ANALISI I. Note del corso tenuto dal Prof. Umberto Massari. Corso di Laurea Triennale in Chimica. Anno Accademico I NUMERI REALI

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1 ANALISI I Note del corso teuto dal Prof. Umberto Massari Corso di Laurea Trieale i Chimica. Ao Accademico 7-8 I NUMERI REALI L argometo cetrale di questo corso di Aalisi I è lo studio delle pricipali proprietà dei umeri reali e di alcue proprietà elemetari delle fuzioi reali di variabile reale. Seguedo la liea dei più receti libri che trattao questo argometo, ache i questo corso, l isieme dei umeri reali verrà itrodotto i via assiomatica. Verrà supposto cioè che esista u isieme, che idicheremo co la lettera R e che chiameremo l isieme dei umeri reali, co tutte le proprietà che verrao elecate co sufficiete precisioe e che soo, i fodo, le proprietà dei umeri che già i parte soo ote. La costruzioe di R a partire dall isieme dei umeri razioali, che può essere fatta i diversi modi e che forse qualche studete può aver già visto ella scuola media superiore, è, i ogi caso, luga e laboriosa e richiederebbe troppo tempo. Pertato i questo corso o verrà fatta. Noi supporremo quidi che i umeri reali esistao. Quello che faremo ora è fare u eleco abbastaza dettagliato delle loro pricipali proprietà.. Le proprietà dei umeri reali Elecheremo i questo paragrafo le pricipali proprietà dell isieme dei umeri reali, suddividedo tale eleco i tre parti: i) Proprietà delle operazioi, ii) Proprietà dell ordiameto, iii) Proprietà di completezza. i) - Proprietà delle operazioi Soo defiite i R due operazioi + più ) e per ) che hao le segueti proprietà: a) Proprietà commutativa: a, b R a + b = b + a ; a b = b a ; b) Proprietà associativa: a, b, c R a + b) + c = a + b + c) ; a b) c = a b c) ; c) Proprietà distributiva: a, b, c R a b + c) = a b + a c ;

2 d) Esisteza degli elemeti eutri: esistoo i R due umeri e tali che e) Esisteza dell opposto e dell iverso: ii) - Proprietà dell ordiameto a + = a, a = a a R ; a R a R tale che a + a) =, a R a a R tale che a a =. Esiste i R ua relazioe di ordie totale che idicheremo co e chiameremo relazioe di miore o uguale co le segueti proprietà: a) Dicotomia: b) Proprietà atisimmetrica: c) Proprietà trasitiva: a, b R risulta o a b o b a ; a, b R se a b e b a a = b ; a, b, c R se a b e b c a c ; d) Legame tra e + più): e) Legame tra e per): a, b, c R se a b a + c b + c ; a, b, c R se a b e c a c b c. iii) - Proprietà di completezza se Siao A e B due sottoisiemi di R. Diremo che A e B formao ua coppia di isiemi separati a A e b B risulta a b La proprietà di completezza di R afferma che se A e B è ua coppia di isiemi separati, allora esiste u umero reale c tale che: a c b a A e b B. Il umero reale c viee chiamato elemeto di separazioe tra A e B. A parole potremo quidi euciare la proprietà di completezza di R affermado che ogi coppia di isiemi di umeri reali, che siao separati, ammette u elemeto di separazioe. Osservazioe Nel seguito useremo ache i simboli, <, > che chiameremo rispettivamete maggiore o uguale, miore e maggiore, itededo rispettivamete che a, b R a b b a, a < b a b e a b, a > b b < a. Dalle proprietà delle operazioi e dell ordiameto che abbiamo appea ricordato, si possoo ricavare tutte le regole del calcolo letterale che verrao usate ella risoluzioe degli esercizi. Alcue tra le più importati soo le segueti:

3 a) Legge di cacellazioe rispetto alla somma e al prodotto) a, b, c R se a + b = a + c b = c ; a, b, c R, a se a b = a c b = c ; b) Legge di aullameto del prodotto) a, b R se a b = o a = o b = ; c) Uicità dell opposto e dell iverso di u umero reale) L opposto di u umero reale è uico. L iverso di u umero reale è uico. d) a, b R, risulta: a) b = a b ; a) b) = a b ; e) a R: a > a < ; a > a > ; f) a R, a a > ; g) a, b R a b a b. h) Regola dei segi) a, b R, risulta a b { a b oppure { a b a b { a b > oppure { a b <. Alcui esercizi Applichiamo ora le proprietà dell ordiameto che abbiamo ricordato sopra per studiare alcue diseguagliaze. Vogliamo mettere prima i risalto u fatto che può causare errori egli esercizi e cioè che l implicazioe a b a c b c è vera soltato se c, metre se a b e c a c b c e o a c b c.. Determiare l isieme: Risulta A = { } x R ; x + x > x + x + x > x + x + x + x x + > x + 4 x x > Ora l ultimo quoziete è positivo se e solo se { x + 4 > x > oppure { x + 4 < x < ) 3

4 ossia se e solo se { x < 4 x > oppure Siccome le ultime due richieste soo icompatibili, risulta: { x > 4 x < A =, 4) = {x R; < x < 4 }. NOTA BENE Il seguete modo di risolvere questo esercizio è sbagliato. x + x > x + x + > x + x x x < 4 Nel primo passaggio ho moltiplicato la disuguagliaza da studiare per x, mateedo sempre tra i due membri della disuguagliaza stessa il sego di >, cosa sbagliata se x <.. Determiare l isieme: Risulta: A = { x x R ; x + > x + } x x x + > x + x x x x x x > 4 x x + )x ) x + )x ) > x + x + )x ) < Studiado separatamete il sego del umeratore e del deomiatore, risulta : Numeratore Deomiatore ) Ne deriva che l isieme A cotiee i puti dove il sego di umeratore e deomiatore soo discordi, ossia A =, ), ). 3. Determiare l isieme: Risulta: A = { x R, x + x + x + } x > x + x + x + x + )x ) + x )x + ) x )x ) > > x x )x ) Sviluppado il umeratore, risulta: 3) Si ottiee pertato: x x + x + x + x x x + 4 x + x 4 = 6 x 8 x + x + x + x > 6 x 8 x )x ) > Studiado separatamete il sego del umeratore e del deomiatore, risulta : Numeratore Deomiatore Ne deriva che l isieme A cotiee i puti dove il sego di umeratore e deomiatore soo cocordi, ossia A =, 4/3), + ). 4

5 4. Determiare l isieme: Risulta: A = { x R, x + 3 x x + } x + x + 3 x x + x + x + 3 x x + x + = = x + x + 3 x + 6 x x + x ) x )x + ) = 6 x + 8 x )x + ) Studiado separatamete il sego del umeratore e del deomiatore, risulta : 4) Numeratore Deomiatore Pertato si ha: A =, ) [ 43 ),.3 Esercizi proposti Determiare: C = { A = x R ; x 3 } x + 3 { } x R ; x + x > x E = La soluzioe si trova alla fie del Capitolo) { x R;, B =, D = { x R ; x + 6 { x R; x x + x + 4 x 3 x + > x + }, x 3 x + 3 x + x + } x }.,.4 Ua cosegueza della proprietà di completezza di R: esisteza della radice quadrata di u umero o egativo Ua cosegueza molto importate della proprietà di completazza di R è l esisteza della radice quadrata di ogi umero o egativo. Vale ifatti il seguete: Teorema. a R a uico b R b tale che b = a. Questo uico b verrà idicato col simbolo a e chiamato la radice quadrata di a. Dimostrazioe. Suppoiamo a >. Idichiamo co: A = { x R ; x >, x a } Verifichiamo che A e B soo separati. Ifatti: B = { y R ; y >, a y } se x A e y B x a y x y x y)x + y). Siccome x + y >, e deriva che x y, ossia x y. Esiste allora, per la proprietà di completezza, u umero reale b che separa A e B, cioè tale che: x b y x A e y B 5

