COME CALCOLARE L INTERVALLO DI CONFIDENZA QUANDO E NECESSARIO STIMARE LA DEVIAZIONE STANDARD? (è quasi sempre così!)

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1 COME CALCOLARE L INTERVALLO DI CONFIDENZA QUANDO E NECESSARIO STIMARE LA DEVIAZIONE STANDARD? (è quasi sempre così!) Per fortua le cose o cambiao poi di molto visto che la uova variabile x µ s x co s x = s NON segue ua distribuzioe ormale stadardizzata MA, se la variabile aalizzata ha ua distribuzioe ormale, segue ua uova distribuzioe teorica di probabilità chiamata distribuzioe t di Studet co -1 gradi di libertà

2 P Quidi ( x t s x+ t s / ) = α α / 2, 1 / µ α / 2, 1 1 e l itervallo di cofideza della media diveta semplicemete da IC (1-α) => x t s / ± α / 2, 1 t α/2, -1 è quidi il valore critico della distribuzioi di t co -1 gradi di libertà, che idetifica, alla sua destra, u area pari a α/2. E se la variabile o ha ua distribuzioe gaussiaa?

3 La distribuzioe t

4 Caratteristiche pricipali Varia tra ifiito e +ifiito Ha u parametro, i gradi di libertà (la ormale stadardizzata o ha parametri) o Per campioi di dimesioi diverse esistoo quidi distribuzioi t diverse Media, moda, e mediaa soo uguali Ha media pari a 0 e variaza maggiore di 1. o Se k è grade, la variaza tede a 1 Rispetto alla ormale stadardizzata, ha code più pesati o Maggiore cocetrazioi di valori agli estremi, a causa della maggiore variaza rispetto alla ormale stadardizzata, dovuta all errore ella stima di σ Diveta ua distribuzioe ormale stadardizzata quado i gradi di libertà (e quidi la umerosità del campioe) tedoo a ifiito.

5 Distribuzioe t ad ua coda. df\p if

6 Distribuzioe t a due code. Degrees of Freedom- 2 tails

7 I gradi di libertà (GDL o gdl o df) Hao chiaramete a che fare co la umerosità dell iformazioe che a partire dai dati viee utilizzata i ua aalisi statistica. o Maggiore è il umero delle osservazioi, maggiori sarao i gradi di libertà. Corrispodoo al umero pezzettii di iformazioe idipedeti che vegoo utilizzati per ua stima o u test. I gdl soo ache pari al umero totale di osservazioi (o puteggi) utilizzati i u test o i ua stima meo il umero di parametri che soo stati stimati Nel calcolo dell itervallo di cofideza, se è ecessario stimare la deviazioe stadard si usa ua distribuzioe t co -1 gradi di libertà

8 Due coclusioi importati La statistica ifereziale implica la coosceza della distribuzioe di probabilità della statistica utilizzata (la media campioaria stadardizzata, el ostro caso). Tale coosceza o ci può ovviamete veire dai dati ma deve essere derivata, teoricamete o i altri modi, utilizzado spesso alcue assuzioi. I ragioameti geerali visti per l itervallo di cofideza di ua media soo applicabili ache agli itervalli di cofideza per altri parametri. E però importate cooscere la distribuzioe di frequeza della statistica che stiamo utilizzado per stimare il parametro.

9 ESEMPIO APPLICATIVO

10 ESERCIZIO La tabella riporta media e deviazioe stadard di 4 distribuzioi ormali (prime 2 coloe). Calcolare la probabilità che campioi di 10 o 30 idividui estratti da popolazioi co queste 4 distribuzioi abbiao ua media campioaria maggiore del valore idicato ella terza coloa (X*). P ( x > X *) Media Deviazioe st. X* (=10) P ( x> X *) (=30)

11 Itervalli di cofideza di ua proporzioe Variabile di tipo qualitativo (fumatori/o fumatori; giovai/adulti; maschi/femmie; mutazioea/mutazioeb/mutazioec/asseza di mutazioe) o Calcoliamo la frequeza di idividui che possiedoo ua certa caratteristica Per esempio, su u campioe di 45 idividui affetti da ua certa patologia, 10 soo fumatori. La proporzioe dei fumatori i questo campioe, p, è quidi 10/45 = Come si calcola l itervallo di cofideza di questa proporzioe? o Itervallo che co ua certa probabilità cotiee il valore di questa proporzioe, π, ella popolazioe

