Numeri reali. Funzioni e loro grafici

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1 Argometo 1 Numeri reali. Fuzioi e loro grafici Parte A - Numeri reali Operazioi e ordiameto i R Idichiamo co R l isieme dei umeri reali, ossia l isieme di umeri che soo esprimibili i forma decimale, ad esempio = = =0.3 3 = π = I umeri reali che ammettoo ua rappresetazioe decimale fiita oppure ifiita ma periodica soo detti razioali (1) : essi possoo sempre essere scritti sotto forma di frazioe di due umeri iteri. I umeri reali co forma decimale ifiita o periodica soo detti irrazioali: essi o possoo essere scritti sotto forma di frazioe di due umeri iteri. Dati due umeri reali a e b, lasomma a + b, lasottrazioe a b, ilprodotto a b soo defiiti e soo acora umeri reali; se b 6= 0acheilquoziete a : b è u umero reale, che spesso, utilizzado la otazioe delle poteze, si deota co ab 1, oppure co a (ache se il umero otteuto o è b razioale). La defiizioe cocreta di queste operazioi, el caso di umeri irrazioali, èlaboriosa: ma la cosa fodametale è che per tutti i umeri reali valgoo le ordiarie regole di calcolo (proprietà commutativa e associativa della somma, proprietà commutativa e associativa del prodotto, proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma). Dati due umeri reali a e b, essi possoo essere cofrotati, cioè si può stabilire se soo uguali, o i caso cotrario qual è il maggiore dei due; i particolare ogi umero può esserecofrotatoco0: si dicoo positivi iumeri> 0 egativi iumeri< 0. Poiché sea<be b<csi ha ache a<c, u umero positivo èsempremaggiorediuumero egativo. I geerale per cofrotare due umeri reali si utilizzao regole formali, del tutto simili a quelle che si usao el caso di umeri razioali, che si rifao alle segueti tre proprietà: per ogi umero reale c, sea<b,achea + c<b+ c; 1) Tutti i umeri che ella parte decimale cotegoo u 9 soo uguali al decimale fiito più vicio; ad esempio 1.9 = = 3.19 = = = = 5.1; quidi i umeri co questa forma hao due diverse rappresetazioi decimali; essu altro umero reale ha due diverse rappresetazioi decimali. 1

2 per ogi umero reale positivo c, sea<b, ache a c<b c per ogi umero reale egativo c, sea<b,risultaa c>b c (). Come succede per i umeri razioali, dati comuque due umeri reali a e b, coa<b,esisteu umero reale c compreso tra i due, ad esempio il umero a + b,cioèvalela Proposizioe 1.1 L isieme R dei umeri reali è deso. Defiizioe 1. Se a è u umero reale, il modulo (o valore assoluto) di a èuumeroreale o egativo, che idichiamo co a : essoè uguale ad a stesso se a 0, metre coicide co a se a<0. Ad esempio 3/4 = 3/4. Avremo spesso a che fare co il modulo di u espressioe, ad esempio x: per calcolare x si usa esattamete la defiizioe di modulo: x = x se x x se x>. Notiamo che x = x, visto che l uica differeza ella defiizioe si ha per x =,mai questo caso x = x =0. Sottoisiemi limitati di R Vogliamo ora scoprire che cosa rede l isieme R dei umeri reali sostazialmete diverso da quello dei razioali. Prima è ecessaria u po di termiologia. Defiizioe 1.3 reale b tale che U isieme A R viee detto superiormete limitato se esiste u umero x b per ogi x A. Si dice, i questo caso, che b èumaggiorate per l isieme A. Ovviamete, u isieme superiormete limitato o ha mai u solo maggiorate; ifatti, ogi altro umero c b è u maggiorate per A. ¾ 1 Esempio 1.4 L isieme A = : =1,, 3,... = +1, 3, 3 ¾ 4,... è superiormete limitato e ogi umero b 1eè u maggiorate. Ivece, l isieme B = {1,, 3,...,,...} o è superiormete limitato. ) Queste proprietà permettoo i particolare di cofrotare due umeri espressi i forma decimale. Se soo etrambi positivi si guarda iazi tutto quale dei due ha parte itera maggiore: ad esempio ha parte itera 1 e quidi è maggiore di 0.98, che ha parte itera 0. Se la parte itera è la stessa, si cofrotao successivamete tutte le cifre decimali a destra del puto: ad esempio è maggiore di , poiché la sua oa cifra decimale è 1 metre quella di è0. Se ivece i due umeri soo egativi il discorso si ribalta.