6 Verifichiamo che deve essere b = a, ragioado per assurdo. Primo caso. Suppoiamo che sia b < a. Se idichiamo co ε u umero tra e < ε < ), abbiamo: b + ε) = b + b ε + ε < b + b ε + ε Abbiamo usato il fatto che se ε, ), allora ε < ε). Pertato se ε, ) è scelto i modo tale che b + ε b + ) a, ossia se ε a b + b, 5) allora risulta b + ε) < a da otare che, siccome stiamo suppoedo b < a, il quoziete a secodo membro della 5) è positivo ). Ne deriva quidi che il umero x = b + ε A, ifatti b + ε > e b + ε) < a. Ioltre risulta x = b + ε > b e questo cotrasta col fatto che b è elemeto di separazioe tra A e B, i particolare col fatto che deve essere x b x A. Secodo caso. Suppoiamo che sia b > a. Idicado i questo caso co ε u umero tra e b, si avrebbe b ε > e b ε) = b b ε + ε > b b ε Pertato se ε è scelto i modo che b b ε a, ossia se ε b a b, 6) risulta b ε) > a da otare che ache i questo caso, il secodo membro della 6) è positivo ). Pertato il umero y = b ε B e y = b ε < b, cotro il fatto che b è elemeto di separazioe tra A e B, i particolare col fatto che deve essere b y y B. Deve quidi essere b = a. Verificare ifie, per esercizio, che il umero b co la proprietá ora trovata b = a) è uico. q.e.d. Cocludiamo questa parte sui umeri reali, ricordado le diseguagliaze di secodo grado. Diseguagliaze di secodo grado Determiare: A = {x R ; a x + b x + c > } dove a, b, c R soo umeri fissati co a >. Se idichiamo co = b 4 a c, allora: i) se >, posto: risulta A =, x ) x, + ) ; x = b a e x = b + a, ii) se =, allora posto si ottiee A = {x R ; x x }, x = b a iii) se ifie <, si ottiee A = R. 6

7 Ifatti, completado il quadrato, si ottiee: [ a x + b x + c = a x + b a x + c ] [ = a x + b ) ] b a a 4 a + c = a Si ottiee quidi il risultato sopra euciato..5 Alcui altri esercizi. Determiare: Risulta: [ = a x + b ) ] b 4 a c a 4 a A = { x R ; x + x + x + } x 3 x + x + x + x 3 x + )x 3) x + ) x + )x 3) x + )x 3) Sviluppado il umeratore, ottego: e quidi: x 3 x + x 3 x 4 x 4 x + 3 x x + 6 = x 5 x Ora il umeratore si aulla ei due puti Osservado ifie che x + x + x + x 3 x + 5 x + x + )x 3) x = 5 il sego di umeratore e deomiatore è dato da:, x = 5 + x < < x < Numeratore x x Deomiatore Possiamo quidi cocludere che. Determiare A = A = [x, ) [x, 3) { x R; x + } x + x + 4 Osserviamo i primo luogo che x + x + 4 > diseguagliaza è verificata. Pertato x R e che se x + <, ossia se x <, la, ) A. D altra parte se x +, ossia se x, si ha x + x + x x + 4 x + x + x + 4 7

8 Ora l ultima diseguagliaza è verificata se 3 x + 3 x 3 x + x 5 x + 5. Teedo coto che sto suppoedo che x, possiamo cocludere che A =, ) [, + ] 5 =, + ] Determiare A = { x R ; x } x x + Osserviamo i primo luogo che deve essere x x + ossia x x. Pertato deve essere x [, ]. Osserviamo ora che, se x < ossia se x >, la diseguagliaza è verificata e quidi ], A. D altra parte se x ossia se x, si ha x x x + 4 x + 4 x x x + 5 x 5 x Ora l ultima diseguagliaza è verificata se Notado ifie che possiamo cocludere che A = x > e [ 5 3 ] 5,.. >, 4. Determiare A = { x R ; x x x } Osserviamo i primo luogo che deve essere x x ossia x, ] [, + ). Osserviamo ifie che deve essere ache x. Ifatti, i caso cotrario la diseguagliaza o è verificata. Co queste itazioi risulta: x x x x x x x + 4 Osserviamo ifie che le radici dell ultimo poliomio di secodo grado soo: x = 8 3 Siccome x >, possiamo cocludere che A = [, x ]. e x = x x 9 8

9 5. Sia λ u parametro reale, idichiamo co A λ = { x R; x x + λ > } Determiare A λ al variare di λ R. Risulta λ) = 4 4 λ e quidi se λ >, λ) <, e deriva allora che A λ = R. D altra parte se λ =, la disuguagliaza diveta x x + = x ) > e quidi A = {x R, x }. Ifie se λ <, λ) > e quidi posto x λ) = λ, x λ) = + λ risulta A λ =, x λ)) x λ), + ). 6. Per quali valori di b R, l equazioe ella icogita x ): ammette almeo ua soluzioe? Ricordado che x + x + > x R, risulta x + x + x + = b x + x + x + = b b x + b ) x + b = Ora, se b =, l equazioe otteuta o è di secodo grado, ma di primo e diveta: x =, che ha l uica soluzioe x =. Se b, l equazioe ha soluzioi se e solo se b) = b ) 4 b b ) ossia b )b 4 b) = b ) 3 b ). I coclusioe b) b [ 3 ], L equazioe iiziale quidi ha almeo ua soluzioe se e solo se b [ 3, ]. 7. Determiare: Osserviamo che, posto A = {x R; x 3 4 x + 3 > } px) = x 3 4 x + 3 risulta p) =. Pertato il poliomio di terzo grado px), per il Teorema di Ruffii, è divisibile per x. Facedo la divisioe, risulta: x 3 + x 4 x + 3 x 3 + x Possiamo quidi cocludere che x 4 x + 3 x + x 3 x x 3 x x + x 3 x 3 4 x + 3 = x )x + x 3) 9

10 Studiado il sego dei due fattori, si ottiee: Primo fattore x x Secodo fattore dove Da otare che x >. Ifatti x = 3 e x = + 3. Possiamo quidi cocludere che.6 Esercizi proposti x > + 3 A = Determiare i segueti isiemi: { x + A = x R; x x 3 } x + C = { x R; x + x + x 3 La soluzioe si trova alla fie del Capitolo). > 3 > 3 3 > 9 ). ) 3 + ) 3,, +, B = } x +, D = { x R; } x + ) x) x { x R; x + )x ) x + 3 }.,.7 Particolari sottoisiemi di R L isieme dei umeri reali cotiee come sottoisiemi alcui altri isiemi umerici che useremo spesso el seguito e che quidi vogliamo mettere i risalto. L isieme N dei umeri aturali: N = {,, 3,...}. L isieme Z dei umeri iteri relativi: Z = {, ±, ±, ±3,...}. L isieme Q dei umeri razioali: Q = { } p q ; p Z, q N. Ricordiamo brevemete che ogi umero razioale si può rappresetare i ifiiti modi come ua frazioe, ifatti se p q = p q p, p Z, q, q N si ha r = p q = p q

