1 Variabili aleatorie in casi più generali: indipendenza, LGN e TCL.

Transcript

1 versioe Variabili aleatorie i casi più geerali: idipedeza, LGN e TCL.. Variabili aleatorie idipedeti Molte delle defiizioi e delle proprietà delle variabili aleatorie i spazi fiiti valgoo ache per le variabili aleatorie geerali. Ad esempio si ha acora che il valore atteso della somma di variabili aleatorie è la somma dei valori attesi e la regola per il calcolo della variaza della somma rimae idetica. I questo paragrafo ci chiediamo come si deve defiire l idipedeza per due variabili aleatorie X ed Y, el caso geerale, e daremo ache u ulteriore defiizioe di idipedeza globale o completa per più di due variabili aleatorie. Tra le varie caratterizzazioi di idipedeza, sicuramete o possiamo geeralizzare quella per cui P (X = x, Y = y = P (X = xp (Y = y, i quato, ad esempio, per le variabili aleatorie co fuzioe di distribuzioe cotiua, la precedete relazioe sarebbe solo ua baalità: ifatti si ridurrebbe alla relazioe 2 0 = 0. Possiamo ivece geeralizzare quella data i Proposizioe della Lezioe 8, el seguete modo. Defiizioe. (Idipedeza di due variabili aleatorie. Due variabili aleatorie X ed Y si dicoo idipedeti se e solo se comuque scelti due itervalli I e J, limitati o illimitati, P (X I, Y J = P (X I P (Y J. Come el caso discreto, ache el caso geerale vale il risultato che l idipedeza di due variabili aleatorie implica 3 la o correlazioe, metre o è vero il viceversa. Strettamete collegata alla precedete defiizioe, c è la seguete Defiizioe.2 (idipedeza a due a due di variabili aleatorie. Siao X, X 2,..., X variabili aleatorie defiite tutte sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F, P. Esse si dicoo idipedeti a due a due se comuque scelti i j, co i, j {, 2,..., }, le due variabili aleatorie X i ed X j soo idipedeti, ovvero comuque scelti I, J, itervalli (limitati o illimitati di R, si ha: P (X i I, X j J = P (X i I P (X j J. Ua codizioe più forte dell idipedeza a due a due è l idipedeza globale U caso particolarmete iteressate è quello i cui le variabili aleatorie X i soo idipedeti (globalmete o completamete tra loro, ovvero Defiizioe.3 (idipedeza di variabili aleatorie. Siao X, X 2,..., X variabili aleatorie defiite tutte sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F, P. Esse si dicoo idipedeti tra loro se comuque scelti J, J 2,..., J, itervalli (limitati o illimitati di R, si ha: P (X J, X 2 J 2,..., X J = P (X J P (X 2 J 2... P (X J. La precedete defiizioe implica l idipedeza a due a due. Proposizioe Se le variabili aleatorie X, X 2,..., X soo idipedeti (globalmete o completamete fra loro, allora lo soo ache a due a due. Tuttavia el caso delle variabili aleatorie discrete questa caratterizzazioe rimae valida, ifatti le dimostrazioi della equivaleza delle caratterizzazioi rimagoo sostazialmete ivariate, pur di sostituire a somme fiite somme ifiite, per cui ad esempio due variabili aleatorie X ed Y co X(Ω = {x, x 2,...} ed Y (Ω = {y, y 2,...} soo idipedeti se e solo se P (X = x h, Y = y k = P (X = x k P (Y = y h per ogi h e k. 2 Se P (X = x = 0 per ogi x R, allora ache P (X = x, Y = y = 0, i quato {X = x, Y = y} {X = x}. 3 Ovviamete è ecessario che le variabili aleatorie ammettao valore atteso fiito.

