Esercitazione X Complementi di Probabilità a.a. 2011/2012

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1 Esercitazioe X Complemeti di Probabilità a.a. 20/202 Argometi: covergeza e TLC. Esercizio. Sia {X k } k ua successioe di v.a. i.i.d. di legge Exp(. Sia G = S,. a Scrivere la fuzioe caratteristica φ di G e dimostrare che esiste ψ 0, ψ L (, tale che φ (θ ψ(θ per ogi θ e grade. Dedurre che G ha desità f data da f (x = e iθx φ (θ dθ. b Usado il puto a ed il TLC 2, dimostrare che lim f (x = e iθx e θ2 /2 dθ. c Scrivere esplicitamete 3 la desità f di G e usado il puto b, i particolare per x = 0, dedurre la formula di Stirlig: + 2 e!, grade. Esercizio 2. U dado viee laciato 900 volte e sia X il umero di volte i cui è uscito il 6. a Se il dado è equilibrato, quato vale P(X > 80? b Suppoiamo di sapere dell esisteza di ua partita di dadi truccati che producoo il 6 co probabilità 2/9. Per decidere se il dado è truccato, viee usata la seguete procedura: il dado viee laciato 900 volte e lo si cosidera truccato se il 6 esce più di 80 volte. Qual è la probabilità che u dado truccato sia effettivamete idividuato? Esercizio 3. Sia {X } ua successioe di v.a. reali, i.i.d., di media 0 e variaza 4. icordiamo che se X Exp(λ allora la sua fuzioe caratteristica è data da φ X (t = λ/(λ iθ. 2 icordiamo che se X Exp(λ allora E(X = /λ = Var(X. 3 icordiamo che la somma di v.a. i.i.d. di legge Exp(λ dà ua v.a. Γ(, λ, di desità p(ξ = λ (! ξ e λξ ξ>0.

2 a Approssimare, per grade, P( k= X k > 2. b Suppoedo che esista E[X 4 ], studiare la covergeza { i legge, i probabilità, q.c. e i media della successioe } k= X2 k Esercizio 4. a Sia {X } ua successioe di v.a. gaussiae, co E(X = µ µ e Var(X = σ 2 σ 2 Mostrare che {X } coverge i legge ad ua v.a. gaussiaa, e precisare media e variaza. b Sia {Z } ua successioe di v.a. i.i.d., di legge N(0, σ 2, e sia {X } la successioe defiita per ricorreza el seguete modo 4 X 0 = x, X + = α X + Z, co α <. Qual è la legge 5 di X? E di X 2? Mostrare che per la successioe {X } coverge i legge. Se σ 2 = e α = /2, quato vale la probabilità che X disti dall origie per meo di quado è grade? Esercizio 5. Sia {X } ua successioe di v.a. i.i.d., co media 0 e variaza σ 2. Studiare la covergeza i legge, per, di Z = (X + X X 2 /. Esercizio 6. Sia {X k } k ua successioe di v.a. i.i.d., ciascua co desità p(x = 2x e <x<e. ( / ( Posto Y = k= X /, k e di Z = k= X k dimostrare che per ogi g C b, lim E(g(Y = g( e lim E(g(Z g(e z = e 3 z2 /2 dz. /3. 4 Le v.a. X, X 2,... si possoo iterpretare come le posizioi successive di u mobile che ad ogi istate si sposta dalla posizioe correte X i α X ma subisce ache ua perturbazioe (aleatoria Z. 5 icordiamo che ua combiazioe lieare di v.a. gaussiae idipedeti è acora ua v.a. gaussiaa. 2

3 Soluzioi Esercizio a Si ha ( θ φ (θ = φ S (θ = φ S = e i( θ φ S ( θ = e iθ ( φ X ( θ = e iθ ( iθ. I particolare, φ (θ = iθ ( = + θ2 /2. Ora, poiché ( + / e per, otteiamo φ (θ ( + θ2 =: ψ(θ, 2 2 e ψ 0, ψ itegrabile su. Ciò sigifica che φ L e usado il teorema di iversioe (per desità, si ha che S ha desità f data da f (x = e iθx φ (θdθ. b Per il TLC, G Z i legge, per, co Z N(0,, quidi lim φ (θ = e θ2 /2. Poi, dal puto a φ è uiformemete domiata, i valore assoluto, da ua fuzioe di L, usado DOM si ottiee lim e iθx φ (θ dθ = e iθx lim φ (θ dθ = e iθx θ2 /2 dθ da cui segue immediatamete la tesi. c Si ha G = g(s, dove g(x = (x / è ivertibile co iversa h(y = y +. Detta p la desità di S, si ha Usado il TCV, si ha: f (x = p (h(xh (x = p (ξ = (! ξ e ξ ξ>0. (! (x + e (x + x +>0 i

4 e per x = 0, si ottiee f (0 = Ora, poiché abbiamo visto che (! 2 e =! + 2 e lim f (0 = alla fie otteiamo, per grade, che è la formula di Stirlig.! + 2 e e θ2 /2 dθ =, Esercizio 2. Se successo = esce il 6, X è il umero di successi su 900 prove, quidi X Bi(900, p ed ioltre X si può rappresetare i legge come 900 k= X k, co X k idipedeti e beroulliae Be(p. Quidi, ( 900 k= P(X > 80 = P X k 900E(X > E(X 900Var(X 900Var(X ( = P Z E(X 900Var(X avedo posto Z 900 = 900 k= X k 900E(X 900Var(X. Usado il TLC, ( E(X P(X > 80 Φ 900Var(X ( dove Φ(x = x e t2 /2 / dt deota la f.d. di ua legge N(0,. Si oti che tale approssimazioe è valida per ogi legge Bi(, p, co grade, ed è detta approssimazioe gaussiaa della legge biomiale. a I questo caso p = /6, quidi E(X = /6 e Var(X = 5/6. Allora, da (, ( /6 P(X > 80 Φ = Φ(2.68 = = /36 b Se il dado è truccato, p = 2/9. La procedura scelta idividua u dado truccato se X > 80, quidi la probabilità co la quale u dado truccato è effettivamete idividuato è data da ( co X Bi(900, 2/9, o equivaletemete X k Be(2/9. I tal caso, E(X k = 2/9 e Var(X k = 4/8, e la probabilità richiesta è ( /9 p Φ = Φ(.60 = Φ(.60 = /8 ii

