a n (x x 0 ) n. (1.1) n=0

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1 Serie di poteze. Defiizioi Assegati ua successioe {a } di umeri reali e u puto x dell asse reale si dice serie di poteze u espressioe del tipo a (x x ). (.) Il puto x viee detto cetro della serie e i umeri a coefficieti della serie. I particolare cocetriamo la ostra attezioe sulle serie di poteze co cetro ell origie, che hao la forma a x (.2) Le defiizioi e i risultati che seguoo soo riferiti al caso di serie cetrate ell origie;le modifiche ecessarie per adattarle al caso geerale soo del tutto evideti e soo lasciate al lettore. Defiizioe Assegato u puto x si dice che la serie (.2) coverge putualmete i x se risulta covergete la serie a x ; coverge assolutamete i x se risulta covergete la serie a x. Tra le due ozioi di covergeza itrodotte sussiste la relazioe già vista el caso delle serie umeriche: la covergeza assoluta implica la covergeza, metre o vale il viceversa..2 L isieme di covergeza Assegata la serie di poteze (.2) si poe il problema di determiare i puti dell asse reale i cui essa coverge. È immediato otare che la serie (.2) coverge sempre i almeo u puto, el puto x =. Prima di affrotare teoricamete il problema della covergeza i puti diversi dall origie, esamiiamo alcui esempi. Esempio. Cosideriamo la serie di poteze x (.3)

2 2 e fissiamo u puto x. Studiamo la covergeza assoluta i x, vale a dire il comportameto di x. = Per questa serie umerica reale a termii positivi possiamo utilizzare il criterio del rapporto;si tratta di calcolare il ite x + ( + )! x = x + =. Il risultato è ovviamete idipedete dal puto scelto;possiamo cocludere che la serie (.3) coverge assolutamete (e quidi putualmete) i ogi puto dell asse reale. Esempio 2. Cosideriamo la serie di poteze x (.4) = e studiamo la covergeza assoluta i x. Utilizzado acora il criterio del rapporto calcoliamo il ite ( + )! x + x = ( +) x =+. La serie (.4) o coverge assolutamete i essuo puto dell asse reale, eccetto l origie. Può restare il dubbio che la serie coverga semplicemete per x<, dove è ua serie a segi alteri. Per dimostrare che questo o avviee basta fare vedere che il valore assoluto del termie geerale della serie o tede a zero per. La successioe x è a termii positivi ed è (almeo a partire da u certo puto i poi) mootoa crescete e quidi o può tedere a zero. Ifatti la disuguagliaza ( + )! x + > x equivale alla disuguagliaza +> x che è verificata almeo da u certo valore i poi. Possiamo quidi cocludere che la serie (.4) coverge solo per x =. Esempio 3. Cosideriamo la serie di poteze x. (.5) = Fissiamo x e studiamo la covergeza assoluta, utilizzado il criterio della radice. Calcoliamo il ite x = x. Quidi la serie (.5) coverge assolutamete per x < ;per x = si riduce alla serie armoica (e quidi diverge), metre per x = si riduce alla serie armoica a segi alteri, che coverge semplicemete, ma o assolutamete. Co cosiderazioi aaloghe a quelle dell esempio precedete

3 3 si può far vedere che la serie o coverge per x > i queto il suo termie geerale o tede a zero. Possiamo cocludere che la serie di poteze (.5) coverge ell itervallo [, ). Esempio 4 Cosideriamo la serie x = 2. (.6) Procededo come egli esempi precedeti possiamo dimostrare che questa serie coverge assolutamete per x <, coverge i x =ex = e o coverge per x >. L isieme di covergeza della serie (.6) quidi l itervallo [, ]. Gli esempi appea visti riassumoo le possibili situazioi che si presetao: il comportameto di ua serie di poteze è determiato dalla proprietà presetata el seguete teorema. Teorema Si cosideri la serie di poteze (.2) e due puti x e x 2. Allora se la serie coverge i x allora essa coverge assolutamete per tutti i puti x tali che x < x ; se la serie o coverge i x 2 allora essa o coverge i tutti i puti x tali che x > x 2. Dimostrazioe. Suppoiamo che la serie coverga i x ;cosideriamo u puto x, tale che x < x.sihache a x = a x x x = a x x x M x x. L ultima disuguagliaza è giustificata dal fatto che la serie coverge, per ipotesi, el puto x ;il suo termie geerale è quidi ifiitesimo e la quatità a x è itata. La disuguagliaza che abbiamo otteuto ci dice che il termie geerale della serie a x è maggiorato da quello della serie M x x. Si tratta di ua serie geometrica di ragioe miore di uo e quidi covergete. Il criterio del cofroto ci permette di cocludere che la serie (.2) è assolutamete covergete per ogi x tale che x < x. Per dimostrare la secoda parte, basta osservare che, per la prima parte del teorema, se la serie covergesse i x tale che x > x 2, allora dovrebbe covergere ache el puto x 2, cotrariamete all ipotesi. Osservazioe Si osservi che el teorema precedete la covergeza (o la o covergeza) della serie i x o forisce essua iformazioe sul comportameto della serie el puto x. Osservazioe Il teorema precedete si può iterpretare ituitivamete dicedo che la covergeza i u puto x ci fa guadagare la covergeza i tutti i puti dell itervallo di cetro l origie di cui x è u estremo, metre la o covergeza i x 2 ci fa perdere la covergeza elle due semirette x > x 2. Quado dobbiamo determiare la covergeza di ua serie di poteze, si hao due casi:

4 4. o si ha la covergeza per essu x ; 2. si ha la covergeza i u x ;allora possiamo provare co u valore maggiore (i modulo) e ampliare l itervallo di covergeza;e ache qui abbiamo due casi: (a) possiamo verificare che c è covergeza per ua successioe di puti che diveta arbitrariamete grade i modulo (e quidi c è covergeza i tutto l asse reale) oppure (b) a u certo puto troviamo u valore per cui la serie o coverge;allora ecessariamete la covergeza è itata a u itervallo. Possiamo cocludere affermado che si presetao tre possibili situazioi per la covergeza di ua serie di poteze: la serie coverge solo i x =; la serie coverge all itero di u itervallo ( R, R) e o coverge per x>reperx< R; la serie coverge i ogi puto dell asse reale. Per descrivere queste tre situazioi si itroduce il cocetto di raggio di covergeza della serie di poteze. Defiizioe 2 Il raggio di covergeza R della serie (.2) è l estremo superiore dell isieme dei umeri reali i cui la serie coverge: R = sup{x R : a x coverge }. Se è oto il raggio di covergeza, soo ote le pricipali caratteristiche della serie di poteze; ifatti vale il seguete risultato. Teorema 2 Se la serie (.2) ha raggio di covergeza R, allora. Se R =la serie coverge solo per x = 2. Se R > allora la serie coverge assolutamete i ( R, R) e coverge totalmete i ogi itervallo [a, b] ( R, R); 3. Se R = allora la serie coverge assolutamete per ogi x reale e coverge totalmete i ogi itervallo [a, b]. Osservazioe Se la serie di poteze è cetrata i x il teorema precedete può essere riformulato ei segueti termii:. Se R = la serie coverge solo per x = x 2. Se R> allora la serie coverge assolutamete i (x R, x + R) e coverge totalmete i ogi itervallo [a, b] (x R, x + R); 3. Se R = allora la serie coverge assolutamete per ogi x reale e coverge totalmete i ogi itervallo [a, b].

5 5.3 Determiazioe del raggio di covergeza Il risultato precedete ci mostra l utilità della coosceza del raggio di covergeza per la determiazioe delle proprietà di ua serie. Per questo motivo, è importate trovare dei metodi che permettoo di calcolarlo, seza ricorrere allo studio diretto della covergeza della serie ei vari puti dell asse reale. A questo scopo, si hao i segueti teoremi. Teorema 3 (Criterio della radice) Data la serie di poteze (.2), se esiste a = l allora R =se l = R = se l = R =/l se l è fiito e o ullo. Teorema 4 (Criterio del rapporto) Data la serie di poteze (.2), se a ed esiste a + a = l allora R =se l = R = se l = R =/l se l è fiito e o ullo. Dimostrazioe. Dimostriamo la prima delle proposizioi;la dimostrazioe della secoda può essere svolta i modo aalogo. Applichiamo il criterio della radice alla serie a x. Abbiamo, per l ipotesi del teorema, a x = l x ; Se l = il ite precedete è sempre ullo e quidi, per il criterio della radice per le serie umeriche, la serie è assolutamete covergete per ogi x. Se ivece l è ifiito la serie o coverge per essu x diverso da zero. Se ifie l è u umero reale si ha la covergeza assoluta se metre o si ha covergeza el caso i cui l x <, vale a dire x < l, l x >, vale a dire x > l. Esempio. Determiiamo il raggio di covergeza della serie ( 2 +)x. = Coviee applicare il criterio del rapporto e calcolare