2 versioe Dimostrazioe Per semplicità di otazioe mostriamo solamete che X ed X 2 soo idipedeti, ma la dimostrazioe è essezialmete la stessa el caso geerale di X i ed X j. Il puto esseziale da osservare è che R è u itervallo, e che gli eveti del tipo {X k R} coicidoo co l eveto certo, di cosegueza e quidi {X J, X 2 J 2 } = {X J, X 2 J 2, X 3 R,..., X R} P (X J, X 2 J 2 = P (X J, X 2 J 2, X 3 R..., X R = P (X J P (X 2 J 2 P (X 3 R... P (X R = P (X J P (X 2 J 2. Quato visto per le variabili aleatorie discrete vale ache per le variabili aleatorie i geerale, I particolare se le variabili aleatorie soo idipedeti a due a due, allora la variaza della somma è la somma delle variaze. Alla luce della precedete proposizioe, lo stesso vale el caso i cui le variabili aleatorie soo (globalmete o completamete idipedeti tra loro... Legge dei Gradi Numeri Il risultato più importate di questa Lezioe è oto come la Legge debole dei gradi umeri. Tale risultato è euciato alla fie (Proposizioe 2 e riguarda le successioi di variabili aleatorie idipedeti a due a due. Prima di arrivare ad euciare e dimostrare la legge debole dei gradi umeri, riprediamo quato visto utilizzado la diseguagliaza di Chebyshev ella Proposizioe 9 della Lezioe 0, ma allargado u poco la prospettiva. Prima di tutto va detto che la diseguagliaza di Chebyshev cotiua a valere ache el caso di variabili aleatorie geerali, co l uica accortezza che el caso geerale bisoga ipotizzare che esistao fiiti valore atteso e variaza 4 della variabile aleatoria X. Per cui, idicado come al solito µ = E(X e σ 2 = V ar(x si ha P ({ X µ > ε} σ2 ε 2. Se X, X 2,..., X soo variabili aleatorie idipedeti a due a due, e co la stessa distribuzioe, ell Osservazioe 6 della Lezioe 0 abbiamo visto come trovare il umero di prove per cui la probabilità dell eveto il valore atteso µ e la media aritmetica Y = (X + X X differiscoo meo di ua quatità prefissata ε sia almeo δ, e ell Esempio 0.6 ciò è stato applicato al caso di variabili biarie. Ache qui la Proposizioe 9 cotiua a valere, pur di assumere che esistao fiiti valore atteso E(X i e variaza V ar(x i, che come al solito poiamo uguali rispettivamete a µ e σ 2. I questi casi sappiamo che, se σ2 δ ε 2 ( allora P ({ Y µ > ε} σ 2 ε 2 δ P ({ ε Y µ ε} δ. Nel caso particolare i cui le variabili X i siao variabili biarie, co P (X i = = θ e P (X i = 0 = θ, allora µ = θ, σ 2 = θ( θ e basta predere θ( θ per otteere δ ε 2 che la probabilità del eveto la frequeza relativa dei successi 5 Y differisce dalla probabilità di 4 Sappiamo che possoo esistere variabili aleatorie per le quali valore atteso e/o variaza o esistoo, o valgoo ifiito. Questo problema o si poe el caso fiito i quato i quel caso il calcolo del valore atteso e della variaza si riduce ad ua somma fiita e o preseta quidi essu tipo di problema. 5 Successo all i-esima prova sigifica X i =.

3 versioe successo θ meo di ε sia maggiore di δ. Ovvero θ( θ δ ε 2 P ({ ε Y θ ε} δ. (2 Nelle applicazioi si usa la frequeza relativa per stimare la probabilità θ: ovvero possiamo cosiderare il caso i cui possiamo osservare gli esiti di diversi esperimeti di uo stesso feomeo, gli esperimeti soo codotti elle stesse codizioi, per cui la probabilità di successo dell esperimeto è la stessa i tutte le prove, e ifie si assume che le prove siao stocasticamete idipedeti tra loro, tuttavia o si assume che sia oto esattamete il valore della probabilità di successo θ. I questo cotesto la misura di probabilità dipede dal parametro θ ed è quidi più opportuo idicarla co P θ, ivece che co P. Riprededo quato detto ell Osservazioe 6 della Lezioe 0 i questo cotesto possiamo riscrivere P θ ({θ ε Y θ + ε} θ( θ ε 2, ma ache P θ ({Y ε θ Y + ε} θ( θ ε 2. Questa secodo modo di scrivere è più iteressate, i quato, i questo cotesto, metre possiamo osservare Y, ivece o coosciamo affatto θ. L idea è che vorremmo poter valutare la probabilità θ co Y, co u errore al più di ε. Ovviamete i essu caso, facedo degli esperimeti, avremo la garazia che la frequeza relativa Y e la probabilità di successo θ differiscao meo di ε, tuttavia la disuguagliaza di Chebyshev ci permette di affermare che ciò accade co probabilità elevata, e permette ache di trovare delle limitazioi iferiori a tale probabilità. A prima vista però sorge ua difficoltà: sembra che per adoperare la disuguagliaza di Chebyshev sia ecessario cooscere θ. Ma a questo problema si può ovviare osservado che la fuzioe h(x = x( x vale al massimo 6 4 e quidi si ha P θ ( Y θ > ε} θ( θ ε 2 4 ε 2, P θ ({Y ε θ Y + ε} θ( θ ε 2 4 ε 2. Ciò permette di affermare che, qualuque sia la probabilità di successo θ, la probabilità che θ e la frequeza relativa Y differiscao meo di ε vale almeo 4 ε 2. Più iteressate acora, dal puto di vista operativo, è tuttavia il fatto che siamo i grado di rispodere alla domada: 6 La fuzioe h(x = x( x ha il suo puto di massimo i x = 2 come si vede subito, e quidi h(x h( 2 = 4.