3 Teorema di completezza Se A R è u isieme superiormete limitato, allora esiste u (uico!) umero reale b tale che: i) b è u maggiorate per A; ii) ogi umero b<b o è u maggiorate per A. Defiizioe 1.5 Il umero b viee chiamato estremo superiore di A, e deotato ache co sup A. Le due proprietà che lo caratterizzao ci permettoo di idetificarlo come il piùpiccolodei maggiorati di A (3). Se il umero b =supa appartiee ad A, diciamo che A ammette massimo e scriviamo b =maxa. La scrittura b =maxa cotiee perciò due iformazioi: il umero b è l estremo superiore di A, e ioltre b appartiee all isieme A. Esempio 1.6 Nell esempio precedete sup A = 1. Ifatti il umero 1 è u maggiorate per A. Ioltre essu b<1è u maggiorate per A, poichélacodizioe <bo è soddisfatta dagli +1 iteri > b : ifatti, se b<1, 1 b b <b (1 b) <b < +1 1 b. Ifie, poichè 1/ A, l isieme A o ammette massimo. Attezioe. È il teorema di completezza che permette di garatire che, se a 0, l equazioe x = a ammette ua e ua sola soluzioe reale o egativa, cioè digaratirecheesistelaradice (aritmetica) -esima di a: a. A sua volta ciò permette di arrivare a defiire la poteza co espoete reale di u umero reale positivo (Vedi MiiMat, Lezioe ). Osservazioe 1.7 Fiora ci siamo occupati di isiemi superiormete limitati. I modo del tutto aalogo si dice che u isieme A è iferiormete limitato, se esiste u umero reale a tale che a x per ogi x A (a miorate di A). Il teorema di completezza garatisce l esisteza dell estremo iferiore di A (i simboli: if A), cioègaratiscecheesisteir u (uico) miorate a maggiore di ogi altro miorate di A. Se questo umero a =ifa appartiee ad A, èdetto miimo di A, i simboli, a =mia. Defiizioe 1.8 U isieme A R viee detto limitato se èsiasuperiormetecheiferiormete limitato. Questo comporta l esisteza di due umeri reali, a =ifa e b =supa, chesoddisfaolecodizioi a x b per ogi x A. 3) Ciò che rede diversi i umeri reali dai razioali è proprio il fatto che eiumerirazioaliilteoremadi completezza o vale. Ad esempio, l isieme G = x razioali positivi tali che x < ª è superiormete limitato (gli elemeti soo tutti miori ad esempio di 1.5) e ammette quidi estremo superiore reale (il umero ), ma o c è u umero razioale b più piccolo di ogi altro maggiorate razioale di G. 3

4 Esempi 1.9 L isieme A = +1 ¾ ¾ 1 : =1,, 3,... =, 3, 3 4,... è limitato, co mi A= 1, sup A=1. L isieme B = {1,, 3,...,,...} o è limitato, ma mi B =1. ¾ ¾ +1 3 L isieme C = ; =1,, 3,... =,, 4 3,... èlimitato,eifc =1, max C =. ¾ L isieme D =, 4, 3, 16, 5, 36, 7,..., (k 1), (k),... o è limitato, ma max D =. o èlimitatoésuperior- L isieme E = {...,,..., 6, 4,, 1, 3, 5,..., +1,...} mete é iferiormete. Il umero reale e Cosideriamo gli isiemi A = 1+ 1 ¾ ( : =1,, 3,... e B = : =1,, 3,...) di cui sotto soo elecati alcui elemeti otteuti poedo uguale a poteze di 10: = = = = = = = = = = Si può mostrare che, per ogi umero aturale, valgoo le segueti disuguagliaze: ,cioèalcresceredi, cresce ache il corrispodete elemeto 1 di A; ,cioèalcresceredi, il corrispodete elemeto di B diveta 1 più piccolo. 4