6 6 a + = a ( +) ( + )! = Il raggio di covergeza della serie è quidi ifiito. Esempio 2. Determiiamo il raggio di covergeza della serie =. x +. = I questo caso coviee utilizzare il metodo della radice;si tratta di calcolare a = + =+, i quato il umeratore tede all ifiito, metre il deomiatore tede a uo. La serie di poteze cosiderata ha quidi raggio di covergeza ullo. Esempio 3. Calcolare il raggio di covergeza della serie x 4 3 =. Questo esempio mostra come i alcui casi il teorema precedete o sia applicabile direttamete, ma richieda ua sostituzioe preiare ella serie. Nella serie proposta compaioo solo le poteze di x co espoeti che soo multipli di 4. La successioe dei coefficieti comprede dei valori ulli, ripetuti co legge periodica. I particolare essa risulta (a partire dal termie costate),,,, /3,,,, 2/9,,,, 3/27,... Il calcolo del ite della radice è difficile, metre quello del rapporto o ha seso per la preseza di coefficieti ulli. Per ovviare a questa difficoltà si può operare u cambiameto di variabile e porre z = x 4, per cui la serie assegata si trasforma ella z 3 =, il cui raggio di covergeza può essere determiato calcolado 3 = 3 ; la serie ella variabile z coverge per z < 3;sostituedo si ottiee che la serie assegata coverge per x 4 < 3, cioè per x < Operazioi sulle serie di poteze Vogliamo qui esamiare la possibilità di sommare e moltiplicare serie di poteze e determiare il raggio di covergeza delle serie otteute. A riguardo della somma, si ha il seguete risultato.

7 7 Teorema 5 Assegate due serie di poteze Σ = a x, Σ 2 = b x, co raggio di covergeza R ed R 2 rispettivamete, si ha che la serie somma (a + b )x ha raggio di covergeza maggiore o uguale al miimo tra R ed R 2. Osservazioe Nel caso i cui R ed R 2 siao diversi (ad esempio R <R 2 ) allora la serie somma ha come raggio di covergeza proprio il miimo dei due. Ifatti, preso u puto x tale che R < x <R 2 la serie Σ o coverge i x, metre la serie Σ 2 coverge;per i risultati visti sulle serie umeriche, la serie somma o è covergete. Nel caso i cui R = R 2 si possoo ivece avere, fuori dall itervallo di covergeza, delle cacellazioi i modo tale che la somma coverga. No approfodiamo questo argometo. Assegate due serie di poteze si può defiire il prodotto, detto prodotto alla Cauchy delle due serie. Teorema 6 Assegate due serie di poteze a x, b x, co raggio di covergeza R ed R 2 rispettivamete, si ha che la serie prodotto ( ) a i b i x i= ha raggio di covergeza maggiore o uguale al miimo tra R ed R 2..5 Serie di poteze, derivazioe e itegrazioe I questo paragrafo vediamo le relazioi che esistoo tra le serie di poteze e le operazioi di derivazioe e itegrazioe. Defiizioe 3 Assegata la serie di poteze si dice sua serie derivata la serie a x a x, = otteuta derivado formalmete termie a termie la serie. Vale il seguete teorema, di cui omettiamo la dimostrazioe.

8 8 Teorema 7 Ua serie di poteze e la sua serie derivata hao lo stesso raggio di covergeza. Ua importate cosegueza del teorema precedete è data dal seguete risultato, che ci dice che la somma di ua serie di poteze è ua fuzioe molto regolare. Teorema 8 Sia a x ua serie di poteze co raggio di covergeza R > e sia f(x) la sua somma i ( R, R). Allora la fuzioe f(x) è derivabile co derivate cotiue di ogi ordie i ( R, R) (vale a dire f(x) C (R, R)) e la derivata -esima di f(x) può essere calcolata derivado volte la serie a x. Esempio. Sappiamo che vale la relazioe x = x, per x <. Il teorema precedete ci dice la fuzioe f (x) = d dx x = ammette per x < lo sviluppo ( x) 2 otteuto derivado termie a termie la serie geometrica = x, metre la la fuzioe f (x) ammette lo sviluppo =2 ( )x 2 e così via. Possiamo ache itegrare ua serie di poteze. Teorema 9 Sia a x ua serie di poteze co raggio di covergeza R> e sia f(x) la sua somma i ( R, R). Allora, per ogi x ( R, R) vale la relazioe x f(t)dt = ( x Esempio 2. Sempre dalla relazioe ) a t dt = z = co la sostituzioe z = x 2 otteiamo lo sviluppo ( x ) a t dt = z, per z <, a x x 2 = ( x 2 ) = ( ) x 2, per x <. Applicado il teorema precedete otteuiamo lo sviluppo della fuzioe arcotagete: arcta x = x +t 2 dt = x ( ) ( ) t 2 dt = ( x ) ( ) t 2 dt = ( ) x 2+, 2 + che vale per x <. Osservazioe Il teorema specifica che i raggi di covergeza coicidoo, ma o dice iete sul comportameto della serie agli estremi dell itervallo di covergeza. Si può, i modo impreciso, affermare che l operazioe di derivazioe può peggiorare il comportameto della serie agli estremi, metre l operazioe di itegrazioe lo può migliorare. Cosideriamo la serie

9 9 e la sua serie derivata Σ 2 = Σ = = x x = = log( x) = x = x ; etrambe hao raggio di covergeza uguale a uo. La serie Σ coverge i [, ), metre la Σ 2 coverge i (, ).