4 versioe Quate prove si devoo effettuare, ovvero quato si deve predere grade, affiché, co probabilità almeo δ, la frequeza relativa differisca dalla probabilità di successo meo di ε? La risposta alla precedete domada è molto semplice: è sufficiete predere 7 i altre parole 4 δ ε 2, 4 δ ε 2 P ({ ε Y θ ε} δ. (3 Ifatti i tale caso δ 4 ε 2 e quidi, qualuque sia θ P θ ( Y θ > ε} θ( θ ε 2 4 ε 2 δ, P θ ({Y ε θ Y + ε} θ( θ ε 2 4 ε 2 δ. Esempio.. Sia Y la frequeza relativa dei successi i uo schema di Beroulli di parametro θ. Si determii u i modo che, qualuque sia il valore di θ, l errore assoluto tra Y e θ sia miore di 0., co probabilita almeo Soluzioe Siamo el caso precedete co ε = 0. = 0 e co δ = 0.99, ovvero δ = 00. Quidi se 4 ( 2 = 0000 = 2500, allora P ( ε Y θ ε 0.99 E quidi, qualuque sia il valore di θ, è sufficiete predere = Esempio.2. Calcolare il miimo valore di per il quale, i uo schema di Beroulli di co probabilità θ, i base alla disuguagliaza di Chebyshev, si possa scrivere ({ S P θ > } 30 0, qualuque sia il valore di θ. dove 7 Si deve predere (ε, δ (ε, δ :=, 4 ε 2 δ cioè la parte itera superiore di. Si ricordi che la parte itera superiore di u umero reale a è l itero k tale 4 ε 2 δ che k < a k, ed è idicata apputo co a.