11 È possibile ioltre rappresetare u umero razioale r come frazioe p q ossia privi di fattori comui oltre ). È evidete che risulta e che l iclusioe è stretta. N Z Q R co p e q umeri primi tra loro, Verifichiamo per esempio che Q è u sottoisieme proprio di R provado che / Q. Suppoiamo ifatti, ragioado per assurdo, che esista u umero razioale r co r =. Possiamo rappresetare r come p q co p, q N e p e q primi tra loro. Risulta duque: r = p q = p = q Ne deriva quidi che p è u umero pari, ma allora ache p è u umero pari, ossia p = p. Otteiamo allora p = 4 p = q q = p Se e coclude che q è pari e quidi che ache q è pari. Ma se p e q soo etrambi pari o soo primi tra loro come avevamo supposto all iizio e questo porta ad ua cotraddizioe. Esercizio Verificare che l isieme Q dei umeri razioali o ha la proprietà di completezza. I particolare verificare che i due sottoisiemi di Q: A = {r Q; r >, r } B = {s Q; s >, s } soo separati, ma o esiste i Q essu elemeto di separazioe. Suggerimeto. Verificare che se esistesse tale elemeto di separazioe c Q dovrebbe essere c = ).8 Estremo superiore ed estremo iferiore di u isieme Fodametale i tutto il corso di Aalisi I sarao i cocetti di estremo superiore ed estremo iferiore di u isieme. Comiciamo col dare alcue defiizioi preiari. Defiizioe. Defiizioe di massimo e miimo elemeto di u isieme) Diremo che m R è il massimo di u isieme A se m A e a m a A. Diremo similmete che m R è il miimo di u isieme A se Useremo rispettivammete le otazioi m A e m a a A. max A e mi A per idicare il massimo e il miimo elemeto di A, quado questi umeri esistoo. Da otare il fatto, come vedremo co semplici esempi, che u isieme A può o avere massimo o miimo o è massimo e è miimo. Ad esempio: i) se A =, ) = {x R ; < x < }, A o ha è massimo è miimo;

12 ii) se allora m = A = { } + ; N è il miimo di A, metre A o ha massimo verificare queste affermazioi per esercizio); iii) ifie se A = [, ] = {x R ; x }, allora A ha massimo e miimo e = mi A, = max A. Defiizioe. Defiizioe di maggiorate e di miorate) Diremo che u umero b R è u maggiorate di A se a b a A. Aalogamete diremo che u umero d R è u miorate di A se d a a A. Se esiste almeo u maggiorate di A, diremo che A è superiormete itato, metre se esiste almeo u miorate di A, diremo che A è iferiormete itato. NOTA BENE È iteressate otare che, se le proprietà ora defiite vegoo espresse mediate i quatificatori matematici ed, allora la egazioe di tali proprietà si può esprimere scambiado formalmete i due quatificatori. Ifatti A è superiormete itato se b R tale che a A a b. A o è superiormete itato se b R a A co a > b. Aalogamete b R è u maggiorate di A se a A a b. b R o è u maggiorate di A se a A co a > b. Alcui esempi. Verificare che l isieme A = { } x + x + x + 3 ; x R è superiormete itato. Osserviamo che dalla defiizioe si ha che l isieme A è superiormete itato se b R tale che x + x + x + 3 b x R Osserviamo preiarmete che, siccome per x = la frazioe cosiderata assume il valore /3, se u b co le proprietà richieste esiste deve essere b /3. Risulta, essedo x + x + 3 > x R: x + x + x + 3 b x + b x + b x + 3 b b x + b ) x + 3 b Pertato la diseguagliaza di parteza è vera x R se e solo se b) = b ) 4 b 3 b ). Ossia se e solo se b b e questo vele se e solo se b b = + 3 Allora b è maggiorate l isieme A se e solo se b b.

13 . Verificare che l isieme B = { } x + x x ; x R, x o è superiormete itato. Sia b R u umero positivo, allora x + x x > b x + x > x + b 4x + x) > x + x b + b 3 x + b) x b > Il delta dell ultimo poliomio di secodo grado è dato da : Pertato, qualuque sia b >, la diseguagliaza è verificata x R co b) = 4 b) + b > x + x x > b x > b) + b) 6 Ne deriva quidi che B o è superiormete itato. Da otare che u modo, forse più semplice, per otteere lo stesso risultato poteva essere quello di otare che: x + x x x x = x x. 3. Dire se l isieme: C = { } x x ; x R x è itato iferiormete. Proviamo a verificare che C o è itato iferiormete, ossia proviamo a verificare che d R la diseguagliaza x x < d ha almeo ua soluzioe. Possiamo supporre che sia d <, allora risulta: Osserviamo ora che il umeratore si aulla i Pertato se d <, la disuguagliaza Pertato C o è iferiormete itato. 4. Dire se l isieme: x x < d x d x + d d)x + d < < x x d d = d = d d < x x < d è verificata x ) d d, { } x D = x x + 3 ; x R è itato superiormete. Proviamo a verificare che D o è itato superiormete, ossia proviamo a verificare che b R la diseguagliaza x x x + 3 > b 3.

14 ha almeo ua soluzioe. Possiamo supporre che sia b >. Risulta: x x x + 3 > b b x b x + 3 b x + = b x b + )x + 3 b + < Ora questa ultima disequazioe ha almeo ua soluzioe se e solo se b) = b + ) 4 b3 b + ) = 4 b + 4 b + b 8 b = 8 b + 4 b ) > Ora il poliomio di secodo grado trovato ha come radici: e quidi b) > se e solo se b = b = 3 4 3, + ) Ne deriva, i particolare, che se b > + 3 4, la diseguagliaza o ha soluzioi e quidi x x x + 3 > b x x x + 3 b x R e quidi b è u maggiorate di D e D è superiormete itato. e b = Verificare che l isieme { } E = x + x x ; x R, x è superiormete itato. Sia b R u umero positivo, allora x + x x b x + x x + b x + x x + x b + b b) x b Siccome per b = / la diseguagliaza si riduce all idetità /4, si ottiee che b = / è u maggiorate dell isieme E. Si può vedere ache facilmete farlo per esercizio) che / è il più piccolo dei maggiorati. Vale il seguete Teorema. Se A R è u isieme superiormete itato, allora l isieme B dei maggiorati di A ha u elemeto miimo. Tale elemeto miimo verrà idicato col simbolo sup A e chiamato l estremo superiore di A. Dimostrazioe. La coppia di isiemi A e B è separata, ifatti se a A e b B si ha che a b essedo b u maggiorate di A ). Allora per la proprietà di completezza di R, esiste c R tale che i) a c a A, ii) c b b B. 4

15 La i) dice che c è u maggiorate di A e quidi c B, la ii) dice che c = mi B. L estremo superiore è caratterizzato dalle segueti proprietà. q.e.d. Proprietà caratteristiche dell estremo superiore Sia c R, allora c = sup A se e solo se: i) a c a A ; ii) ε R, ε >, a A co a > c ε. Cosideriamo ora qualche esempio.. Sia Verificare che sup A =. i) La prima verifica da fare è vedere se { + A = + } ; N Risulta N. + + Pertato la diseguagliaza cosiderata vale N. ii) Si tratta di verificare che, se ε R, ε >, allora la diseguagliaza ella variabile N ) ammette almeo ua soluzioe. Risulta > ε > ε + > + ε ε ε + ε > Ora il delta dell ultimo poliomio di secodo grado è dato da ε) = 4 ε ε ) Pertato, supposto ε <, risulta ε) > e quidi la diseguagliaza di parteza è vera N, co. Sia A = > + ε) ε { } x + x + ; x R Dire se A è itato superiormete e, i caso affermativo, calcolare sup A. Ricordiamo che b R è u maggiorate dell isieme A se x + x + b x R Studiamo ora questa diseguagliaza osservado che possiamo supporre b > i effetti se poiamo x =, otteiamo che deve essere b ). Ora x + x + b b x x + b 5

