Statistica. Capitolo 9. Stima: Ulteriori Argomenti. Cap. 9-1

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1 Statitica Capitolo 9 Stima: Ulteriori Argometi Cap. 9-1

2 Obiettivi del Capitolo Dopo aver completato il capitolo, arete i grado di: Cotruire itervalli di cofideza per la differeza tra le medie di due popolazioi dipedeti Cotruire itervalli di cofideza per la differeza tra le medie di due popolazioi idipedeti (deviazioi tadard ote o o ote) Calcolare i limiti dell itervallo di cofideza per la differeza fra le proporzioi di due popolazioi idipedeti Cotruire itervalli di cofideza per la variaza della popolazioe Trovare pecifici valori ella tavola della ditribuzioe chi-quadrato Determiare la dimeioe del campioe ecearia per timare ua media o ua proporzioe etro uo pecifico margie di errore Cap. 9-

3 Stima: Ulteriori Argometi Argometi del Capitolo Medie delle Popolazioi: Campioi Dipedeti Medie delle Popolazioi: Campioi Idipedeti Proporzioi delle Popolazioi Variaza della Popolazioe Eempi: Steo gruppo prima v. dopo u trattameto Gruppo 1 v. Gruppo (idipedeti) Proporzioe 1 v. Proporzioe Variaza di ua ditribuzioe ormale Cap. 9-3

4 Campioi Dipedeti Campioi Dipedeti Stima della differeza tra le medie di popolazioi dipedeti Campioi appaiati Miure Ripetute (prima/dopo) Uiamo le differeze fra valori accoppiati: Elimia variazioe da oggetto a oggetto Auzioi: d i = i - i Etrambe le popolazioi hao ditribuzioe ormale Cap. 9-4

5 Differeza tra due Medie Campioi Dipedeti La i ma differeza è d i, dove d i = i - i La tima putuale della differeza tra le medie delle popolazioi è d : d = = i 1 d i La deviazioe tadard campioaria è: d = i= 1 ( d i 1 d) è il umero di coppie el campioe Cap. 9-5

6 Itervallo di Cofideza per la Differeza tra due Medie Campioi Dipedeti L itervallo di cofideza per la differeza tra due medie, μ d, è d t d 1, α/ < μ d < + t 1, α/ d d Dove = dimeioe del campioe (umero di coppie) Cap. 9-6

7 Itervallo di Cofideza per la Differeza tra due Medie (cotiuazioe) Campioi Dipedeti Il margie di errore è ME = t 1, α/ d t -1,α/ è il valore della ditribuzioe t di Studet co ( 1) gradi di libertà per il quale α P(t 1 > t 1, α/) = Cap. 9-7

8 Eempio: Campioi Dipedeti Sei idividui i icrivoo ad u programma di dimagrimeto. Si raccolgoo i egueti dati: Peo: Idividuo Prima (X) Dopo (Y) Differeze, d i d d = Σ d i = 7.0 ( di d) = 1 = 4.8 Cap. 9-8

9 Eempio: Campioi Dipedeti Per u livello di cofideza del 95%, l appropriato valore di t è t -1,α/ = t 5,.05 =.571 L itervallo di cofideza al 95% per la differeza tra medie, μ d, è d d d t 1,α/ < μd < d + t 1, α/ (.571) < μd < 7 + (.571) < μ < 1.06 d (cotiuazioe) Siccome l itervallo o cotiee il valore zero, ulla bae di queti dati limitati poiamo eere cofideti al 95% che il programma di dimagrimeto aiuti a perdere peo Cap. 9-9

10 Differeza fra Due Medie Medie delle popolazioi, campioi idipedeti Obiettivo: Cotruire u itervallo di cofideza per la differeza tra le medie di due popolazioi, μ μ Divere foti di dati Seza relazioe Idipedeti Il campioe elezioato da ua popolazioe o iflueza il campioe elezioato dall altra popolazioe La tima putuale è la differeza fra le due medie campioarie: Cap. 9-10

11 Medie delle popolazioi, campioi idipedeti Differeza fra Due Medie (cotiuazioe) σ e σ ote Itervallo di Cofideza ua z α/ σ e σ o ote σ e σ uguali σ e σ divere Itervallo di cofideza ua u valore della ditribuzioe t di Studet Cap. 9-11

12 σ e σ ote Medie delle popolazioi, campioi idipedeti σ e σ ote σ e σ o ote * Auzioi: campioi cauali e idipedeti etrambe le popolazioi hao ditribuzioe ormale variaze delle popolazioi ote Cap. 9-1

