Esercizi settimanali

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1 Geometria (per il corso di laurea i Fisica), AA 5-6, I semestre Doceti: Erico Arbarello, Alberto De Sole Esercizi settimaali Esercizi per martedì 6 Ottobre Esercizio (Maetti 75) Scrivere i segueti umeri complessi ella forma a + ib: (i) ( i) + i( + i) (ii) ( + 4i)( i) i +i + i i (iii) (iv) ( + i) 4 Esercizio (Maetti 77) Dimostrare che: (i) z = z se e solo se z R; (ii) z = z se e solo se iz R Esercizio (Maetti 78) Trovare u umero complesso z tale che z = + i Esercizio 4 (Maetti 8) Dire, motivado la risposta, se la fuzioe f : C C C data da f(z) = (z, z ) è iiettiva Esercizio 5 (Maetti 8) Scrivere i coordiate polari i umeri (i) + i (ii) ( + i) Esercizio 6 (Maetti 48) Descrivere l isieme del piao formato dai umeri complessi z tali che è u umero reale Esercizi iz +iz per martedì Ottobre Esercizio 7 (Maetti 485) Descrivere il luogo H C dei umeri complessi z tali che z i < z + i Esercizio 8 (Maetti 488) Dimostrare che, per ogi umero complesso z ed ogi umero reale t, il prodotto (z z) (z t) ( z t) è u umero reale Esercizio 9 (Maetti 59) Risolvere le segueti equazioi ella variabile complessa z: (i) z z iz + i =, (ii) z = 5 + i, (iii) z z = i, (iv) z = i, (v) z 4 = z Esercizio (Maetti 694) Sia ξ C tale che ξ + ξ + = Dimostrare che Q(ξ) = {a + bξ a, b Q} è u campo di umeri Calcolare l iverso di + ξ i Q(ξ) Esercizio (Maetti 4) Trovare, se esistoo, due umeri razioali s, t tali che t + s = Esercizio (Maetti 46) Mostrare che il sottoisieme V R dei umeri della forma a + b, co a, b Q, è uo spazio vettoriale su Q ma o è u campo di umeri Esercizio (Maetti 47) Siao V = C C e K = C Per ciascua delle segueti coppie di operazioi di somma e propoddto per scalari, determiare quali tra le 7 codizioi assiomatiche che defiiscoo lo spazio vettoriale soo soddisfatte e quali o lo soo:

2 (i) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), t (a, b) = (ta, b), (ii) (a, b) (c, d) = (a + c, b d), t (a, b) = (ta, tb), (iii) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), t (a, b) = ( t a, t b), (iv) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), t (a, b) = (ta, ), (v) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), t (a, b) = (ta, tb) Esercizi per martedì Ottobre Esercizio 4 (Maetti ) Nello spazio vettoriale R[x], dire quali dei segueti sottoisiemi soo sottospazi vettoriali: (i) U = {p(x) R[x] p() = }, (ii) U = {p(x) R[x] p() = }, (iii) U = {p(x) R[x] p() = }, (iv) U = {p(x) R[x] p() = p() = }, (v) U = {p(x) R[x] p()p() = } Esercizio 5 (Maetti 7) Per quali valoti di t R i quattro vettori, t, t, t, soo liearmete dipedeti? Esercizio 6 (Maetti 8) Siao u, v, w tre vettori liearmete idipedeti i uo spazio vettoriale reale V Provare che per ogi scelta di a, b, c R i vettori u, v + au, w + bu + cv soo acora liearmete idipedeti Esercizio 7 (Maetti ) Sia v,, v ua base di uo spazio vettoriale reale V Dimostrare che per ogi vettore v V esiste t R tale che i vettori v,, v, v + tv, soo liearmete dipedeti Dire ioltre se u tale t è uico Esercizio 8 (Maetti ) Trovare ua corrispodeza biuivoca tra l isieme dei sottospazi U R complemetari al piao π di equazioe x + y + z = (ovvero tali che R = U π) e l isieme dei vettori a b c R tali che a + b + c = Esercizio 9 (Maetti 5) Sia V uo spazio vettoriale di dimoesioe e sia W V u sottospazio di dimesioe m < Dimostrare che W si può otteere come itersezioe di m sottospazi vettoriali di dimesioe (Suggerimeto: estedere ua base di W ad ua base di V ) Esercizi per martedì 7 Ottobre Esercizio (Maetti ) Siao U, W sottospazi dello spazio vettoriale V Mostrare che le segueti tre codizioi soo equivaleti: (a) U W, (b) U W = U, (c) U + W = W Esercizio (Maetti ) Ricordiamo che, dati due sottospazi U, W dello spazio vettoriale V, diciamo che la loro somma U + W V è diretta (e la deotiamo U W ) se ogi elemeto v U + W si scrive i modo uico ella forma v = u+w, co u U, w W, o, equivaletemete, se U W = { V } Similmete, dati tre sottospazi U, W, Z dello spazio vettoriale V, diciamo che la loro somma U + W + Z V è diretta (e la deotiamo U W Z) se ogi elemeto v U + W + Z si scrive i modo uico ella forma v = u + w + z, co u U, w W, z Z Trovare u tre sottospazi U, W, Z di uo spazio vettoriale tali che U W = U Z = W Z = { V }, e la cui somma U + W + Z o sia diretta

