Lezione 22. Fattorizzazione di ideali.

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1 Lezioe Peequisiti: Lezioi 0, Fattoizzazioe di ideali Teoema Sia A u domiio di Dedekid, e sia I u suo ideale popio o ullo Alloa esistoo uici ideali pimi o ulli P,, P a due a due distiti ed uici umei itei positivi,, tali che La decomposizioe (*) si dice fattoizzazioe di I I = P P (*) Dimostazioe: Poviamo dappima l esisteza Suppoiamo pe assudo che l isieme S degli ideali popi o ulli di A che o ammettoo ua decomposizioe (*) sia o vuoto Essedo, i base alla Defiizioe 08, A oetheiao, i vitù della codizioe b) della Defiizioe 8, S ammette alloa u elemeto massimale I Sia I 0 u ideale massimale coteete I Alloa I 0 è u ideale pimo o ullo Quidi, pe la Poposizioe 8, esiste u ideale fazioaio J tale che A J e I0J = A Segue che I = IA IJ I0J = A, quidi IJ è u ideale iteo Iolte IJ I : lo si dimosta pocededo come ell ultima pate della dimostazioe della Poposizioe 8 Ifie, IJ è u ideale popio Ifatti, se fosse IJ = A, alloa saebbe I0 J = IJ, da cui I0 JI = IJI, e duque I0 = I, il che è impossibile, dato che I0 S State la massimalità di I, IJ è quidi podotto di ideali pimi o ulli Alloa lo stesso vale pe IJI0 = I, assudo Poviamo oa l uicità della decomposizioe (*) Suppoiamo che si abbia ove m P Q P i, Q j soo ideali pimi o ulli e i m j m s s P = Q, (), soo itei positivi Poiché il podotto a pimo membo è coteuto i P, lo stesso vale pe il podotto a secodo membo Duque, i vitù della Poposizioe b), si ha che Q j P pe qualche j Ma, essedo Q j u ideale massimale i vitù della Defiizioe 08, segue che Q j = P Pe cocludee la dimostazioe, si moltiplichio etambi i membi di () pe P e si poceda pe iduzioe Ossevazioe Il Teoema stabilisce, pe i domii di Dedekid, ua popietà di fattoizzazioe uica valida o pe gli elemeti (o ulli e o ivetibili), ma pe gli ideali (divesi dall ideale ullo e dall aello stesso) La dimostazioe icalca fedelmete quella del Teoema Fodametale dell Aitmetica, oppue l aaloga agometazioe co cui si pova che l aello dei poliomi i u idetemiata a coefficieti i u campo è u UFD (vedi Algeba, Teoema 97) I effetti, i u PID (che, i base alla Poposizioe 94 di Algeba, è sempe u UFD) gli ideali pimi o ulli soo tutti e soli gli ideali della foma ( p ), ove p è u elemeto pimo: e deiva che l esisteza ed uicità della fattoizzazioe di u geeico ideale popio o ullo (a) equivale alla aaloga popietà dell elemeto a (che è ecessaiamete o ullo e o ivetibile): se

