Esercizi sull estremo superiore ed inferiore

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1 AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sull estremo superiore ed iferiore Esercizio svolto. Dire se i segueti isiemi soo limitati iferiormete o superiormete ed, i caso affermativo, trovare l estremo iferiore o l estremo superiore. Dire se si tratta di miimi o massimi. i) A := { { : N} ; ii) B := + }; { : Z } iii) C := ( ) : N ; iv) D := { ( ) : N} v) E := { x R : x } ad E := { x Q : x } ; vi) F := {x R : x x > }. vii) G := { N : si ( π )}. viii) H := { x : x + x < }. { } 5 ix) I := +3,. { } x) L := : N. Soluzioe. i) Osserviamo che { A := e che } : N = { } : N 0 N. Quidi: A è limitato iferiormete da 0 (ogi k 0 è u miorate per A). I particolare, poiché 0 è u miorate e 0 A, allora 0 = mi A = if A. A è limitato superiormete da (ogi k è u maggiorate per A). Dimostriamo che è il più piccolo dei maggiorati. Sia ε > 0; mostriamo che ε o può essere u maggiorate. Ifatti: > ε > ε. Quidi, per ogi > ε l elemeto > ε e di cosegueza o può essere u maggiorate. Coclusioe: sup A =. Osserviamo che o è u massimo, i quato A (ifatti per ogi N).

2 ALFONSO SORRENTINO ii) Osservare che: + Z. I particolare, è sufficiete dimostrare: + Z. Dimostriamo che vale questa disuguagliaza: + = + Z + Z + 0 Z ( ) 0 Z che è chiaramete vero. Quidi è u maggiorate per B e u miorate. Di cosegueza B è limitato superiormete ed iferiormete. Ioltre, dal mometo che B e B, possiamo cocludere che soo ache il massimo ed il miimo: mi B = if B = e max B = sup B =. iii) Iazitutto osserviamo che ( ) = N. Quidi, ( ) N. Di cosegueze è u miorate ed u maggiorate per C. Ne segue che C è limitato sia iferiormete che superiormete. I particolare, dal mometo che C (basta predere = ) e è u miorate, possiamo cocludere che mi C = if C =. Calcoliamo ora l estremo superiore. Come abbiamo detto è u maggiorate, ma o è il più piccolo dei maggiorate. Ifatti, si dimostra che ache è u maggiorate: Se è dispari, ( ) < 0 < ; Se è pari (i particolare ), allora ( ) = (i quato ). Ioltre, C (basta predere = ), quidi max C = sup C =. iv) Deotiamo d := ( ) = ( ) ( ). Osserviamo che è u maggiorate e è u miorate. Ifatti: d = d. Dimostriamo che si tratta dell estremo superiore e dell estremo iferiore. Dimostriamo che sup D =. Dobbiamo dimostrare che per ogi ε > 0, esiste 0 tale che d 0 ε. Assumiamo che 0 sia pari, per esempio 0 = k 0. Allora, bastera scegliere k 0 i maiera che: d k0 = k 0 k 0 = k 0 > ε k 0 > ε. I maiera simile (cosiderado dispari), si dimostra che if D =.

3 AM0 - A.A. 03/4 3 Osserviamo che o si tratta é di u massimo, é di u miimo. v) Osservare che E := { x R : x } = [, ]. È facile verificare che: mi E = if E = e max E = sup E =. I maiera simile, E := { x Q : x } = [, ] Q = (, ) Q. Si può dimostrare che sup E = e if E =. Questa volta o si tratta é di u massimo, é di u miimo (i quato Q). Dimostriamo ad esempio che sup E = ; la dimostrazioe per l estremo iferiore è speculare. - Ovviamete è u maggiorate: se x E, allora x e quidi x. - Dimostriamo che è il più piccolo dei maggiorati. Sia ε > 0, vogliamo trovare x E tale che x > ɛ. Cosideriamo il seguete isieme: ( ε ) I := ε, (, ) Se I =, allora vuol dire che ε. Quidi, possiamo predere u qualsiasi x E e si avrà x > ε. Se ivece I, allora I sarà u itervallo aperto. Scegliamo quidi u qualsiasi razioale x I e questo soddisferà la relazioe x > ɛ. vi) Si dimostra che F := {x R : x x > } = (, + ). Di cosegueza, if F = (o è u miimo) e sup F = + (l isieme o è limitato superiormete). vii) Osserviamo che = 4 (0, ) + è ua successioe crescete. Quidi, ( π si 4 ) 4 = si + ( π π 4 + Poiché si x è crescete i (0, π ), allora mi G = if G = si π 4 =, metre sup G = (o è u massimo). viii) Si verifica facilmete che x + x < per < x <. Quidi H = [0, ), da cui mi H = if H = 0 e sup H = (o è u massimo). ix) Osserviamo iazitutto che: { = +3 se se > 5 ). è crescete, i quato 5 +3 = Cal- Ioltre, la successioe 5 +3 coliamo esplicitamete i primi termii di I (per 5): I = { 3 5, 3, 7, 0, per > 5 }.

