Statistica I - A.A

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1 Statistica I - A.A Prova scritta - 9 aprile 207 Problema. (pt. 20 U azieda che produce ricambi per stampati esamia la durata di u certo modello di cartuccia d ichiostro, misurata i umero di copie aveti u livello accettabile di qualità; tale umero è aleatorio per svariate ragioi, che vao dalla qualità della cartuccia alla desità di parti scure elle copie, alla qualità della stampate e così via. Suppoiamo che la durata, cosiderata come ua variabile aleatoria D, sia gaussiaa. Suppoiamo che il modello di cartuccia che si sta esamiado sia i commercio da tempo e si abbia u ottima stima dei suoi parametri, che possoo quidi essere cosiderati come veri: media pari a 530 copie e deviazioe stadard pari a. Si tratta dei parametri stimati mescolado tutte e possibili situazioi di utilizzo.. U acquirete a cui vegao comuicati tali parametri si chiede: co che probabilità stamperò bee almeo 500 copie? E quate copie soo sicuro di stampare, co u livello di fiducia del 95%? 2. U aquirete che svolge u ampio lavoro co la stampate compra 30 cartucce e si chiede: co che probabilità stamperò bee almeo 5500 copie? 3. Come dicevamo, l icertezza el umero di copie dipede ache dal tipo di stampe: se cotegoo immagii, che spesso hao ampie zoe scure, il cosumo è maggiore. L azieda svolge uo studio i questa direzioe: idividua 20 acquireti che devoo cotiuamete stampare testi coteeti immagii ed esamia se essi abbiao parametri diversi da quelli geerali. Attede che ciascuo di essi esaurisca ua cartuccia e registra le 20 durate: esse hao avuto media empirica pari a 470, co deviazioe empirica pari a 87. Al 95%, può dire che tali cartucce durao meo di quelle usate i modo del tutto geerico? 4. L azieda prosegue lo studio del puto precedete voledo arrivare ad ua dichiarazioe circa la durata media delle cartucce soggette a quel tipo d uso particolare. Sulla base dei dati del puto 3, co quale precisioe relativa può dichiarare la media vera, a livello di cofideza 90%? 5. Si scordio i puti 3 e 4 si tori alla situazioe geerale. Ache la qualità della stampate icide sui parametri di D, i ua qualche misura. U certo modello di stampate è sotto accusa perché sembra cosumare troppo i fretta le cartucce. Si vuole svolgere u test per giudicare se la durata media co tale modello sia iferiore, suppoedo che la deviazioe stadard o sia cambiata. Si scriva l ipotesi ulla, quella alterativa e la regioe di rifiuto al 95% el caso che si possao esamiare 80 stampati di quel tipo (ua

2 cartuccia per ciascua stampate. Se la vera durata media delle cartucce per tale modello fosse pari a 490, co che probabilità se e accorgerebbe questo test (la risposta a questa domada verrà valutata solo se impostata e sviluppata i modo letterale, o utilizzado formule prefatte? Problema 2. (pt. 0 Sia X ua v.a. di desità f a (x = C a exp ( a x, dove il parametro a varia ell isieme dei umeri reali positivi.. Trovare la costate C a per cui la fuzioe f a (x sia davvero ua desità di probabilità. 2. Posto Y = X, trovare la fuzioe di ripartizioe F Y (y. 3. Trovare lo stimatore di massima verosimigliaza del parametro a e cofrotarlo co quello dei mometi.

3 Soluzioi Esercizio.. D P (D 500 = P (D < 500 = P < = Φ = Φ = Φ (0.468 = 0.68 quidi circa 425 copie = P (D = Φ 530 = q 0.95 = 530 q 0.95 = 530. = Il umero totale di copie fatte è D +...+D 30 che, i ipotesi di idipedeza, è ua N (30 530, Pertato D D P (D D = P < ( = Φ = Φ = Φ (.4 = Si oti che, a stretto rigore, o abbiamo applicato il TLC, perché le v.a. i gioco erao già gaussiae, quidi o è stata ecessaria alcua approssimazioe. 3. Applichiamo u test t uilaterale per la media (scegliamo il test t per via della bassa umerosità campioaria; useremo quidi la deviazioe campioaria del piccolo campioe. L ipotesi ulla è H 0 media 530; H media < 530; la regioe di rifiuto è { } (x,..., x 80 : x < t,0.05. Vale metre x 530 s = 20 = t,0.05 = t 9,0.05 =.729 quidi il test è sigificativo, quel tipo di stampe cosuma molto più i fretta le cartucce.

4 4. Dobbiamo dichiarare l itervallo di cofideza (o meglio la sua semi-ampiezza trovato usado la distribuzioe t di Studet. Vale δ = s t 9, = = (si oti che l itervallo è bilaterale, al 90%, quidi α = 0.05 quidi la precisioe relativa è circa del 7 per ceto. 5. Utilizziamo u test gaussiao uilaterale per la media, co deviazioe stadard { ota: H 0 media 530; } H media < 530; la regioe di rifiuto è (x,..., x 80 : x < q0.05. Ci viee chiesto di calcolare P (490, X < q0.05. ( La v.a. X 80 è ua N 490, 2 80, quidi = P (490, X < q ( = Φ = Φ (3.95 = Quidi la probabilità di accorgersee è molto alta. Esercizio = C a exp ( a x dx = 2 = 2C a [ a exp ( a (x ] C a = a 2. è zero per y < 0, metre per y 0 = 2C a a F Y (y = P (Y y = P ( X y C a exp ( a (x dx = P ( y X y = P ( y + X y + = = a y+ y+ y+ a exp ( a x dx 2 exp ( a (x dx = [exp ( a (x ] y+ = exp ( ay [La desità è espoeziale di parametro a.]

5 3. L (a, x,..., x = a 2 exp ( a ( x x log L (a, x,..., x = log 2 + log a a ( x x a ( x x = 0 a = x x quidi ifie â = x x. Vediamo ifie il metodo dei mometi. Vale E [X] =. Il calcolo facile è quello della variaza. Ifatti essa è E [ X 2] ma questa espressioe o è altro che il mometo secodo di Y, che abbiamo già visto essere espoeziale di parametro a. Pertato E [ X 2] = E [ Y 2] = V ar [Y ] + E [Y ] 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2. Troviamo i coclusioe 2 a = E [ X 2] da cui emerge lo stimatore 2 â = i= x i 2.