16 Ricordiamo ora che l ultima diseguagliaza è vera x R se e solo se b) = 4 bb ) ossia 4 b 4 b Pertato deve essere b, ] [ + ), + Ricordado che b, si ricava che b è u maggiorate di A se e solo se [ + ) b, + Allora, ricordado che sup A è il più piccolo dei maggiorati di A, si ha sup A = + Verifichiamo per cocludere che + è ache il massimo di A, facedo vedere che + A, ossia che l equazioe x + x + = + ammette almeo ua suluzioe. Ifatti risulta x + x + = + x + ) = + )x + ) + ) x x + = Ifie, essedo 4 = ) + ) =, otteiamo che l equazioe cosiderata ammette l uica soluzioe x = + = I maiera simile alla dimostrazioe del Teorema., si può dimostrare il seguete: Teorema.3 Se A R è u isieme iferiormete itato, allora l isieme dei miorati di A ha u massimo. Il massimo dei miorati di A verrà idicato co if A e chiamato l estremo iferiore di A. L estremo iferiore è caratterizzato dalle segueti proprietà: Proprietà caratteristiche dell estremo iferiore Sia d R, allora d = if A se e solo se: i) d a a A; ii) ε R, ε >, a A co a < d + ε. 6

17 .9 Alcui esercizi sull estremo superiore e sull estremo iferiore. Sia A = { ; N } Verificare che if A = e dire se = mi A. Risulta Pertato il umero verifica la prima proprietà caratteristica dell estremo iferiore. D altra parte se ε >, ottego < + ε < + ε) + ) [ + ε) ] + [ + ε) ] 5 > Siccome il coefficiete di : + ε) = ε + ε è positivo e ε) >, ottego che la diseguagliaza otteuta è verificata se > [ + ε) ]) + ε) + ε) Pertato verifica ache la secoda proprietà caratteristica dell estremo iferiore. Osserviamo ifie che / A e quidi A o ha miimo.. Sia { } x + A = x ; x R, x > Verificare che A o è superiormete itato, che è iferiormete itato e if A =. Si tratta di provare che b R, la diseguagluiaza ha sempre almeo ua soluzioe x >. Essedo x + x > b x + x > x R x >, possiamo supporre che sia b > altrimeti, se fosse b, avrei Ottego quidi x + x > b x > ) x + x > b x + b x + b > essedo x > ) b ) x < + b x essedo b > ) x < + b b Notiamo ifie che + b b = + b = + b b > Possiamo cocludere quidi che se < x < + b, la diseguagliaza x + x > b è verificata. Ifie per verificare che if A =, avedo già otato che verifica la prima proprietà caratteristica dell estremo iferiore, basta pravare che verifica ache la secoda. Sia duque ε R co ε >, risulta allora, se x > : x + x < + ε x + < x + ε x ε ε x > + ε x > + ε ε E quidi verifica ache la secoda proprietà caratteristica dell estremo iferiore.. 7

18 + = 3. Sia { } A = + ; N Calcolare sup A e if A. Ricordiamo che b R è u maggiorate di A se e solo se + b, N Essedo la differeza + sempre positiva, posso supporre b >. Pertato: + b + + b + + b + b b) b Siccome si richiede che la diseguagliaza sia verificata N, deve essere b ossia b /. Se e coclude che b R è maggiorate di A se e solo se b /. Pertato sup A = /. Da otare che / / A i quato l equazioe i N : o ha soluzioi. Per quato riguarda l estremo iferiore dell isieme A, possiamo osservare che d R è miorate dell isieme A se e solo se + d, N Suppoedo ache i questo caso d >, ottego: + d + + d + d d) d Deve essere allora d > e d d Siccome si richiede che la diseguagliaza sia verificata N, deve essere Risolvedo l ultima diseguagliaza si ha: d < e d d d d d + d Le radici del poliomio di secodo grado trovato soo d = e d = +. Risulta pertato che d R è u miorate se e solo se d e quidi if A =. Da otare ifie che A i quato è il valore che si ottiee dall espressioe + per =. Possiamo quidi cocludere che = mi A. 4. Dire se l isieme: { } A = + 7, N é itato superiormete e i caso affermativo calcolare sup A. Teedo coto che gli elemeti di A soo positivi, u umero b > è u maggiorate se e solo se + 7 b N Ora + 7 b b b + b 7 b) b 8

19 Ora se 7 b =, ossia se b = 7/, la disuguagliaza diveta 49/4 e quidi b = 7/ è u maggiorate. Ifie se b < 7/, allora 7 b > e quidi la disuguagliaza di parteza è verificata se e solo se b 7 b e quidi o è verificata per ogi N. Pertato sup A = 7/. Osserviamo ifie che 7/ A, ifatti Pertato l isieme A o ha massimo. 5. Sia + 7 = = = 49 4 A = { x } + x x x +, x R, x Calcolare sup A e if A. Verifichiamo che sup A = +, ossia che l isieme A o è superiormete itato. Ifatti sia b R u umero co b >, allora: x + x x x + > b x + x > b x b x + b b ) x b + ) x + b + < Siccome b) = b + ) 4 b )b + ) = 4 b + 4 b + 4 b + 4 = 4 b + 5 > risulta che la diseguagliaza cosiderata è verificata se b + b) x, b + + ) b) b ) b ) D altra parte d R, d < è u miorate l isieme A se e solo se Risulta x + x x x + d x R, x x + x x x + d x + x d x d x + d d) x + + d) x + d) Siccome d) = + d) 4 + d) d) = d, la diseguagliaza cosiderata vale per ogi x se e solo se d) ossia se e solo se d 5/4. Possiamo quidi cocludere che if A = 5 4 Da otare che 5/4 è ache il miimo elemeto dell isieme A. 6. Sia A = { x + x + x, x R} Verificare che if A = /. Verifichiamo che / verifica le proprietá caratteristiche dell estremo iferiore, ossia che: a) x + x + x x R b) ε R, ε >, x R co x + x + x < + ε 9

20 Risulta x + x + x x + x + x + = x + Osserviamo ifie che se x + / < la diseguagliaza precedete é verificata, metre se x + /, risulta x + x + x + x + x + x + x Pertato la a) é verificata. D altra parte: x + x + x < + ε x + x + < x + + ε Deve quidi essere x + + ε, ossia x ε e i questo caso risulta, elevado al quadrato: x + x + x < + ε x + x + < x ε + x + + ε x + ε Quidi l ultima diseguagliaza é equivalete a ε x > 7 4 ε ε x > 7 4 ε ε ε Pertato é verificata ache la proprietá b) e / = if A. 7. Sia A = { } x + 3 x ), x R, x Calcolare if A e sup A. Essedo l estremo iferiore il piú grade dei miorati, cerchiamo di determiare l isieme dei miorati. Dalla defiizioe u umero d R é u miorate se e solo se: x + 3 x ) d x R, x Siccome la frazioe da studiare assume valori ache egativi, possiamo supporre che sia d <. Si ottiee: x + 3 x ) d x + 3 dx x + ) d x + d + )x + 3 d Affiché l ultima diseguagliaza sia vera per ogi x, deve essere d) ossia d) = d + ) + 4 d3 d) = 4 d + 4 d + + d 4 d = 6 d + Pertato d) d /6. Ne segue che /6 é l estremo iferiore dell isieme A. Osserviamo che /6 A i quato si ottiee dalla frazioe cosiderata per x = 7, pertato /6 = mi A. D altra parte l isieme A o è superiormete itato. Ifatti se b R é u umero positivo, risulta: x + 3 x ) > b x + 3 > bx x + ) b x b + )x + b 3 < Affiché l ultima diseguagliaza ammetta almeo ua soluzioe deve essere b) ed essedo b) = b + ) 4 bb 3) = 4 b + 4 b + + b 4 b = 6 b + risulta b) > e la diseguagliaza iiziale é verificata solo se b + 6 b + b < x < b b + b