3 Esercizio (Maetti ) Calcolare le coordiate del vettore, v =, v = R rispetto alla base v = Esercizio (Maetti ) Siao dati vettori v,, v i uo spazio vettoriale V, ed umeri a,, a R Dimostrare che il sottospazio vettoriale di V geerato dagli ( )/ vettori ha dimesioe al più v ij = a i v j a j v i, i, j, Esercizio 4 (Maetti 4) Dimostrare o trovare u cotroesempio: (i) u applicazioe lieare trasforma vettori liearmete idipedeti i vettori liearmete idipedeti; (ii) u applicazioe lieare trasforma vettori liearmete dipedeti i vettori liearmete dipedeti; (iii) u applicazioe lieare trasforma u sistema di geeratori i u sistema di geeratori Esercizi per Martedì Novembre Esercizio 5 (Maetti 48) Calcolare il rago dell applicazioe lieare R R data da x y x y y z z Esercizio 6 (Maetti 5 ) Sia f : R 5 R 5 ua applicazioe lieare e sia V R 5 u sottospazio vettoriale tale che dim V = e dim(v ker(f)) = 5 Calcolare le dimesioi di f(v ) e di V + ker(f) Dire se f è surgettiva Esercizio 7 (Maetti 5) Trovare due applicazioi lieari f, g : K K tali che f g = e g f Esercizio 8 (Maetti 55) Sia Si dimostri che A = 4 x V = (x, y, z) R A y = z è u sottospazio vettoriale di R Se e calcoli la dimesioe e se e trovi ua base Esercizio 9 (Maetti 6) Sia R[x] lo spazio vettoriale dei poliomi a coefficieti reali di grado miore o uguale a () Mostrare che i tre vettori e = x +, e = x +, e = x + x +, formao ua base di R[x] () Mostrare che i due vettori f = x +, f = x + 4, formao ua base di R[x] () Scrivere la matrice che rappreseta l applicazioe lieare φ : rispetto alle basi {e, e, e } e {f, f } R[x] R[x] p(x) p(x + ) p(x ) (4) Determiare la dimesioe del ucleo e dell immagie di φ Esercizio (Maetti 6) Sia f : R R l applicazioe lieare defiita i coordiate dalla formula x x y f = y 4x 4y Si cosideri l applicazioe lieare Φ : Hom(R, R ) Hom(R, R )

4 defiita da Φ(g) = f g Dimostrare che Φ è lieare, determiare ua base di ker Φ e completarla a ua base di Hom(R, R ) Esercizi per martedì Novembre Esercizio (Maetti 74) Sia A = Determiare tutte le matrici B tali che AB =, e tutte le matrici C tali che CA = Esercizio (Maetti 77) Per ogi umero complesso z = a + ib C defiiamo la matrice a b R(z) = b a Verificare che per ogi z, w C vale R(z + w) = R(z) + R(w) e R(zw) = R(z)R(w) Esercizio (Maetti 8) Sia B ua matrice a coefficieti reali Dimostrare che { } C(B) = A Mat (R) AB = BA è u sottospazio vettoriale di Mat (R) Descrivere C(B) el caso = e B = Esercizio 4 (Maetti 99) Sia A ua matrice tale che A = I Dimostrare che: (a) A I e A + I NON soo etrambi ivertibili (b) ker(l A+I ) ker(l A I ) = (c) AX X ker(l A+I ) per ogi X R (d) rg(a I) + rg(a + I) = Esercizio 5 (Maetti 8-) Mediate riduzioe a scala, calcolare il rago delle segueti matrici: 4 5 (a) (b) a b b c c d d, al variare dei parametri a, b, c, d Esercizio 6 (Maetti ) Determiare, al variare dei parametri a e b, quado i segueti sistemi ammettoo soluzioi, e quado la soluzioe è uica x y + z = 4 (a) x y + az = 5 (b) (c) (d) x 4y + 5z = b x + y + z = x + z = x + y + a z = x + y + z = b ( + a)x + y + z = x + ( + a)y + z = ( a)x y + z = b ( + a)x + y + z = x + ( + a)y + z = b x y + az = a + Esercizi per martedì 7 Novembre Esercizio 7 (Maetti 5) Dire per quali valori di a R la matrice calcolare l iversa 4 a a a è ivertibile e

