UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE APPUNTI PER IL SEMINARIO DI ELEMENTI DI TEORIA DELLA PROBABILITÀ A.A. 2007/2008

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE APPUNTI PER IL SEMINARIO DI ELEMENTI DI TEORIA DELLA PROBABILITÀ A.A. 007/008 Questi apputi soo stati cocepiti come u aiuto didattico per gli studeti della Facoltá di Ecoomia. Ogi uso diverso é vietato. Defiizioi fodametali Defiizioe. (σ-algebra Siao Ω u isieme o vuoto, P(Ω l isieme dei sottoisiemi di Ω ed F P(Ω ua famiglia di parti di Ω. F si defiisce σ-algebra se e solo se F, Ω F; F é chiusa rispetto all operazioe di complemetare: se A F allora A C F; F é chiusa rispetto all operazioe di uioe umerabile: se (A N è ua successioe tale che A F N, allora N A F. Teorema Siao Ω u isieme o vuoto, P(Ω l isieme dei sottoisiemi di Ω ed (F j j J ua famiglia di σ-algebre parti di Ω. Tesi F = j J F j é ua σ-algebra parti di Ω Osservazioe Siao Ω u isieme o vuoto, P(Ω l isieme dei sottoisiemi di Ω ed (F j j J σ-algebre parti di Ω. No é detto che F = F j sia ua σ-algebra parti di Ω j J ua famiglia di Defiizioe. (σ-algebra geerata Siao Ω u isieme o vuoto, P(Ω l isieme dei sottoisiemi di Ω e G ua famiglia di parti di Ω. Sia A la famiglia di tutte le σ-algebre H tali che si abbia G H. La σ-algebra F = H si dice σ-algebra geerata da G. H A Defiizioe.3 (σ-algebra dei boreliai. Sia Ω = R e sia G la famiglia di tutti i sottoitervalli di R. La σ-algebra geerata da G si idica co B(R e prede il ome si σ-algebra dei boreliai di R,. Sia Ω R e sia G la famiglia di tutti i sottoitervalli di Ω. La σ-algebra geerata da G si idica co B( e prede il ome si σ-algebra dei boreliai di Ω. Defiizioe.4 (misura di probabilitá Sia F ua σ-algebra di parti di Ω. Si dice che P : F [0, ] è ua probabilità se: P ( = 0, P (Ω =, se (A N è ua successioe di elemeti di F tale che A Am = se é m allora: ( + + P A = P (A. La tera (Ω, F, P si dice spazio di probabilità. = =

2 Defiizioe.5 (variabile aleatoria Sia (Ω, F, P uo spazio di probabilità. Si dice che X : Ω R è ua variabile aleatoria (v.a. se per ogi t R, l isieme X (], t] = {ω Ω X(ω t} è u elemeto di F, cioé X (], t] F. Idicheremo co L 0 (Ω l isieme di tutte le variabili aleatorie. Quidi la scrittura X L 0 (Ω vuol dire che X é ua variabile aleatoria. Defiizioe.6 (misura immagie Sia (Ω, F, P uo spazio di probabilità e sia X L 0 (Ω. Defiizioe.7 (fuzioe di ripartizioe Sia X : Ω R ua v.a. La fuzioe F : R R defiita da si defiisce fuzioe di ripartizioe (f.r. della v.a. X. Valgoo i segueti teoremi. t R F (t = P ({ω Ω X(ω t} Teorema Sia X : Ω R ua v.a. e sia F : R R la fuzioe di ripartizioe di X. Tesi:. F è mootoa o decrescete, ossia: t, t R, t < t F (t F (t. t F (t = 0 3. t + F (t = 4. F è cotiua a destra ossia t 0 R, F (t = F (t 0 t t + 0 Teorema 3 Sia F : R R ua fuzioe che verifica le segueti proprietá:. F è mootoa o decrescete, ossia: t, t R, t < t F (t F (t. t F (t = 0 3. t + F (t = 4. F è cotiua a destra ossia t 0 R, F (t = F (t 0 t t + 0 Tesi: Esiste uo spazio di probabilitá (Ω, F, P ed esiste ua variabile aleatoria X : Ω R tale che F sia la relativa fuzioe di ripartizioe. Defiizioe.8 Diremo che ua fuzioe f : R R è ua desità se:. x R, f(x 0. f è itegrabile i R 3. + f(x dx = Defiizioe.9 Si dice che la v.a. X è assolutamete cotiua se esiste ua fuzioe di desità f tale che Assegati µ R e σ > 0 la fuzioe F (t = P ({ω Ω X(ω t} = t f(x = e (x µ σ πσ f(xdx t R è ua desità. Ua v.a. X co tale fuzioe di desità si dice v.a. Normale o di Gauss e si scrive X N(µ, σ. Se µ = 0 e σ =, allora X si dice ormale stadard. Se X N(0, è ua v.a. ormale stadard allora Y = σx + µ ha distribuzioe N(µ, σ.