21 . Esercizi proposti. Sia A = { + 3 ; N } Verificare che if A = e sup A = max A =.. Sia A = { + ; N } Dire se A è itato superiormete e, i caso affermativo, calcolare il sup A. 3. Sia Verificare che if A =. 4. Sia A = { ; N } { } A = + + ; N Calcolare sup A e if A e dire se soo massimo e miimo di A. 5. Dire se l isieme A = { } 3 x x + x + 3, x R è itato superiormete e i caso affermativo calcolare sup A. La soluzioe si trova alla fie del capitolo).. Alcui complemeti Useremo i questo paragrafo le proprietà caratteristiche dell estremo superiore ed iferiore per otteere alcue proprietà dei umeri che, qualche volta, useremo el seguito. a) Proprietà archimedea dei umeri reali Siao a, b due umeri reali positivi, allora esiste N tale che a > b. Dimostrazioe Suppoiamo, ragioado per assurdo, che esistao due umeri reali positivi a, b tali che a b N. Allora l isieme A = { a ; N } sarebbe itato superiormete. Idichiamo co c = sup A e ricordiamo che: i) a c N ; ii) ε R co ε > N co a > c ε. Applicado ifie la secoda proprietà co ε = a, si otterrebbe u aturale co a > c a e quidi + ) a > c e questo è i cotrasto co la prima proprietà caratteristica dell estremo superiore i quato + ) a A. b) Se A N è diverso dal vuoto, allora A ha u elemeto miimo. Dimostrazioe Esercizio Basta dimostrare che m = if A A).

22 c) Q è deso i R, ossia a, b R co a < b, r Q co a < r < b. Dimostrazioe Possiamo supporre a < b. Per la proprietà archimedea dei umeri, esiste N co b a) >. Idichiamo ora co A = {k N ; k b} Sempre per la proprietà archimedea A. Sia m = mi A. Essedo risulta m ed ioltre m b e m m < b a b < b perchè m A e m / A. D altra parte = m > b b a) = a Pertato il umero razioale r = m gode della proprietà richiesta, ossia a < r < b.. Pricipio di Iduzioe Cocludiamo questo primo capitolo sui umeri reali, parlado di ua proprietà del sottoisieme di R costituito dall isieme dei umeri aturali N. Tale proprietà, ota col ome di pricipio di iduzioe, è la seguete : Pricipio di Iduzioe Sia A N u isieme tale che: i) A, ii) se A + A, Allora A = N. Tale pricipio viee spesso usato per dimostrare che ua data proposizioe relativa al umero aturale è vera per ogi umero aturale. Ifatti, se idichiamo co P) ua proposizioe relativa ad, se riusciamo a verificare che: i) P) è vera, ii) se P) è vera allora ache P + ) è vera, Allora e deriva che P) è vera N. La proprietà ii) viee comuemete chiamata proprietà iduttiva. La coclusioe che P) è vera N si ottiee osservado che, posto A = { N ; P) è vera}, A verifica le ipotesi del pricipio di iduzioe e quidi A = N. Da otare che, se P) verifica la proprietà ii) e la i) viee sostituita da allora si ottiee che P) è vera. Cosideriamo ora alcui esempi. iii) P ) è vera dove è u dato umero aturale ),

23 . Verificare che N, vale la formula : = + ) i) se =, a primo membro della formula ho e a secodo membro ho =. Pertato l uguagliaza vale. ii) Suppoiamo ora che la formula sia valida per u dato umero aturale. Ottego ) = ) + + ) =. + ) = + + ) = Ossia la validità della formula per +. + ) + ).. Verificare che se a R a, vale la formula: + a + a + a a = a+ a. i) Se =, a primo membro ho + a e a secodo membro e quidi la formula vale, a a = + a ii) Suppoiamo ora che la formula valga per u dato umero aturale. Ottego: + a + a + a a + a + = a+ a + a + = = a+ + a + a + a Ottego quidi la validità della formula per Verificare che N, vale la formula : = a+ a = + ) + ). 6 i) se =, a primo membro della formula ho e a secodo membro ho 6 3 =. Pertato l uguagliaza vale. ii) Suppoiamo ora che la formula sia valida per u dato umero aturale. Ottego ) = ) + + ) = = 6 + ) + ) + + ) = + 6 Ossia la validità della formula per ) = Diseguagliaza di Beroulli. x R, x e N, vale la diseguagliaza: + x) + x. + 3) + ). i) Se =, ottego + x + x. Pertato i questo caso la diseguagliaza è vera si riduce a ua uguagliaza ), 3

24 ii) Suppoiamo ora che la diseguagliaza sia valida per u dato umero aturale, allora ottego: + x) + = + x) + x) + x) + x) = = + + ) x + x + + ) x. Ottego quidi che vale la diseguagliaza ache per Verificare che 4 vale la diseguagliaza. i) Se = 4, ottego e quidi, i questo caso vale il sego di uguale, 4 = 6 = 4 ii) Suppoiamo ora cha la diseguagliaza sia vera per u dato umero aturale 4. Ottego + = Se ora fosse + ), potrei cocludere che + + ) e quidi otteere la diseguagliaza cercata per +. D altra parte + ) Biomio di Newto Se N e k Z co k, idichiamo co )! = k k! k)! dove usiamo la covezioe che! = e se idichiamo co! = 3. Il umero! vie chiamato fattoriale ). I umeri si legge sopra k ) vegoo chiamati i coefficieti biomiali. Da otare che k risulta: k ) = I coefficieti biomiali hao le segueti proprietá : ) k + ) k!. i) k ii) Se k k ) = ) + k k ) = ), + k Verifichiamo, per esempio, che vale la ii). ) ) ) k + ) ) k + ) + = + = k k k! k )! [ ] ) k + ) k + + ) ) k + ) + = + = = k )! k k! k Vale la seguete formula ). ) Formula del biomio di Newto. Se a, b R a + b) = k k= ) a k b k. 4

25 Dimostrazioe Viee riportata solo per completezza, ma o é stata svolta a lezioe) Se =, la formula è vera. Suppoiamo quidi che la formula sia vera per u dato umero aturale e dimostriamola per +. Risulta : a + b) + = a + b)a + b) = a a + b) + b a + b) Usado quidi l ipotesi iduttiva, possiamo scrivere: a + b) + = a = k= k k= k ) a k b k + b ) a k+ b k + k= k= k k ) a k b + k ) a k b k = Poedo ora h = k + ella prima somma e h = k ella secoda, ottego : + a + b) + = h = a + + h= h= [ h ) a h b + h + ) + h h= h ) a h b + h = )] a h b + h + b + Ricordado ifie la proprietà ii) dei coefficieti biimiali, si ottiee a + b) + = b + + h= + h La dimostrazioe è duque completata. ) a h b + h + a + = + h= + h ) a h b + h Da otare che usado la proprietá ii), si puó scrivere rapidammete la seguete tabella dei coefficieti biomiali ota col ome di Triagolo di Tartaglia. = = = = = = = = Da otare che dalla formula del biimio co a = b =, si ottiee: ) = k k=.3 Risoluzioe degli esercizi proposti el Capitolo.3-i Determiare: A = { x R ; x 3 } x + 3 5

