ANALISI DEI RISULTATI

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1 ANALISI DEI RISULTATI I 4 passi pricipali del processo simulativo Formulare ed aalizzare il problema Sviluppare il Modello del Sistema Raccolta e/o Stima dati per caratterizzare l uso del Modello Attività modellistica Workload aalysis Implemetazioe del (kerel del) Simulatore Verifica e validazioe del Simulatore Implemetazioe e ru simulatore Progettare la campaga di esperimeti per valutare le alterative Aalisi statistica dell output Aalisi risultati Idetificare la soluzioe e presetare i risultati di supporto Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe

2 Aalisi risultati Tre passi 1. Scelta degli idici di prestazioe. Raccolta delle osservazioi durate il ru del simulatore (campioameti) 3. Elaborazioe delle osservazioi RISULTATI Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 3 Modulo 1: Idici di prestazioe

3 Obiettivo fodametale Spesso è fodametale poter defiire le prestazioi che il progetto o la realizzazioe di u sistema è i grado di garatire rispetto a certi carichi di lavoro (espressi come arrivi ed itesità di lavoro richiesto) Attezioe alla differeza: Idici di prestazioe Metriche di prestazioe Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 5 Molteplici idici di prestazioe Frequeza e tipologia degli arrivi al sistema Tempi di risposta (del sistema, di uo o più compoeti) Tempi di attesa Throughput Numero di uteti (i coda, el sistema) Utilizzazioe... Orietati all utete Orietati al sistemista Orietati al maager Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 6

4 Molteplici metriche di prestazioe Tempi putuali Valori per campioi Tempi medi di u campioe Variaza e deviazioe stadard di u campioe Adameto dei tempi medi rispetto a Valori assoluti Valori relativi ad u periodo di osservazioe Percetuali... Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 7 Arrivi (determiati dal workload) Quatità che etrao el sistema per uità di tempo Scelta dell uità di tempo secodo, miuto, gioro, ecc. Scelta dell elemeto richieste arrivate, byte da trasmettere, ecc. Es. coessioi/sec hit/sec Mbyte/sec arrivi l Sistema Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 8

5 Tipi di idici di prestazioi (osservate) Tempi Tempo di risposta Tempo di attesa Tempo di servizio Throughput: quatità elaborate per uità di tempo Numero di risposte soddisfatte al gioro Byte trasmessi al secodo Numero: tipicamete di utilizzatori (uteti, richieste) Nell itero sistema o i qualche compoete del sistema Utilizzazioe: percetuale di utilizzo Dell itero sistema o di qualche compoete del sistema (es., CPU) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 9 Tempi Tempo di risposta del sistema Tempo di servizio di u sottosistema Tempo di attesa di u compoete MISURE (tipiche): msec, msec, sec, Tempo attesa Tempo servizio Tempo risposta (compoete) Tempo risposta (del sistema) B A Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 10 C

6 Throughput Throughput (=produttività) Quatità elaborate dal sistema per uità di tempo Scelta dell uità di tempo secodo, miuto, gioro, ecc. Scelta dell elemeto da misurare richieste arrivate, byte da trasmettere, ecc. Es. coessioi/sec hit/sec Mbyte/sec arrivi l Sistema throughput Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 11 Relazioe tra arrivi e throughput Etrambi soo espressi come quatità i u itervallo di tempo Il throughput cresce proporzioalmete al crescere del tasso di arrivo (ache se è possibile esprimere tassi di arrivo e throughput i base a metriche diverse) arrivi l Sistema throughput Nel caso i cui si utilizzasse la stessa metrica, si osserverebbe: arrivi=throughput Co due importati eccezioi. Quali? Il sistema o ha raggiuto lo stato stabile Il sistema è saturo (=arrivi oltre la capacità del sistema) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 1

7 Idici di prestazioe a cofroto Tempo di risposta (Respose time) Il tempo trascorso dall iizio della richiesta al completameto della risposta Tipiche misure della scala temporale: secodi, miuti, ecc. Tempo di lateza (Latecy time) Il tempo trascorso dall iizio della richiesta all iizio della risposta richiesta risorsa Qual è il tempo di risposta e di lateza della richiesta? Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 13 Bada e Lateza Bada (throughput) Dati trasmessi per uità di tempo Applicazioe: sigolo lik, ed-to-ed Notazioe KB = 10 bytes Mbps = 10 6 bits per secod Lateza (tempo) Tempo per iviare u messaggio dal puto A al puto B Applicazioe: oe-way, roud-trip time (RTT) Compoeti Lateza = Propagazioe + Trasmissioe + Accodameto Propagazioe = Distaza / c Trasmissioe = Dimesioe / Bada Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 14

