Sommario. Facoltà di Economia. Campionamento e inferenza statistica

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1 Corso di tatistica Facoltà di Ecoomia a.a fracesco mola ommario Campioameto e ifereza statistica timatori e stime Proprietà degli stimatori ufficieza, Correttezza, Efficiezaassoluta e relativa, Cosisteza Pricipali distribuzioi campioarie Lezioe 7 Lez7_a.a statistica-fracesco mola Cosa si itede per campioameto itma putuale o itervallare per u parametro icogito della popolazioe i defiisce campioameto u procedimeto attraverso il quale da u isieme di uità costitueti l oggetto dello studio, si estrae u umero ridotto di casi scelti co criteri tali da cosetire la geeralizzazioe all itera popolazioe dei risultati otteuti. Estrazioe casuale Pop C Ifere za Ricorre spesso l esigeza di stimare u parametro icogito della popolazioe. No sempre si dispoe di tutti i dati e/o spesso i vicoli di tempo e costi soo tali da idurci al campioameto L obiettivo è trovare uo stimatore che produca stime quato più vicie possibile al parametro icogito. Lez7_a.a statistica-fracesco mola Lez7_a.a statistica-fracesco mola

2 itma putuale o itervallare per u parametro icogito della popolazioe La stima può essere di tipo putuale o itervallare. Es. la variabile casuale media campioaria, stimatore della media, quado lavora co i dati campioari geera la stima della media della popolazioe Es. Cosiderado la tecica degli itervalli di cofideza, ed utilizzado come fuzioe pivot la media campioaria, ottego ua stima itervallare della media della popolazioe Es. la variabile casuale proporzioe campioaria, stimatore della proporzioe, quado lavora co i dati campioari geera la stima della proporzioe della popolazioe Es. Cosiderado la tecica degli itervalli di cofideza, ed utilizzado come fuzioe pivot la proporzioe campioaria, ottego ua stima itervallare della media della popolazioe Lez7_a.a statistica-fracesco mola 5 Lez7_a.a statistica-fracesco mola 6 Ifereza statistica Logica iduttiva Dal particolare al geerale Popolazioe [ v. c. ] f Ω θ,θ e si coosce F si può fare ifereza θ, θ θ p θ,... pazio parametrico p parametri icogiti Campioe casuale realizzazioe di variabili casuali idipedeti x i i-esima osservazioe tima dei parametri Itervalli di cofideza Test delle ipotesi i v.c. geeratrice Lez7_a.a statistica-fracesco mola 7 Lez7_a.a statistica-fracesco mola 8

3 tima dei parametri: Determiare sulla base di estratto dalla popolazioe θ x, x,... x Itervalli di cofideza fiducia: ulla base delle iformazioi campioarie si determia u itervallo per il parametro θ co u grado di fiducia prefissato Test delle ipotesi verifica delle ipotesi: Decisioe tra due ipotesi complemetari ipotesi su θ Lez7_a.a statistica-fracesco mola 9 Cosa produce u processo ifereziale? risultato umerico ua stima, u itervallo di cofideza, u test delle ipotesi giudizio di validità dello stesso il grado di fiducia da oi riposto i questo risultato umerico Esempio: Osservado u campioe di studeti soo idotto processo ifereziale a riteere che il voto medio ell itera popolazioe di studeti dal campioe alla popolazioe ad u dato esame è compreso tra 5 e 7 itervallo di cofideza. Ho fiducia che ciò realmete si avveri: la possibilità che o si avveri è del 5% grado di fiducia 95%. Lez7_a.a statistica-fracesco mola 0 x x, x,... x x è ua realizzazioe di,,... Campioe osservato Campioe casuale.b.: le soo idipedeti ed ideticamete distribuite iid come ~ f x,θ T,,... T TATITICA.. ua fuzioe a valori reali del campioe casuale,,... idipedete da altre quatità icogite Quado abbiamo: T è calcolata sul campioe osservato x Lez7_a.a statistica-fracesco mola Lez7_a.a statistica-fracesco mola

4 t tatistica calcolata t T x x,..., x T Variabile casuale t umero Nella teoria della stima abbiamo che T stimatore t stima Nella teoria del test delle ipotesi abbiamo che T tatistica test t tatistica calcolata La distribuzioe di probabilità di si chiama distribuzioe campioaria di Attezioe! N v.c. i possoo geerare ifiiti stimatori Ifiiti stimatori alterativi quidi bisoga cooscere le distribuzioi campioarie degli stimatori T per cofrotarli e valutare quali scegliere! T T Lez7_a.a statistica-fracesco mola Lez7_a.a statistica-fracesco mola Pricipali stimatori v.c. media campioaria Cosideriamo ua popolazioe di quattro uità statistiche, e proviamo ad estrarre tutti i possibili campioi di ampiezza, geerado quidi N possibili campioi, cioè 6. Calcoliamo poi la media di ogi campioe e costruiamo la distribuzioe di frequeza di tutte le medie. Lez7_a.a statistica-fracesco mola 5 6 N 6 N possibili campioi tutti i possibili campioi Lez7_a.a statistica-fracesco mola 6