26 Pertato x 3 x + 3 x 3 3 x 3 x 6 x + 3 x + x + x + A =, 3], + ) = {x R ; x 3} {x R ; x > }..3-ii Determiare: B = { x R ; x + 6 x + > x + } x 3 x + 6 x + > x + x 3 x + 6 x 3 x 8 x x x > x + )x 3) x + )x 3) < Pertato B =, 3)..3-iii Determiare: C = { } x R ; x + x > x x + x > x x + x + x + x > 3 x x x > Ne deriva quidi che C =, ). + )..3-iv Determiare: D = { x R; x + 3 x + x + } x x + 3 x + x + x + 3)x ) + x + )x ) x )x ) x x )x ) Sviluppado il umeratore, si ottiee: Pertato: x x + 3 x 6 + x x + x x + 4 x + x 4 = 8 x x + 3 x + x + x x 3 x )x ) Studiado separatamete il sego di umeratore e deomiatore, risulta: Numeratore Deomiatore Possiamo quidi cocludere che D =, ) [3/, ).3-v Determiare l isieme Risulta: E = { x R; x x + x + 4 } x 3 x x + x + 4 x 3 x 3 x x + 3 x + 4 x + x + 8) x + x + ) x 3) x + ) x 3) 6

27 Studiado separatamete il sego di umeratore e deomiatore, risulta: Numeratore Deomiatore Pertato E =, ] 3, + ).6-i) Determiare: Sviluppado il umeratore, ottego: A = { x R; x + x x 3 } x + x + x x 3 x + )x + ) x 3)x ) x + x )x + ) x + x + x + x + 4 x + 3 x 6 = x + x 4 Le radici del poliomio di secodo grado che sta al umeratore soo x = 5 e x == 5 + Ne deriva quidi che.6-ii) Determiare: [ A =, ) 5 ) [, 5 + ), + B = { x R; } x + ) x) x Osserviamo che deve essere x + ) x), affichè la radice abbia seso e quidi x [, ]. Ioltre se x <, ossia se x <, la disuguaagliaza o è verificata. D altra parte se x, ossia x, allora la disuguagliaza da studiare è equivalete a quella che si ottiee elevado al quadrato etrambi i membri. Si ottiee quidi se x : x + ) x) x x x + x x x + x 3 x Le due radici dell ultimo poliomio di secodo grado soo Se e coclude che x = B = [ e x = ] 7, 4.6-iii) Determiare: x + x + x 3 C = { x R; x + x + x 3 } x + x + x + x + x + 6 x x + 3 x 3 x 6 x 4 x 3 Ora il poliomio di secodo grado che sta a umeratore ha le due radici:x = 3 3 e x = Possiamo quidi cocludere che C =, 3 ] 3 3, 3 + ] 3 7

28 .6-iv)Determiare: D = { x R; x + )x ) x + 3 } Osserviamo che deve essere x + )x ), affichè la radice abbia seso e quidi x, ] [, + ). Ioltre se x + 3 <, ossia se x < 3, la disuguaagliaza o è verificata. D altra parte se x + 3, ossia x 3, allora la disuguagliaza da studiare è equivalete a quella che si ottiee elevado al quadrato etrambi i membri. Si ottiee allora se x 3: x + 3 x + )x ) 4x x + x ) x + 6 x x x 7 Le due radici dell ultimo poliomio di secodo grado soo Se e coclude che.-) Sia x = 5 3 D = [ e x = ] [ 5,, + ] A = { + 3 ; N } Verificare che if A = e sup A = max A =. Risulta ovviamete + 3 > N. D altra parte, se ε >, si ha + 3 < ε + 3 < + ε + 3 < + ε + ε > 3 ε ε e quidi = if A. Osseviamo ifie che A si ottiee dalla formula per = ) ed ioltre Pertato = max A = sup A..-) Sia A = { + ; N } Dire se A è itato superiormete e, i caso affermativo, calcolare il sup A. U umero b R è u maggiorate di A se e solo se risulta + b N. D altra parte, suppoedo b >, si ha + b + + b + + b + b b ) + b Siccome si richiede che le diseguagliaze siao vere N, il coefficiete di ell ultima deve essere maggiore o uguale a zero, ossia deve essere b. Pertato b = è il più piccolo dei maggiorati e quidi sup A =. Verifichiamo, per completezza, se risulta ache = max A. Ovviamete questo è vero se e solo se A. Vediamo duque se l equazioe + = ha ua soluzioe o o. Risulta + = + = + + = + + = Allora / A e pertato l isieme A o ha massimo. 8

29 .-3) Sia A = { ; N } Verificare che if A =. Ovviamete risulta: > N. D altra parte se ε >, ottego: < ε + 4 < ε < ε + ε ε < ε + Osserviamo ora che, se 3 ε, allora l ultima diseguagliaza otteuta è verificata N ; metre se 3 ε >, ottego che: 3 ε ) 3 ε < ε + 3 ε ) < 4 ε + ) > 4 ε. I ogi caso quidi, la diseguagliaza iiziale ammette soluzioi. Pertato = if A..-4) Sia { } A = + + ; N Calcolare sup A e if A e dire se soo massimo e miimo di A. U umero b R è u maggiorate di A se e solo se risulta + + b N. D altra parte, possiamo supporre b >, i quato se b la diseguagliaza è verificata essedo il primo membro positivo. Risulta duque: + + b b b + b b ) b Siccome si richiede che le diseguagliaze siao vere N, il coefficiete di ell ultima deve essere positivo e quidi il umero b R è maggiorate se e solo se b > e b b N Ne deriva quidi che deve essere: ossia b > e b b b > e b + b I coclusioe quidi b R è maggiorate se e solo se b 3. Pertato 3 = sup A. Siccome poi 3 A, risulta pure 3 = max A. D altra parte d R è miorate A se e solo se: + + d N. Suppoedo ache i questo caso d >, otteiamo: + + d d d + d d ) d 9

30 Siccome si richiede che le diseguagliaze siao vere N, il coefficiete di ell ultima deve essere miore o uguale a zero e quidi il umero d R è miorate se e solo se d ossia d Allora risulta if A =. Da otare ifie che A e quidi o è il miimo di A..-5) Dire se l isieme A = { } 3 x x + x + 3, x R è itato superiormete e i caso affermativo calcolare sup A. U umero positivo b R è u maggiorate dell isieme A se e solo se Risulta duque: 3 x x + x + 3 b x R 3 x x + x + 3 b 3 x bx + x + 3) b x + b 3) x + 3 b + Ora quest ultima diseguagliaza è verificate per ogi x R se e solo se b > e b) = b 3) 4 b3 b + ). Risulta: b) = b 6 b + 9 b 4 b = b + b 9). Pertato b) b + b 9. Le redici dell ultimo poliomio di swecodo grado soo: b = e b = Ne deriva quidi che b è maggiorate se e solo se b b. Pertato b il più piccolo dei maggiorati ossia l estremo superiore di A. Da otare che b ache il massimo elemeto di A i quato b A avedo l equazioe 3 x x + x + 3 = b ua soluzioe e ua sola). 3