13 σ e σ ote Medie delle popolazioi, campioi idipedeti σ e σ ote σ e σ o ote Quado σ e σ oo ote e etrambe le popolazioi hao ditribuzioe ormale, la variaza di X Y è * σ X Y = σ + e la variabile aleatoria σ (cotiuazioe) Z = (X Y) (μ X Y σ σ + X μ Y ) ha ditribuzioe ormale tadard Cap. 9-13

14 Itervallo di Cofideza, σ e σ ote Medie delle popolazioi, campioi idipedeti σ e σ ote σ e σ o ote * L itervallo di cofideza per μ μ è : ( ) z α/ σ X + σ Y < μ X μ Y < ( ) + z α/ σ X + σ Y Cap. 9-14

15 Itervallo di Cofideza, σ e σ o ote ma Uguali Medie delle popolazioi, campioi idipedeti σ e σ ote σ e σ o ote σ e σ uguali σ e σ divere * Auzioi: campioi cauali e idipedeti etrambe le popolazioi hao ditribuzioe ormale variaze delle popolazioi o ote, ma uguali Cap. 9-15

16 Itervallo di Cofideza, σ e σ o ote ma Uguali (cotiuazioe) Medie delle popolazioi, campioi idipedeti σ e σ ote σ e σ o ote σ e σ uguali σ e σ divere * Cotruzioe di time per itervallo: aumiamo che le variaze delle popolazioi iao uguali, quidi uiamo le due variaze campioarie e le combiiamo per otteere ua tima per σ uiamo u valore di t co ( + ) gradi di libertà Cap. 9-16

17 Itervallo di Cofideza, σ e σ o ote ma Uguali (cotiuazioe) Medie delle popolazioi, campioi idipedeti σ e σ ote La variaza campioaria poderata è: σ e σ o ote σ e σ uguali * p = ( 1) + + ( 1) σ e σ divere Cap. 9-17

18 Itervallo di Cofideza, σ e σ o ote ma Uguali σ e σ o ote σ e σ uguali σ e σ divere * L itervallo di cofideza per μ 1 μ è : ( ) t p p p +, α/ + < μx μy < ( ) + t +,α/ + p Dove p = ( 1) + ( + 1) Cap. 9-18

19 Eempio: Variaza Campioaria Poderata Eamiiamo la velocità di due proceori. Calcoliamo u itervallo di cofideza per la differeza ella velocità della CPU. Regitriamo i egueti dati ulla velocità (i Mhz): CPU CPU Numero Eamiato Media Campioaria Dev St Campioaria Aumiamo che etrambe le popolazioi abbiao ditribuzioe ormale co tea variaza e uiamo u livello di cofideza del 95% Cap. 9-19

20 Calcolo Variaza Campioaria Poderata La variaza campioaria poderata è: ( ) + ( 1) ( 17 1) 74 + ( 14 ) p = = = ( 1) + ( 1) (17-1) + (14 1) Il valore t per u itervallo di cofideza al 95% è: t +, α/ = t 9, 0.05 =.045 Cap. 9-0

21 Limiti dell Itervallo di Cofideza L itervallo di cofideza al 95% è ( ) t p p p +, α/ + < μ X μ Y < ( ) + t +,α/ + p ( ) (.045) + < μ μy < ( ) + (.045) X < μ μy X < Siamo cofideti al 95% che la differeza tra le velocità medie delle due CPU ia comprea fra e Mhz. Cap. 9-1

22 Itervallo di Cofideza, σ e σ o ote e Divere Medie delle popolazioi, campioi idipedeti σ e σ ote σ e σ o ote σ e σ uguali σ e σ divere * Auzioi: campioi cauali e idipedeti etrambe le popolazioi hao ditribuzioe ormale variaze delle popolazioi o ote e divere Cap. 9-

23 Medie delle popolazioi, campioi idipedeti Itervallo di Cofideza, σ e σ o ote e Divere σ e σ ote σ e σ o ote σ e σ uguali σ e σ divere * Cotruzioe di time per itervallo: (cotiuazioe) le variaze delle popolazioi oo divere, quidi o ha eo uare ua variaza poderata uiamo u valore di t co ν gradi di libertà, dove v = /( ( ) + ( 1) + ) /( 1) Cap. 9-3

24 Cap. 9-4 L itervallo di cofideza per μ 1 μ è: * Itervallo di Cofideza, σ e σ o ote e Divere σ e σ uguali σ e σ o ote σ e σ divere,α/ Y X α/, t ) ( μ μ t ) ( + + < < + ν ν 1) /( 1) /( ) ( ) ( + + = v Dove