2 è la fattoizzazioe di a, alloa a = p p ( a) = ( p) ( p ) è la fattoizzazioe dell ideale (a) L esisteza ed uicità della fattoizzazioe stabilite dal Teoema valgoo peò, pe ua classe di aelli più ampia di quella dei PID e degli UFD: l Ossevazioe 06 mosta, ifatti, che o tutti i domii di Dedekid soo UFD Coollaio Pe ogi ideale o ullo I di u domiio di Dedekid A esiste u ideale fazioaio J tale che IJ = A Dimostazioe: Se I = A, J = A Sia I A Se I = P P è ua fattoizzazioe di I, alloa si può pedee J = P P (essedo P = ( P ) ) Si icoda che l iveso di u ideale pimo o ullo esiste i vitù della Poposizioe 8 Esempio 4 Nel domiio di Dedekid Z [ poviamo che vale la seguete fattoizzazioe 4 ( 6) = P P P P, () ove P =, + i 5), P = (, i 5), P = (, + i 5), P = (, 5) soo ideali pimi ( 4 i di Z [ Si veifica ifatti che Z, e Z P P P P4 (povae pe esecizio) Poviamo () Si ha che P P = (() + ( + i 5))(() + ( i 5)) = (9) + ( + i 5) + ( i 5) + (6) () () 4 = dove l ultima uguagliaza si pova facilmete veificado le due iclusioi Aalogamete si pova che Quidi, ifie, P P () (4) = P P P P = ()() (6) 4 = La decomposizioe () è uica, i vitù del Teoema No è peò uica la decomposizioe di 6 i fattoi iiducibili i Z [ Ifatti, come sappiamo dall Ossevazioe 88 di Algeba, 6 = = ( + i 5)( i 5) soo due distite decomposizioi Esse coispodoo alle segueti decomposizioi dell ideale (6):

3 ( 6) = () () = ( + i 5)( i 5) Queste o soo, peò, decomposizioi i ideali pimi: ad esempio, l ideale () o è pimo peché o è u elemeto pimo di Z [ Esse scatuiscoo dalla () agguppado oppotuamete i fattoi, ifatti, olte alla () e alla (4) si ha: ( + i 5) = P P = P P, ( i 5) 4 Nota stoica La modea teoia degli ideali asce da qui: l idea di itodue gli ideali pe ecupeae, pe gli aelli D K che o soo UFD, ua popietà di fattoizzazioe uica, isale all Ottoceto, ed è del matematico tedesco Est Eduad Kumme (80-89) Egli studiò i campi ciclotomici (ossia i campi umeici del tipo K = Q(ω ), ove ω è u adice p-esima dell uità, essedo p u umeo pimo) el tetativo di dimostae l Ultimo Teoema di Femat I dettagli possoo essee tovati i [Ri], mete u ceo alla teoia di Kumme è coteuto i [B], Capitoli e A Kumme isale ache il seguete citeio patico di fattoizzazioe di alcui ideali degli ideali D K Nel suo euciato viee pesupposta la popietà stabilita ella Poposizioe 98 **Teoema 5 (Citeio di Kumme) Sia K u campo umeico, e sia D K = α ] Sia f ( x) x] il poliomio miimo di α su Q Sia, iolte, p u umeo pimo (i Z) Idicata co f ( x ) la iduzioe di f ( x ) modulo p, siao f ( x),, f ( x) ] moici tali che f ( ),, ( ) x f x x siao iiducibili i Z p [x], a due a due distiti, e, pe oppotui itei positivi,,, si abbia ( ) ( ) ( ) f x f x f x Alloa, posto, pe ogi i =,,, P = ( p, ( α)), i f i ( p) = P P è ua fattoizzazioe dell ideale picipale (p) i Z [α ] I paticolae, se f (x) è iiducibile i Z p [x], alloa l ideale (p) è pimo i Z [α ] Dimostazioe: [Mi], Theoem 4 Ossevazioe 6 Il Teoema 5 pemette di detemiae la fattoizzazioe di ogi ideale picipale (m) di D K, ove m è u iteo maggioe di Se è la fattoizzazioe di m i Z, alloa si ha m = p u p u s s u ( ) ( p ) s u s m = ( p )