5 versioe Soluzioe Si può procedere cosiderado che ({ S P θ > } θ( θ 30 ( = oppure direttamete utilizzado la formula (3 4 ( 30 = 2250, 2 = , 4 ε 2 δ = 4 ( = = = Si suggerisce di cofrotare il risultato co quello dell Esempio 0.6 i cui ivece il valore di θ era calcolabile, e quidi si era otteuto, sempre utilizzado la disuguagliaza di Chebyshev 8, che bastava predere = Osservazioe Si faccia attezioe al fatto che queste limitazioi iferiori soo date i base alla disuguagliaza di Chebyshev. I valori otteuti per soo sicuramete validi, ma soo eccessivamete gradi ed i geere piu elevati del ecessario. I realtà bastao valori di più piccoli (daremo u idea del motivo per cui i valori trovati soo eccessivi ella Lezioe sul Teorema cetrale del limite. Osservazioe 2 (Errore relativo Va ache sottolieato che fiora abbiamo valutato solo l errore assoluto, tra Y e θ, metre avrebbe più iteresse l errore relativo, ovvero Y θ θ : ifatti se θ fosse dell ordie di u cetesimo, stimare θ co u errore assoluto dell ordie di u decimo o sarebbe molto ragioevole 9. I questo caso la maggiorazioe della disuguagliaza di Chebyshev permette di affermare che, per ogi θ ( Y θ P θ θ > ε} = P θ ( Y θ > εθ} θ( θ (θε 2 = θ θ ε 2 δ, per cui θ θ δ ε 2 P θ ( Y θ θ > ε} δ Purtroppo, se θ o è oto, questa limitazioe iferiore o è molto utile i quato la fuzioe h (x = x x = x coverge ad ifiito per x 0+, ed è quidi impossibile 0 trovare u valore di che sia valido qualuque sia θ. Ifie, el formulare la domada co la richiesta di scegliere, c è u puto che abbiamo volutamete trascurato fi qui. La possibilita di scegliere presuppoe di avere a disposizioe u umero di eveti idipedeti potezialmete grade a piacere. 8 I realtà ell Esempio citato si è utilizzata la (2. 9 Se el misurare la distaza fra due città si commette u errore dell ordie di u metro, ci possiamo dichiarare completamete soddisfatti, metre certamete o lo saremmo se l errore dell ordie di u metro riguardasse la misura di u tavolo da mettere i cucia!!! 0 Diverso è il caso i cui, pur o cooscedo esattamete θ si sappia che θ θ 0 co θ 0 > 0: allora basterà predere θ 0 θ 0. δ ε 2 Si potrebbe ovviare al problema suppoedo di avere ua successioe di spazi di probabilità (Ω, P(Ω, P ( e su ciascuo spazio eveti E (, E ( 2,..., E ( che formao uo schema di Beroulli co probabilità θ ( = θ per ogi.

6 versioe Dal puto di vista matematico è più comodo poter affermare direttamete di avere a disposizioe ua successioe di eveti idipedeti e tutti co la stessa probabilità θ. Ciò presuppoe uo spazio di probabilità Ω ifiito, e quidi solo dopo aver itrodotto gli spazi di probabilità geerali e la ozioe di successioi di variabili aleatorie, riformuliamo la Proposizioe 9 per successioi di variabili aleatorie. Tale formulazioe è ota co il ome di Legge Debole dei Gradi Numeri. Proposizioe 2 (Legge Debole dei Gradi Numeri Sia {X i, i } ua successioe di v.a. idipedeti a due a due ed ideticamete distribuite 2, per le quali esistao fiiti valore atteso e variaza. Posto E(X i = µ e V ar(x i = σ 2, S = i= X i e Y = S, si ha, qualuque sia ε > 0 ( lim P S µ > ε = lim P ( Y µ > ε = 0 Dimostrazioe. Basta osservare che 0 P ( Y µ > ε σ 2 ε 2, madare all ifiito ed usare il Teorema del cofroto per le successioi umeriche: 0 lim P ( Y σ 2 µ > ε lim ε 2 = 0. Osservazioe?? Dalla Proposizioe appare immediato che se {X i, i } è ua successioe di variabili aleatorie completamete idipedeti, allora la Legge Debole dei Gradi Numeri cotiua a valere. Sotto questa ulteriore ipotesi vale ache il così detto Teorema cetrale del limite che è oggetto del prossimo paragrafo. Nel prossimo paragrafo vedremo ache alcue relazioi tra questi due importatissimi risultati..2 Teorema cetrale del limite Come abbiamo detto la disuguagliaza di Chebyshev permette di trovare delle limitazioi iferiori alle probabilità del tipo ( S P µ ε che a loro volta permettoo di dedurre la legge dei gradi umeri. Tuttavia se si cooscesse la fuzioe di distribuzioe F S (x della variabile aleatoria S, tale probabilità si potrebbe calcolare esattamete come ( S P µ ε ( = P ((µ ε S (µ + ε = F S ((µ ε F S ((µ ε = F S ((µ ε F S ( (µ ε + P ( {S = (µ ε} Appare quidi chiaro che calcolare la distribuzioe della somma di variabili aleatorie S = X + X X sia u problema iteressate è, oltre che di per sé, ache per le coessioi co la legge dei gradi umeri e delle relazioi tra media aritmetica e valore atteso. Sappiamo calcolare esattamete la distribuzioe della somma di variabili aleatorie i alcui casi specifici. Ad esempio quado le X i soo le idicatrici di eveti E i che formao uo schema di Beroulli di parametro θ, sappiamo che la distribuzioe della somma è la distribuzioe biomiale b(; θ. 2 Poiché le variabili aleatorie X hao tutte la stessa distribuzioe, si ha che se esistoo fiiti valore atteso e variaza di X, allora esistoo fiiti valore atteso e variaza di X i e coicidoo co quelli di X.