8 Ritardi ella trasmissioe (1/) I pacchetti sperimetao quattro tipi di ritardo ella trasmissioe da u puto all altro della rete (ovvero per completare u hop) Elaborazioe: cotrollo errori, scelta lik di uscita (router) Accodameto: al lik di uscita del router i attesa di essere trasmesso (dipede dal livello di cogestioe) Trasmissioe Propagazioe trasmissioe propagazioe elaborazioe accodameto Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 15 Ritardi ella trasmissioe (/) Ritardi di trasmissioe R = bada del lik (es., 100Mbps) L = dimesioe del pacchetto (bit) Tempo di trasmissioe per iviare ilpacchetto ellik =L/R Ritardi di propagazioe (el mezzo fisico) d = lughezza del lik fisico s = velocità di propagazioe el mezzo (es., ~10 8 m/sec) Ritardo di propagazioe el lik = d/s s e R soo quatità molto differeti! Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 16

9 Modulo : Metriche di prestazioe su campioi Campioi Nella maggior parte degli studi di prestazioe o si è iteressati ai valori putuali dei sigoli uteti, ma a compredere l adameto rispetto a molteplici uteti del sistema. Due aspetti da risolvere: Quali dati campioare? tutti periodi prestabiliti periodi radom Scelto l idice, quale metrica di prestazioe utilizzare? misure cumulative putuali misure cumulative di adameto Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 18

10 I u sistema aperto Arrivi Determiati dal modello di workload Campioi si ottegoo da osservazioi ( campioameti ) INTERNI USCITE arrivi l Simulatore del sistema uscite (possibili) puti di osservazioe Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 19 I u sistema chiuso Numero uteti Determiati dal modello di workload Campioi si ottegoo da osservazioi ( campioameti) INTERNI USCITE Simulatore del sistema (possibili) puti di osservazioe Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 0

11 Misure putuali Misure di prestazioi Riferite ad ua osservazioe i Misure cumulative putuali Riferite ad u campioe di osservazioi: 1 Media 1 Variaza 1 = i s = ( i ) i = 1 1 Misure cumulative di adameto Rispetto a qualche altro idice i= 1 Es., tempo di risposta rispetto alla frequeza degli arrivi Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 1 Misure cumulative putuali

12 Caratterizzare u campioe di dati Bisoga: Teer coto dell average Teer coto della variabilità Average Media Campioaria ( Sample Mea ) Mediaa Campioaria ( Sample Media ) Si ordiao le osservazioi i modo crescete e si cosidera l osservazioe i mezzo Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 3 Misure medie campioarie Dato u campioe {,..., } 1, di osservazioi Media Aritmetica Campioaria = 1 i = 1 i Media Geometrica Campioaria = i= 1 i 1 Media Armoica Campioaria = Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 4

13 Atteti alla media! C era ua volta u uomo che affogò guadado u fiume di cui aveva saputo che i media era profodo 30 cm. [ W.I.E. Gates ] Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 5 Errori Tipici ell Uso delle Medie (1/3) Usare la media di valori molto differeti Es. Affermare che il tempo di risposta medio della CPU per le query è pari a 505 msec, cosiderado che due misure hao dato Tcpu1= 10 msec e Tcpu=1000 msec Il valor medio è corretto ma o dà alcua iformazioe utile alla caratterizzazioe del sistema. Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 6

14 Errori Tipici ell Uso delle Medie (/3) Usare la media seza teer coto dei picchi della distribuzioe per cofrotare due sistemi Es. Tempi di risposta osservati Sistema A Sistema B L 10 5 M 9 5 M 11 5 G 10 4 V Somma Media: 10 (utile) 10 (o utile o fuorviate) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 7 Errori Tipici ell Uso delle Medie (3/3) Moltiplicare le Medie per otteere la media del prodotto E(XY) E(X) E(Y) Valor Medio Errato Esempio Numero Medio Uteti i u sistema 3 Numero Medio di Processi per Utete Qual è il umero medio di processi el sistema? Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 8