4 Si applica quidi il Teoema 5 ad oguo degli ideali ( p i ) Vediamo alcue applicazioi Esempio 7 Ricaviamo la fattoizzazioe di (6) i Z [, già esamiata ell Esempio 4 Dalla fattoizzazioe 6 = i Z, si icava la decomposizioe ( 6) = () () Il poliomio miimo di α = i 5 su Q è f ( x) = x + 5, la cui iduzioe modulo ha la fattoizzazioe f ( x) = x + = ( x + ), mete la fattoizzazioe modulo è f ( x) = x + = ( x + )( x + ) I base al Teoema 5 si ha che ( ) = (, + i 5), Si icava la fattoizzazioe ( ) = (, + i 5)(, + i 5) (6) = (, + i 5) (, + i 5)(, + i 5), che coicide co quella pecedetemete tovata: ifatti (, + i 5) = (, i 5), e (, + i 5) = (, i 5) Il pocedimeto che abbiamo appea effettuato si estede facilmete ad u abitaio campo quadatico Diamo di seguito, seza dimostazioe, u isultato i tal seso Poposizioe 8 Sia m u iteo pivo di quadati tale che m o m (mod 4) Sia K = Q( m) Sia p u umeo pimo a) Se esiste a Z tale che a m (mod p), alloa b) Altimeti (p) è u ideale pimo ( p) = ( p, a + m) ( p, a m) Esecizio 9 Detemiae i umei pimi che soo elemeti pimi di Z [i] Svolgimeto: Sia p u umeo pimo Alloa p è u elemeto pimo di Z [i] se e solo se ( p ) è u ideale pimo di Z [i] I base alla Poposizioe 8 ciò avviee se e solo se la cogueza

5 x (mod p) o ha soluzioe, se e solo se p (mod 4) : l ultima equivaleza è u oto isultato di teoia dei umei elemetae (vedi, ad esempio, [PC], pag 95 e segueti) Quidi i umei itei che soo pimi i i] soo:, 7, 9,,, Ad esempio, il umeo 5 o è pimo, peché o è iiducibile: ifatti ua sua decomposizioe o baale è 5 = ( + i)( i) Ricodiamo che Z [i] è u domiio euclideo (vedi Algeba, Poposizioe 64) quidi è u PID (vedi Algeba, Poposizioe 65), e i u PID le ozioi di elemeto pimo ed elemeto iiducibile coicidoo (vedi Algeba, Coollaio 8) Esecizio 0 Sapedo che, pe K = Q( ), D = ], tovae ua fattoizzazioe di (5) i Z [ ] Svolgimeto: Applichiamo il Teoema 5 Il poliomio miimo di su Q è f ( x) = x La sua iduzioe modulo 5 è K ed ha, i Z 5, adice Si ha alloa f x ( ) x = +, f ( x) = ( x + )( x + x + 4), dove il secodo fattoe è iiducibile su Z 5, peché ivi pivo di adici Segue che (5) = (5, + )(5,4 + Estediamo oa il isultato stabilito el Teoema ad u qualuque ideale fazioaio popio o ullo di u domiio di Dedekid Poposizioe Sia A u domiio di Dedekid Sia I u suo ideale fazioaio popio o ullo Alloa esistoo uici ideali pimi o ulli P,, P a due a due distiti ed uici umei itei o ulli,, tali che + 4) I = P P (**) Dimostazioe: Basta suppoe che I sia u ideale fazioaio popio o iteo Sia a u deomiatoe di I, così che I = ( a) ai Gli ideali itei (popi, o ulli) (a) ed ai di A si decompogoo, i vitù del Teoema, el podotto di ideali pimi o ulli Ciò pova l esisteza di ua decomposizioe (**) L uicità si pova come ella dimostazioe del Teoema, passado ad espoeti positivi (pe moltiplicazioi co oppotui ideali pimi) Ossevazioe Abbiamo così stabilito che ogi ideale fazioaio o ullo di u domiio di Dedekid A ammette u iveso: si ha che A = A, e, se I è u ideale fazioaio popio o ullo, di fattoizzazioe I = P P, alloa I = P P Abbiamo quidi aggiuto lo scopo che ci eavamo pefissi al temie della lezioe pecedete Coollaio L isieme degli ideali fazioai o ulli di u domiio di Dedekid A è u guppo abeliao moltiplicativo (deotato I ( )