7 versioe Esempio.3. Acora sappiamo che se due variabili aleatorie X ed X 2 soo idipedeti e hao distribuzioe biomiale di parametri i e θ (attezioe può essere diverso da 2, ma θ è lo stesso per i =, 2, allora la somma X + X 2 ha distribuzioe biomiale di parametri + 2 e θ (cofrotare lo svolgimeto dell Esercizio 8.4. Questo risultato si estede ache al caso di variabili aleatorie (globalmete idipedeti tra loro: i particolare se le variabili aleatorie X i hao tutte la stessa distribuzioe bi(m; θ allora S ha distribuzioe bi( m; θ. Esempio.4. Siao X ed X 2 variabili aleatorie di Poisso di parametro λ (> 0 e λ 2 (> 0 rispettivamete, ovvero P (X i = k = λk i, k = 0,, 2,... k! Si assuma che le variabili siao idipedeti, ovvero che P (X = h, X 2 = k = P (X = hp (X 2 = k, per ogi h, k {0,...} Si vede facilmete che la variabile aleatoria X + X 2 ha distribuzioe di Poisso di parametro λ + λ 2, ovvero che Ifatti, per m = 0,,... l eveto {X + X 2 = m} = P (X + X 2 = m = (λ + λ 2 m, m = 0,, 2,... m! {X = k, X 2 = m k} = m {X = k, X 2 = m k}, i quato {X 2 = m k} = per k = m +, m + 2,.... Per cui P (X + X 2 = m = = m P (X = k, X 2 = m k = m λ k k! λ (m k 2 (m k! = m! m m! k! dalla formula della poteza del biomio si ottiee la tesi: m! m ( m λ k λ (m k 2 = (λ + λ 2 m, m = 0,, 2,... k m! m P (X = kp (X 2 = m k (m k! λk λ (m k 2 Più complesso risulta il caso della somma per altre variabili aleatorie, tuttavia si puo iazi tutto osservare come calcolare la fuzioe di distribuzioe di S sia equivalete a calcolare la distribuzioe di ua sua trasformata ovvero: se a e b soo umeri reali, co b > 0, allora 3 { S a {S x} = b x a } b Ua scelta aturale per a e per b è quella che trasforma S i ua variabile aleatoria stadard, ovvero quella di predere a = E(S e b = V ar(s. 3 Ifatti ω {S x} S (ω x S (ω a b x a b S a ω b x a b

8 versioe I questo modo ifatti, per la disuguagliaza di Chebyshev, sappiamo che P ( α S E(S V ar(s α α. Alla luce della seguete Proposizioe 3, ota come Teorema Cetrale del Limite (o ache Teorema del Limite Cetrale, si può dimostrare che se le variabili aleatorie soo (globalmete o completamete idipedeti, hao la stessa distribuzioe, valore atteso fiito µ, variaza fiita σ 2 e o ulla, per cui E(S = µ e V ar(s = σ 2 > 0, allora F S (x = P (S x = P ( S µ σ 2 x µ ( x µ Φ, (4 σ 2 σ 2 dove Φ(x è la fuzioe di distribuzioe di ua variabile aleatoria gaussiaa stadard. La dimostrazioe della precedete affermazioe si basa sul seguete risultato basilare e che svolge u ruolo cetrale el Calcolo delle Probabilità. Proposizioe 3 (Teorema Cetrale del Limite Sia {X i, i } ua successioe di v.a. idipedeti ed ideticamete distribuite, per le quali esistao fiiti valore atteso e variaza. Posto E(X i = µ e V ar(x i = σ 2, si assuma che σ 2 > 0. Allora idicado co S variabile aleatoria stadardizzata di S, si ha S = S E(S V ar(s = S µ σ 2, (5 e, idicado co F S (x la fuzioe di distribuzioe di S, si ha lim F S (x = lim P ( S E(S V ar(s x = Φ(x, (6 dove Φ è la fuzioe di distribuzioe di ua variabile aleatoria Gaussiaa stadard: i altre parole ( lim P S µ x x = e y2 2 dy. (7 σ 2 2 π Ioltre il limite è uiforme per x R, ovvero ( lim P S µ x σ 2 sup x R x 2 π e y2 2 dy = 0. (8 No diamo la dimostrazioe di questo risultato, ma otiamo solo che la (5 si dimostra teedo coto che E(S = i= E(X i = µ e che per l idipedeza dalle variabili aleatorie X i, si ha V ar(s = V ar( i= X i = i= V ar(x i = σ 2. La precedete relazioe sarebbe valida ache el caso i cui le variabili aleatorie fossero solo idipedeti a due a due(o addirittura solo o correlate, ma sottolieiamo il fatto che, metre la Legge Debole dei Gradi Numeri, vale sotto l ipotesi di idipedeza a due a due, e o è ecessario supporre σ 2 > 0, ivece per il Teorema Cetrale del Limite, serve la codizioe di idipedeza globale e ovviamete è ecessario supporre σ 2 > 0, altrimeti o si potrebbe emmeo formulare la tesi.

