Lezione 15. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 15. A. Iodice

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1 Statistica Alfoso Iodice D Eza iodicede@uicas.it Uiversità degli studi di Cassio () Statistica 1 / 29

2 Outlie () Statistica 2 / 29

3 itervallo margie di errore Per stimare u parametro della popolazioe, ad esempio la µ o la p di elemeti della popolazioe che presetao ua certa caratteristica, si utilizzao stimatori quali la campioaria X e campioaria ˆp. è ragioevole pesare che la stima putuale otteuta da tali stimatori possa o coicidere co il parametro oggetto di studio; duque, è opportuo itrodurre u margie di errore della stima campioaria otteuta: si ricorre duque a stimatori itervallari: stimatore putuale ± margie di errore () Statistica 3 / 29

4 itervallo margie di errore Se si sceglie u margie di errore grade si idetifica u itervallo di valori, il cui cetro corrispode alla stima campioaria del parametro, che possa coteere co ua certa probabilità () il parametro oggetto di stima. Si cosideri ad esempio lo stimatore campioaria X, lo stimatore itervallare della µ sarà dato da e sarà tale che x ± margie di errore P ( X margie di errore < µ < X + margie di errore ) = resta da idividuare, fissato il livello di, quale sia il margie di errore. () Statistica 4 / 29

5 itervallo () Statistica 5 / 29

6 Ex.1: Si cosideri lo stimatore campioaria X, la cui è E( X) = µ e il cui scarto quadratico medio è var( X) σ = 2 = σ. Il valore stadardizzato di X è Z = X µ σ/ = X µ σ duque, il livello di (1 α) corrispode a P ( σ X µ Zα/2 ) = 1 α equivaletemete P ( X σ Z α/2 < µ < X σ + Z α/2 ) = 1 α () Statistica 6 / 29

7 Ex.1: Si supppoga di dover comuicare u segale da ua sorgete A ad ua destiazioe B. Il segale emesso ha itesità µ. L itesità del segale viee percepito i B secodo ua distribuzioe Normale co µ e deviazioe stadard σ = 3. Quidi, per effetto dei disturbi alla tramissioe, l itesità del segale i B differisce da quella i A co µ = 0 e scarto quadratico medio σ = 3. Si cosideri di aver effettuato = 10 trasmissioi tra A e B registrado l itesità a destiazioe. {17, 21, 20, 18, 19, 22, 20, 21, 16, 19} costruire l itervallo di all 95% costruire l itervallo di all 90% costruire l itervallo di all 99% () Statistica 7 / 29

8 Ex.1: costruire l itervallo di all 95% il livello di (1 α) = 0.95 corrispode a P ( X σ Z α/2 < µ < X σ + Z α/2 ) = 0.95 da cui, gli estremi dell itervallo di soo X σ ± Z α/2 X = = 19.3 Ioltre σ = 3, = 10 e Z α/2 = Z = E ora possibile calcolare gli estremi σ X ± Z α/2 = 19.3 ± = 19.3 ± La stima itervallare è duque [17.44, 21.16] () Statistica 8 / 29

9 Ex.1: costruire l itervallo di all 90% il livello di (1 α) = 0.90 corrispode a Gli elemeti per costruire l itervallo soo: X = 19.3, σ = 3, = 10 e Z α/2 = Z 0.05 = E ora possibile calcolare gli estremi σ X ± Z α/2 = 19.3 ± = 19.3 ± La stima itervallare è duque [17.74, 20.86] costruire l itervallo di all 99% I questo caso Z α/2 = Z = σ X ± Z α/2 = 19.3 ± = 19.3 ± La stima itervallare è duque [16.86, 21.74] () Statistica 9 / 29