5 Esercizio 3. a { k= X k/} è ua sottosuccessioe di { m k= (X k E(X k / m} m, che per il TLC coverge i legge ad ua v.a. N(0, Var(X k = N(0, 4. Allora, il limite richiesto esiste e lim P ( k= ( ( X k > 2 = lim P k= dove Z N(0, 4. Ora, si ha Z/2 N(0,, quidi lim P ( k= X k 2 = P(Z 2 X k > 2 = P(Z 2 = Φ( = = b Posto Y = k= X2 k / per la LGN si ha che Y E(X 2 = 4 q.c. per. Poiché Z := k= X2 k /2 = Y /, allora Z 0 q.c., quidi i probabilità e i legge. Studiamo la covergeza i media, ovviamete a 0: ( E( Z = E = E(Xk 2 = 4 0, Xk 2 k= k= se quidi Z coverge a 0 ache i media. Esercizio 4. a Studiamo la covergeza delle fuzioi caratteristiche: φ X (θ = e iθµ σ2 θ 2 /2 e iθµ σ2 θ 2 /2 =: g(θ, per. Ora, g(θ = φ X (θ, co X N(µ, σ 2. Usado il teorema di covergeza di Lévy, possiamo cocludere che X X i legge. b X = α x + Z 0, co Z 0 N(0, σ 2, quidi X N(α x, σ 2. Poi, X 2 = α X +Z, dove X e Z soo idipedeti e gaussiae. Ma allora X 2 è acora gaussiaa, di media αe(x = α 2 x e variaza α 2 Var(X + Var(Z = α 2 σ 2 + σ 2. L idea quidi è che, per, Ifatti, X + N(α + x, σ 2 ( + α α 2. X + = α X + Z = α(α X + Z + Z = α 2 X + α Z + Z = α 2 (α X 2 + Z 2 + α Z + Z = = α + X 0 + α Z 0 + α Z + + α Z + Z = α + x + α k Z k. k=0 iii

6 Ora, le Z j soo idipedeti di legge N(0, σ 2, quidi k=0 αk Z k è ua gaussiaa di media ulla e variaza σ 2 k=0 α2k. Poi, α + x è solo ua traslazioe, quidi (verificare! X + N(µ +, σ+ 2, dove µ + = α + x σ+ 2 = σ 2 α 2k. Se α <, µ 0 e σ 2 σ 2 /( α 2 per. Usado a, possiamo dire che X coverge i legge ad ua v.a. gaussiaa, di media 0 e variaza σ 2 /( α 2. La probabilità richiesta è P( X <, e per grade si puù stimare come segue: detta X ua v.a. di legge N(0, σ 2 /( α 2, ( X P( X < P( X < = P σ 2 /( α 2 < σ 2 /( α 2 ( = Φ( α 2 /σ Φ α 2 /σ = 2Φ( α 2 /σ Se α = /2 e σ =, si ha ( P( X < 2Φ 3/2 = 2Φ(0.866 = = k=0 Esercizio 5. Z = f(y, co f(y = y 2 e Y = (X + + X /. Ora, usado il TLC, Y Y i legge, co Y N(0, σ 2. Poiché f è cotiua, si ottiee Z f(y = Y 2 i legge: Z coverge i legge ad ua v.a. che è il quadrato di ua N(0, σ 2 (se e calcoli la desità!. Esercizio 6 Poiamo Ŷ = log Y = k= log X k. Le v.a. log X k soo i.i.d. Calcoliamo media e variaza di log X k : E(log X k = E ( (log X k 2 = e log x e 2x e (log x 2 e 2x dx = (log x2 4 dx = (log x3 6 e quidi Var(log X k = /3. Allora, usado la LFGN, e = 0 e e = e 3 Ŷ E(X = 0 q.c. Ora, Y = f(ŷ, co f(x = e x cotiua, quidi Y f(0 = q.c. Ifie, la covergeza q.c. implica la covergeza i legge, quidi per ogi g C b, lim E(g(Y = E(g( = g(. Oppure, basta osservare che W := g(y = g f(ẑ g f(0 = g( =: W q.c. perché g f è cotiua, e W M, co M > 0, perché g f C b. Allora usado DOM segue che lim E(W = E(W = g(. iv

7 Per Z procediamo aalogamete. Poiamo Ẑ = log Z = k= log X k. Le v.a. log X k soo i.i.d. co media ulla e variaza /3: usado il TLC, Ẑ Z i legge, co Z N(0, /3 Ora, Z = f(ẑ, co f(x = e x cotiua, quidi presa g C b, si ha che g(z = g f(ẑ e g f C b. Allora, lim E(g(Z = lim E(g f(ẑ = E(g f(z = E(g(e Z = g(e z e 3 z2 /2 dz. /3 Ifie, osserviamo che i passaggi al log che soo stati fatti soo giustificati dal fatto che le X k soo v.a. positive q.c. v