Cenni di calcolo combinatorio

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1 Appedice B Cei di calcolo combiatorio B Disposizioi, combiazioi, permutazioi Il calcolo combiatorio si occupa di alcue questioi iereti allo studio delle modalità secodo cui si possoo raggruppare degli oggetti dati Suppoiamo dati oggetti distiti di atura qualsiasi, che idicheremo semplicemete co i umeri,,, Fissiamo poi u umero positivo, o superiore a, e ci propoiamo di formare co gli oggetti dati tutti i possibili gruppi di oggetti Nella formazioe di tali gruppi si possoo seguire due diversi criteri e cioè si può pesare a gruppi ordiati oppure a gruppi o ordiati Cosiderare gruppi ordiati sigifica che i ogi gruppo si tiee coto dell ordie co cui compaioo gli oggetti che lo compogoo, vale a dire che due gruppi si cosiderao diversi, o solo se c è almeo u oggetto che compare i uo e o ell altro, ma ache se, essedo i due gruppi costituiti dai medesimi oggetti, è però diverso l ordie secodo cui questi si susseguoo ei due gruppi Quado co gli oggetti dati iteressa formare tutti i possibili gruppi ordiati di oggetti, si dice che si cosiderao le disposizioi degli oggetti dati di classe Cosiderare ivece gruppi o ordiati vuol dire che i ogi gruppo o si tiee alcu coto dell ordie secodo il quale si susseguoo gli oggetti el gruppo stesso, cioè due gruppi si cosiderao diversi soltato se differiscoo i almeo u oggetto Quado i gruppi di oggetti che si possoo formare co gli oggetti dati si cosiderao o ordiati, si dice che essi formao le combiazioi degli oggetti di classe Ci chiediamo ora quate siao le disposizioi di classe di oggetti Per formare ua di tali disposizioi occorre scegliere l oggetto che si vuole porre al primo posto (questa scelta si può fare i modi diversi), poi l oggetto che deve occupare il secodo posto (scelta che può ora farsi i modi diversi), quidi l oggetto relativo al terzo posto (per il quale sussistoo possibilità di scelta), e così via fio alla scelta dell oggetto da porre al -esimo posto (per il quale ci soo acora ( ) possibilità) E poiché ogi scelta del primo oggetto può associarsi co ua qualuque del secodo, del terzo,, del -esimo oggetto, si coclude che vi soo ( )( ) ( + ) modi diversi di formare ua delle disposizioi cercate e pertato: Il umero delle disposizioi di classe di oggetti è espresso da ( )( ) ( + ) ossia dal prodotto di umeri cosecutivi, decresceti a partire da (B) Come caso particolare si può predere ; ogi gruppo cotiee allora tutti gli oggetti cosiderati ed u gruppo differisce da u altro soltato per l ordie co cui si susseguoo gli oggetti I tal caso, ivece di usare il termie disposizioe di classe degli oggetti, si parla di permutazioe di essi Come caso particolare della (B) si ha che il umero delle permutazioi di oggetti è dato da ( )( ), cioè dal prodotto dei primi umeri iteri Si ha spesso B-

2 Appedice B Cei di calcolo combiatorio occasioe di cosiderare tale prodotto, che viee chiamato il fattoriale di e si idica co il simbolo! Si può duque dire che: Il umero delle permutazioi di oggetti è espresso da ossia dal fattoriale di Osserviamo che risulta evidete la relazioe! 3 ( ) (B)! ( )! che vale per ; coviee rederla covezioalmete valida ache per, poedo per defiizioe 0! (B3) Passiamo ora a valutare il umero delle combiazioi di classe di oggetti Suppoiamo formate tutte queste combiazioi e, fissatae ua qualsiasi, pesiamo di permutare i oggetti che la costituiscoo Da tale fissata combiazioe sorgoo allora! gruppi ordiati, ciascuo di oggetti scelti tra gli dati Immagiado di ripetere questa operazioe per tutte le combiazioi, otteiamo evidetemete le disposizioi di classe degli stessi oggetti Teuto coto della (B), risulta quidi che il umero delle combiazioi è dato dall espressioe ( )( ) ( + )! che si suole idicare brevemete col simbolo e prede il ome di coefficiete biomiale (per il motivo che vedremo el seguito) Si può quidi sitetizzare dicedo che: Il umero delle combiazioi di classe di oggetti è espresso da ( )( ) ( + )! (B4) ossia dal coefficiete biomiale (B5) B Proprietà dei coefficieti biomiali Esamiiamo alcue semplici proprietà dei coefficieti biomiali (B5) i quali hao seso se Se ella frazioe (B4) moltiplichiamo umeratore e deomiatore per ( )!, otteiamo la formula! (B6)!( )! la quale vale per,,, Il primo membro della (B6) o ha seso per 0; tuttavia viee dato covezioalmete u sigificato ache al coefficiete che si ottiee per 0, visto che, teedo coto della (B3), si può scrivere ( 0 )! 0!!!! B-

3 B Proprietà dei coefficieti biomiali Duque, fissato il umero itero 0, restao defiiti gli + coefficieti biomiali, 0,,,, (B7) dati dalla formula (B6) Si oti che da questa segue la relazioe ( ) ( ) (B8) che esprime ua proprietà di simmetria dei umeri della successioe (B7) (il primo è uguale all ultimo, il secodo al peultimo, ecc) Dado a i successivi valori 0,,, 3, e scrivedo su righe successive i corrispodeti umeri (B7) si ottiee il cosiddetto triagolo aritmetico di Tartaglia ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) vale a dire (B9) Per sussiste la relazioe ( ) ( ) + (B0) B-3