5 Esercizio 8 (Maetti 6) Risolvere le segueti equazioi matriciali X =, Y = Esercizio 9 (Maetti 8) Calcolare p(), p(), p(), dove p(x) R[x] è il poliomio dato da x x x x p(x) = x 4 x x 4x 5 x 4 6 x 9 Esercizio 4 (Maetti 9) Calcolare il determiate a a a a a b a c d dove a = gli ai del rettore, b = le sorelle di Atai, c = il peso atomico del Cirillio, d = il umero di emeriti Esercizio 4 (Maetti 4) I umeri 48, 95, 89, 89 soo divisibili per Dimostrare, seza effettuare il coto esplicito, che il determiate è divisibile per Esercizio 4 (Maetti 4) Determiare tutte le radici complesse del poliomio x p(x) = x x Esercizi di preparazioe per l esoero del Novembre Esercizio 4 Siao V e W spazi vettoriali È vero che ogi sottospazio vettoriale U V piò realizzarsi come ucleo di ua applicazioe lieare L : V W? Esercizio 44 Siao p, p,, p poliomi di grado tali che p j () = per ogi j =,, Dimostrare che i poliomi p, p,, p o soo liearmete idipedeti Esercizio 45 Sia A = Sia f : M, (K) M, (K), l applicazioe lieare defiita da f(x) = AX per ogi X M, (K) trovare la matrice di f ella base stadard {E,, E,, E,, E } di M, (K) = K 4 Esercizio 46 Sia W il sottospazio di R 5 defiito a x W = R 5 x = x, x = 7x 4 x 5 Trovare ua base di W 5

6 Esercizio 47 Dimostrare che det =! Esercizi per martedì Dicembre Esercizio 48 (Maetti 4) Sia A ua matrice quadrata Trovare ua formula per A i fuzioe di Tr(A) e Tr(A ) Esercizio 49 (Maetti 46) Siao r, Z tali che r <, e sia σ S la seguete permutazioe dei umeri,, : { i + r se i r σ(i) = i + r se r < i Calcolare il sego di σ Esercizio 5 (Maetti 5) Siao A Mat m m R, B Mat R e C Mat m R Dimostrare che (a) A C B = A B ; (b) B A C = ( )m A B Esercizio 5 (Maetti 5) Dimostrare, sia usado lo sviluppo di Laplace lugo la prima riga, sia, per iduzioe, usado lo sviluppo di Laplace lugo la prima coloa, che a a a a λ λ = ( ) (a λ + a λ + + a ) λ Esercizio 5 (Maetti 5) Dimostrare che il determiate di ua matrice atisimmetrica a coefficieti complessi di ordie 5 è Esercizio 5 (Maetti 6) Dimostare o trovare u cotroesempio per la seguete affermazioe: se A è ua matrice 4 tale che i determiati delle sottomatrici formate da due coloe vicie di A soo tutti ulli, allora A ha rago miore di Esercizi per giovedì Dicembre Esercizio 54 (Maetti 68) Siao A e B due matrici (quadrate) simili Dimostrare che A e B hao la stessa traccia per ogi Esercizio 55 (Maetti 7) Verificare che le matrici A = e B = soo simili Più i geerale dimostrare che ogi matrice A = (a ij ) i,j= Mat R è simile alla matrice B = (b ij ) i,j= otteuta per rotazioe di 8, ossia b ij = a + i,+ j Esercizio 56 (Maetti 7) Mostrare che per ogi a le matrici A = a a a soo simili 6 e B =

