Algebra delle matrici

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1 Algebra delle matrici Vettori riga, vettori coloa Sia u itero ositivo fissato Ciascu vettore di R uo essere esato come ua matrice riga oure come ua matrice coloa (co elemeti) Per covezioe, idetifichiamo ciascu vettore co ua la corrisodete matrice coloa, duque si avra a (a,, a ), a a a, [a a a T Usiamo il termie vettore riga come sioimo matrice riga e usiamo il termie vettore coloa come sioimo matrice coloa L isieme dei vettori riga viee idicato co R, e l isieme dei vettori coloa viee idicato co R Come cosegueza dell idetificazioe sora descritta, talvolta scriveremo R al osto di R e scriveremo (R ) al osto di R Prodotto di ua riga er ua coloa Defiiamo il rodotto di u vettore riga a T er u vettore coloa b aveti lo stesso umero di comoeti, come il umero reale otteuto moltilicado ciascua comoete di a T er la corrisodete comoete di b, e oi sommado Ad esemio [ I geerale, si ha a T b [a a 2 a b b 2 b a b + a 2 b a b a j b j j La moltilicazioe di ua riga er ua coloa aveti diversi umeri di comoeti o viee defiita Questa oerazioe uo essere utilizzata er raresetare siteticamete le equazioi lieari Ciascua equazioe lieare elle icogite x,, x reali uo essere scritta come a x + a 2 x a x b, [a a 2 a x x 2 x a,, a, b R b

2 e raresetata siteticamete come l equazioe lieare ell icogita x i R a T x b, a T (R ), b R Matrici Termiologia, otazioi Siao m ed due iteri ositivi fissati Ua matrice di tio m su R e ua tabella di m umeri reali disosti su m righe ed coloe; l elemeto della i ma riga e j ma coloa di ua matrice si dice i breve elemeto di osto (i, j) della matrice Le matrici di solito vegoo idicate co lettere maiuscole; er idicare che ua matrice A ha tio m si usa scrivere L isieme delle matrici di tio m su R si idica co A m R m La geerica matrice A di tio m viee solitamete raresetata a a 2 a a 2 a 22 a 2 A, a m a m2 a m oure, iu brevemete, A [ a ij i,,m, j,, o A [ a ij quado il tio e chiaro dal cotesto Si oti che i e j o hao alcu articolare sigificato, otrebbero essere sostituiti da altri due simboli, come h e k Noi useremo talvolta ua otazioe u o diversa, suggerita dai liguaggi di alcue alicazioi er il calcolo come Matlab e Octave Ua volta scelto u simbolo, el ostro caso A, er idicare ua matrice, useremo il simbolo A ij er idicare l elemeto di osto (i, j) i A; ioltre, useremo i simboli A i e A j er idicare risettivamete la riga i ma e la coloa j ma di A Ad esemio, er si ha: A A 2 7, A 2 [ 6 7 8, A, 7

3 Prodotto di due matrici Se il umero delle coloe di ua matrice A e uguale al umero delle righe di ua matrice B, allora ossiamo moltilicare ciascua riga di A er ciascua coloa di B, ed orgaizzare questi rodotti i ua tabella; otteiamo cosi ua matrice detta matrice rodotto (righe er coloe) di A er B, ed idicata co AB Ad esemio, si ha 2 [ I simboli, il rodotto di ua matrice A di tio m er ua matrice B di tio e la matrice AB di tio m A B AB m m data dalla tabella dei rodotti delle m righe di A er le coloe di B : l elemeto di osto (i, j) i AB e dato dal rodotto della riga i ma di A er la coloa j ma di B : (AB) ij A i B j, i,, m, j,, Co riferimeto agli elemeti, si ha (AB) ij A i B j [A i A i2 A i B j B 2j B j A i B j + A i2 B 2j + + A i B j A ih B hj Nella otazioe usuale, la defiizioe di rodotto e la seguete: er A [ a ij i,,m j,, e B [ b ij i,, si oe AB C, dove C [ c ij i,,m e data da j,, j,, c ij a i,h b h,j