5 Poiché, fissato, ogi elemeto di A èpiù piccolo del corrispodete elemeto di B, cioè , per ogi si ha: = =4, cioè i due isiemi A e B soo limitati e quidi soo dotati di estremo iferiore ed estremo superiore i R. Precisamete: mi A =,maxb = 4, metre si può mostrare che sup A eifb (che o appartegoo ai due isiemi, azi o soo eppure umeri razioali) coicidoo: il umero reale così otteuto viee detto umero di Nepero e deotato co e. È facile covicersi guardado la tabella sopra riportata che le prime cifre decimali del umero e soo : ifatti deve essere e L utilità del umero di Nepero emergerà quado si tratterao limiti, derivate e itegrali idefiiti. Retta reale e itervalli. I simboli + e Su ua retta si fissi u sistema di riferimeto cioè u orietazioe, u origie e u uità di misura; questa èlaretta euclidea. Ad ogi puto di tale retta corrispode uo e u solo umero reale. Viceversa, ad ogi umero reale corrispode uo e u solo puto della retta euclidea. Di cosegueza, idetificheremo la retta euclidea ed R. Notiamo che quado si pesao i umeri reali come puti di ua retta è molto facile cofrotarli: di due umeri è miore quello che, percorredo la retta secodo la sua orietazioe, precede l altro (cioè, visto che di solito si adotta l orietazioe da siistra a destra, quello più a siistra). La maggior parte della teoria che verrà svolta i queste lezioi riguarderà particolari isiemi di umeri reali che possoo essere visualizzati sulla retta reale come segmeti (co o seza gli estremi). Defiizioe 1.10 Si chiamao itervalli i segueti sottoisiemi di R: (a, b) ={x R tali che a<x<b} [a, b] ={x R tali che a x b} [a, b) ={x R tali che a x<b} (a, b] ={x R tali che a<x b} itervallo limitato aperto itervallo limitato chiuso itervallo limitato chiuso a siistra (e aperto a destra) itervallo limitato aperto a siistra (e chiuso a destra). È utile poter rappresetare come itervalli ache isiemi che sulla retta reale si visualizzao come semirette: ma questi soo isiemi o limitati. Ad esempio l isieme {x R tali che x > a} ha estremo iferiore a ma o ha u maggiorate b che possa essere usato per delimitare l itervallo a destra: questa situazioe viee descritta usado il simbolo (che si legge: ifiito ). Precisamete si scrive {x R tali che x>a} =(a, + ) esidiceche(a, + ) èuitervallo aperto illimitato a destra. 5

6 Aalogamete (,b)={x R tali che x < b} [a, + ) ={x R tali che x a} (,b]={x R tali che x b} itervallo aperto illimitato (a siistra) itervallo illimitato (a destra) itervallo illimitato (a siistra). Co la stessa simbologia: (, + ) = R. Coviee sottolieare che e+ o soo umeri reali (ache se ella descrizioe degli itervalli illimitati compaioo ella stessa posizioe i cui, ella descrizioe degli itervalli limitati, compaioo iumerireali)mapurisimboli,ilcuisigificato è chiarito proprio dalla defiizioe precedete (4). Questo sigifica i particolare che o hao seso scritture come <x<bo come[,b]. Più i geerale, si possoo utilizzare i simboli + e per descrivere u isieme A o limitato (superiormete o iferiormete): quado A o è superiormete limitato, si usa dire che sup A =+ quado A o è iferiormete limitato, si usa dire che if A =. Ad esempio, riprededo gli esempi 1.9, 1) l isieme B = {1,, 3,...,,...} o è superiormete limitato, quidi sup B =+ ¾ ) l isieme D=..., 36, 16, 4,, 3, 5, 7,... o è iferiormete limitato, quidi if D = 3) l isieme E = {...,,..., 6, 4,, 1, 3, 5,..., +1,...} o è limitato, é iferiormete é superiormete e quidi if E =, sup E =+. Ua ota pratica Numeri che, rappresetati i forma decimale, risultio illimitati (periodici o o) o possoo essere scritti per esteso. Quado si devoo risolvere problemi pratici si usao quidi approssimazioi decimali limitate (più o meo precise, a secoda delle esigeze): è quello che fa ua calcolatrice quado approssima π co ; usiamo certamete u approssimazioe meo precisa quado vogliamo rappresetare π sulla retta reale. Dato u umero, la sua approssimazioe per difetto, ad esempio, alla quita cifra decimale si ottiee trocado la sua rappresetazioe decimale alla quita cifra, quella per eccesso si ottiee aggiugedo u uità alla quita cifra della rappresetazioe per difetto. Ad esempio, l approssimazioe per difetto di π alla quita cifra decimale è e quella per eccesso è Questo equivale ad aver suddiviso l asse reale i itervalli di ampiezza 10 5 eadire che π cade ell itervallo [ , ). Ogi umero reale è compreso tra ua qualuque sua approssimazioe per difetto ed ua qualuque sua approssimazioe per eccesso ed evetualmete può coicidere co ua per difetto: ad esempio, l approssimazioe per difetto alla quita cifra decimale di 1.3 è = 1.3. La scelta tra i due tipi di approssimazioe è legata alla ecessità di arrotodare il umero reale al umero decimale fiito che gli èpiù vicio: ad esempio, se si vuole dare ua approssimazioe alla quarta cifra decimale di π, è meglio scegliere quella per eccesso. Prima di itrodurre le fuzioi reali di variabile reale, coviee ifie ricordare che R idica l isieme delle coppie ordiate di umeri reali e la sua rappresetazioe geometrica è il piao cartesiao cioè u piao el quale è stato fissato u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale. Può essere utile i proposito rivedere i Richiami di geometria aalitica coteuti ella Lezioe 6 di Miimat. 4) È possibile itrodurre delle operazioi tra questi simboli, ma il loro seso sarà chiaro solo parlado di limiti e quidi l aritmetizzazioe dei simboli e + sarà data solo ell Argometo 3. 6