II Esonero - Testo A

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1 Dip. di Igegeria, Uiv. Roma Tre Prof. E. Scoppola, Dott.M. Quattropai Probabilità e Statistica, , I semestre 29 Geaio 2018 II Esoero - Testo A Cogome Nome Matricola Esercizio 1. (20%) Si cosideri u campioe aleatorio (X 1,..., X ) estratto da ua distribuzioe espoeziale di parametro λ e sia Y = i=1 X i. i) Determiare la fuzioe geeratrice dei mometi di Y e la sua distribuzioe. ii) Calcolare il valor medio della variabile Y iii) Calcolare la variaza var(y ) iv) Per = 100 determiare i valori di λ tali che var(y ) < 1 i) La fuzioe geeratrice dei mometi di ua variabile espoeziale è: da cui duque Y Gamma(, λ) Φ X (t) = Ee tx = λ λ t Φ Y (t) = Ee ty = Π i=1φ Xi (t) = ( λ ) λ t ii) iii) iv) EY = vary = EX i = 1 λ 1=1 varx i = 1 λ 2 1=1 1 λ 2 = 100 λ 2 < 1 λ > 10

2 Esercizio 2. (20%) Si cosideri u campioe aleatorio (X 1,..., X ) estratto da ua distribuzioe ormale di media ulla e variaza 4. i) Determiare la distribuzioe della media campioaria X ii) Calcolare P ( X > 2 ) iii) Determiare la distribuzioe della variaza campioaria S 2 Si ricordao i segueti valori Φ(2) , Φ(1) i) La media campioaria ha distribuzioe ormale co media 0 e variaza 4. ii) P ( X > 2 ( X ) = P 2/ > 1) = P (Z > 1) = 1 Φ(1) = = iii) Per la variaza campioaria abbiamo ( 1)S 2 χ 2 1 4

3 Esercizio 3.(20%) Si soo raccolti per u ao i dati relativi al umero di icideti mesili su u tratto di autostrada otteedo la seguete tabella (3, 1, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 1, 2) Si assuma che il umero di icideti i ogi mese dell ao siao variabili idipedeti ed ideticamete distribuite. Determiare la stima di massima verosimigliaza per la media degli icideti mesili. Assumiamo che la variabile casuale X i idichi il umero di icideti ell i-esimo mese dell ao, e che essa sia distribuita come ua variabile di Poisso. Ioltre le variabili X i soo per ipotesi idipedeti ed ideticamete distribuite Lo stimatore di massima verosimigliaza del parametro di ua poissoiaa è la media campioaria X, ed il parametro della poissoiaa coicide co la sua media. La stima di massima verosimigliaza che otteiamo dai dati è duque ˆλ = 2.5.

4 Esercizio 4. (20%) Si cosideri u campioe aleatorio (X 1,..., X ) estratto da ua distribuzioe ormale di media µ e variaza σ 2 = 100. i) Determiare u itervallo di cofideza uilaterale destro per µ, diciamo (A, + ) a livello 95% sapedo che x = 20. ii) Determiare la miima ampiezza del campioe per avere che A > X/2 Si ricordi che z , z L itervallo di cofideza uilaterale destro per la media di ua ormale quado è ota la sua variaza è dato da ( X zα σ, + ) duque el ostro caso A = Per avere A > 10 dobbiamo imporre < 10 e duque > (1.645) 2, cioè 3.

5 Esercizio 5.(20%) Si cosideri u campioe aleatorio (X 1,..., X 4 ) estratto da ua distribuzioe ormale di media µ e variaza 25. Sappiamo che x = 2.5. Vogliamo verificare l ipotesi ulla H 0 : µ = 3 cotro H 1 : µ 3 i) Fissado il livello di sigificatività α = 5% determiare se l ipotesi H 0 è accettata. ii) Determiare il p-dei-dati. iii) Determiare per quali valori del livello di sigificatività α l ipotesi H 0 è rifiutata. Si ricordi che Φ(0.2) 0.579, Φ(2) , z , z Si tratta di u test a due code. La statistica del test è X µ 0 σ/ ed l ipotesi H 0 è rifiutata a livello di sigificatività α se questa statistica assume u valore maggiore di z α/2. Il valore assuto dalla statistica è: x µ 0 σ/ = /2 = 0.2 e poiché 0.2 < z l ipotesi H 0 è accettata. Il p-dei-dati è P ( Z > 0.2) = 2P (Z > 0.2) = 2(1 Φ(0.2)) = 2(0.421) = Questo implica che l ipotesi H 0 è rifiutata per ogi livello di sigificatività α >