4 La moltilicazioe di matrici estede la moltilicazioe dei umeri reali, el seso che le matrici di tio soo umeri reali, e la moltilicazioe di matrici di tio e la moltilicazioe di umeri reali Raresetazioe sitetica di sistemi lieari La moltilicazioe di matrici uo essere utilizzata er raresetare siteticamete i sistemi lieari Ad esemio, ciascu sistema lieare di equazioi i 2 icogite x, x 2 i R uo essere riscritto come a x + a 2 x 2 b a 2 x + a 22 x 2 b 2, (a ij, b R) a x + a 2 x 2 b a a 2 a 2 a 22 a a 2 [ x x 2 e raresetato siteticamete come u equazioe lieare ell icogita x i R 2 b b 2 b, Ax b, A R 2, b R I geerale, ciascu sistema lieare di m equazioi i icogite x, x 2,, x i R a x + a 2 x a x b a 2 x + a 22 x a 2 x b 2 a m x + a m2 x a m x b m uo essere raresetato siteticamete come u equazioe lieare ell icogita x i R Ax b, A R m, b R m Matrici uita Le matrici quadrate che hao sulla diagoale discedete e 0 altrove svolgoo il ruolo del umero, e er questa ragioe vegoo dette matrici uita Eslicitamete, queste matrici soo I [, I 2 [ 0 0, I , ; la matrice I uita di ordie e la matrice quadrata di ordie data da (I )(i, j) { se i j 0 se i j i, j,,

5 La rorieta di queste matrici e che I m A A AI, er ogi m, e er ogi matrice A di tio m Verifichiamo la rima arte di questa rorieta er m 2 e Per ogi matrice [ a b c A d e f di tio 2 si ha I 2 A [ [ 0 a b c 0 d e f [ a + 0d b + 0e c + 0 f 0a + d 0b + e 0c + f [ a b c A d e f I geerale, la rorieta si uo mostrare come segue Da ua arte si ha (I m A) ij (I m ) ih A hj (I m ) ii A ij A ij,,,m er ogi i e j; duque I m A A La dimostrazioe dall altra arte e aaloga Associativita Date tre matrici A, B, C di tii risettivamete m,, q, abbiamo due modi di moltilicarle er otteere ua matrice, che sara di tio m q : Ad esemio, er A (AB)C A(BC) (AB)C, A(BC), B [ 2, e C [ 2 [ 2 ( [ 2 [ 2 ) [ , si ha [8 [ 2 Quello che abbiamo visto su questo esemio vale i geerale La moltilicazioe di matrici ossiede la rorieta associativa: comuque siao date tre matrici A, B, C di tii risettivamete m,, q, si ha (AB)C A(BC)

6 Questa affermazioe si uo dimostrare come segue Da u lato si ha dall altro si ha ((AB)C) ij (A(BC)) ij (AB) ih C hj [ k A ih (BC) hj A ih [ k A ik B kh C hj B hk C kj k k A ik B kh C hj ; A ih B hk C kj ; si osservi che scambiado l ordie delle sommatorie e riomiado gli idici di sommatoria u esressioe si trasforma ell altra Potremo cosi scrivere u rodotto di iu matrici seza usare aretesi Gli elemeti (ABC) ij, i,, m; j,, q, della matrice ABC soo dati da (ABC) ij,, k,, A ih B hk C kj No commutativita Saiamo che il rodotto di due umeri reali o cambia ivertedo l ordie dei fattori, cioe la moltilicazioe di umeri reali ossiede la rorieta commutativa Questa rorieta o vale er la moltilicazioe di matrici, azi i geerale ci si asetta che AB BA Puo succedere che u rodotto esista e che l altro rodotto o esista: 2 [ e [ 2 o esiste

7 U esemio i cui i due rodotti soo defiiti ma diversi: [ [ [ 0 0 0, [ [ [