15 Variabilità Molti dei problemi evideziati i precedeza derivao da u fattore comue: No è possibile caratterizzare u campioe co ua sola misura soprattutto quado la distribuzioe dei dati è molto distate dall UNIFORME. Realizzare u sistema a bassa variabilità è sempre preferibile, ma se il sistema è itrisecamete a diamicità elevata, le metriche di prestazioe devoo teere coto Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 9 Idici di dispersioe di u Campioe Rago Differeza tra il massimo e il miimo osservati Deviazioe Assoluta Media 1 1 i dove = i= 1 i= 1 i Variaza Campioaria 1 = 1 i= 1 ( i ) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 30 s

16 Idici di dispersioe di u Campioe Deviazioe Stadard Campioaria: s = s (preferibile perché o ha l effetto quadratico e rimae della stessa uità di gradezza della Media) Es. Tempo medio di risposta sec Stadard Deviatio 1.6 sec (alta variabilità) 0.4 sec (bassa variabilità) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 31 Idici di dispersioe di u Campioe Coefficiete di Variazioe C.O.V.= (Ache migliore della deviazioe stadard per i cofroti i quato elimia l uità di misura) Esempio (precedete) = 0.8 ( 80% ) = 0. ( 0% ) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 3 s

17 Esempio I u esperimeto ripetuto 3 volte, si è osservato che il tempo di risposta della risorsa CPU è stato pari a: 3.1, 4.,.8, 5.1,.8, 4.4, 5.6, 3.9, 3.9,.7, 4.1, 3.6, 3.1, 4.5, 3.8,.9, 3.4, 3.3,.8, 4.5, 4.9, 5.3, 1.9, 3.7, 3., 4.1, 5.1, 3., 3.9, 4.8, 5.9, 4. Calcolare: Media Campioaria Variaza e Deviazioe Stadard Campioaria C.O.V Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 33 Osservazioe Vi soo molti sistemi (Backboe di reti geografiche, Cetrali elettriche, Sistemi iformativi critici) che o si progettao sulla base del traffico medio e eache sull idice di dispersioe del campioe (deviazioe stadard e simili), ma per supportare ache 10 volte i livelli di carico medi. OVERPROVISIONING Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 34

18 Misure cumulative di adameto Adameto del tempo di risposta Tempo di risposta (sec) Curva classica del tempo di risposta 1 0 Carico accettabile Puto di saturazioe Tasso di arrivo (p.es., richieste al secodo, pacchetti al secodo) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 36

19 Adameto del tempo di risposta (sistema co umero di risorse fiite) Tempo di risposta (sec) Curva del tempo di risposta al crescere del carico i arrivo ad u sistema co umero di risorsefiite Curva classica del tempo di risposta Puto di saturazioe Tasso di arrivo Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 37 Adameto del tempo di risposta (sistema a capacità limitata) Tempo di risposta (sec) Curva classica del tempo di risposta Curva del tempo di risposta per u sistema a capacità limitata Si iiziao a rifiutare le coessioi Tasso di arrivo Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 38

20 Tempi di accodameto al odo R=bada del lik (bps) L=lughezza del pacchetto (bit) a=tasso medio di arrivi di pacchetti al odo Tempo medio di accodameto Itesità del traffico = (L a)/r (L a)/r ~ 0: i ritardi medi di accodameto soo piccoli o ulli (L a)/r 1: i ritardi divetao gradi (L a)/r >1: arriva più lavoro di quato possa essere elaborato. I tempi di attesa tedoo all ifiito! (i realtà, co buffer limitati, si iiziao a perdere pacchetti) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 39 Curva del throughput Capacità teorica Throughput Capacità effettiva Curva desiderabile Curva (spesso) reale Curva pessima (thrashig) Puto di saturazioe del sistema Tasso di arrivo Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 40

21 ANALISI STATISTICA DELL OUTPUT Perché statistica? r SIMULATORE f (r) Dal mometo che l Output di u Simulatore è fuzioe di variabili aleatorie, l Aalisi dei risultati è u problema di statistica ifereziale. Due campi applicativi pricipali: Test e Covalida delle ipotesi (es, Test Goodess of Fit) Stima etro u certo livello di accuratezza (p.es., qual è la differeza tra la media vera di ua distribuzioe teorica e la media stimata otteuta da osservazioi) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 4