3 Defiizioe.0 Sia (Ω, F, P uo spazio di probabilità. Si dice che X : Ω R è u vettore aleatorio (oppure ua v.a. multidimesioale se le fuzioi compoeti di X = (X, X,..., X soo v.a. Defiizioe. Sia X : Ω R u vettore aleatorio allora la fuzioe F : R R defiita dalla relazioe: (t, t,..., t R F (t, t,..., t = P ({ω Ω X (ω t, X (ω t,..., X (ω t } si dice fuzioe di ripartizioe cogiuta di X. Defiizioe. Le v.a. X, X,..., X si dicoo idipedeti se e solo se per ogi A B R,...,A B R si ha P ( {ω Ω X k (ω A k } = k= P ({ω Ω X k (ω A k }. Nel seguito, allo scopo di abbreviare le otazioi, l isieme X (A = {ω Ω X(ω A} sará deotato co il simbolo (X A e l isieme X (], t] = {ω Ω X(ω t} sará deotato co il simbolo (X t. k= Teorema 4 Le v.a. X, X,..., X soo idipedeti se e solo se t, t,..., t R si ha: P ( (X k t k = k= P (X k t k. Quidi se F (t,..., t è la f.r. del vettore aleatorio (X,..., X e se F,... F soo rispettivamete le f.r. di X,...,X, si ha F (t,..., t = F (t F (t. Le seguete defiizioe estede la ozioe di idipedeza ad ua famiglia, o ecessariamete fiita, di variabili aleatorie Defiizioe.3 Sia T u isieme di idici e sia (X t t T ua famiglia di variabili aleatorie. Le (X t t T si dicoo idipedeti se per ogi sottoisieme fiito S T, le v.a. (X s s S soo idipedeti. Defiizioe.4 (VALORE MEDIO. I Sia X : Ω R ua v.a. co X(ω 0 ω Ω.. Assegato N, sia p = {E, E,..., E } ua partizioe fiita co isiemi misurabili di Ω, cioé p é u isieme fiito di sottoisiemi di Ω co E k F k =,,...,, E k E j = se k j e tali che k= E k = Ω,. Per ogi k =,,..., sia m k = if X(E k, 3. Sia s(x, p = m k P (E k ; s(x, p si dice somma itegrale iferiore della v.a. X rispetto alla partizioe p, k= 4. Sia I = sup {s(x, p p partizioe fiita co isiemi misurabili di Ω} 5. X si dice itegrabile (secodo LEBESGUE su Ω se e solo se si ha I R. Il umero I viee idicato ache co il simbolo E(X e si chiama valore atteso o valore medio di X su Ω. II Sia X : Ω R ua v.a. e siao X + : Ω R ed X : Ω R rispettivamete la parte positiva e la parte egativa della variabile aleatoria X defiite come segue: ω Ω X + (ω = max {X(ω, 0} ed X (ω = max { X(ω, 0}. X si dice itegrabile (secodo LEBESGUE su Ω se e solo se soo itegrabili sia X + e sia X. I tal caso si poe, per defiizioe, E(X = E(X + E(X. Il valore E(X si dice ache valore medio di X. Defiizioe.5 Sia (Ω, F, P uo spazio di probabilità.. Idicheremo co L (Ω l isieme di tutte le variabili aleatorie reali X che ammettoo valore atteso. Cioé: k= L (Ω = {X : Ω R X v.a., ed E(X R}. 3

