Corso integrato di. Matematica. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo

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1 Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti Lorezo Freddi Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 06, 3300 Udie, Italy ([baiti freddi]@dimi.uiud.it)

2 Capitolo aggiutivo 7 Serie umeriche Che seso dare ad ua somma di ifiiti termii è u tema che ha iteressato i maggiori matematici del 700, ma che ha radici ell atichità. Soo ifatti famosi i proposito i paradossi del filosofo greco Zeoe di Elea vissuto el v secolo a.c.. L assetto modero della teoria delle serie viee però raggiuto solo elle opere di Cauchy (Cours d Aalyse, 8). Suppoiamo di avere ua successioe (a ) e di voler sommare i suoi termii uo dopo l altro. Potedo i pratica sommare solo u umero fiito, che valore possiamo dare alla somma degli ifiiti termii? I qualche caso particolare la risposta si preseta particolarmete semplice. Ad esempio, se a = per ogi allora la somma dei primi termii (partedo da = ) sarà ; fissato quidi u qualuque umero reale R, sommado u umero sufficietemete grade di termii, la somma otteuta supererà R e, i questo seso, diremo che la somma degli ifiiti termii diverge a +. Viceversa, se a = allora si vede co u semplice argometo geometrico che la somma di u umero qualuque fiito di termii o potrà mai superare. Possiamo disporre le varie somme parziali i ua successioe, che risulta crescete e limitata, e pertato ammette u limite fiito 0 < l. Potremmo allora i questo caso (come d altra parte ache i quello precedete) defiire la somma degli ifiiti termii come il limite l della successioe delle somme parziali.

3 SERIE ASSOCIATA AD UNA SUCCESSIONE 3 Defiizioe 7.. Serie associata ad ua successioe Data ua successioe (a ) di umeri reali, si chiama serie associata ad (a ) la successioe (s ) defiita da s = k=0 i cui elemeti soo detti somme parziali. Così la serie associata ad (a ) è ache detta successioe delle somme parziali di (a ), metre a si chiama termie geerale della serie. Si dice che la serie è covergete o divergete (positivamete o egativamete) secodo che la successioe (s ) sia covergete o divergete. Se la successioe (s ) o ha limite si dice che la serie è idetermiata. Se esiste il limite di (s ) per, allora lo si idica el modo seguete lim s = a k o, ciò che è lo stesso cambiado semplicemete ome all idice, co e tale limite si chiama somma della serie (che può pertato essere fiita o ifiita). La serie è quidi la formalizzazioe matematica, ell ambito del calcolo ifiitesimale (itrodotto solo alla fie del 600 da Newto e Leibiz), dell idea di somma di ifiiti termii, idea che o è affatto ituitiva, come dimostra l ampio dibattito che la questioe ha suscitato tra i matematici del 700 (tra cui l italiao Gradi, lo stesso Leibiz, Eulero, Lagrage, D Alembert, Abel) e le otevoli implicazioi di carattere filosofico che e soo derivate e che tutt ora e derivao; chi fosse iteressato alla questioe può cosultare il divertete libro di Nicholas Falletta Il Libro dei paradossi edito da Logaesi (989), Capitolo 5. Co abuso di otazioe, ache la serie (cioè la successioe (s )) oltre che il suo limite si idica col simbolo a. =0 a k k=0 =0 a

4 4 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Naturalmete se aziché da = 0 l idice di sommatoria partisse da = 0 questo cambierebbe l evetuale somma della serie ma o il suo carattere, cioè covergeza, divergeza, idetermiazioe. Aalogamete, il carattere di ua serie rimae ivariato se se e cambiao solamete u umero fiito di termii della successioe a. Esempio 7.. La serie =0 x La serie geometrica è detta serie geometrica di ragioe x. È possibile dimostrare per iduzioe che si ha x k+ s = x k se x = x k=0 + se x = e pertato x = =0 + se x x se x < o esiste se x. La deomiazioe data a questa serie viee dal fatto che, se x 0, ogi termie è la media geometrica tra il precedete e il successivo, cioè, detto a = x si ha a = a a +. Le serie geometriche trovao molteplici applicazioi i vari campi. Per esempio il umero 0. o è altro che la somma di ua serie geometrica di ragioe /0 se la base scelta per la umerazioe è 0, metre se la base è è la somma di ua serie geometrica di ragioe /. Calcolado la somma delle serie (facedo attezioe che parte da e o da 0 e quidi dall espressioe della somma trovata sopra occorrerà togliere il primo termie della serie) si trova che el caso della base 0 l allieameto decimale, cioè la serie, 0. rappreseta il umero razioale /9 metre i base rappeseta il umero. Allo stesso modo è possibile dimostrare che 0.9 = i base 0, cosa della quale avevamo dato solo u argometo di plausibilità quado all iizio del corso abbiamo parlato delle rappresetazioi decimali dei umeri reali.

