n + 1 n + 2 = 1 n + 1 n n n Esercizio. Verificare il seguente limite a partire dalla definizione: n n 2 + n + 1 = 0 lim

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1 3.. Esercizio. Ricoosciuto che determiare i valori ε tali che ε : ANALISI Soluzioi del Foglio 3 + = + ε essedo ε ua prima volta e ua secoda 0.5 ε = 9 ottobre disuguagliaza soddisfatta da ogi N, ovvero il valore ε se ε = é lo zero. ε = disuguagliaza soddisfatta da ogi >, ovvero il valore ε se ε = 4 é. 3.. Esercizio. Verificare il seguete ite a partire dalla defiizioe: + = 0 Scelto (comuque) ε > 0 occorre provare che + 0 < ε per tutti gli superiori ad u coveiete ε. Teuto coto che + 0 = +

2 riesce + < ε + > ε disuguagliaza soddisfatta, ad esempio, o appea [ ] > ε Se ad esempio si fosse scelto ε = 0.0 allora la disuguagliaza + 0 < 0.0 é sicuramete soddisfatta da tutti gli > Esercizio. Assegata la successioe a = ( ) + disegare il grafico, provare che si tratta di ua successioe itata, disegare il grafici delle due sottosuccessioi a } e a + } formate dai termii di posto pari e da quelli di posto dispari, decidere se a ammette ite per. Figura. a = ( ) +

3 Si tratta di ua successioe itata, ifatti a = + e, teuto coto che a. b a + b + si ha a = + La sottosuccessioe dei termii di posto pari é formata da termii tutti positivi: ifatti = m = 4m ( ) = ( ) 4m = La sottosuccessioe dei termii di posto dispari é formata da termii tutti egativi: ifatti = m ( ) = La successioe a é covergete a zero: ifatti: a = + = < 3.4. Esercizio. Assegata la successioe a = + 3 determiare u valore 0 tale che, m 0 : a a m 0. 3 La successioe a assegata é covergete (ha ite l = 0): quidi i suoi termii si strigoo vicio ad l quidi si strigoo fra loro a a m a l + l a m = a + a m Per otteere che a a m 0. basta che riescao soddisfatte le due disuguagliaze a 0., a m 0.

4 4 etrambe soddisfatte se ed m soo maggiori di 7/. Il valore soglia 0 richiesto é pertato 0 = Esercizio. Calcolare, se esistoo, i iti delle segueti successioi: + 5 3,,, Teuto presete che = e che + 5 } =, 3 + } = 3 e segue, ricordado il teorema sul quoziete di due successioi covergeti + Teuto presete che = 3 = e che + } } =, + = + e segue, ricordado il teorema sul quoziete di ua successioe covergete per ua divergete (positivamete) + + = 0

5 Teuto presete che e che + = + } = +, + } = e segue, ricordado il teorema sul quoziete di ua successioe divergete (positivamete) per ua covergete a u umero positivo Teuto presete che e che essedo /3 < riesce + = = ( ) = 0 3 ( ) 3 segue, dal teorema dei carabiieri, che riesce ache = Esercizio. Calcolare, se esistoo, i iti delle segueti successioi: ( ) si() si,,! ( + )!, ( ) si Teuto presete che x R : si(x) x riesce ( ) 0 si 5

6 6 da cui teuto presete che = 0 si ricoosce, per il teorema dei carabiieri, che si() si ( ) = 0 Teuto presete che la successioe si() che figura a umeratore é itata e quella a deomiatore diverge (positivamete) si ricoosce che si() = 0 Il risultato puó ache essere dedotto applicado il teorema dei carabiieri alla disuguagliaza! ( + )! si() Teuto presete che ( + )! = ( + ). ().! riesce e quidi! ( + )! =! ( + ). ().! = ( + ). () + 3 +! ( + )! = ( + ). () = 0 L espressioe, differeza di due successioi + 3 e + etrambe divergeti positivamete preseta la forma idetermiata idicata usualmete come Tuttavia la semplice maipolazioe algebrica = ( ). ( ) = + = ( + 3) ( + ) =

7 7 idica = = 0 avedo teuto coto che la successioe a deomiatore diverge (positivamete) Esercizio. Scrivere esplicitamete le somme delle segueti serie geometriche: ( ) ( ) k ( ) h+,, La ota formula = k= q (, ) : k=0 implica, sempre per q (, ), q k = q m k=m k=0 Da essa seguoo le segueti somme ( ) = k= h=0 = ( ) k = ( ) h+ = = h=0 q k = q q k = qm q ( ) + k=0 ( ) + h=0 = ( ) k = ( ) h = 3.8. Esercizio. Calcolare la somma della seguete serie ( ) }