6 Defiizioe 4 Sia A u domiio d itegità, sia K u suo campo dei quozieti U ideale fazioaio di A si dice picipale se è del tipo A α pe qualche α K Sciveemo, pe semplicità, (α ) Poposizioe 5 L isieme P ( degli ideali fazioai picipali o ulli di u domiio di Dedekid A è u sottoguppo di I ( Dimostazioe: Poiché A = (), A P( Siao I = ( α ), J = ( β ) P( Alloa IJ = ( α )( β ) = ( αβ ) P( Defiizioe 6 Il guppo quoziete Cl ( = I ( è detto guppo delle classi di ideali di P( A Il suo odie è detto umeo delle classi di ideali Il guppo moltiplicativo abeliao Cl ( ci dà ua misua di quato u domiio di Dedekid A si discosti dall essee u PID (o, equivaletemete, u UFD, i base al Coollaio 00) Poposizioe 7 U domiio di Dedekid A è u PID se e solo se Cl ( = Dimostazioe: Sia A u PID Alloa ogi ideale iteo di A è picipale Sia I u ideale fazioaio o ullo di A e sia a u suo deomiatoe Alloa ai è u ideale iteo, pe cui ai = (b) pe qualche Cl ( = b b A Segue che I = ( a ) è u ideale fazioaio picipale Quidi I ( = P(, cioè Vicevesa, sia Cl ( = Alloa, i paticolae, ogi ideale iteo I di A è u ideale fazioaio picipale, ossia I = (α ) pe qualche α K Ma alloa α I A, quidi I è l ideale picipale iteo di A geeato da α Quidi A è u PID Veificheemo più avati che, ad esempio, Cl( Z [ ) = Ossevazioe 8 Si può dae ua defiizioe alteativa di Cl( A ) Sull isieme It ( degli ideali itei o ulli del domiio di Dedekid A (co campo dei quozieti K) itoduciamo la seguete elazioe biaia: I, J It(, I ~ J α K tale che I = αj È facile veificae che ~ è ua elazioe di equivaleza Cosideiamo l applicazioe ϕ : It( I( = Cl( P( I IP( Poviamo che ϕ è suiettiva Sia I u ideale fazioaio di A Alloa esiste ai sia u ideale iteo di A, e quidi ϕ ( ai ) = aip( = I( a) P( = IP(, a A o ullo tale che

7 dove l ultima uguagliaza segue dal fatto che ( a) P( Iolte, pe ogi I, J It(, si ha che ϕ ( I ) = ϕ( J ) se e solo se IJ P( se e solo se esiste α K tale che IJ = ( α), se e solo se esiste α K tale che I = αj se e solo se I ~ J Segue che ϕ iduce ua biiezioe * ϕ : It( Cl( ~ Poedo, pe ogi I, J It(, [ I][ J ] = [ IJ ], ad imitazioe dell'idetità ( IP( )( JP( ) = IJP( di Cl (, si muisce It( di ua stuttua di guppo moltiplicativo isomofo a Cl ( Essa è ~ ua ealizzazioe equivalete del guppo delle classi di ideali di A Pima di pocedee co la teoia del guppo delle classi di ideali, vediamo di stabilie u impotate popietà dell aitmetica degli ideali ei domii di Dedekid, che coispode a ua be ota popietà di divisibilità dei umei itei: u umeo che divide alti due umei divide ache la loo somma Questa popietà ci saà utile ella Lezioe 5 Pemettiamo la seguete: Ossevazioe 9 Sia A u domiio di Dedekid, siao I, J suoi ideali o ulli Se I divide J, cioè esiste u ideale I ' tale che II ' = J, alloa J I Vicevesa, se J I, alloa sia L = I J I I = A L è u ideale di A tale che J = LI, pe cui I divide J Abbiamo così povato la egola fodametale: I divide J I cotiee J Esecizio 0 Sia A u domiio di Dedekid Siao I,J,L ideali di A Povae che se L divide I e L divide J, alloa L divide I + J Svolgimeto: Suppoiamo che L divida I Alloa I + J L, cioè L divide I + J I L Se L divide J, alloa J L Quidi