5 LA SERIE DI MENGOLI 5 Esempio 7.3. Mostriamo che Avedosi = ( + ) =. ( + ) = + La serie di Megoli elidedo due a due i termii ella espressioe di s è semplice dedurre che s = +, formula che può essere provata per iduzioe. Esercizio 7.4. Calcolare la somma delle segueti serie: Esercizi. 3. ( ;. 3) ( + )( + ) ; =3 = log ( ). = R. Ricordado che per le serie geometriche di ragioe x < si ha =0 x = x. allora si ottiee ( = 3) ( ( ) = 3) 3 /3 ( ) = 8 9. =3 =0 =0. Avedosi ( + )( + ) = ( + + ) +

6 6 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE elidedo a tre a tre i termii ella espressioe della ridotta -esima S della serie si ottiee S = ( + + ), + formula che deve essere provata per iduzioe, si ha S /4 e questo limite è per defiizioe la somma della serie. 3. Coviee scrivere ) log ( ( ) ( ) = log = log ( )(+) = = log( ) + log( + ) log elidedo a tre a tre i termii ella espressioe della ridotta -esima S della serie si ottiee S = log + log( + ) log = log + log( + ) log e la somma della serie è quidi log. Esercizio 7.5. Calcolare la somma della serie R /8. = ( + 3). Serie a termii positivi Se la successioe (a ) è tale che a 0 per ogi N, la serie associata si dice a termii positivi. I questo caso la successioe (s ) risulta mootoa o decrescete, e pertato ammette limite (fiito o ifiito). Ua serie a termii positivi o può quidi essere idetermiata, ma solo covergete o divergete positivamete. Ua proprietà aaloga può essere aturalmete stabilita per le serie a termii egativi. Trae alcui casi particolari, o è semplice avere ua formula che permetta di calcolare il limite della successioe (s ). Si devoo pertato trovare codizioi che ci dicao se la serie coverge o o, ache seza pretedere di determiare la somma. Le prossime due sezioi dao delle codizioi ecessarie e sufficieti.

7 CRITERIO DELL INTEGRALE 7 Criterio dell itegrale Questa sezioe può essere saltata e sostituita co la prossima el caso i cui o si possieda acora la ozioe di itegrale improprio Teorema 7.6. (Criterio dell itegrale) Sia f : [, + [ R ua fuzioe o egativa e decrescete. Allora l itegrale + f(x) dx e la serie hao lo stesso carattere. f() = Dimostrazioe Comiciamo co l osservare che per l additività dell itegrale si ha (7.) f(x) dx = i= i i f(x) dx. Poiché f è decrescete, per ogi x [i, i] si ha f(i) f(x) f(i ) da cui, itegrado i [i, i] e usado il fatto che l itervallo di itegrazioe ha ampiezza si ottiee f(i) i i f(x) dx) f(i ). Usado quest ultima ella (7.) si ha duque f(i) i= f(x) dx f(i ) i= da cui, passado al limite per, la tesi si ottiee per cofroto.

8 8 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Criterio di codesazioe di Cauchy Questa sezioe può essere saltata el caso sia stato svolto il criterio dell itegrale della sezioe precedete. Teorema 7.7. (Criterio di codesazioe) Sia (a ) ua successioe decrescete di umeri positivi. Le serie = a e a = hao lo stesso carattere. Dimostrazioe disuguagliaze Ora, se Osserviamo che, poiché (a ) è decrescete, valgoo le a 3 + a 4 a 4 a 5 + a 6 + a 7 + a 8 4a a + + a a + a +. a diverge, diverge pure la serie = a + e quidi, teedo = coto delle precedeti disuguagliaze, diverge ache D altra parte valgoo ache le disuguagliaze e quidi, se a + a 3 a a 4 + a 5 + a 6 + a 7 4a 4 a. = a + a a + a. a coverge, coverge pure a. = Osservazioe 7.8. Si osservi che il fatto che le serie del teorema precedete abbiao lo stesso carattere o vuol dire che abbiao la stessa somma, come si può vedere cosiderado ad esempio le serie degli esempi 7., 7.3 e dell esercizio 7.4. =

