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1 CAPITOLO OTTAVO LE VARIABILI CASUALI Sommario:. Geeralità. -. La variabile casuale biomiale La variabile casuale di Poisso La variabile casuale ormale. 5. La variabile casuale chi-quadrato La variabile casuale t di Studet La variabile casuale F di Fisher-Sedecor Teorema del limite cetrale.. GENERALITÀ Dato uo spazio campioe S è possibile defiire ua fuzioe che associ ad oi elemeto di S u valore scelto i u opportuo isieme umerico A. Tale fuzioe viee detta fuzioe aleatoria (o stocastica) o ache variabile casuale (v.c.) o stocastica. Nel seuito del capitolo preferiremo quest ultima espressioe, del resto molto diffusa. Posto T = {esce Testa}, C = {esce Croce}, se cosideriamo l eveto E = {lacio di due moete} = {TT, CT, TC, CC} possiamo defiire la v.c. X el modo seuete: Tabella Puti campioe TT CT TC CC X 0 È evidete che la v.c. è stata defiita associado ad oi puto campioe il umero di teste (T) coteuto i esso, e che l isieme A i questo caso è dato da A = {0,, }. Se la v.c. può variare co cotiuità all itero dell isieme A viee detta v.c. cotiua, i caso cotrario (come ell esempio sopraesposto) è ua v.c. discreta. Per tutti e due i tipi di v.c. è iteressate defiire ua fuzioe di probabilità, ossia ua reola che coseta di defiire co quale probabilità ua v.c. assuma u determiato valore.

2 94 Nel caso di v.c. discrete, detti: Parte Prima - Statistica metodoloica x, x, x 3,, x i valori che può assumere la v.c. X e cooscedo le probabilità: P(X = x k ) è possibile defiire la fuzioe: P(X = x) = f (x) che ode delle seueti proprietà:. f (x) 0. f x k k= ( ) = k=,,, La rappresetazioe rafica della fuzioe di probabilità è detta rafico di probabilità. ESEMPIO Di seuito veoo illustrate la fuzioe e il rafico di probabilità relativi alla v.c. defiita ella tabella seuete: f(x) / /4 Tabella x 0 f(x) /4 / /4 0 x

3 Capitolo Ottavo - Le variabili casuali 95 La distribuzioe di probabilità di ua v.c. discreta resta pieamete determiata ua volta defiita la sua fuzioe di distribuzioe cumulativa, detta ache fuzioe di distribuzioe, ossia la fuzioe che permette di calcolare co quale probabilità la v.c. assume u valore miore o uuale a u determiato valore critico: PX ( x) = Fx ( ) La fuzioe di distribuzioe può essere calcolata dalla fuzioe di probabilità eseuedo la somma dei sioli valori di probabilità: ( ) = ( ) = ( ) F x P X x f u u x Ua trattazioe aaloa si ha per le v.c. cotiue per le quali si cosidera la probabilità che X cada i u raioevole itervallo (a, b). Possiamo allora defiire, i aaloia co quato fatto per le v.c. discrete, due proprietà per la fuzioe di probabilità f(x):. f (x) 0 ( ) =. f x dx - Qual è la probabilità che x cada ell itervallo (a, b)? La probabilità che X cada ell itervallo (a, b) è data da: ( ) = ( ) Pa< X< b f xdx Data ua v.c. X che può assumere valori, il valore medio di X può essere defiito come la somma dei prodotti tra i sioli valori assuti e la probabilità che la X ha di assumere tali valori. I simboli, il valore medio di ua v.c. discreta è: ( ) = ( = )+ + ( ) ( ) E X xp X x xp X=x = xp i X=xi b a i=

4 96 Parte Prima - Statistica metodoloica Per ua v.c. cotiua, il valore medio è: ESEMPIO ( ) = µ = ( ) E X + xf x dx U iocatore d azzardo vice 0 e se ua carta estratta da u mazzo è di cuori, e vice 40 e se la carta è di quadri, e perde 30 e se la carta è di fiori e o vice é perde se la carta è di picche. La variabile casuale X è data dalla vicita (o dalla perdita) e la sua fuzioe di probabilità è rappresetata ella tabella seuete: Il valore medio è dato da: Tabella 3 Carta cuori quadri fiori picche x f(x) 0,5 0,5 0,5 0,5 E(X) = 0 0, ,5 30 0,5+ 0 0,5 = 7,5 Ne coseue che il probabile uadao del iocatore sarà di 7,5 ; i base a questo calcolo sarebbe ache possibile stabilire ua misura dell equità del ioco i base alle poste stabilite per iocare. Detta µ la media di ua v.c. è possibile defiire ua misura della variabilità detta variaza. Tale quatità può essere espressa, per ua v.c. discreta, el modo seuete: ( ) = ( ) Var X xi µ pi i= Per ua v.c. cotiua la variaza è: + ( ) = ( ) ( ) Var X x µ f x dx