25 Proporzioi di Due Popolazioi Proporzioi delle Popolazioi Auzioi: Obiettivo: Cotruire u itervallo di cofideza per la differeza tra le proporzioi di due popolazioi, p p Etrambi i campioi oo gradi (i geerale almeo 40 oervazioi i ciacu campioe) La tima putuale per la differeza è: pˆ p ˆ Cap. 9-5

26 Proporzioi di Due Popolazioi (cotiuazioe) Proporzioi delle Popolazioi La variabile aleatoria Z = ( Pˆ pˆ Pˆ (1 pˆ ) (p ) + pˆ p (1 ) pˆ ) ha ua ditribuzioe approimativamete ormale Cap. 9-6

27 Itervallo di Cofideza per la Differeza tra due Proporzioi Proporzioi delle Popolazioi L itervallo di cofideza per p p è: ( pˆ pˆ ) ± z α / pˆ (1 pˆ ) + pˆ (1 pˆ ) Cap. 9-7

28 Eempio: Differeza tra due Proporzioi Cotruiamo u itervallo di cofideza al 90% per la differeza tra la proporzioe di uomii e la proporzioe di doe che hao ua laurea. I u campioe cauale, 6 dei 50 uomii e 8 delle 40 doe hao ua laurea Cap. 9-8

29 Eempio: Differeza tra due Proporzioi Uomii: 6 pˆ = = (cotiuazioe) Doe: 8 pˆ = = pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) 0.5(0.48) (0.30) 40 + = + = Per u livello di cofideza al 90%, z α/ = Cap. 9-9

30 Eempio: Differeza tra due Proporzioi I limiti di cofideza oo: (cotiuazioe) ( pˆ pˆ ) ± z α/ pˆ (1 pˆ ) + pˆ (1 pˆ ) = (.5.70) ± 1.645(0.101) quidi l itervallo di cofideza è < p p < Siccome queto itervallo o cotiee il valore zero, iamo cofideti al 90% che le due proporzioi o iao uguali Cap. 9-30

31 Itervallo di Cofideza per la Variaza della Popolazioe Variaza della Popolazioe Obiettivo: cotruire u itervallo di cofideza per la variaza della popolazioe L itervallo di cofideza è baato ulla variaza campioaria, S Aumiamo: la popolazioe ha ditribuzioe ormale Cap. 9-31

32 Itervallo di Cofideza per la Variaza della Popolazioe (cotiuazioe) Variaza della Popolazioe Co χ 1, α La variabile aleatoria χ 1 = ( 1) S σ ha ua ditribuzioe chi-quadrato co ( 1) gradi di libertà i idica il valore per il quale P( χ 1 χ 1, α ) = > α Cap. 9-3

33 Itervallo di Cofideza per la Variaza della Popolazioe (cotiuazioe) Variaza della Popolazioe L itervallo di cofideza all (1 - α)% per la variaza della popolazioe è ( 1) χ 1, α/ < σ < ( χ 1) 1,1- α/ Cap. 9-33

34 Eempio: Variaza della Popolazioe Stiamo cotrollado la velocità di u proceore. Regitriamo i egueti dati (i Mhz): CPU Dimeioe campioe 17 Media campioaria 3004 Dev St campioaria 74 Aumiamo che la popolazioe abbia ditribuzioe ormale. Determiiamo l itervallo di cofideza al 95% per σ Cap. 9-34

35 Trovare i Valori Chi-Quadrato = 17 quidi la ditribuzioe chi-quadrato ha ( 1) = 16 gradi di libertà α = 0.05, quidi uiamo i valori della chi-quadrato co area 0.05 i ciacua coda: χ χ 1, α/ = 1,1- α/ χ = 16, 0.05 χ = 16, = 6.91 probabilità α/ =.05 probabilità α/ =.05 χ 16 = 6.91 χ 16 = 8.85 χ 16 Cap. 9-35

36 Limiti dell Itervallo di Cofideza L itervallo di cofideza al 95% è ( 1) χ 1, α/ < σ < ( χ 1) 1,1- α/ (17 1)(74) 8.85 < σ < (17 1)(74) < σ < 1680 I termii di deviazioe tadard: iamo cofideti al 95% che la deviazioe tadard della popolazioe delle velocità delle CPU ia comprea fra e Mhz Cap. 9-36