9 LA SERIE ARMONICA 9 La serie armoica La serie è detta armoica. Tale ome deriva dal fatto che ogi suo =0 termie è la media armoica di quello precedete e di quello successivo, cioè a = a + a + per ogi N. Co il criterio itegrale o co quello di codesazioe si vede che la serie armoica è divergete. Curiosità: si potrebbe pesare che dispoedo di u calcolatore dovrebbe essere facile, co u umero sufficietemete alto di somme, riuscire a stabilire co ragioevole certezza qual è il carattere di ua serie data. Ci si può facilmete redere coto che o è così provado a testare la serie armoica. Si ha ifatti s , s e per superare 00 occorre sommare la bellezza di circa 0 43 termii! La serie armoica diverge ifatti molto letamete. Esempio 7.9. Mostrare che la serie armoica geeralizzata se α > e diverge se 0 < α. Esercizio 7.0. Studiare il carattere della serie log α, α 0. = = α coverge R Diamo due possibili risoluzioi, ua co il criterio dell itegrale, l altra co il criterio di codesazioe. Criterio dell itegrale. La fuzioe f(x) = x log α x è positiva e decrescete. Si può pertato applicare il criterio dell itegrale. Col cambiameto di variabile x = e y si ha + x log α x dx = + log dy < + α > yα quidi la serie coverge se α > e diverge se α [0, ]. Criterio di codesazioe. La successioe a = log α

10 0 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE è positiva e decrescete. Si può pertato applicare il criterio di codesazioe. Si ha a = a log + α > = = quidi la serie coverge se α > e diverge se α [0, ]. Ua codizioe ecessaria per la covergeza Il seguete teorema è utile per provare che ua serie o coverge. Teorema 7.. Se la serie a è covergete allora lim a = 0. =0 Dimostrazioe Si ha ifatti lim a = lim (s s ) = lim s lim s = 0 i quato, essedo la serie covergete, i limiti di (s ) e di (s ) soo fiiti e coicidoo. Esempio 7.. La serie = + 8 o coverge, perché il termie geerale o è ifiitesimo. Ache la serie ( ) o coverge per lo stesso motivo. =0 Notiamo che la codizioe del teorema è solo ecessaria, ifatti la serie armoica diverge pur essedo lim = 0. Esercizio 7.3. Studiare il carattere della serie. = R Essedo lim = o è soddisfatta ua codizioe ecessaria per la covergeza, quidi la serie, essedo a termii positivi, diverge.

11 CRITERI DI CONVERGENZA PER SERIE A TERMINI POSITIVI Criteri di covergeza per serie a termii positivi Criterio del cofroto Teorema 7.4. (Criterio del cofroto) Siao a e b due serie a termii positivi ed esista 0 N tale che =0 =0 a b per ogi N, 0. Allora si ha. b coverge a coverge; = =. a diverge b diverge. = = Dimostrazioe Esercizio. Esercizio 7.5. Determiare il carattere delle segueti serie. = ;. = ; 3. = ; 4. = ( ) ( + e) 3. R. coverge;. coverge; 3. diverge; 4. coverge. Esercizio 7.6. Determiare il carattere della serie R Per > si ha log < log 3/ = log e quest ultimo è termie geerale di ua serie covergete, quidi per cofroto la serie data coverge. Negli esercizi precedeti si può ache utilizzare il seguete criterio del cofroto asitotico la cui dimostrazioe si ottiee agevolmete usado il criterio del cofroto (teorema 7.4).

12 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Teorema 7.7. (Criterio del cofroto asitotico) Siao a e b due serie a termii positivi, e sia a lim = k. b. Se k 0, + (quidi a = O(b ) per ) allora le due serie hao lo stesso carattere;. se k = 0 (quidi a = o(b ) per )e la serie b coverge allora ache la serie a coverge; 3. se k = + (quidi b = o(a ) per ) e la serie b diverge allora ache la serie a diverge. Criterio della radice Teorema 7.8. (Criterio della radice) Sia a ua serie a termii positivi tale che lim. Se l < la serie coverge;. se l > la serie diverge; a = l. 3. se l = ulla si può affermare sul carattere della serie. Dimostrazioe Se l <, per defiizioe di limite co ε = ( l)/ (positivo i quato l > 0), esiste ε tale che a l+ per ogi ε, cioè a ( l+ ) e quidi la serie coverge per cofroto co ua serie geometrica di ragioe positiva miore di. Aalogamete, se l >, dalla defiizioe di limite co ε = (l )/, esiste ε tale che a l+ per ogi ε,, cioè a ( l+ ) e quidi la serie coverge per cofroto co ua serie geometrica di ragioe maggiore di. Nel caso l = rietrao la serie armoica che diverge e la serie che coverge. Esercizio 7.9. Determiare il carattere della serie = ( ).