10 Ex.2: ; determiazioe umerosità campioaria Dato u itervallo di, fissata l ampiezza dell itervallo a b, si determii la umerosità del campioe. Ricordado che gli estremi dell itervallo soo dati da X σ ± Z α/2 σ pertato l ampiezza dell itervallo è 2 Z α/2 duque la umerosità è data da 2 Z α/2 σ = b σ 2 Z α/2 b = ( σ ) 2 = 2 Z α/2 = b Quale deve essere la umerosità per otteere u itervallo di sulla µ al 95% di ampiezza b = 0.01, teuto coto che σ = 2? ( = ) 2 = (784) 2 = () Statistica 10 / 29

11 Ex.3: ; variaza o ota Se lo scarto quadratico medio σ della popolazioe o è oto occorre stimarlo attraverso lo scarto quadratico medio s della campioaria X. Duque, La quatità stadardizzata è S = i=1 (X i X) 2 1 T 1 = X µ S/ e si distribuisce secodo ua distribuzioe t di Studet co 1 gradi di libertà. () Statistica 11 / 29

12 La distribuzioe t studet William Gosset (Studet) Gosset lavorava per la Guiess, che gli vietava di pubblicare lavori scietifici. I suoi lavori, quidi, veivao pubblicati sotto lo pseudoimo di Studet. la distribuzioe t di Studet Nel 1908 sviluppo la distribuzioe t, che spesso viee chiamata come t di Studet. La distribuzioe t di Studet T 1 = X µ S 2 / è il il rapporto tra ua ormale stadard e ua v.c. chi-quadrato co 1 g.d.l. rapportata ai propri gradi di libertà. La v.c. χ 2 co gradi di libertà è la somma dei quadrati di ormali stadard χ 2 = X 2 i, co X i N(0, 1) i=1 () Statistica 12 / 29

13 La t di Studet Dato u campioe casuale X 1, X 2,..., X, gli stimatori della µ e della variaza σ 2 soo rispettivamete Quidi X = i=1 X i S 2 = campioaria, co E( X) = µ, var( X) = σ2 i=1 ( Xi X ) 1 X µ Z(0, 1) σ 2 / se σ 2 o è oto, si utilizza S 2 per stimarlo. variaza campioaria () Statistica 13 / 29

14 La t di Studet Per cooscere la distribuzioe di X µ S2 si ricordi che ( 1) S 2 / σ 2 χ 2 1 X µ ( 1)σ2 = moltiplicado il deomiatore per S 2 / ( 1)σ 2 X µ X µ = σ 2 = ( 1) S 2 ( 1) σ 2 σ 2 ( 1) S2 1 σ 2 ( 1) = Z(0, 1) χ T 1 }{{} t-studet pertato la t-studet è il rapporto tra ua ormale stadard e la radice di u chi-quadrato rapportato ai propri gradi di libertà. () Statistica 14 / 29

15 Adameto della t di Studet () Statistica 15 / 29

16 Ex.3: ; variaza o ota U agezia deve valutare il grado di cocetrazioe di ua sostaza tossica, il PCB, el latte matero. Per fare questo, viee cosiderato u campioe di 20 madri e studiato il grado di cocetrazioe della sostaza el latte. I valori risultati dalle aalisi soo, i parti per milioe, {16, 0, 0, 2, 3, 6, 8, 2, 5, 0, 12, 10, 5, 7, 2, 3, 8, 17, 9, 1} e scarto quadratico medio campioari soo i=1 x = x i = 5.8 e S = costruire al 95% e al 99%. i=1 (x i x) 2 = () Statistica 16 / 29

17 Ex.3: IC sulla ; variaza o ota Essedo la variaza o ota T 1 = X µ S/ Duque, valgoo le segueti relazioi P ( S X µ tα/2 ) = 1 α equivaletemete P ( X S t α/2 < µ < X S + t α/2 ) = 1 α da cui, gli estremi dell itervallo di soo X S ± t α/2 () Statistica 17 / 29

