Corso di Statistica Facoltà di Economia

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1 Corso di Statistica Facoltà di Ecoomia Lezioe a.a Fracesco Mola Ifereza statistica Logica iduttiva Dal particolare al geerale Popolazioe [ v. c. ] f Ω x,, Se si coosce F si può fare ifereza p Spazio parametrico p parametri icogiti a.a statistica-fracesco mola Campioe casuale realizzazioe di variaili casuali idipedeti xi i iesima osservazioe v.c. geeratrice 3 Stima dei parametri Itervalli di cofideza Test delle ipotesi a.a statistica-fracesco mola 3 Stima dei parametri: Determiare sulla ase di estratto dalla popolazioe x, x,... x Itervalli di cofideza fiducia: Sulla ase delle iformazioi campioarie si determia u itervallo per il parametro co u grado di fiducia prefissato Test delle ipotesi verifica delle ipotesi: Decisioe tra due ipotesi complemetari ipotesi su a.a statistica-fracesco mola 4

2 Cosa produce u processo ifereziale? U risultato umerico U giudizio di validità dello stesso Campioi Campioi ragioati Campioi casuali 9 Semplici 9 Stratificati 9 Stratificati proporzioali 9 A grappoli x x, x x x è ua realizzazioe di, Campioe osservato Campioe casuale..: le soo idipedeti ed ideticamete distriuite iid come ~ f x, a.a statistica-fracesco mola 5 a.a statistica-fracesco mola 6 i Se le v.c. i,, soo cotiue, l idipedeza è Assicurata sia per prove co ripetizioe sia per prove Seza reitroduzioe T T, STATISTICA Per le v.c. discrete o è così! dimesioe del campioe f f x, f, ;, f,.. f, È la distriuzioe cogiuta di.. ua fuzioe a valori reali del campioe casuale, idipedete da altre quatità icogite Quado aiamo: T è calcolata sul campioe osservato x a.a statistica-fracesco mola 7 a.a statistica-fracesco mola 8

3 t Statistica calcolata t T x, x x T Variaile casuale t umero Nella teoria della stima aiamo che T stimatore t stima Nella teoria del test delle ipotesi aiamo che T Statistica test t Statistica calcolata La distriuzioe di proailità di si chiama distriuzioe campioaria di T Attezioe! N v.c. i possoo geerare ifiiti stimatori Ifiiti stimatori alterativi quidi isoga cooscere le distriuzioi campioarie degli stimatori T per cofrotarli e valutare quali scegliere! T a.a statistica-fracesco mola 9 a.a statistica-fracesco mola 0 Due prolematiche:. Botà dello stimatore proprietà dello stimatore. Metodi di costruzioe degli stimatori Proprietà degli stimatori Sufficieza Tra tutti i possiili stimatori di vao cosiderati quelli che o disperdoo iformazioi su Sigifica che quado lavoriamo sul campioe operiamo ua sitesi e quidi o doiamo perdere iformazioi T è sufficiete per ϕ, T t0 No dipede da f x, x x ; Ogi i dipede da ; dipede da ϕ,,... T t 0 h x, x x, T t0; g T t ; Cioè la distriuzioe codizioata o dipede da se è sufficiete T 0 a.a statistica-fracesco mola a.a statistica-fracesco mola

4 Fuzioe di verosimigliaza x x x, x Dato campioe osservato di e icogito. Le quatità L x f x, x,... x ; f x, x,... x L ; è detta fuzioe di verosimigliaza ed è fuzioe solo di Ω a.a statistica-fracesco mola 3 Questa fuzioe racchiude tutte le iformazioi che possoo essere statisticamete rilevati riguardo alla popolazioe e che quidi soo derivaili dal campioe casuale. Se si cosidera il log i ase e otteedo la L x; > 0 fuzioe log-verosimigliaza più semplice da trattare Se ivece si cosidera le v.c. prima di f x; x x estrarre il campioe, è la proailità che si x, x ~ f x; verifichi se è discreta! a.a statistica-fracesco mola 4 ~ f x; Se è cotiua, è proporzioale alla proailità che la v.c. -pla assuma valori i u itervallo ad dimesioi e di ampiezza ifiitesima itoro ad f x; La fuzioe di desità cogiuta del campioe, può essere usata i due modi:. i modo proailistico prima di estrarre il campioe x La fuzioe di verosimigliaza o è ua distriuzioe di proailità, ma forisce ua misura della proailità di otteere u determiato campioe casuale ua volta otteute le determiazioi x L ; differeti è ua misura della proailità plausiilità di Ω quado x è osservato. Sostituedo i valori umerici otteuti dal campioe elle fuzioi di desità cogiuta otteedo ua fuzioe dipedete solo da a.a statistica-fracesco mola 5 a.a statistica-fracesco mola 6