5 E VAR f i Lez7_a.a statistica-fracesco mola 7 Nella popolazioe si ha: 6 µ xi N xi µ N 9. 5 v.c Media Campioaria µ E µ VAR.5. 5 Lez7_a.a statistica-fracesco mola 8 v.c. media campioaria seza reitroduzioe Cosideriamo ua popolazioe di quattro uità statistiche, e proviamo ad estrarre tutti i possibili campioi di ampiezza seza reitroduzioe, geerado quidi possibili campioi. Calcoliamo poi la media di ogi campioe e costruiamo la distribuzioe di frequeza di tutte le medie. Lez7_a.a statistica-fracesco mola 9 eza ripetizioe tutti i possibili campioi Medie di tutti i campioi Lez7_a.a statistica-fracesco mola 0

6 E f i v.c Media Campioaria VAR N 5 N. Lez7_a.a statistica-fracesco mola Due problematiche:. Botà dello stimatore proprietà dello stimatore. Metodi di costruzioe degli stimatori Proprietà degli stimatori ufficieza Tra tutti i possibili stimatori di θ vao cosiderati quelli che o disperdoo iformazioi su θ igifica che quado lavoriamo sul campioe operiamo ua sitesi e quidi o dobbiamo perdere iformazioi Lez7_a.a statistica-fracesco mola Caratterizzazioe i media o distorsioe T o stimatore si dice o distorto ubiased per se: b b b T > 0 T < 0 T E T θ T E θ I geerale se T Distorsioe bias Distorsioe positiva sovrastima Distorsioe egativa sottostima b 0 T Errore sistematico θ T e è o distorto allora è baricetro della distribuzioe di T Per vedere come si accetra uo stimatore rispetto a θ si può cosiderare la variaza. ma se è distorto la variaza o può b T essere usata! θ T 0 Lez7_a.a statistica-fracesco mola Lez7_a.a statistica-fracesco mola

7 i usa l errore quadratico medio o Mea quare Error ME E T θ VAR T Variaza dello stimatore.b. se 0 T b T b ME VAR T Bias al quadrato Efficieza di uo stimatore iao T e due stimatori per il parametro T icogito e T ME < T è più efficiete di T allora Lez7_a.a statistica-fracesco mola 5 Lez7_a.a statistica-fracesco mola 6 eff T T Efficieza relativa > T < T se eff T T È preferibile a T se se T T È preferibile a T eff eff T T Idiffereza ella scelta rispetto a ME Lez7_a.a statistica-fracesco mola 7 b T b T eff T T 0 VAR T VAR T Perché si cosidera la variaza più piccola? Perché la variaza è fuzioe diretta di e quidi sigifica Che quado si lavora co gli stimatori più efficieti si possoo avere campioi più piccoli! Lez7_a.a statistica-fracesco mola 8

8 Esiste u limite iferiore o dipedete da θ per la Variabilità di uo stimatore? Questi stimatori soo chiamati BLE Best Liear biased Estimators timatori o distorti Tutti gli stimatori i cerca quello che ha variaza più piccola! Lez7_a.a statistica-fracesco mola 9 Cosisteza T È cosistete i media quadratica per se: θ lim E T θ 0 T θ m Lez7_a.a statistica-fracesco mola 0 Cosisteza T é cosistete i probabilità per se, fissato u θ si ha: ε > 0 lim P T θ < ε T θ p p lim T θ Metodi di costruzioe degli stimatori cei Metodo dei mometi Metodo della massima verosimigliaza Metodo dei miimi quadrati θ Lez7_a.a statistica-fracesco mola Lez7_a.a statistica-fracesco mola

9 B, DITRIBZIONI CAMPIONARIE p ~... E p VAR Proporzioe campioaria Per grade: ~ N p, pq pq Lez7_a.a statistica-fracesco mola ~ N?, Cosideriamo u campioe casuale Media Campioaria } µ Vale sempre, ache se o si coosce la distribuzioe i i ~ N,... µ,, N µ, Lez7_a.a statistica-fracesco mola Esempio: x µ x µ x x Pr Pr Pr Variaza campioaria ~ N µ,,,... i i dimostra che: ~ χ Lez7_a.a statistica-fracesco mola 5 Lez7_a.a statistica-fracesco mola 6

10 Quidi E VAR E E La variaza campioaria è distorta Lez7_a.a statistica-fracesco mola 7 b E ~ ~ Variaza campioaria corretta i E La variaza corretta è NON DITORTA Lez7_a.a statistica-fracesco mola 8 e Z Distribuzioe Media Campioaria µ ma T ~ µ icogita è icogita allora possiamo sostituire a la v.c. Dividedo umeratore e deomiatore per ~ abbiamo: e ricordado che ~ Lez7_a.a statistica-fracesco mola 9 µ µ T ~ Z ~ t χ Lez7_a.a statistica-fracesco mola 0

11 DIFFERENZA TRA MEDIE Cosideriamo u carattere osservato su due popolazioi: µ ~ N µ ~ N, Cosideriamo dei campioi di ampiezza e estratti dalle due popolazioi., Media campioaria del primo campioe Media campioaria del secodo campioe Lez7_a.a statistica-fracesco mola N µ ~, N µ ~, ~ N µ µ, Lez7_a.a statistica-fracesco mola DIFFERENZA TRA MEDIE INCOGNITE Z µ µ ~ N 0, e soo icogite ma supposte uguali allora abbiamo: T µ µ Lez7_a.a statistica-fracesco mola Lez7_a.a statistica-fracesco mola

12 χ Dividedo umeratore e deomiatore per perché abbiamo supposto µ µ ~ N 0, Lez7_a.a statistica-fracesco mola 5 χ Quidi: T La somma di queste χ è acora ua χ Z ~ t χ χ.b. Le soo state sommate perché idipedeti!! Lez7_a.a statistica-fracesco mola 6