4 . Idicheremo co L (Ω l isieme di tutte le variabili aleatorie reali X tali che X ammette valore atteso. Cioé: L (Ω = { X : Ω R X v.a., ed E(X R }. 3. Assegato p R co p, idicheremo co L p (Ω l isieme di tutte le variabili aleatorie reali X tali che X p ammette valore atteso. Cioé: L p (Ω = {X : Ω R X v.a., ed E( X p R}. Teorema 5 Sia X ua v.a. assolutamete cotiua co desità f. Se si ha: + x f(xdx < + allora X ha valore atteso e si ha: E(X = + xf(xdx.. Se si ha: + x f(xdx < + allora di X ha valore atteso e si ha: E(X = + x f(xdx. 3. Assegato p R co p, se si ha: + x p f(xdx < + allora di X ha valore atteso di ordie p e si ha: E( X p = + x p f(xdx. Teorema 6. Se X e Y ammettoo speraza matematica, cioé se X L (Ω ed Y L (Ω, allora: α, β R αx + βy L (Ω e si ha: E(αX + βy = αe(x + βe(y.. Se X e Y ammettoo speraza matematica, cioé se X L (Ω ed Y L (Ω, e soo ache idipedeti allora: E(XY = E(XE(Y. Teorema 7 Disuguagliaza di CAUCHY-SCWARTZ. Se X e Y ammettoo speraza matematica di ordie, cioé se X L (Ω ed Y L (Ω, allora XY L (Ω e si ha: [E(XY ] E(X E(Y. Ioltre si ha: [E(XY ] = E(X E(Y λ R : X = λy. Dimostrazioe. Si cosiderio α R e la variabile aleatoria X αy. Ovviamete α R si ha: E [ (X αy ] 0 ed E [ (X αy ] = E [ (X αxy + α Y ] = E ( X αe (XY + α E ( Y. Pertato: Quidi risulta: Cioé: E ( X αe (XY + α E ( Y 0. [E (XY ] E(X E(Y 0. [E (XY ] E(X E(Y. Ioltre se si ha [E(XY ] = E(X E(Y ed é E(XY = E(X E(Y risulta: E ( X α E(X E(Y + α E ( Y 0 α R 4

5 da cui: ( E (X α E(X ( E(Y + α 0 α R cioé ( E (X α E(Y 0 α R. Se poi si ha ache E(Y > 0 e cosiderato si ha E (X α = X = E (X Y. Ifatti si ha: ( E X E (X Y = E X X ( E (X E Y + (X Y = E [ ( X ] E (X E(X Y + E E (X Y = E [ [( ( X ] E (X ] E X E(XY + E Y = E [ X ] E (X E(X E(Y + E ( X E [( Y ] = Pertato si ha E ( X E (X E(X + E ( X = 0 X E (X Y = 0, cioé X = E (X Y. Gli altri casi si dimostrao i modo aalogo. Defiizioe.6 (VARIANZA e COVARIANZA. Sia X ua v.a. tale che co E(X < +, cioé X L (Ω. Si defiisce variaza di X var(x = E[(X E(X ] = E(X [E(X] La radice quadrata della variaza si defiisce deviazioe stadard.. Siao X ed Y due v.a. tale che co E(X < + ed E(Y < +, cioé X, Y L (Ω. Si defiisce covariaza di X co Y il umero: Cov(X, Y = E[(X E(X(Y E(Y ]. Teorema 8 Siao X ed Y tali che E(X < + ed E(Y < +, cioé X L (Ω ed Y L (Ω allora:. α, β R, var(αx + β = α var(x. var(x+y=var(x+var(y+ Cov(X,Y 5