13 STRUTTURA LINEARE DELLE SERIE CONVERGENTI 3 R La serie è a termii positivi ed è soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza lim ( ) = 0 Posto a = ( ) si ha lim a = lim = e la serie coverge per il criterio della radice. Struttura lieare delle serie covergeti Utilizzado la defiizioe di serie e le aaloghe proprietà dei limiti, è facile verificare che vale la seguete proprietà: se a e b soo due serie covergeti e λ, µ R allora la serie (λa + µb ) è covergete co somma λ a + µ b. Defiedo el modo baale la somma e il prodotto per uo scalare di serie covergeti si ha allora che l isieme delle serie covergeti è dotato di ua struttura di spazio vettoriale reale di dimesioe umerabile. Esercizio: esibire ua base. Sebbee il limite del prodotto di due successioi covergeti sia uguale al prodotto dei limiti, è bee redersi coto che per le serie o vale ua proprietà aaloga, a meo che o si defiisca il prodotto i maiera opportua. Esercizio 7.0. Servedosi delle serie geometriche, dimostrare che può accadere che a b a b ache se le serie coivolte soo etrambe covergeti.

14 4 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Serie a termii di sego o costate Defiizioe 7.. Ua serie a si dice assolutamete covergete se è covergete la serie =0 a. =0 Teorema 7.. Se ua serie è assolutamete covergete allora è covergete. Dimostrazioe Per ogi N defiiamo due uove successioi di umeri o egativi a + = max{a, 0}, a = mi{a, 0} = max{ a, 0} che si chiamao rispettivamete parte positiva e parte egativa di a e soo ad essa legate dalla relazioe Poiché a = a + a. 0 a +, a a allora, per il criterio del cofroto le serie a + e a soo etrambe covergeti, e per la struttura di spazio vettoriale risulta covergete ache la serie a. Esercizio 7.3. Studiare il carattere delle segueti serie. 3. = log(!) ;. ( ) ta ; 4. =0 = si cos() ; log + +. Esercizi

15 SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO 5 R. Diverge. Ifatti, essedo!, si ha e la serie log log(!) log diverge per l esercizio La serie è a termii di sego o costate e verifica la codizioe ecessaria per la covergeza lim a = 0. Studiamo la covergeza assoluta. si cos() 3 Per cofroto la serie coverge assolutamete. 3. La serie è a termii positivi e coverge perché esiste 0 N tale che ( ) ta 0; dimostrarlo per esercizio usado il fatto che 4. Avedosi la serie coverge. ( ta lim ) =. log + + = log ( + + ) + 0 Cosideriamo la serie Serie a termii di sego altero (7.) ( ) a =0 dove a 0. Allora è chiaro che il sego dei termii ( ) a è positivo se è pari e egativo se è dispari. I u caso come questo si può studiare la covergeza assoluta, oppure si può ricorrere al seguete criterio di covergeza per serie a termii di sego altero.

16 6 CAPITOLO AGGIUNTIVO 7. SERIE NUMERICHE Teorema 7.4. (Criterio di Leibiz) Se (a ) è decrescete e covergete a 0 allora la serie (7.) è covergete. Dimostrazioe Omessa. Esercizio 7.5. Studiare la covergeza e la covergeza assoluta della serie ( ) ( ) ta. = Esercizio 7.6. Studiare il carattere delle segueti serie. ; = = =0 log 3 ; a + + b al variare di a e b i R. Esercizi R. covergete;. covergete; 3. covergete se a, b 0 oppure se a = 0 e divergete i ogi altro caso. Esercizio 7.7. Studiare il carattere delle segueti serie ( ) 3 +. ; 4 + R. =0 = (log ). Soo etrambe covergeti. Esercizio 7.8. Studiare il carattere della serie log! α. al variare del parametro α i R. =

17 ESERCIZI 7 R Coverge se α >, diverge altrimeti. Esercizio 7.9. Determiare il carattere della serie (log ) log. = Esercizio Sia (a ) ua successioe di umeri reali o egativi. Dimostrare che se a coverge allora coverge ache la serie a. R a covergete a 0 a defiitivamete. Allora a a defiitivamete (perché a 0) e quidi la tesi segue dal teorema del cofroto. Esercizio 7.3. Dimostrare che se la serie a coverge assolutamete. a coverge allora la serie R Ifatti dalla disuguagliaza tra umeri reali si ha, poedo α = a e β = / αβ (α + β ) a (a + ) e la tesi segue dal teorema del cofroto.