18 Ex.3: ; variaza o ota gli estremi dell itervallo di al 95% Poichè risulta x = 5.8,s = 5.085, = 20 e t α/2 = s x ± t α/2 = 5.8 ± = 5.8 ± le stime ad itervallo soo duque [3.42, 8.18] gli estremi dell itervallo di al 99% Poichè risulta x = 5.8,s = 5.085, = 20 e t α/2 = s x ± t α/2 = 5.8 ± = 5.8 ± le stime ad itervallo soo duque [2.55, 9.05] () Statistica 18 / 29

19 Ex.4: Sia p la di uità statistiche della popolazioe presetao ua certa caratteristica. La statistica campioaria corrispodete è la campioaria ˆp = x, dove x rappreseta il umero di uità el campioe che presetao ua determiata caratteristica. ˆp è tale che E [ˆp] = p e p(1 p) σˆp =. Ricorredo all approssimazioe della biomiale alla ormale, gli estremi dell itervallo soo dati da ˆp ± Z α/2 σˆp essedo p icogito si stima lo scarto quadratico medio Sˆp = ˆp ± Z α/2 ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ; duque () Statistica 19 / 29

20 Ex.4: Su u campioe di 100 studeti uiversitari, 82 hao termiato gli esami del primo ao egli appelli previsti. Si costruisca u itervallo di per p al 99%. I base ai dati del problema, ˆp = ˆp ± Z α/2 ˆp(1 ˆp) duque le stime itervallari soo [0.721, 0.919]. 0.82(1 0.82) = 0.82 ± = 0.82 ± () Statistica 20 / 29

21 Ex.5: ; determiazioe di Su u certo quotiiao viee riportato il risultato di u sodaggio secodo il quale il 46% della popolazioe codivide le scelte di politica ecoomica del govero. Sapedo che il margie di errore riportato è del 3%, e che il livello di utilizzato è (1 α) = Quate persoe soo state itervistate?. I base ai dati del problema, ˆp = 0.46, Z α/2 = Z = 1.96,poichè Z α/2 ˆp(1 ˆp) esplicitado, otteiamo, umero di itervistati quidi = 1.96 = (1.96) = (0.03) = (1.96) (0.03) = (1.96) (0.03) 2 = duque le persoe itervistate soo state 1060 () Statistica 21 / 29

22 Ex.6: Si cosideri di avere due popolazioi da cui si estraggoo due campioi di umerosità rispettivamete 1 e 2. Siao T 1 e T 2 due geeriche statistiche campioarie, la cui e scarto quadratico medio soo date rispettivamete da E [T 1 ], σ T1,E [T 2 ],σ T2. Sulla base di tali iformazioi si può costruire la distribuzioe campioaria dell tra le due statistiche T 1 T 2. Media e scarto quadratico medio soo E [T 1 T 2 ] = E [T 1 ] E [T 2 ] σ T1 T 2 = σt σt 2 2 assumedo che i campioi siao idipedeti. Se T 1 = X 1 e T 2 = X 2, allora risulta E [ X1 ] = µ1 e E [ X2 ] = µ2, poichè la delle medie campioarie corrispode alla della popolazioe. Ioltre σ 2 X1 = σ2 1 1 e σ 2 X2 = σ2 2 2 ; duque E [ X1 X 2 ] = µ1 µ 2 var( X 1 X 2 ) = σ σ2 2 2 () Statistica 22 / 29

23 Ex.5: U campioe di 150 lampadie di marca A ha u tempo di vita medio di 1400h, co ui scarto quadratico medio pari a 120h. U campioe di 100 lampadie di marca B ha u tempo di vita medio di 1200h, co ui scarto quadratico medio pari a 80h. Costruire u itervallo di al 95% e 99% sulla differeza dei tempi di durata delle lampadie di marca A e B. Poichè E [ X1 X 2 ] = µ1 µ 2 var( X 1 X 2 ) = σ σ2 2 2 allora gli estremi dell itervallo di soo X 1 X 2 ± Z α/2 σ σ2 2 2 () Statistica 23 / 29

