ESERCITAZIONE N. 6 corso di statistica

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1 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 1/18 ESERCITAZIONE N. 6 corso di statistica Marco Picoe Uiversità Roma Tre

2 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 2/18 Itroduzioe Variabili aleatorie cotiue Itervalli di cofideza per le medie Itervalli di cofideza per le proporzioi Test d ipotesi

3 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 3/18 Itervalli di cofideza per la media Data ua variabile statistica quatitativa X che si distribuisce ella popolazioe di riferimeto co media µ e variaza σ 2. Si vuole costruire u itervallo di cofideza per µ al livello 1 α sulla base di u campioe casuale semplice Caso 1: Variaza σ 2 ota (x 1...x ) la media campioaria x = 1 i=1 x i N(µ, σ2 ) La variabile stadardizzata x µ σ 2 L itervallo di cofideza σ x z 2 α/2 N(0,1), x+z α/2 σ 2

4 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 4/18 Itervalli di cofideza per la media Data ua variabile statistica quatitativa X che si distribuisce ella popolazioe di riferimeto co media µ e variaza σ 2. Si vuole desidera costruire u itervallo di cofideza per µ al livello 1 α sulla base di u campioe casuale semplice Caso 1: Variaza σ 2 ota (x 1...x ) Calcolo della dimesioe campioaria Per otteere u itervallo di cofideza di ampiezza o superiore a d, si cosidera il miimo itero che verifica ( ) 2σzα/2 2 = d

5 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 5/18 Itervalli di cofideza per la media Data ua variabile statistica quatitativa X che si distribuisce ella popolazioe di riferimeto co media µ e variaza σ 2. Si vuole desidera costruire u itervallo di cofideza per µ al livello 1 α sulla base di u campioe casuale semplice Caso 2: Variaza σ 2 icogita (x 1...x ) la media e la variaza campioaria x = 1 i=1 x i ˆσ 2 = 1 1 (x i x) 2 = 1 i=1 ( 1 ) x 2 i x2 i=1 La variabile stadardizzata L itervallo di cofideza x µ ˆ σ2 t 1,α ˆσ x t 2 1,α/2, x+t ˆσ 2 1,α/2

6 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 6/18 Esercizio Da ua variabile X distribuita ormalmete è stato estratto u campioe di osservazioi, otteedo i segueti risultati: Si determii: x k k la media campioaria e la variaza campioaria 2. u itervallo di cofideza per la media al livello 1 α = 0.95, sapedo che la variaza di X è pari a σ 2 = u itervallo di cofideza per la media al livello 1 α = 0.95, sapedo che la variaza di X o è ota 4. u itervallo di cofideza per la media al livello 1 α = 0.99, sapedo che la variaza di X o è ota

7 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 7/18 Esercizi La seguete tabella riporta le cocetrazioi gioraliere di ozoo misurate da ua cetralia di rilevazioe dell iquiameto. classe cetralia A frequeza [60, 80) 4 [80, 100) 25 [100, 120) 66 [120, 140) 24 [140, 160) 1 1. la distribuzioe della media campioaria 2. u itervallo di cofideza per la cocetrazioe media di ozoo al livello 1 α = il umero miimo di osservazioi da effettuare per otteere u itervallo di cofideza al livello 1 α = 0.95 di ampiezza iferiore a 1, sapedo che la variaza della popolazioe è pari a σ 2 = 100

8 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 8/18 Itervalli di cofideza per la proporzioe Data ua variabile statistica dicotomica X che si distribuisce ella popolazioe di riferimeto secodo la tabella di frequeze relative: x 0 1 p 1 p 1 Si desidera costruire u itervallo di cofideza per p al livello 1 α sulla base di u campioe casuale semplice sulla base di u campioe casuale semplice (x 1...x ) la frequeza relativa campioaria dove La variabile stadardizzata ˆp = 1 i=1 x i N(µ, σ2ˆp ) p(1 p) µ = p, σ 2ˆp = ˆp p ˆp(1 ˆp) N(0,1)

9 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 9/18 Itervalli di cofideza per la proporzioe Data ua variabile statistica dicotomica X che si distribuisce ella popolazioe di riferimeto secodo la tabella di frequeze relative: x 0 1 p 1 p 1 L itervallo di cofideza ( ˆp z α/2 ˆp(1 ˆp) ) ˆp(1 ˆp), ˆp+z α/2 La dimesioe campioaria ( zα/2 ) 2 = d

10 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 10/18 Esercizio i u sodaggio di 150 iterviste, 60 itervistati dichiarao di votare per il cadidato A. Calcolare 1. l itervallo di cofideza al livello 95% per la proporzioi di votati del cadidato A 2. la dimesioe campioaria miima affichè l ampiezza dell itervallo sia iferiore o uguale a 0.2 al livello 95%

11 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 11/18 Test d ipotesi per proporzioi Data ua variabile statistica dicotomica X che si distribuisce ella popolazioe di riferimeto secodo la tabella di frequeze relative: x 0 1 p 1 p 1 Cofrotiamo l ipotesi ulla co le ipotesi alterative H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 H 1 : p p 0. Calcoliamo il p-value a partire da u campioe casuale semplice di osservazioi (x 1,...,x ) e u livello di sigificatività α oto.

12 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 12/18 Test d ipotesi per proporzioi ipotesi alterativa statistica test p-value p > p 0 z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) p < p 0 z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) p p 0 z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) P(Z > z) P(Z < z) 2P(Z > z)

13 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 13/18 Esercizio U politico A sostiee che il 40% dell elettorato vota per lui. U avversario politico che vuole dimostrare che i voti per A soo iferiori, fa itervistare 200 elettori, trovadoe 50 che votao per lui. 1. Defiire l ipotesi ulla e quella alterativa i questo cotesto 2. Calcolare la statistica test e il p-value per verificare l ipotesi ulla 3. Idicare se l ipotesi ulla può essere rifiutata al livello di sigificatività 1%

14 ESERCITAZIONE N. 6corso di statistica p. 14/18 Esercizio Nel 2014 ua idagie ha stabilito che il 40% della popolazioe o è i grado di distiguere ua bufala da ua otizia vera. Nel 2018 è stata ripetuta l idagie su u campioe di 600 idividui, dal quale è risultato che tale percetuale è del 45%. La proporzioe rilevata el 2018 è diversa da quella idividuata el 2014?. 1. Defiire l ipotesi ulla e quella alterativa i questo cotesto 2. Calcolare la statistica test e il p-value per verificare l ipotesi ulla 3. Idicare se l ipotesi ulla può essere rifiutata al livello di sigificatività 5% 4. Idicare se l ipotesi ulla può essere rifiutata al livello di sigificatività 1%