12 La distribuzioe teorica di probabilità della statistica p, è la distribuzioe biomiale o La vedremo presto Se però π e (1-π) soo etrambi maggiori o uguali a 5, ua buoa approssimazioe della distribuzioe biomiale è la be ota distribuzioe ormale. I questo caso, la gaussiaa che approssima la fuzioe di probabilità di p che ci iteressa avrà la media paria a π e la variaza pari a π(1-π)/. L errore stadard di p, sarà quidi σ p = π ( 1 π) Quidi posso utilizzare lo stesso tipo di ragioameti visti per l itervallo di cofideza di ua media quado la variaza era ota e arrivare a ( 1 π) π( 1 π) π P α π p z / 2 p+ zα / 2 = 1 α Da cui IC (1-α) => p ± z α / 2 π ( 1 π)

13 Ache i questo caso, però, abbiamo u termie, che qui è π, che o è oto Ua buoa approssimazioe si ottiee semplicemete rimpiazzado π co p IC (1-α) => p ± z α / 2 p ( 1 p) A parole: esiste ua probabilità pari a 1-α che l itervallo di cofideza così calcolato cotega la proporzioe vera (cioè, la proporzioe ella popolazioe) Questo metodo è valido solo se è grade e se π o è troppo vicio a 0 o a 1

14 Esercizio La frequeza dell itolleraza al lattosio, i campioe di 80 soggetti, è risultata pari al 35%. Calcolare l itervallo di cofideza al 99% di questa proporzioe. = 80 p = 0.35 α = 0.01 α/2 = zα/2 = (da tabella) IC (1-α) => p ± z α / 2 p ( 1 p) IC (99%) => ( 0.35) ± = 0.35± IC (99%) =>

15 Piaificare la precisioe: qualche esempio semplice di disego sperimetale L itervallo di cofideza si riduce all aumetare della dimesioe del campioe Per esempio, se posso applicare z IC (1-α) => x ± z / α / 2 σ Defiiamo adesso co il termie geerico di Errore: E = Errore = x µ Lif x Lsup µ

16 Se per esempio L if e L sup defiiscoo l itervallo di cofideza al 95% o L errore, co ua cofideza del 95%, sarà sempre iferiore a 1.96 σ / La stessa cosa vale ovviamete co diversi valori di α e corrispodeti valori di z Quidi o E max,(1-α) = z / α / 2 σ Che mi permette di calcolare = z E α / 2 σ max,(1 α ) 2 Questa è ovviamete ua dimesioe miima o Co valori di maggiori saremo acora più certi di o commettere u errore superiore al valore di E max,(1-α) che ci è prefissati.

17 E se ivece siamo i u caso i cui è ecessario utilizzare la distribuzioe t? IC (1-α) => E quidi x t s / ± α / 2, 1 = t E α / 2, 1 s max,(1 α ) 2 Qui però o coosciamo é la deviazioe stadard, e emmeo il valore critico di t, prima di fare l esperimeto E ecessaria ua stima prevetiva di s e trovare per prova ed errore.

18 Esempio s stimato i precedeti studi o aalisi = 4. Quale sarà la dimesioe del campioe che garatisce u errore o superiore a 1 co ua cofideza del 95%, Scegliamo u iiziale pari a 10: Co = 10 t 0.025,9 = e ricalcolato = (2.262*4/1) 2 = 82 (approssimato per eccesso) A questo puto utilizzo il valore di ricalcolato per ripetere l operazioe t 0.025,81 = e ricalcolato = (1.990*4/1) 2 = 64 (approssimato per eccesso) t 0.025,63 =1.998 e ricalcolato = (1.998*4/1) 2 = 64 (approssimato per eccesso)

19 E el caso di u IC di ua proporzioe? IC 95% => p ± z α / 2 π ( 1 π) E E quidi max, ( 1 α) z = E = α / 2 max, z α / 2 ( 1 α) 2 π π ( 1 π ) ( 1 π) ossia Ma π o è oto, e emmeo ua sua stima, prima di fare l esperimeto! Coviee impostare π = 0.5, ossia la valore di π che rede massimo.