22 Simulazioe Steady-State (di iteresse per il corso) Simula Sistemi che raggiugoo, dopo u determiato trasiete,uo stato stabile I questo caso sia le codizioi iiziali che la lughezza della Simulazioe soo determiati dal simulazioista Le misure di iteresse soo defiite i fuzioe di u valore limite raggiuto co i ru di simulazioe tedeti all ifiito Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 43 ESEMPIO Misura: Tempo medio di Attesa i coda Ta Per (clock ifiito), si defiisce la distribuzioe del Tempo di Attesa, e Ta coverge ad u valore limite Problemi ell Aalisi dell Output 1. Per defiizioe di Steady-State, i valori dell output devoo essere idipedeti dallo stato iiziale. Dal mometo che, i pratica, sia il ru sia le osservazioi soo fiite, bisoga determiare quato la media stimata si avvicia a quella teorica otteuta dalla distribuzioe. Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 44

23 Primo problema: elimiazioe degli effetti dello stato iiziale ( warmup ) Le osservazioi effettuate prima che il SIMULATORE arrivi allo STATO STABILE possoo essere o sigificative e/o ifluezare il calcolo delle statistiche TRE MODI per superare il TRANSIENTE Si iizia ua PROVA da uo STATO STABILE (precedetemete memorizzato) di difficile realizzazioe Si riducoo gli effetti trasieti aumetado di molto le OSSERVAZIONI iefficiete Si elimiao le prime k OSSERVAZIONI (presumibilmete ifluezate dallo stato iiziale) MIGLIORE Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 45 Secodo problema (più complesso): Le misure di iteresse soo defiite i fuzioe di u valore limite raggiuto co ru di simulazioe tedeti all ifiito. Dal mometo che, i pratica, sia il rudi simulazioe sia le osservazioi soo fiite, bisoga determiare quato la media stimata si avvicia a quella teorica otteuta dalla distribuzioe Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 46

24 Teorema del Limite Cetrale (Fodametale per la Statistica e per la Simulazioe) La fuzioe di Distribuzioe di ua media aritmetica calcolata su di u gra umero di variabili casuali idipedeti e ideticamete distribuite (i.i.d.) è approssimabile co ua fuzioe di distribuzioe ormale Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 47 Problema della Normalità Il Teorema del Limite Cetrale assicura che la media di variabili aleatorie (>c) idipedeti e ideticamete distribuite è approssimativamete distribuita ormalmete Tutti i calcoli statistici sfruttao queste proprietà, per cui è importate far presete che i campioi di uteti cosecutivi (ovvero osservazioi di eveti cosecutivi) o possoo risultare idipedeti. E molto probabile che vi siao correlazioi tra le osservazioi e quidi si viola il pricipio della i.i.d. su cui si basa il Teorema. Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 48

25 Soluzioe al problema Ogi ru di Simulazioe produce u campioe di osservazioi (derivate dalla stessa distribuzioe) di uo o più parametri di prestazioe Per risolvere il problema della ormalità si utilizzao strumeti che redoo idipedeti le osservazioi Diversi ru di Simulazioe, eseguiti co u diverso isieme di semi, producoo altri campioi di osservazioi statisticamete idipedeti Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 49 Come ricodursi i codizioi di osservazioi i.i.d. I pratica, si aumeta il umero di ru del simulatore, possibilmete co semi differeti. Tre metodi pricipali: Metodo Rigeerativo Metodo Batch Metodo Prove Ripetute Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 50

26 Metodo Prove Ripetute (1/4) Oggi è il metodo più utilizzato, i quato poe meo vicoli ed il tempo di computazioe (additivo per l elimiazioe del periodo trasiete) tipicamete o è più u problema Parametro di output Ru Batch1 Ru Batch Ru Batch 0 t t+t 0 t t+t 0 t t+t Ru 1 Ru Ru Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 51 Metodo Prove Ripetute (/4) E u metodo di Rigeerazioe Artificiale per otteere osservazioi statisticamete idipedeti. Si effettuao k ru ( repliche ) del Simulatore, ciascuo co sequeze diverse di umeri pseudocasuali I ciascu ru si effettuao m k (può ache essere u umero casuale) osservazioi (potezialmete, autocorrelate) della variabile aalizzata. Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 5

27 Metodo Prove Ripetute (3/4) Al termie si ottegoo k campioi, ciascuo di m j (j=1,, k) osservazioi, potezialmete autocorrelate: m 1 3 m 3 m Osservazioe #1 k 1 Si calcolao: k... m j i= 1 km k y j = ji Osservazioe #k m j z j = ji i= 1 Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 53 Metodo Prove Ripetute (4/4) Se il sistema ha raggiuto la stazioarietà e i k esperimeti soo stati codotti co sequeze di umeri pseudo-casuali idipedeti, le tre serie y,..., 1 y k z 1,..., zk m 1,...,mk possoo cosiderarsi i.i.d. E ache possibile valutare y j e z j per m 1 = = m k Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 54