31 FUNZIONI I questo secodo capitolo viee itrodotto il cocetto di fuzioe e vegoo illustrate alcue proprietà geerali delle fuzioi che sarao usate el seguito.. Defiizioe di fuzioe e proprietà geerali Siao A, B R, chiameremo f ua fuzioe da A i B ed useremo la otazioe: f : A B ua legge che ad ogi elemeto x A associa u be determiato elemeto di B che idicheremo co fx). Nei casi che cosideremo i questo corso, la legge che defiisce ua fuzioe sarà di solito espressa da ua formula matematica. L isieme A dove la fuzioe f è defita ossia l isieme dei umeri reali per cui le lagge ha seso) viee chiamato l isieme di defiizioe o il domiio di f ed idicato a volte co Df). L isieme Rf) = {y R, x A co fx) = y} viee chiamato l isieme dei valori o il codomiio di f. Se f : A B è ua fuzioe chiameremo grafico della fuzioe f l isieme: Nel seguito, useremo pure le otazioi: graf f = {x, y) ; x Df), y = fx)} = {x, fx)) ; x Df)} Se X A Se Y B fx) = {fx), x X} = {y B ; x X co fx) = y} f Y ) = {x A ; fx) Y } Cosideriamo ora alcui esempi. a) Sia f : R R la fuzioe defiita da fx) = m x + q co m, q R umeri fissati). Il grafico di f poliomio i x di primo grado) é ua retta. q 3

32 b) Sia A = {x R ; x } e sia f : A R la fuzioe defiita da fx) = x Il grafico di f è dato dalla seguete figura iperbole equilatera): c) Sia f : R R la fuzioe defiita da fx) = x. Il grafico di f è dato dalla seguete figura parabola): d) Sia f : R R la fuzioe defiita da fx) = x 3. Il grafico di f è dato dalla seguete figura: 3

33 e) Sia f : [, ] R la fuzioe defiita da fx) = x. È iteressate otare che il grafico di f è la semisfera superiore di cetro l origie e raggio. - Sia f : A B ua data fuzioe. Diremo che i) f è iiettiva se o equivaletemete x, x A, x x = fx ) fx ) fx ) = fx ) = x = x ; ii) f è suriettiva su B) se fa) = B ossia se y B x A co fx) = y ; iii) f è biettiva se f è iiettiva e suriettiva f i tal caso è ache chiamata ua corrispodeza biuivoca tra A e B ) iv) f è strettamete crescete se x, x A x < x = fx ) < fx ) ; f è crescete se x, x A x < x = fx ) fx ) ; v) f è strettamete decrescete se x, x A x < x = fx ) > fx ) ; f è descrescete se x, x A x < x = fx ) fx ). Siao f : A B e g : B C due fuzioi assegate. Chiameremo fuzioe composta di f e g e la idicheremo col simbolo g f la fuzioe da A i C defiita da: g f)x) = gfx)) x A Ifie se f : A B e ua fuzioe iiettiva e suriettiva, diremo ache che f è ivertibile e chiameremo fuzioe iversa di f la fuzioe g : B A defiita dalla seguete legge: se y B, gy) = all uica soluzioe x A dell equazioe fx) = y Da otare che, dalla defiizioe di fuzioe iversa, si hao le due segueti idetità: 33

34 i) fgy)) = y y B, ii) gfx)) = x x A. La fuzioe g, iversa della fuzioe f viee spesso idicata col simbolo f che o va cofuso co /f). Cosideriamo per cocludere alcui esempi.. Sia fx) = x +, x A = {x R ; x } x + Verifichiamo che f è iiettiva. Ifatti se x, y A, x + x + = y + y + x y + y + 4 x + = x y + x + 4 y + 3 x = 3 y x = y Pertato f è iiettiva. Calcoliamo ora l isieme dei valori di f: fa). Ricordiamo che y fa) x A co fx) = y. Allora y fa) x A co x + x + Se e coclude quidi che = y x + = x y + y y) x = y y e x = y y fa) = {y R ; y } = B Il grafico della fuzioe f è del tipo di quello rappresetato i figura: La fuzioe f : A B è iiettiva e suriettiva e la sua fuzioe iversa g : B A è data dalla fuzioe: gy) = y, y B y Verifichiamo direttamete, per esempio, che fgy)) = y y B. Ifatti : y fgy)) = gy) + gy) + = y + + = 4 y + y y + 4 y = 3 y 3 = y y y. Sia fx) = x + x x R+ = {x R ; x > }. Verifichiamo se f è iiettiva. Siao x, y R +, risulta: x + x = y + y x y + y = x y + x x yx y) + y x = x y )x y) = 34

35 La fuzioe quidi o è iiettiva, ifatti l uguagliaza fx) = fy) o vale solo quado x = y, ma ache quado x y = ossia quado y = x. Ad esempio f) = f ), f3) = f 3 ). Calcoliamo ora l isieme dei valori fr + ). Ricordiamo che y fr + ) x R + co x + x = y D altra parte x + x = y x y x + = Il delta del poliomio di secodo grado i x) trovato è dato da y) = y 4 e quidi, se vogliamo che l equazioe cosiderata abbia almeo ua soluzioe deve essere y), ossia y, ] [, + ) e, i tal caso, le soluzioi soo x = y y 4, x = y + y 4 Osserviamo ifie che se y < le due soluzioi trovate soo egative, metre se y > soo positive. Possiamo quidi cocludere che l equazioe ella x : x + x = y ha almeo ua soluzioe x > se e solo se y. Ne deriva quidi che fr + ) = [, + ). Osserviamo ifie che il grafico della fuzioe f è del tipo: 3. Sia fx) = x + x x R. Ache i questo caso verichiamo se f è iiettiva. Risulta: x + x = y + y x + y + = x y x + + y + x + )y + ) = x + y x y + x y = x + )y + ) + x y + x y = x y + x + y + x y) = x = y Pertato la fuzioe è iiettiva. Per calcolare l isieme dei valori, osserviamo i primo luogo che fx) > x R, pertato fr) R +. D altra parte, se y R +, risulta x + x = y x + = x+y x+y e x + = x + x y +y x+y e x = y y 35

36 Da otare che se x = y y allora la codizioe x + y è verificata, ifatti: e y > x + y = y y + y = + y y Pertato l equazioe cosiderata x + x = y) ha ua soluzioe y R +. Allora fr) = R +. Da otare ifie che la fuzioe g : R + R defiita da : gy) = y y è la fuzioe iversa di f. Verifichiamo per cocludere che fgy)) = y y R + e che gfx)) = x x R. Ifatti risulta : fgy)) = ) y g y) + gy) = + y = y y + y = 4 y + 4 y 4 y y = + y y = y y y y gfx)) = f x) = x + x ) fx) x + x ) = x x + x ) x + x ) = x >. Esercizi proposti. Sia. Sia 3. Sia 4. Sia i) Verificare che f è iiettiva, ii) calcolare l isieme dei valori, iii) determiare la fuzioe iversa. i) Dire se f é iiettiva; ii) Calcolare l isieme dei valori di f: fr). i) Dire se f è iiettiva; ii) Calcolare l isieme dei valori di f: fr). fx) = x + x, x R, x. fx) = x x + x R fx) = x + x + x + x R fx) = x + x + x Verificare che f è iiettiva, calcolare l isieme dei valori di f e scrivere la fuzioe iversa di f. La soluzioe si trova alla fie del capitolo). 36

37 .3 Alcue fuzioi elemetari Ricorderemo i questo paragrafo la defiizioe e le pricipali proprietà di alcue fuzioi elemetari che useremo di frequete el seguito.. Fuzioe poteza co espoete aturale La fuzioe f : R R defiita da fx) = x N se viee ristretta all isiema A = {x R ; x } è strettamete crescete e quidi iiettiva e f : A A è ua corrispodeza biuivoca. Possiamo quidi cosiderare la sua fuzioe iversa. Tale fuzioe iversa g : A A verrà idicata col simbolo gy) = y e chiamata la radice -esima di y y ). Pertato y, y è quell uico umero o egativo tale che y) = y I grafici delle due fuzioi soo i segueti : fx) = x gx) = x. Fuzioe poteza co espoete aturale dispari Da otare che se N è u umero dispari, allora la fuzioe cosiderata fx) = x f : R R) è strettamete crescete e suriettiva e quidi ivertibile seza imporre la restrizioe x ). Per dispari quidi la fuzioe gy) = y è defiita y R. I questo caso, i grafici delle due fuzioi soo i segueti : fx) = x dispari gx) = x 37