7 Esercizio 57 (Maetti 79) Si cosideri l edomorfismo T : R R, dato da x x + y T = y x y Scrivere le matrici A e B che ( rappresetao ) ( T, rispettivamete, ) ella base caoica di R e ella base B = (v, v ), dove v = e v = Verificare che A e B hao lo stesso poliomio caratteristico Trovare ua matrice ivertibile P GL tale che B = P AP Esercizio 58 (Maetti 8) Si cosideri lo spazio vettoriale R[x] dei poliomi di grado miore o uguale a, e l edomorfismo T : R[x] R[x] dato da Calcolare il determiate di T T (p(x)) = d p(x) d x + 5dp(x) dx Esercizio 59 (Maetti 8) Calcolare poliomio caratteristico, autovalori reali e rispettivi autovettori delle segueti matrici: 4 (a), ( 5 ) 4 (b), 4 (c), (d), (e), 5 6 (f) Per ciascua di esse stabilire se soo diagoalizzabili e, evetualmete, determiare matrici P ivertibile e Λ diagoale tali che A = P ΛP Esercizi per martedì 5 Dicembre Esercizio 6 (Maetti 7) Trovare due matrici 4 4 ilpoteti dello stesso idice di ilpoteza che o soo simili (L idice di ilpoteza di ua matrice ilpotete A è il piu piccolo itero positivo tale che A = ) Esercizio 6 (Maetti ) Della matrice A Mat (R) sappiamo che: () la prima riga è (,, ), () A è diagoalizzabile, () la traccia di A è pari a, (4) i due vettori Determiare la matrice A e soo autovettori di A Esercizio 6 (Maetti 5) Determiare la forma caoica di Jorda delle segueti matrici sul campo dei umeri complessi: 9 64 (i) ; 5 4 (ii) 7 4 ; 9 5 7

8 (iii) Esercizio 6 (Maetti 5) Determiare la forma caoica di Jorda delle segueti matrici sul campo dei umeri complessi: (i) ; (ii) 4 ; 5 (iii) Esercizi per martedì Dicembre Esercizio 64 (Maetti 5) Determiare la forma caoica di Jorda J delle segueti matrici sul campo dei umeri complessi: (i), (ii), e determiare ua matrice ivertibile P tale che A = P JP Esercizio 65 (Axler 6A-) Dire se le segueti fuzioi R R R soo prodotto Euclidei oppure o e, el caso o lo siao, dire quali assiomi di prodotto scalare Euclideo soo verificato e quali o: x y () = e = x x y y + x y ; x y () = e x y = x y + x y x y Esercizio 66 (Axler 6A4) Sia V uo spazio Euclideo reale Dimostrare che: (a) per ogi u, v V, vale u + v u v = u v ; (b) se u = v, allora u + v u v; (c) le diagoali di u rombo soo perpedicolari tra loro Esercizio 67 (Axler 6A5) Sia V uo spazio Euclideo reale di dimesioe fiita, e sia T Ed(V ) tale che T (v) v per ogi v V Dimostrare che T I è ivertibile Esercizio 68 (Axler 6A8) Sia V uo spazio Euclideo (reale o complesso) di dimesioe fiita Dimostrare che se u e v, allora u v u v Esercizio 69 (Axler 6A) Dimostrare che, dati umeri reali positivi x, x,, x, vale (x + x + + x ) (x + x + + x ) 8

9 Esercizi per martedì Geaio Esercizio 7 (Axler 6A6) Siao u, v V tali che u =, u + v = 4 e u v = 6 Calcolare v Esercizio 7 (Axler 6B) Siao e,, e m vettori ortoormali dello spazio Euclideo V, ovvero v i v j = δ i,j per ogi i, j Sia v V Dimostrare che v = e v + + e m v se e solo se v Spa{e,, e m } Esercizio 7 (Axler 6B7) Si cosideri lo spazio Euclideo R[x] co prodotto Euclideo f(x) g(x) = f(x)g(x)dx Si cosideri il fuzioale lieare ψ : R[x] R dato da ψ : p(x) p( ) Trovare u poliomio q(x) R[x] tale che ψ(p) = q p per ogi p(x) R[x] Esercizio 7 (Axler 6C4) Sia U R 4 il sottospazio geerato dai vettori ua base ortoormale di U ed ua base ortoormale di U Esercizio 74 (Axler 6C) Sia U R 4 il sottospazio geerato dai vettori ioltre v = 4 4 e R4 Trovare u U tale che u v sia il più piccolo possibile Esercizio 75 (Axler 7A) Sia T : R R dato da T per l operatore aggiuto T x x x = x x 5 4 e Trovare Sia Trovare ua formula Esercizio 76 (Axler 7A) Sia T : V V u operatore dello spazio Euclideo V e sia U V u sottospazio Dimostrare che U è u sottospazio ivariate per T se e solo se U è ivariate per T 9