6 3. se X N(µ, σ allora E(X = µ e var(x = σ. Se la covariaza fra due v.a. X ed Y è ulla, allora le v.a. si dicoo o correlate. Se le v.a. soo idipedeti allora soo o correlate. Si oti che il viceversa o vale. Teorema 9 Siao X ed Y tali che E(X < + ed E(Y < +, cioé X L (Ω ed Y L (Ω allora per la v.a. Y = X E(X var(x si ha: E(Y = 0 e var(y = Dimostrazioe: E(Y = E ( X E(X var(x = var(y = var var(x E(X E(X = ( X E(X = var(x =. var(x var(x Teorema 0 (DISUGUAGLIANZA ( di CEBICEV Se X ua v.a. tale che E X < +, cioé X L (Ω, allora ɛ > 0 si ha: P ( X E(X > ɛ ɛ Var(X var(x (E(X E(X = 0 Dimostrazioe Fissato ɛ > 0 si cosideri l isieme A(ɛ > 0 = {ω Ω X(ω E(X > ɛ}. Ovviamete A(ɛ > 0 é misurabile. Cosiderata allora la fuzioe idicatrice I A(ɛ>0 di A(ɛ > 0 si ha: Covergeze di v.a. P ( X E(X > ɛ = P (A(ɛ > 0 = E ( I A(ɛ>0 = ɛ E ( ɛ I A(ɛ>0 ɛ E ( X E(X I A(ɛ>0 ɛ E ( X E(X = ɛ Var(X Defiizioe. Sia (X N ua successioe di v.a. ed X v.a. defiite su (Ω, F, P. Si dice che la successioe (X N coverge quasi certamete ad X se esiste u eveto A F avete probabilità zero (ossia P (A = 0 tale che ω Ω A X (ω = X(ω. Defiizioe. Sia (X N ua successioe di v.a. ed X v.a. defiite su (Ω, F, P. Si dice che la successioe (X N coverge i probabilità ad X se ɛ > 0 P ( X X > ɛ = 0. Defiizioe.3 Sia (X N ua successioe di v.a. ed X v.a. defiite su (Ω, F, P. Si dice che la successioe (X N coverge i media di ordie p o ache i L p ad X se E( X X p = 0. Se p = si parla di covergeza i media, se ivece si ha p = si parla di covergeza i media quadratica. Teorema Siao (X N ua successioe di v.a. ed X ua v.a. tutte defiite su (Ω, F, P.. (X N coverge i media di ordie p ad X (X N coverge i media di ordie q, q [, p], ad X; 6

7 . (X N coverge i media ad X (X N coverge i probabilitá, ad X; 3. (X N coverge putualmete q.c. ad X (X N coverge i probabilitá, ad X; Osservazioe Se ua successioe di variabili aleatorie (X N coverge i probabilitá o é detto che coverga i media é putualmete. Defiizioe.4 Sia (X N ua successioe di v.a. defiite rispettivamete su (Ω, F, P ed X ua v.a. defiita su (Ω, F, P. Sia F (t = P (X t e sia F (t = P (X t. Si dice che la successioe (X N coverge debolmete o i legge o i distribuzioe ad X se F (t = F (t per ogi t i cui F è cotiua. Teorema Siao (X N ua successioe di v.a. ed X ua v.a. tutte defiite su (Ω, F, P. (X N coverge i probalititá ad X (X N coverge debolmete, ad X; Osservazioe 3 Se ua successioe di variabili aleatorie (X N coverge debolmete o é detto che coverga i probabilitá. 3 Leggi dei gradi umeri Assegata ua successioe (X N di v.a. ciascua delle quali dotata di valore medio, cioé tali che X L (Ω N, si cosideri la successioe delle medie degli scarti, cioé si cosideri la successioe (Y N co Y = [X j E (X j ]. j= I questa sezioe soo presetati alcui risultati che esamiao la covergeza di questa secoda successioe. É ache presetato qualche risultato i cui si esamia la covergeza della successioe (Z N delle medie, cioé co 3. Leggi deboli Z = X j. Si chiamao leggi deboli dei gradi umeri tutti quei teoremi che hao come tesi la covergeza della successioe (Y N i probabilitá alla variabile aleatoria ulla 0. Teorema 3 (Legge debole dei gradi umeri Sia (X N ua successioe di v.a. idipedeti defiite su (Ω, F, P tali che E(X < +. j=. Se allora cioé ɛ > 0 + P + Var (X j = 0 j= [X j E(X j ] ɛ = 0 j= Y = [X j E (X j ] 0 i probabilitá; j= 7