28 Applicazioe del Teorema del limite cetrale La Media Campioaria è ua variabile aleatoria la cui distribuzioe f (X ) (per il Teorema del Limite Cetrale ) è ormale se f ( X ) è ormale, altrimeti tede a ua distribuzioe ormale se è grade (>30) co parametri : E( X ) = µ σ σ ( X ) = σ σ ( X ) = Valore Atteso Variaza Deviazioe Stadard Tutti e tre cotribuiscoo a forire ua misura della dispersioe delle variabili aleatorie di ua distribuzioe. Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 55 ESEMPIO X () µ σ Media osservata su campioi i.i.d. ( grade) Media teorica Variaza teorica X ( ) µ C = σ Variabile aleatoria co distribuzioe N(0,1) I valori derivati per C ( gradi) seguoo ua distribuzioe ormale co Media = 0 Variaza = 1 Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 56

29 Applicazioe del Teorema del limite cetrale Sebbee la distribuzioe o sia ota, il Teorema del Limite Cetrale ci assicura che la media teorica µ può essere stimata mediate X() co u umero grade di osservazioi i.i.d. i quato X ( ) è distribuita ormalmete. La media teorica sarà compresa co ua certa probabilità tra due valori che costituirao il cosiddetto itervallo di cofideza: a < µ < b X () serve per calcolare a e b Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 57 Itervalli di Cofideza (1/4) Problema: Stimare quato ua media campioaria otteuta da ua Simulazioe fiita approssimi la Media µ otteuta dalla Distribuzioe Teorica. X Soluzioe: Si determia ua misura detta Itervallo di Cofideza. Metodo 1) Per grade, la variabile : X ( ) µ C( ) = z = σ / È ach essa ormale co N(0,1), media=0 e variaza=1.

30 Itervalli di Cofideza (/4) La fuzioe cumulativa F z tutti i mauali di statistica. ) Si preda u valore di u tale che F z α ( u) = 1 ( ) 3) Di cosegueza: ( u) = prob( z u) dove = uα Perché la ormale è simmetrica itoro alla media (=0) prob( z uα ) =α è tabulata i Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 59 α < 1 prob( z > uα ) = 1 F ( uα ) = α Itervalli di Cofideza (3/4) 4) Si ha, quidi : prob( u z u ) = 1 α α α X µ prob( uα uα ) = 1 α σ Livello di cofideza σ σ prob[ X uα µ X + uα ] = 1 α Itervallo di cofideza Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 60

31 Itervalli di Cofideza (4/4) u α 5) Per calcolare si usa la tabella della α distribuzioe ormale: F ( u ) = 1 ( Se si sceglie ad esempio, u livello di cofideza del 95% : 1 = 0.95 > α = 0.05 > = Dalla Tavola bisoga ricavare il valore di che F( u α ) = X ±1.960 Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 61 σ tale Allora, è possibile affermare che la media teorica m cade ell itervallo al 95% di probabilità. α α α α 0.05 F ( u α ) = 1 = ) u α Tavola della Normale (1/4) α a µ b α Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 6

32 Tavola della Normale (/4) Distribuzioe cumulativa ormale z X Area z X Area µ σ µ µ µ σ σ µ σ µ µ µ µ µµ σ σ σ σ µ σ σ µ σ σ µ σ µ σ µ σ 0.85 Tavola della Normale (3/4) z X Area z X Area µ σ µ +1.8 σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ -1.8 σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ 0.975

33 Tavola della Normale (4/4) z X Area z X Area µ σ µ σ µ σ µ +.36 σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 65 Problema della variaza teorica (1/) Nella pratica, la Variaza σ, ecessaria per il calcolo dell itervallo di cofideza, o è ota. Pertato la si sostituisce co la variaza campioaria Vale soltato per osservazioi idipedeti Ora la variabile stadard o è più ormale, ma Studet-T s 1 = ( 1 t = i= 1 X s i µ X ) Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 66

34 Problema della variaza teorica (/) Di cosegueza l itervallo di cofideza è dato da : t α s s X tα µ X + t α dovrebbe essere calcolato dalla tabella della fuzioe di distribuzioe Studet-t. Tuttavia, poiché per gradi (>30), la fuzioe Studet-t tede alla fuzioe ormale, è possibile i molti casi utilizzare la tavola della ormale co miima approssimazioe. Impiati di Elaborazioe 003/004 Misure di Prestazioe 67