24 Ex.5: costruire l itervallo di al 95% I base ai dati del problema X A = 1400, X B = 1200,σ A = 120,σ B = 80, 1 = 150, 2 = 100,Z α/2 = 1.96 gli estremi dell itervallo di soo σ1 2 x 1 x 2 ± Z α/2 + σ = ± = 200 ± Gli estremi dell itervallo soo [175, 225]. costruire l itervallo di al 99% I base ai dati del problema X A = 1400, X B = 1200,σ A = 120,σ B = 80, 1 = 150, 2 = 100,Z α/2 = 2.58 gli estremi dell itervallo di soo σ1 2 x 1 x 2 ± Z α/2 + σ = ± = 200 ± Gli estremi dell itervallo soo [167, 233]. () Statistica 24 / 29

25 Ex.6: tra proporzioi I u sodaggio sul gradimeto di ua certa trasmissioe televisiva soo stati itervistati due campioi, uo di adulti (400) ed uo di adolesceti (600). Gli adolesceti che hao espresso apprezzameto soo stati 300, gli adulti soo ivece stati 100. Calcolare i limiti di al 95% e 99% sulla differeza tra la di adulti ed adolesceti favorevoli. Se T 1 = ˆp 1 e T 2 = ˆp 2, allora gli estremi dell itervallo di soo ˆp 1 ˆp 2 ± Z α/2 ˆp 1 (1 ˆp 1 ) 1 + ˆp 2(1 ˆp 2 ) 2 Pertato, i base ai dati del problema, ˆp 1 = = 0.5 e ˆp 1 = = 0.25 () Statistica 25 / 29

26 Ex.6: tra proporzioi Essedo i dati del problema, ˆp 1 = = 0.5, ˆp 1 = = 0.25, 1 = 600 e 2 = 400. itervallo di al 95% ˆp 1 (1 ˆp 1 ) ˆp 1 ˆp 2 ± Z α/2 + ˆp 2(1 ˆp 2 ) = ± = 0.25 ± gli estremi dell itervallo soo [0.19, 0.31] itervallo di al 95% ˆp 1 (1 ˆp 1 ) ˆp 1 ˆp 2 ± Z α/2 + ˆp 2(1 ˆp 2 ) = ± = 0.25 ± gli estremi dell itervallo soo [0.17, 0.33] () Statistica 26 / 29

27 Ex.7: La capacità delle memorie RAM prodotte è di 995 megabyte. Lo scarto quadratico medio è ivece 2 megabyte. Si suppoga di aver motato quattro schede RAM su ua scheda madre. Quali soo gli al 95%, 99% e al 50% della capacità di memoria RAM istallata i totale? Si cosideri E [R1 + R2 + R3 + R4] = E [R1] + E [R2] + E [R3] + E [R4] = 4 E [Ri] σ R1+R2+R3+R4 = σ 2R1 + σ2r2 + σ2r3 + σ2r4 = 4 σri 2 I base ai dati del problema, E [R1 + R2 + R3 + R4] = = 3980 e σ R1+R2+R3+R4 = 4 σri 2 = = 4. () Statistica 27 / 29

28 Ex.7: itervallo di al 95% 3980 ± = 3980 ± 7.84 gli estremi dell itervallo soo [ , ] itervallo di al 99% 3980 ± = 3980 ± gli estremi dell itervallo soo [ , ] itervallo di al 50% 3980 ± = 3980 ± gli estremi dell itervallo soo [3977.3, ] () Statistica 28 / 29

29 I.C. somma su campioi idipedeti (pooled) Se le variaze delle popolazioi da cui i due campioi soo estratti da popolazioi co variaze icogite supposte diverse; I questo caso l uica differeza rispetto ai casi precedeti è ello stimatore variaza campioaria combiata. Dati due campioi di ed m elemeti, co variaze campioarie date da S 2 e S2 m, la variaza campioaria combiata è: S 2,m = ( 1)S2 + (m 1)S 2 m ( + m 2) gli estremi dell itervallo di soo X 1 X 2 ± t α/2,+m 2 S 2,m () Statistica 29 / 29