campioario corretto pari a 4,4 cm. Si defiisca l itervallo che, ad u livello di fiducia del 95% cotega il parametro icogito della popolazioe. Soluzioe 8 75, 4 s 4, 4 k 4, 47 0,05 0, P k k k 4, 4 4, 4 P 75, 4 4, 47 75, 4 4, 47 0, P 75,4 83,44 75,4 83,44 0,95 0,95 P 9,96 58,84 0,95 IC 9,96; 58,84

18 U cofroto tra IC costruiti diversamete Iformazioi Itervallo di cofideza X ~? Chebchev IC, 95 9,96; 58,84 0 X ~ N(, ) o ota X s ~ t IC, 95 73,;77,6 0 X ~ N(, ) ota X ~ N 0, IC, 95 74,6;76, 0 Coclusioe: All aumetare del iformazioe sulla popolazioe l IC si restrige Chebchev: t: z: 9,96 58,84 73, 77,6 74,6 76,

19 Itervallo di cofideza per la media X ~? ota o o ota grade Teorema limite cetrale Come scegliere l IC per la media? All aumetare della dimesioe campioaria, la distribuzioe della media campioaria tede a ua Normale. X N 0, d X ~ N si o > 30 si oto o o Chebchev X s ~ t P k k k s s P k k k X si ~ N 0, s s P t, t, P X z X z

20 La determiazioe della umerosità campioaria ottimale Esempio I riferimeto all esempio precedete (distribuzioe e variaza ote) si suppoga che l ampiezza dell itervallo vega giudicata eccessiva. Seza cambiare il livello di fiducia, si vuole allora otteere ua stima che differisca dal parametro per o più di 0.5 cm (i più o i meo). Qual è la umerosità campioaria ecessaria? Si ricordi che la variaza è ota e pari a Soluzioe IC z z z = = 0,90 z, N.B.: questo procedimeto o è possibile se la variaza o è ota, a meo che o si tratti di u campioe grade, perché o sarebbe possibile fissare i gradi di libertà per t a/;-

21 Esempio U idustria alimetare che produce pasta dispoe di u macchiario che forisce pacchi dal peso etto dichiarato di 0,500 kg. I realtà, il peso di ua geerica cofezioe di pasta è descritto da ua variabile casuale co distribuzioe di probabilità icogita, co media e variaza etrambe igote. Si estraggoo i modo casuale pacchi di pasta e se e misura il peso effettivo, otteedo ua media pari a 0,45, ua variaza pari a 0, e ua variaza corretta pari a 0, a) Si determii l itervallo che, ad u livello di cofideza -a = 0,99, cotiee il parametro icogito. b) Si determii uovamete l itervallo, ipotizzado che la distribuzioe del peso dei pacchi di pasta prodotti dalla macchia sia Normale. Soluzioe a) 0, 45 s 0, b) 0, 45 X N ; s 0,000085

22 Stima (per itervallo) di ua proporzioe (per gradi campioi) Proporzioe: percetuale di uità che soddisfao ua certa codizioe Nella popolazioe: Ogi uità: soddisfa la codizioe (successo) co probabilità o la soddisfa (isuccesso) co probabilità -. Quidi ogi uità è ricoducibile ad ua v.c. dicotomica, co probabilità di successo, ossia ua v.c. Beroulli Ber().

23 Nel campioe di ampiezza : Ciascua osservazioe campioaria proviee da ua distribuzioe di Beroulli Ber(). Se siamo iteressati al umero di uità che soddisfao la codizioe facciamo riferimeto alla v.c. S = somma di Beroulliae: S ~ B(, ) E(S) = Var(S) = ( - ) Se siamo iteressati alla percetuale di uità che soddisfao la codizioe facciamo riferimeto alla v.c. P = proporzioe di successi = S/: P = media di v.c. Ber() EP Var P Se è grade, per il teorema limite cetrale: Si veda: combiazioi lieari di variabili casuali P ~ N ;