9 versioe Fodametale per dimostrare l approssimazioe (4 della fuzioe di distribuzioe della somma S è il fatto che la covergeza sia uiforme: ifatti, posto E (x = F S (x Φ(x, e x = x µ, σ 2 si ha ( S µ F S (x = P (S x = P x µ = F S σ 2 σ 2 (x = Φ (x + E (x, per cui F S (x Φ (x = E (x sup x R E (x. Basta solo osservare che (7 garatisce che sup x R E (x coverge a zero 4 all ifiito. per che tede Si osservi che il Teorema Cetrale del Limite implica che lim P (a < S µ b = Φ(b Φ(a, σ 2 come si vede subito applicado la proprietà che per ogi variabile aleatoria X, co fuzioe di distribuzioe F (x, si ha P (a < X b = F (b F (a. Il Teorema Cetrale del Limite implica ache che lim P ( a S µ b σ 2 = Φ(b Φ(a, ifatti, come si vede facilmete 5, ( lim P S µ = a = 0. σ 2 Dopo questa osservazioe possiamo torare idietro alle relazioi tra Legge dei Gradi Numeri e Teorema Cetrale del Limite. Idicado, come al solito, co Y la media aritmetica S, si ha Y µ = S µ, 4 Pur essedo assolutamete al di fuori dell ambito di u corso elemetare di probabilità, vale la pea di ricordare che esistoo delle maggiorazioi per sup x R E (x, el caso i cui si suppoga che il valore atteso E( X 3 esista e sia fiito. I particolare è stato dimostrato che sup x R E(x C E( X 3 σ 3, co C costate. Il valore di C o è oto esattamete ma è oto che C , i particolare quidi vale sup x R E (x E( X 3, σ 3 I primi a forire maggiorazioi i questa direzioe soo stati Berry ed Eesse all iizio degli ai 40 dello scorso XX secolo. 5 Si osservi che P S µ σ 2 = a P a S µ a = Φ(a Φ(a σ 2 0

10 versioe e quidi { Y µ ε} = S µ σ 2 = S µ σ 2 { ε S } { µ ε = σ 2 ε S } µ σ 2 σ 2 ε. Di cosegueza P ({ Y µ ε} = P ( ε S µ ( Φ σ 2 ε Φ ( ( ε = P σ 2 ε = 2Φ σ 2 ε S µ σ 2 ( σ 2 ε. σ 2 ε Esempio.5. Sia X ua variabile aleatoria che può assumere i valori 0, 2,, 3 2 e co p X (0 = P (X = 0 = 0, p X ( 2 = P (X = 2 = 0, p X ( = P (X = = 4 0, p X ( 3 2 = P (X = 3 2 = 4 0. Si poga il valore atteso di X uguale a µ e la sua variaza uguale a σ 2. Siao X, X 2, X 3,..., X 00 delle variabili aleatorie P co la stessa distribuzioe di X e 00 j= (globalmete idipedeti tra loro e si poga Y 00 X j 00. Utilizzado il Teorema Cetrale del Limite, approssimare la probabilità ({ P µ 0 Y 00 µ + }, 0 Soluzioe Iazi tutto come si trova facilmete si ha µ = 2 20 e σ2 = Quidi la probabilita cercata è approssimata co ( 00 P = 2Φ ({ µ 0 Y 00 µ + } ( 2Φ 0 σ 2 ε ( 400 = 2Φ 89 = 2Φ( Φ(2, =, 9652 = Suppoiamo ora di voler rispodere i modo approssimato alla domada: sia fissato, per quale valore di ε = ε(, δ posso affermare che P ({ Y µ ε} δ? Il seguete procedimeto o è del tutto rigoroso, perché trascura l errore di approssimazioe E tra F S e Φ. Tuttavia permette di dare ua buoa valutazioe del tipo di comportameto di ε: (trascurado E adiamo a mostrare che ε = ε(, δ è u ifiitesimo dell ordie di. Prima di tutto ivece di valutare P ({ Y µ ε} δ

