Ancora con l induzione matematica

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1 Acora co l iduzioe matematica Iformatica@SEFA 017/018 - Lezioe 9 Massimo Lauria <massimo.lauria@uiroma1.it> Veerdì, 1 Ottobre 017 L iduzioe matematica sembra, per come vi è stata presetata la scorsa lezioe, u pasto precotto da utilizzare i maiera molto rigida. Oggi vedremo degli esempi ei quali l uso dell iduzioe è utile o addirittura ecessario, ma il modo i cui viee usata è leggermete meo ovvio. Prima però vediamo u esempio di iduzioe sbagliata che o siamo riusciti a fare la scorsa lezioe. U esempio di iduzioe errata Ua classica applicazioe sbagliata del pricipio d iduzioe è la seguete "dimostrazioe" che porta a cocludere che Tutti i cavalli soo dello stesso colore Vediamo il caso base P(1). Ovviamete i u isieme co u solo cavallo, tutti i cavalli dell isieme soo ello stesso colore. Assumiamo che tutti gli isiemi di cavalli siao dello stesso colore. Se prediamo u I isieme di + 1 cavalli, possiamo otteere due isiemi A e B di cavalli togliedo da I due cavalli distiti. A e B soo rispettivamete costituiti da cavalli dello stesso colore (per l ipotesi iduttiva), e hao 1 cavalli i comue, che soo simultaeamete dello stesso colore dei cavalli i A e dei cavalli i B. Pertato tutti i cavalli di A e B hao lo stesso colore e quidi questo vale ache per i cavalli i I, poiché I A B. 1

2 Duque tutti i cavalli hao lo stesso colore, giusto? Ovviamete o. L errore qui è el caso del passo iduttivo per 1. Ovvero la dimostrazioe che P(1) implica P(). Il fatto (vero) che gli isiemi di u solo cavallo soo moocromatici, o implica che ache gli isiemi di due cavalli lo siao. Nella dimostrazioe abbiamo usato il fatto che l itersezioe di A e B è di 1 cavalli, ma per 1 questa è vuota, e quidi o implica essua idetità tra il colore dei cavalli residui i A e B. Ua breve paoramica degli assiomi di Peao La scorsa lezioe ho acceato all aritmetica di Peao ed al fatto che il ragioameto matematico si basa sull uso della logica formale per dedure uovi fatti da u sistema di assiomi. No vedremo molte cose di logica, ma a questo puto mi sembra il caso di darvi l assiomatizzazioe formale dell isieme N dei umeri aturali. Esiste 0 N Esiste ua fuzioe successore S : N N Se x y allora S(x) S(y) S(x) 0 for every x Se U N tale che 0 U x U implica S(x) U allora U N. É quidi evidete che il pricipio di iduzioe è ierete ai umeri aturali, essedo parte della loro defiizioe assiomatica. Dimostrazioe. Defiire U come l isieme degli per cui vale P(). Iduzioe su variabili multiple (e.g. due) L iduzioe su u parametro (el ostro caso ) è l esempio più semplice. É possibile fare iduzioe su parametri più complicati, ad esempio su variabili multiple.

3 Ordie lessicografico delle strighe Assumiamo di avere u alfabeto A di caratteri, e cosideriamo le strighe i A. I Pytho esiste u cocetto di ordie tra strighe, o più precisamete delle operazioi di cofroto <, >, >=, <=. Queste operazioi determiao quale striga è maggiore o miore basadosi sull ordie lessicografico, che può essere defiito per iduzioe. L ordie lessicografico di A si basa sull ordie di A. Ua volta che quest ordie è be defiito allora si possoo estedere le relazioi <, >, >=, <=. Ci limitiamo all operazioe <. Defiizioe di s < t dove s, t A. per iduzioe su due variabili s e m t. Se m 0 allora s < t è falso. Se 0 e m > 0 allora s < t è vero. I tutti i casi rimaeti > 0 e m > 0 quidi possiamo scrivere s as e t bt co a, b A se a < b allora s < t è vero; se a > b allora s < t è falso; se a b allora s < t se e solo se s < t. def strless(s1,s): if ot isistace(s1,str) or ot isistace(s1,str): raise ValueError("Gli argometi devoo essere due strighe.") elif le(s)==0: retur False elif le(s1)==0: retur True elif s1[0]<s[0]: retur True elif s1[0]>s[0]: retur False else: retur strless(s1[1:],s[1:]) def test_strig_less(s1,s): if strless(s1,s)!= (s1 < s): retur "Errore di implemetazioe." else: retur mi(s1,s) prit(test_strig_less("","")) prit( test_strig_less("b","a")) prit( test_strig_less("ab","ab")) prit( test_strig_less(," afsa17381b ")) prit( test_strig_less( prefisso,"pre")) prit( test_strig_less( 0,"100"))