37 Output PHStat Cap. 9-37

38 Output PHStat (cotiuazioe) Iput Output Cap. 9-38

39 Determiazioe dell Ampiezza Campioaria Determiazioe Ampiezza Campioaria Per la Media Per la Proporzioe Cap. 9-39

40 Margie di Errore È poibile calcolare l ampiezza campioaria ecearia per garatire u deiderato margie di errore (ME), co u prefiato livello di cofideza (1 - α) Il margie di errore è ache chiamato errore di campioameto l ammotare di impreciioe ella tima del parametro della popolazioe l ammotare aggiuto e ottratto dalla tima putuale per formare l itervallo di cofideza Cap. 9-40

41 Determiazioe dell Ampiezza Campioaria Determiazioe Ampiezza Campioaria ± zα/ Per la Media σ Margie di Errore (errore di campioameto) ME = zα/ σ Cap. 9-41

42 Determiazioe dell Ampiezza Campioaria Determiazioe Ampiezza Campioaria (cotiuazioe) Per la Media ME = zα/ σ Riolvere ripetto ad per otteere = z α/ ME σ Cap. 9-4

43 Determiazioe dell Ampiezza Campioaria (cotiuazioe) Per determiare l ampiezza campioaria richieta per la media, dobbiamo coocere: il livello di cofideza (1 - α) richieto, che determia il valore z α/ il margie di errore accettabile (errore di campioameto), ME la deviazioe tadard, σ Cap. 9-43

44 Eempio: Determiazioe dell Ampiezza Campioaria Se σ = 45, quale ampiezza campioaria è ecearia per timare la media etro ± 5 co u livello di cofideza pari al 90%? = z σ ME (1.645) 5 (45) α/ = = Quidi l ampiezza campioaria ecearia è = 0 (Sempre arrotodare per ecceo) Cap. 9-44

45 Determiazioe dell Ampiezza Campioaria Determiazioe Ampiezza Campioaria Per la Proporzioe pˆ ± zα/ pˆ(1 pˆ) ME = zα/ p ˆ(1 pˆ ) Margie di Errore (errore di campioameto) Cap. 9-45

46 Determiazioe dell Ampiezza Campioaria Determiazioe Ampiezza Campioaria (cotiuazioe) ME = zα/ pˆ (1 pˆ) o può eere maggiore di 0.5, quado pˆ = 0.5 p ˆ(1 pˆ ) Sotituire 0.5 i pˆ (1 e riolvere otteedo: pˆ) Per la Proporzioe = 0.5 z ME α/ Cap. 9-46

47 La proporzioe campioaria e la proporzioe della popolazioe, pˆ e p, oo geeralmete o ote (iccome il campioe o è acora tato etratto) p(1 p) = 0.5 geera il valore maimo per il margie di errore (quidi garatice che l ampiezza campioaria otteuta determii il livello di cofideza richieto) Per determiare l ampiezza campioaria ecearia per la proporzioe, dobbiamo coocere: Il livello di cofideza richieto, (1 - α), che determia il valore critico z α/ L errore di campioameto (margie di errore) accettabile, ME La tima p(1 p) = 0.5 Determiazioe dell Ampiezza Campioaria (cotiuazioe) Cap. 9-47

48 Eempio: Determiazioe dell Ampiezza Campioaria Qual è l ampiezza campioaria ecearia per timare la vera proporzioe di difetti (i ua popolazioe molto umeroa) etro 3%, co livello di cofideza pari al 95%? Cap. 9-48

49 Soluzioe: Eempio: Determiazioe dell Ampiezza Campioaria Per u livello di cofideza pari al 95%, uiamo z 0.05 = 1.96 ME = 0.03 Stima p(1 p) = 0.5 = 0.5 z ME (0.5)(1.96) (0.03) α/ = = (cotiuazioe) Quidi = 1068 Cap. 9-49

50 Determiazioe dell Ampiezza Campioaria co PHStat Cap. 9-50

51 Riepilogo del Capitolo Cofrotati due campioi dipedeti Cotruiti itervalli di cofideza per la differeza tra le medie Cofrotati due campioi idipedeti Cotruiti itervalli di cofideza per la differeza fra le medie, variaze delle popolazioi ote, uado Z Cotruiti itervalli di cofideza per la differeza fra le medie, variaze delle popolazioi o ote, uado t Cotruiti itervalli di cofideza per la differeza fra le proporzioi di due popolazioi Cotruiti itervalli di cofideza per la variaza di ua popolazioe ditribuita ormalmete co l utilizzo della ditribuzioe chi-quadrato Determiata l ampiezza campioaria ecearia per garatire u livello di cofideza e u margie di errore prefiati. Cap. 9-51