8 8 Cosideriamo separatamete le due serie 4 + ( 4 = 0 = 5 ( ) = 5 ( = + 4 = = Etrambe serie geometriche covergeti: Ne segue quidi = = = ( ) 4 = 4 ( 5) = 4 3 ) ) ( ) } = Esercizio. Dire se le segueti successioi soo o o soo mootoe a = + + 6, b = 3 4, c = + Quale di esse é defiitivamete mootoa? Quale di esse é covergete? a = Ua successioe é mootoa se é crescete o é decrescete: ovvero se le differeze a + a hao sempre lo stesso sego sempre o egative, successioe crescete, sempre o positive, successioe decrescete. Nel caso assegato riesce a+ = () + () + 6 = + 6 a = La successioe a é mootoa decrescete. b = 3 4 a + a = 0

9 Co la stessa strategia precedete b+ = () 3 4() = b = 3 4 b + b = dalla quale risulta, ad esempio, b b = 5 < 0, b 4 b 3 = 9 > 0 Quidi la successioe o é mootoa. Puó solo osservarsi tuttavia che essa diveta mootoa crescete dal terzo termie i poi, ovvero si puó ricooscere che la successioe é defiitivamete mootoa. c = + c + c = () + + = ( + )(() + ) Teuto presete che : < 0 si ricoosce che la successioe c, c,... é mootoa decrescete. Se si iclude ella successioe ache il termie co = 0 allora si assiste a u primo aumeto c 0 = 0 a c =, seguito poi da ua fila tutta decrescete... Solo la terza, la c é covergete, ed ha ite 0: le prime due soo del resto ilitate, quidi certamete o covergeti Esercizio. Sia a la successioe defiita per ricorreza el seguete modo: a =, a + = a dimostrare che a > 0 per ogi, dimostrare che la successioe é crescete, calcolare il ite di a per determiare la forma esplicita di a ( suggerimeto : porre b = a ) a > 0 per ogi, ifatti, ragioado per iduzioe, il primo termie a = é positivo, se u termie a é positivo allora é positivo ache il suo doppio a e, a maggior ragioe, il suo doppio aumetato di : quidi é positivo ache a + 9

10 0 la successioe é crescete, ifatti a + a = a > 0 per la positivitá osservata prima. il ite di a per o puó che essere + ifatti riesce a =, a = a + > a + =, a 3 = a + > a + > + = 3, ovvero N : la forma esplicita di a : a a + = a a + + = a + = (a ) Idicata quidi b = a si ricoosce che la successioe b verifica la relazioe ricorsiva da cui segue ovvero b =, b + = b b } =, 4, 8, 6,...} b = a = 3.. Esercizio. Sia a la successioe defiita per ricorreza el seguete modo: a 0 =, a + = ) (a + a Scrivere i primi 4 termii della successioe, dimostrare che tutti i termii a soo positivi, dimostrare che tutti i termii a verificao la disuguagliaza a >, mostrare che la successioe é mootoa decrescete, calcolare il ite di a per. a 0 =, a = 3, a = 7, a 3 = ovvero co le approssimazioi decimali a 0 =, a =.5, a , a La positivitá dei termii si ricoosce acora per iduzioe: é positivo il primo termie a 0 =, se é positivo il termie a é positivo ache /a e quidi é positivo ache il successivo a + espresso dalla media aritmetica tra a e /a. ecc.

11 La disuguagliaza a > si prova ach essa per iduzioe: la soddisfa il primo termie, a 0 = a 0 = 4 evidetemete maggiore di, supposto che a > vediamo cosa puó ricooscersi per il termie successivo ovvero a + = 4 ( a + a ) = a4 4a + 4 4a a + = 4a ( a ) > 0 La successioe é decrescete se a + a < 0: a coti fatti si ha a + a = ) (a + a a = ( ) a a l ultima espressioe é egativa avedo giá provato che l espressioe a umeratore é egativa e quella a deomiatore é positiva. La successioe a decrescete, itata é quidi certamete covergete. Sia l = a, l = a + = ) (a + a = Da cui segue che il umero l deve soddisfare l equazioe l = ( l + ) l = l Sapedo che l > 0 il suo valore é, ecessariamete, l = ( l + ) l