Lezioni del Corso di Fondamenti di Metrologia Meccanica

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1 Facoltà di Igegeria Lezioi del Corso di Fodameti di Metrologia Meccaica A.A Prof. Paolo Vigo Idice. Frequeza e Probabilità. 3. Curva di Gauss 4. Altre Distribuzioi

2 Frequeza e Probabilità Me spiego: da li coti che se fao secodo le statistiche d adesso risurta che te tocca u pollo all ao E se u etra e le spese tue, t etra e la statistica lo stesso perché c è u altro che e maga due Trilussa Frequeza e Probabilità Ua misura è sempre ua variabile casuale e può essere itesa come somma di u eveto determiistico (misurado) e di altri eveti aleatori sovrapposti (errori di misura/correzioi) Per ua stima corretta della misura e degli errori è ecessario applicare teciche statistiche per il trattameto dei dati aleatori (stima a posteriori ) e la teoria della probabilità (stima a priori ) Probabilità (stima a priori) se ciascu eveto è equiprobabile la probabilità di accadimeto risulta pari al umero di eveti favorevoli diviso il umero di eveti possibili la probabilità è u umero compreso tra 0 e (tra 0 e 00%), i particolare risulta pari a zero quado l eveto è impossibile; risulta ivece pari ad uo (00%) quado l eveto è certo - testa/croce probabilità 50% (/) - dado probabilità 6,7% (/6)

3 Frequeza e Probabilità Frequeza (stima a posteriori) la frequeza di u eveto è il umero di volte i cui l eveto si è maifestato, diviso il umero totale delle prove effettuate la frequeza è quidi diversa dalla probabilità dell eveto la differeza tra frequeza e probabilità può essere tato più grade quato miore è il umero di prove effettuate se si fa tedere il umero delle prove ad ifiito, il valore della frequeza tede a coicidere co quello della probabilità. per fuzioi discrete mk Fk = P = lim mk per fuzioi cotiue f k mk = p( = limδ x 0, Δx mk Δx Media μ / Valore atteso della variabile x, E(: per ua variabile casuale cotiua + μ = E ( = p( xdx per ua variabile discreta μ = E( = N i= (Pi xi ) el caso di N eveti equiprobabili il valore medio può essere valutato più semplicemete mediate la media aritmetica μ = E( = N x i N i= 3

4 La Variaza è il valore atteso E([x-μ] ) della variabile (x-μ) per ua variabile casuale cotiua risulta pari a: = E( + [ x μ] ) = p( ( x μ) dx per ua variabile discreta risulta pari a: N [ x μ] ) = ( = E( p i x i μ) i= Lo scarto tipo è la radice quadrata della variaza; el caso di N eveti equiprobabili lo scarto tipo può essere ache valutato mediate la relazioe semplificata : = N N i= ( x i μ) Ua variabile casuale z, può essere la composizioe di più variabili casuali z = ax + by se x e y soo o correlate tra loro: E ( x y) = E( E( y) z = a x + b y se x e y soo correlate tra loro : E ( x y) E( E( y) z = a x + b y + ab x, y dove x,y èla covariaza delle due variabili, defiita come: xy = E [( x μ )( y μ )] variabili aleatorie correlate soo l altezza e il peso di u idividuo x y 4

5 I gradi di libertà di u campioe soo pari al umero degli elemeti meo il umero dei parametri che soo determiati dal campioe e vegoo presi i cosiderazioe: ν = p Ad esempio, el calcolo della variaza del campioe, dovedo itrodurre il valor medio stimato (u parametro, p=), allora il umero di gradi di libertà è pari a ν=- ed ecco il motivo per cui è più corretto scrivere: = N ( x i N i= μ) Regole fodametali per ua aalisi statistica corretta ed affidabile: umero degli elemeti costitueti il campioe sufficietemete grade campioe collezioato i modo casuale elemeti campioati apparteeti alla medesima popolazioe Parametri Popolazioe Campioe Media μ = + p ( xdx x = xk Variaza = + p( ( x μ) dx s = xk x ( ) di ua distribuzioe 5

6 Esempio di distribuzioe di frequeze di misure quato più piccolo è Δx, tato più l istogramma tede alla curva cotiua 6

7 la probabilità di u itervallo sotteso ad ua barra dell'istogramma sarà co buoa approssimazioe: P = p k ( x μ ) ( Δx p( = e π distribuzioe di probabilità ormale o gaussiaa. p( rappreseta la desità di probabilità. per u itervallo [a,b] fiito si può stimare la probabilità: P { a < x < b} ( x μ ) b = e d x π a Nella pratica si rilevao istogrammi asimmetrici e irregolari a causa di: campioe troppo piccolo variazioe casuale di gradezze d'iflueza polarizzazioe dell'osservatore, limiti imposti a priori alla variabilità dell'osservazioe l'istogramma tede ad avere per iviluppo la curva cotiua 7

8 Istogramma di desità di frequeza co valori di x k equispaziati di x. co grade (> 5/30) desità di frequeza probabilità Se l isieme di valori discreti è ache ua rappresetazioe di u cotiuo di valori, ciascua frequeza dell'istogramma approssima la probabilità che il valore cada tra x k e x k+ =x k+x proprietà della distribuzioe di Gauss autoriproduzioe la risultate della composizioe di più variabili aveti distribuzioe ormale preseta ach'essa ua distribuzioe ormale distribuzioe limite data ua popolazioe di variaza o ifiita, le medie di N elemeti tratti dalla popolazioe tedoo ad assumere la distribuzioe ormale (teorema del limite cetrale) i parametri della curva di Gauss la media determia la posizioe della curva lugo l asse lo scarto determia la forma della curva 8