11 versioe cosiderado che, per sufficietemete grade, cerchiamo ivece P ({ Y µ ε} 2Φ ( σ 2 ε ( 2Φ( σ 2 ε = δ Φ σ 2 ε = 2 δ 2 Sicuramete esiste u valore x delta/2 per cui Φ ( x delta/2 = δ 2 ; = δ 2 Ioltre possiamo trovarer u valore approssimato di x delta/2 utilizzado le tavole della gaussiaa. A questo puto basta porre σ σ 2 ε = x 2 δ/2 ε = ε(, δ = x δ/2 = x δ/2 σ, per otteere il risultato desiderato. Suppoiamo ora di voler rispodere i modo approssimato alla domada: per quali posso affermare che P ({ Y µ ε} δ? Ache il seguete procedimeto o è del tutto rigoroso, perché trascura l errore di approssimazioe E tra F S e Φ. Tuttavia permette di dare ua buoa valutazioe del tipo di richiesta vada fatta su per otteere la limitazioe iferiore richiesta. Ache i questo problema, ivece di cercare ua limitazioe iferiore esatta P ({ Y µ ε} δ sempre cosiderado che, per sufficietemete grade, ( P ({ Y µ ε} 2Φ σ 2 ε cerchiamo ivece ua limitazioe iferiore ( 2Φ( σ 2 ε δ Φ σ 2 ε 2 δ 2 Come el caso precedete possiamo trovare u valore x δ/2 per cui Φ ( x δ/2 = δ 2. Si osservi che, essedo Φ ua fuzioe o decrescete 6, = δ 2 Φ (x Φ ( x δ/2 = δ 2, per ogi x x δ/2, 6 I realta basta trovare sulla tavola della gaussiaa stadard u valore x δ/2 tale che Φ x δ/2 δ 2. Il ragioameto fatto co x δ/2 si può ripetere mettedo x δ/2 al posto di x δ/2.

12 versioe A questo puto basta imporre che σ 2 ε x δ/2 x δ/2 σ 2 ε per otteere il risultato desiderato. T CL (ε, δ := x2 δ/2 σ2 ε 2 (9 Osservazioe?? Si cofrotio tra loro ( e (9: come si vede ( e (9 soo molto simili, la secoda si ottiee sostituedo al posto di δ, il valore x2 δ/2. Quidi a parità di valori di varepsilo e σ 2 si ottiee che la limitazioe iferiore co la disuguagliaza di Chebyshev, pur essedo esatta, chiede Ch (ε, δ = x2 δ/2 T CL (ε, δ δ Per capire quidi la differeza si osservi che se δ = 0.0, allora δ = 00, metre, essedo x δ/2 = x = x = (come si può trovare dalle tavole si ha che x 2 δ/2 = I questo caso Ch (ε, δ = δ x 2 T CL (ε, δ = δ/ T CL(ε, δ T CL (ε, δ. Se ivece δ = 0.00, allora δ = 000, metre, essedo x δ/2 = x = x = 3.29 (come si può trovare dalle tavole si ha che x 2 δ/2 = 0, I questo caso Ch (ε, δ = x2 δ/2 T CL (ε, δ = δ , T CL(ε, δ 92, 3302 T CL (ε, δ.