4 4 ALFONSO SORRENTINO Possiamo dedurre che mi I = if I = 0, metre sup I = (o è u massimo). () x) Ovviamete mi L = if L =. Vogliamo calcolare l estremo superiore. Dimostriamo che: per ogi N. Usado () segue facilmete che sup L = +. Dimostriamo (). Si può dimostrare per iduzioe. Per = è triviale. Assumiamo che sia vero per e dimostriamolo per + : dove l ultima disuguagliaza si dimostra facilmete elevado etrambi i membri al quadrato. Esercizio aggiutivo. Dire se i segueti isiemi soo limitati iferiormete o superiormete ed, i caso affermativo, trovare l estremo iferiore o l estremo superiore. Dire se si tratta di miimi o massimi. i) A := { ( ) + : N} ; ii) B := { : Z } ; iii) C := { : N } ; Esercizio svolto. Siao P, A > 0. Cosiderare gli isiemi E := {Area di u rettagolo R t.c. Perimetro(R)=P} F := {Perimetro di u rettagolo R t.c. Area(R)=A}. Trovare l estremo superiore ed iferiore di E ed F e dire se si tratta di massimi o miimi. Soluzioe. Deotiamo co a, b > 0 le lughezze dei lati di u rettagolo R a,b. Possiamo riscrivere gli isiemi E ed F el seguete modo: E := {ab : a + b = P/, a, b > 0} F := {a + b : ab = A, a, b > 0}. Dal mometo che per ogi a, b > 0 si ha ab a + b, allora P P 6 è u maggiorate per E. I particolare, 6 è u elemeto di E (basta predere a = b = P 4, che corrispode al quadrato di perimetro P ), quidi max E = sup E = P 6. Per ogi ε > 0 sufficietemete piccolo, possiamo scegliere lati a = ε e b = P ε; l area del corrispodete rettagolo sarà ab = ε ( P ε) ε P. Questo dimostra che 0 è il più grade dei miorati e quidi if E = 0 (ovviamete o è u miimo). I maiera simile si dimostra che mi F = if F = 4 A (che corrispode al perimetro del quadrato di area A), metre sup F = +.

5 AM0 - A.A. 03/4 5 Esercizio svolto 3. Sia A u isieme limitato superiormete. Defiiamo A := { a : a A}. Dimostrare che if A = sup( A). Soluzioe. Deotiamo l = if A. Segue dalla defiizioe di estremo iferiore che: a) l a per ogi a A; a) per ogi m > l, esiste u elemeto ā A tale che m > ā. Dimostriamo che l è l estremo superiore di A: segue da (a) che l a per ogi a A; sia M < l; si cha che M > l, quidi segue da (a) che esiste ā A tale che M > ā. Di cosegueza M < ā e ā A, quidi M o può essere u maggiorate. Questo dimostra che l è il più piccolo maggiorate per A e quidi è l estremo superiore. Esercizio svolto 4. Sia A u isieme limitato. Si defiisca il diametro di A el seguete modo: diam A := sup{ x y : x, y A}. Dimostrare che diam A = sup A if A. Soluzioe. Siao x, y A. Possiamo assumere che x y (altrimeti basta ivertire i ruoli). Segue dalla defiizioe di estremo superiore ed iferiore che sup A x e if A y. Quidi: sup A if A x y = x y x, y A. Quidi sup A if A è u maggiorate dell isieme { x y : x, y A}. Poiché l estremo superiore è il più piccolo dei maggiorati, otteiamo: sup A if A sup{ x y : x, y A} =: diam A. Vogliamo dimostrare ora che sup A if A diam A. Suppoiamo per assurdo che sup A if A > diam A. Quidi esiste ε > 0 tale che: () diam A < sup A if A ε = (sup A ε) (if A + ε). Segue dalla defiizioe di sup ed if che: x A tale che sup A ε < x e ȳ A tale che if A + ε > ȳ. Quidi sostituedo ella disuguagliaza () ottieiamo: diam A < (sup A ε) (if A + ε) < x ȳ x ȳ diam A, che è ua chiara cotraddizioe. Questo coclude la dimostrazioe che diam A sup A if A. Esercizio svolto 5. Dimostrare che ogi isieme fiito ha u massimo ed u miimo. Soluzioe. Sia A = {a,..., a } R. Dimostriamo che A ha u massimo (si procede i maiera aaloga per il miimo). Iazitutto, A è limitato superiormete. Se così o fosse, ifatti, per ogi M R dovrebbe esistere u elemeto di A maggiore di M. Partedo da b 0 = a, si potrebbe scegliere b A tale che b > b 0. Iterado l argometo si otterrebbe