38 3. Fuzioe espoeziale Sia a R co a >. Defiiamo N : a = a e N e m Z : a m = a ) m Si può verificare facilmete e lo lasciamo per esercizio) che se, q N e m, p Z verificao la relazioe m = p q allora : a m = a p q È possibile allora defiire la poteza di a co espoete razioale, poedo r Q : a r = a m se r = m co m Z e N Ricordado che a >, la fuzioe così defiita gode delle segueti proprietà : i) ii) iii) iv) a r > r Q a r > se r >, a r < se r < a r+s = a r a s e a r ) s = a r s r, s Q a r è ua fuzioe strettamate crescete. Verifichiamo ad esempio le proprietà iii) e iv). Esprimedo r, s Q come frazioi co lo stesso deomiatore, ad esempio r = m, s = p N, m, p Z risulta: Aalogamete: a r+s = a m+p = a ) m+p = a ) m a ) p = a r a s ) a r ) s = p ) a r = ) p m a = a ) mp = a m p = a r s D altra parte se r, s Q e r < s, si ha: a s a r = a r a s r ) > perchè a r > e a s r > essedo s r >. Possiamo ifie estedere la fuzioe espoeziale a qualuque espoete reale, poedo se x R: a x = sup{a r ; r Q, r < x} Ottego così ua fuzioe f : R R + che idicheremo co fx) = a x e che chiameremo la fuzioe espoeziale di base a). Essa matiee le proprietà scritte sopra per l espoete razioale, i particolare : 38

39 i) ii) iii) iv) a x > x R a x > se x >, a x < se x < a x+y = a x a y e a x ) y = a x y x, y R a x è ua fuzioe strettamate crescete. Si può ifie defiire a x ache quado la base a, ). Lo si può fare ello stesso modo che abbiamo seguito co a > co le ovvie modifiche, oppure si può procedere rapidamete poedo i questo caso a x = a) x e usare la defiizioe già data, i quato /a è maggiore di. Il grafico della fuzioe espoeziale è dato dalle segueti figure: a > < a < 4. La fuzioe logaritmo Abbiamo visto ell esempio precedete che la fuzioe espoeziale f : R R + defiite da fx) = a x a > a è ua fuzioe biettiva. Si può cosiderare pertato la sua fuzioe iversa g : R + R. Tale fuzioe iversa viee idicata col simbolo: gy) = log a y logaritmo i base a di y). Le pricipali proprietà del logaritmo soo le segueti: i) ii) a log a y = y y R + log a a x ) = x x R log a y z) = log a y + log a z y, z R + iii) log a y z ) = z log a y y R + e z R 39

40 iv) log b y = log a y log a b y, a, b R+ a, b Verifichiamo per completezza le proprietà ora euciate. i) Soo ua cosegueza immediata del fatto che la fuzioe gy) = log a y è la fuzioe iversa della fuzioe fx) = a x. ii) Risulta: Allora : e quidi vale la ii). iii) Esercizio. iv) Risulta: Ne deriva quidi che a log a y z) = y z = a log a y a log a z = a log a y+log a z log a y z) = log a y + log a z a log a y = y = b log b y = a log a b) log b y = a log a b log b y log a y = log a b log b y Ricordiamo ifie che il grafico della fuzioe logaritmo è il seguete: a > < a < 5. La fuzioe poteza Fissato u umero α R, chiameremo fuzioe poteza co espoete α) la fuzioe f : R + R + defiita da: fx) = x α = α log x Il grafico della fuzioe poteza è dato dalle segueti figure: 4

41 α > < α < α < 6. Le fuzioi trigoometriche Ricorderemo i questo paragrafo la defiizioe e le proprietà più importati delle fuzioi trigoometriche seguedo u ragioameto puramete geometrico che o ha essua pretesa di essere completo. Come uità di misura degli agoli cosideremo l agolo radiate defiito come quell agolo che, posto al cetro di ua circofereza, determia su du essa u arco la cui lughezza è uguale al raggio della circofereza stessa. Da otare che, per la similitudie dei settori che itervegoo, la defiizioe di radiate o dipede dal raggio della circofereza scelta come si può vedere dalla figura seguete: a b u radiate Fissato ora u umero reale x, cosideriamo l agolo al cetro della circofereza di cetro l origie e raggio, che misura x radiati il verso positivo è quello atiorario ). Defiiremo allora: si x = Q P cos x = O Q O P Q x radiati Ovviamete se il raggio della circofereza che stiamo cosiderado o fosse, si avrebbe: si x = Q P O P cos x = O Q O P Alcue proprietà elemetari delle fuzioi ora defiite soo le segueti: 4

42 i) Teorema di Pitagora) ii) iii) iv) v) vi) Formula della somma per il coseo si x + cos x = si x + π) = si x cos x + π) = cos x si x + π) = si x cos x + π) = cos x si x + π ) = cos x cos x + π ) = si x si x) = si x cos x) = cos x x R x R x R x R x R cos x + y) = cos x cos y si x si y x, y R La prima proprietà espressa i iv) si può verificare ragioado sulla seguete figura: Q P O Q P x radiati I due triagoli OQP e OQ P soo uguali e quidi P Q = OQ. Per verificare la formula della somma per il coseo, ragioeremo sulla seguete figura: P C A O Q B P Suppoiamo che gli agoli BOP e P OP misurio rispettivamete x radiati ed y radiati. Risulta allora, ricordado che il raggio della circofereza della figura è, OQ = cos x + y). Useremo per otteere la formula vi), l uguagliaza: OQ = OB QB. Nella figura, il segmeto P A è ortogoale al segmeto OP, così che il triagolo OAP è rettagolo co agolo retto i A. Risulta allora: AP = si y. D altra parte, ache il triagolo ACP è rettagolo co agolo retto i C e l agolo ĈP A è uguale all agolo BOP e quidi misura x radiati, allora: CA = QB = AP si x = si y si x 4

43 D altra parte OB = OA cos x = cos y cos x e quidi si ottiee la formula della somma. I grafici delle fuzioi seo e coseo soo i segueti : π π π π π π π π 7. La fuzioe tagete Oltre alle due fuzioi seo e coseo, cosideremo ache la fuzioe tagete defiita da: ta x = si x cos x La fuzioe tagete è defiita solamete per quei valori di x per cui cos x ossia per x π + k π, k Z La fuzioe tagete è periodica di periodo π ossia ta x = ta x + π) x D dove abbiamo idicato co D il domiio della tagete ossia D = {x R ; x π + k π, k Z} ) e i ogi itervallo i cui è defiita è strettamete crescete. Il grafico della tagete è dato da: 43

44 π π π π 8. La fuzioe modulo Fissato x R, defiiamo fx) = x = { x se x x se x < La fuzioe f ora defiita viee chiamata la fuzioe modulo o valore assoluto ed ha il seguete grafico: Alcue proprietà del modulo che useremo spesso el seguito soo : i) x x R e x = x =, ii) x y = x y x, y R, iii) Diseguagliaza triagolare iv) se r >, allora x r r x r. x + y x + y x, y R 9. La fuzioe parte itera Fissato u umero x R, esiste u uico k Z, tale che k x < k +. Tale uico umero itero k viee chiamato la parte itera di x ed idicato col simbolo [x]. Il grafico della fuzioe fx) = [x] è dato dalla seguete figura: 44