24 Esempio Da u idagie codotta su u campioe casuale di 80 matricole uiversitarie è risultato che il 36% si dichiara isoddisfatto della uova Riforma. Qual è l itervallo che, ad u livello di fiducia del 95%, comprede il parametro icogito della popolazioe? Soluzioe = 80 p = 0,36 - = 0,95 z,96 p P z z P p z p z 0,36 0,36 0,36 0,36 P 0,36,96 0,36,96 0, P 0,303 0, 46 0,95 Parametro: Stimatore: Stima: = proporzioe ella popolazioe P = proporzioe campioaria IC0,95 0,303; 0, 46 P ~ N ; Co ua cofideza pari a 0,95, si dichiara isoddisfatta della uova Riforma ua percetuale di studeti compresa tra 30,3% e 4,6% p p o è oto, si calcola la variaza campioaria usado p e si fa ugualmete riferimeto alla Normale perché è grade

25 La determiazioe della umerosità ottimale (gradi campioi) Esempio Co riferimeto all esercizio precedete, si suppoga che l ampiezza dell itervallo vega giudicata eccessiva. Seza cambiare il livello di fiducia, si vuole allora otteere ua stima che differisca dal parametro per o più di puti percetuali (i più o i meo). Qual è la umerosità campioaria ecessaria per otteere u errore massimo di due puti percetuali ad u livello di fiducia del 95%? Soluzioe IC p z z z = 0,0 - = 0,95 z,96 z 0,0 Per : Iformazioi a priori Ipotesi massima variabilità ( = 0,36) ( = 0,50) = 0,36 = 0,50 0,0 0,0 3, 84 0,36 0,36 0, , , 84 0,50 0,50 0, , 0004

26 La determiazioe della umerosità ottimale (gradi campioi) I proprietari delle pizzerie che effettuao cosege a domicilio itedoo cofrotarsi sui tempi medi di cosega. Uo di loro dispoe già di 40 osservazioi, la cui deviaza (espressa i miuti al quadrato) è pari a 457. Assumedo ivariata la variaza campioaria s, quate osservazioi è ecessario aggiugere al campioe affiché l itervallo di cofideza al 95% per il tempo medio di cosega abbia u ampiezza (i più o i meo) o superiore a 3 miuti? s z 3mi 457 z.96 s 9, ,33,96 3 9,33, ,6 3, Quidi

27 Stima (per itervallo) della differeza fra medie X Y X Y E X Y Var X Y X Y ~N ; Per campioi gradi oppure quado sia X che Y si distribuiscoo Normalmete Variabile casuale

28 Come scegliere l IC per la differeza tra medie? X e Y ~ N o e > 30 o??? si X si e Y ote o X = Y si o 4 X Y s s ~ t si 3 X Y s ~ t X = Y si o X Y ~ N 0, X Y ~ N 0, s s s X X Y Y Stimatore dello sqm comue

29 I sitesi: : variaze X e Y ote e uguali P X Y z X Y z : variaze X e Y ote e diverse P X Y z X Y z 3: variaze X e Y o ote e uguali P X Y t ; X Y s X Y t ; X Y s dove: s s s X X Y Y 4: variaze X e Y o ote e diverse Stimatore della variaza comue ( X = Y) i fuzioe delle variaze campioarie s s s s P X Y t ; X Y t ;

30 Esempio U azieda produce due tipi di lampadie, u tipo X, ecoomico, e uo Y, più caro ma che dura di più. La durata di etrambi i tipi di lampadie può essere cosiderata ormalmete distribuita, co medie e variaze diverse. Per stimare la differeza tra la durata media dei due tipi di lampadie, si acquistao 50 lampadie del tipo X e 35 del tipo Y e le si sottopoe al test di durata, co i segueti risultati (la media è espressa i ore): s 3400 X s Y Si defiisca l itervallo per la differeza tra le medie dei due modelli di lampadia ad u livello di fiducia del 90%. Soluzioe t,664 0,05; IC0,90 X Y , IC0,90 Y X 46,3; 353,7 Y X 4000 Popolazioi Normali, variaze o ote e diverse s s s s P X - Y - t ; - - X - Y t ; - - z,645 0,05