4 a AB pre 100 I questo esempio ci soo due variabili i gioco, e m, ma i realtà si sta facedo iduzioe matematica su u umero solo. Esercizio: quale? Coefficieti biomiali e fattoriali Sappiamo che il coefficiete biomiale ( m) rappreseta ua quatità itera: il umero di possibili sottoisiemi di {1,,..., } costituiti da m elemeti. Ua ota proprietà di ( m) è che questo sia uguale a (m + )!!m! che quidi deve essere u umero itero. Esercizio: dimostrate per iduzioe che!m! divide (m + )!. Ache qui ci soo due variabili i gioco, ma si può impostare u umero solo su cui fare iduzioe. Idizio: può essere utile dimostrare che qualuque prodotto di r umeri cosecutivi è divisibile per r!. Esempio geuio di iduzioe doppia Cosiderate la fuzioe f (m, ) defiita per m, 1 per iduzioe doppia i questo modo: f (1, 1) ; f (m + 1, 1) f (m, 1) + (m + 1) per m > 1; f (m, + 1) f (m, ) + (m + 1) per m N e > 1. Osservate acora come i casi della defiizioe siao mutuamete esclusivi. Avremmo potuto defiire la stessa fuzioe come ua formula chiusa, 4

5 ifatti f (m, ) (m + ) (m + ) +. (1) Dimostrazioe. Eseguiamo ua doppia iduzioe su m e. Per prima cosa mostriamo la proprietà per 1 e m N, per iduzioe su m. Ovvero mostriamo che f (m, 1) (m + 1) (m + 1). () Nel caso base la proprietà è verificata: f (1, 1). Per il passo iduttivo assumiamo che () sia vera e allora abbiamo che f (m + 1, 1) f (m, 1) + (m +1) (m +1) +(m +1) (m +1). Scriviamo (m +1) +(m +1) (m +1) come (m + 1) + (m + 1) + 1 (m + ) ovvero (m ) (m + ). Questo verifica il passo iduttivo e quidi l equazioe () è vera. Adesso possiamo fare u altra iduzioe su, co m fisso ma arbitrario. I questa secoda iduzioe il caso base è per f (m, 1), ed è dato immediatamete dall equazioe () dimostrata i precedeza. Per il passo iduttivo di questa secodo livello di iduzioe vediamo che f (m, +1) f (m, )+(m + 1) (m +) (m +) ++(m + 1) che può essere scritto come (m + ) + (m + ) + 1 (m + ) + 3 ovvero (m + + 1) (m + + 1) ( + 1) +. Iduzioe o lieare L iduzioe o è ua ricetta o uo schema fisso. A volte è solo u igrediete ed è ecessario avere altre idee per fare uso. Vediamo ora il caso di ua dimostrazioe per iduzioe el quale l uso dell ipotesi iduttiva o è così lieare. Osservate questa disuguagliaza: x y x+y per x, y > 0. Se la riscriviamo come 4 x y x + y questa disuguagliaza ci dice che tra tutti i rettagoli co area fissa, quello co il perimetro miore è il quadrato; oppure tra tutti i rettagoli co perimetro fisso, quello co l area maggiore è il quadrato. Per vedere questo è sufficiete fissare u area A. Per tutte le possibili scelte di x e y co A x y, la disuguagliaza ci dice che il perimetro x + y sarà sempre uguale o maggiore del perimetro del quadrato di area A, che è 4 A. 5

6 Prima di discutere la ostra iduzioe speciale, otate che x y x/+ y/ si ottiee facilmete da ( x y) 0. I due lati della disuguagliaza x y x/ + y/ geeralizzao rispettivamete elle due medie M. geometrica. M. aritmetica. (a 1 a a ) 1/ (3) a 1 + a + + a Teorema 1 (Disuguagliaza AM-GM). Per qualuque > 0, sia a 1, a,..., a ua sequeza di umeri reali o-egativi. Si verifica che (4) (a 1 a a ) 1/ a 1 + a + + a. (5) Dimostrazioe. La dimostrazioe è per iduzioe. Diamo il ome P() all affermazioe che la disuguagliaza valga per sequeze di lughezza. Adottiamo 1 come caso base e vediamo immediatamete che P(1) è vera baalmete. La cosa che distigue questa dimostrazioe per iduzioe è che o faremo vedere come da P() segua P( + 1). Ivece facciamo vedere come P() implichi P(). Fissiamo X g (a 1 a a ) 1/ X a a 1 + a a, (6) e Y g (a +1 a + a ) 1/ Y a a +1 + a a. (7) per l ipotesi iduttiva abbiamo che X g X a e che Y g Y a. Abbiamo che (a 1 a a a +1 a + a ) 1/ X g Y g X a Y a X a + Y a. (8) La prima disuguagliaza è dovuta al fatto che la radice quadrata è ua fuzioe crescete, la secoda è l applicazioe della formula dimostrata prima. Visto che X a+y a è uguale a 1 i 1 a i, abbiamo dimostrato P(). A questo puto o abbiamo acora dimostrato la disuguagliaza per tutti i valori di, ma solo per 1,, 4, 8,..., k,... 6

7 Ora vediamo come "riempire i buchi": per che o è ua poteza di due, fissiamo l uico k per cui k 1 < < k e vediamo come P( k ) implichi P(). Dati a 1,... a defiiamo A a 1+ +a b 1, b,... b k come segue: se i allora b i a i ; altrimeti b i A. Applichiamo l ipotesi iduttiva P( k ), ed otteiamo e costruiamo ua uova sequeza ( a1 a a A (k ) ) 1/ k a 1 + a + + a + ( k )A k k A k A. (9) Maipoliamo le poteze di A e abbiamo (a 1 a a ) 1/k A A (k )/ k A /k, (10) e elevado a poteza k / etrambi i lati otteiamo P(). Avete visto che questa iduzioe si è mossa i maiera o lieare, saltado avati e idietro sui valori di. Questo o è u problema: è sufficiete essere certi che ogi P() vega verificato e che o si sia circolari el ragioameto. 7