4 Appedice B Cei di calcolo combiatorio la quale si dimostra osservado che per la (B6) si ha ( ) ( ) ( )! + ( )! ( )! + ( )!! ( )! ( )! + ( )! ( )! ( )! ( )! ( + )! ( )!!! ( )! La (B0) esprime ua proprietà del triagolo aritmetico di Tartaglia i base alla quale i ogi riga u qualsiasi umero (esclusi il primo e l ultimo) si ottiee sommadoe due della riga precedete, come si vede dalla (B9) B3 Disposizioi e combiazioi co ripetizioe Parlado di disposizioi e di combiazioi di classe di oggetti si è tacitamete supposto che, i ogi gruppo (ordiato o o) di oggetti, u determiato oggetto o potesse comparire più di ua volta Rimuovedo questa restrizioe, cioè ammettedo che, i ogi gruppo di oggetti, u medesimo oggetto possa comparire ache più volte, si parlerà di disposizioi o combiazioi co ripetizioe Naturalmete o sarà più ecessario supporre ; può essere beissimo > Per cotare quate soo le disposizioi co ripetizioe di classe di oggetti basta osservare che quado si vuole formare ua tale disposizioe, ciascuo dei oggetti che la compogoo si può scegliere i modi diversi e perciò si hao i tutto possibilità di scelta Duque: Il umero delle disposizioi co ripetizioe di classe di oggetti è dato da Meo semplice è il computo delle combiazioi co ripetizioe; si ha al riguardo il seguete risultato: Il umero delle combiazioi co ripetizioe di classe di oggetti è dato dal coefficiete biomiale: + B4 Poteza di u biomio Dato u biomio a + b ci propoiamo di calcolare la poteza (a + b) (co itero positivo) Sviluppado, co le ote regole dell algebra, il prodotto (a + b)(a + b) (a + b), (B) ove il umero dei fattori è, si ottiee ua somma di tati termii oguo dei quali è il prodotto di fattori, alcui uguali ad a ed i rimaeti a b Se, i uo qualuque di tali termii, diciamo il umero dei fattori b (può essere 0,,, ), sarà il umero dei fattori a e quidi il termie cosiderato avrà il valore a b Va teuto coto però B-4

5 B4 Poteza di u biomio che, fissato il valore di, di termii uguali a a b o e esiste i geerale uo solo, ma e esistoo tati quati soo i modi di scegliere fra gli fattori a + b del prodotto (B) quei dai quali si voglioo prelevare i fattori b che compaioo i a b ; tali modi soo evidetemete tati quate soo le combiazioi di classe di oggetti Duque, fissato, i termii uguali a a b dao, ello sviluppo del prodotto (B), u cotributo uguale a a b Dado successivamete a i valori 0,,, e sommado i predetti cotributi, deduciamo che lo sviluppo cercato è ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) a + a b + a b + + b, 0 o brevemete (a + b) 0 a b (B) Nella (B), detta formula del biomio, i coefficieti dei prodotti a b soo umeri che si trovao su ua stessa riga del triagolo di Tartaglia, dode il ome di coefficieti biomiali dato ai umeri di tale triagolo Esempio B Come ulteriore applicazioe dei coefficieti biomiali calcoliamo la somma delle poteze r-esime (co r itero) dei primi umeri aturali: σ r () r + r + + r h r h (B3) Osserviamo che si può scrivere (h + ) r 0 h r h r + h r, vale a dire (h + ) r h r h r Sommiamo ora, per h,,,, ambo i membri della (B4), otteedo: [(h + ) r h r ] h h h r, (B4) che equivale alla cioè ( + ) r r ( + ) r h r, h σ r () (B5) B-5

6 Appedice B Cei di calcolo combiatorio Da questa formula possiamo ora otteere, i forma ricorsiva, σ r () per i valori di e r che desideriamo Per r abbiamo: vale a dire: quidi: cioè: Per r : + ( + ) + + σ 0 () ( ) σ (), ( ) σ (), ( ) σ () + ( + ) σ () + σ 0 (), che cosete di trovare la somma dei primi umeri aturali: σ () ( + ) ( ) σ (), Procededo i modo aalogo, la (B5) co r 3 cosete di trovare la somma dei quadrati dei primi umeri aturali Si ottiee ifie: σ () ( ) 6 ( + )( + ) 6 B5 Alcue proprietà delle permutazioi Abbiamo visto che, dati oggetti,,,, essi dao luogo a! permutazioi Per passare da ua permutazioe P ad u altra P occorre spostare alcui elemeti: questa operazioe si chiama sostituzioe sugli elemeti dati I ua geerica permutazioe i i i di,,,, si dice che due elemeti i h, i (co h < ) presetao iversioe (rispetto alla permutazioe fodametale ) quado accade che i h > i Nella permutazioe fodametale o vi soo iversioi, i ogi altra ve è almeo ua ed il computo del umero di iversioi che essa preseta si ottiee cofrotado ogi elemeto co ciascuo dei successivi Ad esempio, data la permutazioe degli elemeti si vede che 3 preseta iversioe co e co ; preseta iversioe co (ache co 3, ovviamete, ma è già stata computata); o preseta iversioi; 5 preseta iversioe co 4 Quidi, i questa permutazioe vi soo 4 iversioi Ciò detto, ua permutazioe si dirà di classe pari o di classe dispari se essa preseta u umero pari o dispari di iversioi Valgoo i segueti risultati Ua permutazioe P dedotta da u altra permutazioe P mediate uo scambio è di classe diversa da quella di P Il umero delle combiazioi di classe pari è uguale al umero di quelle di classe dispari B-6