8 . Se ioltre allora E(X j = µ R j + Se le variaze soo equiitate ossia se allora si ha: Y = Se ioltre le variaze soo costati, cioé se [X j µ] 0 i probabilitá. j= C [0, + [ tale che N Var (X C + Var (X j = 0. j= si ha C [0, + [ tale che N Var (X = C + Var (X j = 0. j= Teorema 4 (Legge dei gradi umeri i L (Ω Sia (X N ua successioe di v.a. o correlate defiite su (Ω, F, P tali che E(X < +. Se allora cioé + E ( Y = + Y = + E Var (X j = 0 j= (X j E(X j = 0. j= [X j E (X j ] 0 i L (Ω j= Dim: E(Y = E (X j E(X j = Var j= (X j E(X j = j= j= Var (X j 0. Se le v.a. hao la stessa distribuzioe si dimostra che: idipedeti e idetica- Teorema 5 (Legge debole dei gradi umeri Sia (X N ua successioe di v.a. mete distribuite defiite su (Ω, F, P tali che E X < +. Se E(X = m allora ɛ > 0 P + X j m ɛ = 0. j= 8

9 3. Leggi forti Si chiamao leggi forti dei gradi umeri tutti quei teoremi che hao come tesi la covergeza della successioe (Y N putualmete quasi certamete alla variabile aleatoria ulla 0. Teorema 6 (Legge forte dei gradi umeri Sia (X N ua successioe di v.a. idipedeti defiite su (Ω, F, P tali che E(X < +. Se allora + + j= Var (X j j = 0 (X j E(X j = 0 q.c. j= Teorema 7 (Legge forte dei gradi umeri Sia (X N ua successioe di v.a. idipedeti ed ideticamete distribuite defiite su (Ω, F, P tali che E(X = m R, allora + X j = m j= q.c. 4 Teorema Limite Cetrale Teorema 8 Siao X,..., X r v.a. idipedeti defiite su (Ω, F, P tali che E(Xi < +, i =,..., r. Se ( r E (X i = 0 Var X i = s, e se allora ɛ > 0 r coverge i distribuzioe ad ua ormale stadard. s i= i= E( X i Xi ɛs = 0 ( r X i s i= La ( è detta codizioe di Lideberg. Se esiste δ > 0 tale che r i= s +δ E( X i +δ = 0 allora la codizioe di Lideberg è soddisfatta. Dalla ( si ha ioltre che e dalla disuguagliaza di Cebicev si ha ɛ > 0 max i r Var(X i max i r s = 0 ( X i P ɛ = 0 quidi ella sommatoria delle X i il cotributo di ogi addedo o deve icidere molto. Nel caso i cui r = e X,i = X i si ha: Teorema 9 Se (X N è ua successioe di v.a. idipedeti aveti la stessa legge tale che E(X < +, se m = E(X, σ = Var(X > 0 e s Z = X +X + +X σ m = X + X + + X m σ, allora Z coverge i distribuzioe ad ua v.a. ormale stadard Z. 9

10 Il Teorema Limite Cetrale afferma che se è grade, allora la somma Y = X + X X ha approssimativamete distribuzioe ormale N(µ, σ : E(Y = E(X + X X = µ var(y = var(x + X X = σ. Nessua ipotesi viee fatta sulla atura della distribuzioe delle v.a. X che, ella formulazioe geerale del teorema, possoo ache avere differeti distribuzioi. Se pertato u feomeo è la risultate di umerosi piccoli cotributi, il risultato che si osserva ha distribuzioe ormale. È grazie a questo teorema che la v.a. di Gauss viee utilizzata per modellare vari esperimeti aleatori. 0