31 Esempio Due macchiari effettuao la stessa operazioe ma i tempi diversi. Da =90 osservazioi idipedeti effettuate sulla macchia si è otteuto: 3,5 sec s 0,03 Aalogamete, da =0 osservazioi idipedeti effettuate sulla macchia si è avuto: 4,3 sec s 4,54 Suppoedo che le produzioi delle due macchie abbiao la stessa variabilità, si determii l itervallo di cofideza al 99% per la differeza - fra i tempi medi dei due macchiari. Soluzioe Popolazioi o ote, i > 30, variaze o ote uguali P X Y t ; X Y s X Y t ; X Y s t z,58 0,005; 900 sx X sy Y 0, , ,93 s 4, IC0,99 X Y X X z s 3,5 4,3,58 4, ,,58 4, 0,094 7,, 475 IC0,99 X Y 5,75; 8,675

32 Esempio Per valutare se esiste o meo ua differeza tra il reddito medio di uomii e doe si estraggoo due campioi di 5 doe e 0 uomii, da cui risulta u reddito medio di 9 (migliaia di euro) co s.q.m. di per le doe e 5 co s.q.m. di 3 per gli uomii. Ipotizzado che i redditi si distribuiscao ormalmete, costruire u itervallo di cofideza per la differeza tra i redditi medi al livello di cofideza del 99% Soluzioe X ed Y Normali, variaze o ote o uguali s s s s P X Y t ; X Y t ; t,704 0,005;43 9 X 5 sx sx 4 5 Y 0 sy 3 sy IC0,99 9 5,704 6, 5 0 IC0,99 3,89; 8, L itervallo o cotiee lo 0 le medie soo diverse

33 Il cofroto mediate IC separati sulle due medie 9 X 5 sx sx 4 5 Y 0 sy 3 sy 9 IC t, s t ;4 t ;9 IC0,99 9, ; IC0,99 5, ; ,9

34 Esempio Nelle regioi italiae si misura il livello di iquiameto ambietale co il umero di deuce emesse dalla popolazioe residete. Nelle 0 regioi del Nord risultao i media 9. deuce co s.q.m 6,metre elle del Cetro-Sud la media è co s.q.m. 6. Ipotizzado che il umero di deuce segua ua distribuzioe Normale, costruire u itervallo di cofideza al 95% per la differeza tra le medie delle deuce al Nord e al Sud Soluzioe s s s s P X Y t ; X Y t ; t0.05; IC 95% ( - ) = [ -.4 ; 9. ] Costruedo due itervalli separati: t.6 t ;9 0.05; 6 4.9;33.50 IC0, ;36.66 IC0,95 Y 33.06,

35 i i s X X ~ s s P Quidi che: P s Stima (per itervallo) della variaza A partire dalla variaza campioaria corretta: Si può dimostrare che, se X ~ N: s s s P

36 Esempio Suppoiamo che si voglia cooscere il valore medio e ua misura della variabilità della percetuale di spesa delle famiglie italiae per attività ricreative. Si estrae allora u campioe casuale di 5 famiglie e si ottegoo i segueti risultati: 5 3,38% i i s, 897,70 Si determii, ad u livello di cofideza del 95%, ua stima della variaza della percetuale di spesa. Soluzioe s - = 0.95 Estremo iferiore Estremo superiore s 4,897,766 39,364 0,975;4 39, ,05;4 s 4,897 5,607, 40 IC 95%,766;5,607 s IC95%,766; ;.368

37 Esempio I u campioe di 0 lamie di acciaio estratte i modo casuale da ua liea di produzioe, lo spessore X delle lamie preseta ua deviaza pari a 70,50. Ammettedo che il carattere X sia distribuito ormalmete, si determii l itervallo che, ad u livello di cofideza del 90%, cotiee lo sqm della popolazioe. Soluzioe - = i 70,50 i i i s 0,59 s 0,770 Estremo iferiore 0,95; s 9 0, Estremo superiore 0,05;9 s , IC 90% 0.48;0.736 s IC90% 0.48; ;0.857