6 6 ALFONSO SORRENTINO ua successioe di elemeti b A tale che b > b. Questi elemeti sarebbero ovviamete distiti, e ciò cotraddirebbe il fatto che A è u isieme fiito. Sia S = sup A. Vogliamo dimostrare che si tratta di u massimo, cioè che S A. Suppoiamo per assurdo che S A. Quidi δ i := S a i > 0 per ogi a i A; scegliamo u ε < δ i per ogi i =,...,. Segue dalla defiizioe di estremo superiore che S ε o può essere u maggiorate, quidi esiste a j A tale che S ε a j. Quidi: S ε a j δ j = S a j < ε che è chiaramete ua cotraddizioe (avevamo scelto ε < δ i per ogi i =,..., ). Questo coclude la dimostrazioe che S A e quidi si tratta di u massimo. Esercizio svolto 6. Siao A e B due isiemi. Defiiamo Dimostrare che: A + B := {a + b : a A, b B}. i) se A e B soo limitati superiormete, allora ache A + B lo è e si ha: sup(a + B) = sup A + sup B. ii) Se A e B soo limitati iferiormete, allora ache A + B lo è e si ha: if(a + B) = if A + if B. Soluzioe. Dimostriamo soltato (i); la dimostrazioe di (ii) è aaloga. Sia α = sup A e β = sup B. Vogliamo dimostrare che α + β è l estremo superiore di A + B. Ifatti: α + β è u maggiorate per A + B. Ifatti, α è u maggiorate per A e β è u maggiorate per B, quidi: α + β a + b a A, b B. Dimostriamo che α + β è il più piccolo dei maggiorati per A + B. Sia ε > 0, dimostriamo che α + β ε o può essere u maggiorate. Ifatti: α + β ε = (α ε ) + (β ε ) a + b a A, b B. Nell ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che α è il più piccolo dei maggiorati per A (quidi esiste a A tale che α ε a) ed i maiera aaloga che β è il più piccolo dei maggiorati per B (quidi esiste b B tale che β ε b). Esercizio svolto 7. Dimostare che ogi poliomio di terzo grado ha almeo ua radice reale. Soluzioe. Possiamo assumere che il poliomio sia della forma P (x) = x 3 + ax + bx + c, co a, b, c R. È sufficiete dimostrare che esistoo s < t tali che P (s) < 0 e P (t) > 0. Dimostriamo l esisteza di s tale che s 3 + as + bs + c > 0. I particolare, possiamo cercare tale valore el semi asse positivo s > 0. Si osservi che se s > a, allora: s 3 + as + bs + c = s s + as + bs + c > ( a) s + as + bs + c = = s + bs + c.

7 AM0 - A.A. 03/4 7 Se assumiamo che s > b, si ottiee: s + bs + c > ( b)s + bs + c = s + c. I particolare, se s > c si avrà s + c > 0. I coclusioe: se s > max{0, a, b, c} = P (s) > 0. Dimostriamo ora l esisteza di t tale che P (t) < 0. Vogliamo trovare u valore di t per cui t 3 +at +bt+c < 0. I particolare, possiamo cercare tale valore el semi asse egativo t < 0. Si osservi che, se t < a, allora t 3 + at + bt + c = t t + at + bt + c < ( a)t + at + bt + c = = t + bt + c. Se assumiamo che t < b, si ottiee: t + bt + c < (b )t + bt + c = t + c. I particolare, se t < c si avrà t + c < 0. I coclusioe: se t < mi{0, a, b, c} = P (t) < 0.