5 Esempio: se * x ** L ; x L ; * ** ; x > L x L ; si propede per * azichè ** a.a statistica-fracesco mola 7 Criterio di fattorizzazioe di Fisher,..., Sia u campioe casuale geerato da ~ f ;. Lo stimatore è sufficiete per se e solo se esistoo due fuzioi o egative h. tali che la fuzioe di verosimigliaza si può fattorizzare così: a.a statistica-fracesco mola 8 T g. x g T x, x,... x ; h x, x L,..., x e g. Dove dipede dalle osservazioi campioarie solo grazie alla sitesi prodotta dallo stimatore T h. e dove è fuzioe del campioe e o dipede dal parametro. x x T,.. Questo teorema idica qual è la codizioe ecessaria e sufficiete affichè sia sufficiete per. T x Caratterizzazioe i media o distorsioe T Uo stimatore si dice o distorto uiased per se: T > 0 < 0 T E T T E I geerale se T Distorsioe ias Distorsioe positiva sovrastima Distorsioe egativa sottostima 0 T Errore sistematico a.a statistica-fracesco mola 9 a.a statistica-fracesco mola 0

6 T Se è o distorto allora è aricetro della distriuzioe di T Per vedere come si accetra uo stimatore rispetto a si può cosiderare la variaza. ma se è distorto T la variaza o può essere usata! T 0 Si può usare l errore quadratico medio o Mea Square Error + T E T E[ T E T + E T ] E T E T + E E T E T E T E T [ ] 0 perché 0 a.a statistica-fracesco mola a.a statistica-fracesco mola VAR T Variaza dello stimatore.. se + T Bias al quadrato T 0 VAR T Efficieza di uo stimatore Siao T e T due stimatori per il parametro icogito Se T < T è più efficiete di allora T a.a statistica-fracesco mola 3 a.a statistica-fracesco mola 4

7 eff T T Efficieza relativa > T T < T T T T se eff T T È preferiile a T se se È preferiile at T T eff eff T T Idiffereza ella scelta rispetto a a.a statistica-fracesco mola 5 T T eff T T 0 Perché si cosidera la variaza più piccola? VAR T VAR T Perché la variaza è fuzioe diretta di e quidi sigifica Che quado si lavora co gli stimatori più efficieti si possoo avere campioi più piccoli! a.a statistica-fracesco mola 6 Esiste u limite iferiore o dipedete da per la Variailità di uo stimatore? Stimatori o distorti Tutti gli stimatori Si cerca quello che ha variaza più piccola! a.a statistica-fracesco mola 7 Diseguagliaza teorema di Rao-Cramer ~ f ; Se è u campioe casuale geerato da, I stimatore o distorto per si ha: VAR T Iformazioe di Fisher E lg L ; a.a statistica-fracesco mola 8

8 I caso di uguagliaza si dice che lo stimatore è efficiete efficieza o efficieza assoluta. Co questo procedimeto siamo certi che tra la classe degli stimatori o distorti, o ci sia uo stimatore più efficiete. Efficieza caratterizzazioe i variaza T Cosisteza T È cosistete i media quadratica per se: lim E T 0 T m a.a statistica-fracesco mola 9 a.a statistica-fracesco mola 30 Cosisteza T é cosistete i proailità per se, fissato u ε > 0 si ha: lim P T < ε T p p lim T a.a statistica-fracesco mola 3