5 Capitolo Ottavo - Le variabili casuali 97. LA VARIABILE CASUALE BINOMIALE La v.c. biomiale è caratterizzata da ua distribuzioe di probabilità detta ach essa biomiale*. I parametri che la descrivoo soo la probabilità p di otteere u successo i ua prova, la probabilità q = p di otteere u isuccesso e il umero di prove effettuate. Co questi parametri la probabilità che su prove si abbiao esattamete x successi è data da: ( ) = ( = ) = f x P X x! x x pq x!! ( ) x dove si idica co X la v.c. {umero di successi} e co x =,,, le prove. Il simbolo! viee detto fattoriale, e rappreseta il prodotto di umeri iteri cosecutivi a partire da. ESEMPIO La probabilità di otteere 4 teste i 0 laci di ua moeta o truccata è data da: f 0! 05, 4 05, 6 46!! ( 4) = P( X = 4) = = = 0, 065 0, , La distribuzioe biomiale è caratterizzata dai seueti idici: E(X) = p Var(X) = pq 3. LA VARIABILE CASUALE DI POISSON La v.c. di Poisso, o v.c. deli eveti rari, assume rilievo quado si tratta di determiare il umero di volte i cui si verifica u eveto casuale i u dato itervallo di tempo/spazio. Essa è la più adatta per descrivere i feomei i cui, su u rade umero di prove, per ciascua delle quali la probabilità di successo è piccola, si verificao mediamete λ successi. È molto

6 98 Parte Prima - Statistica metodoloica utilizzata per studiare il umero di uasti, di clieti i arrivo, di auto i coda etc. La distribuzioe di Poisso si ottiee come limite della distribuzioe biomiale assumedo p = λ e. La fuzioe di distribuzioe di Poisso è data da: PX x x p x p x ( = ) = lim exp ( ) = ( λ) λ x x! p 0 Il valore medio e la variaza di ua variabile di Poisso soo dati da: E(X) = λ 4. LA VARIABILE CASUALE NORMALE Var(X) = λ Tra le distribuzioi di probabilità cotiue u posto di premieza spetta sez altro alla v.c. ormale. Di espressioe matematica piuttosto complessa, la fuzioe di distribuzioe dipede dai parametri σ e µ: ( ) = f x µ exp (x ) σ π σ co π =3,459 ed exp è la fuzioe espoeziale. Se stadardizziamo la v.c., sottraedo la media µ e dividedo la differeza per lo scarto quadratico medio σ l espressioe si semplifica, i quato la variabile stadardizzata: x µ z = σ ha media ulla e scarto quadratico medio uitario. La fuzioe di probabilità diveta quidi: ( ) = f z z x µ exp z co = π σ

7 Capitolo Ottavo - Le variabili casuali 99 Il rafico della fuzioe di probabilità della variabile stadardizzata è ua curva molto coosciuta, detta curva ormale o Gaussiaa o a campaa, presetata ella fiura seuete: 0 probabilità Caratteristica di tale curva è che l area compresa tra la stessa e l asse delle ascisse, idividua percetuali di probabilità be defiite. Nell itervallo (, +) si trova ifatti circa il 68,7% della probabilità totale, ell itervallo (, +) circa il 95,45% e ell itervallo ( 3, +3) circa il 99,73%. Altri valori, riportati i apposite tabelle, risultao molto utili ella teoria della stima. Si è acceato prima alla cetralità della distribuzioe ormale ella teoria della probabilità. Tale cetralità, dimostrata ache i diversi teoremi, è dovuta al fatto che feomei aturali maifestatisi i campioi umerosi tedoo ad avere, al crescere del umero delle misurazioi, ua distribuzioe di frequeze che è bee approssimata dalla ormale. 5. LA VARIABILE CASUALE CHI-QUADRATO La v.c. chi - quadrato è ua v.c. cotiua eerata dalla somma di u umero di v.c. ormali stadardizzate e idipedeti al quadrato, ossia: X = Z i i= Il parametro idica i radi di libertà della distribuzioe che rappresetao il umero di uità di iformazioi idipedeti i

8 00 Parte Prima - Statistica metodoloica u campioe. Essi soo pari alla umerosità campioaria cui veoo sottratti i vicoli oti, cioè i parametri oti della popolazioe. La fuzioe di desità della v.c. è data da: x f ( x; ) = exp x, x 0 Γ Al crescere dei radi di libertà la v.c. chi-quadrato, o v.c. χ, tede ad ua distribuzioe ormale. 6. LA VARIABILE CASUALE t DI STUDENT U altra v.c. fodametale i statistica è la v.c. t di Studet data dal rapporto tra ua v.c. ormale stadardizzata e la radice quadrata di ua v.c. idipedete dalla prima co distribuzioe chi-quadrato, rapportata ai propri radi di libertà, i simboli: co Z ~ N(0, ) e Y ~ χ. X = La media e la variaza soo pari, rispettivamete, a: Z Y ( ) = > ( ) = E X 0 per ; Var X per > 7. LA VARIABILE CASUALE F DI FISHER-SNEDECOR La v.c. F di Fisher-Sedecor è ua v.c. cotiua defiita come il rapporto di due v.c. chi - quadrato idipedeti tra loro, divise per i rispettivi radi di libertà. I simboli, siao X ~ χ e

9 X Capitolo Ottavo - Le variabili casuali 0 ~ χ le due v.c. chi-quadrato, la v.c. F di Fisher-Sedecor, idicata co F ~ F,, è: F, = X X i cui, i due parametri e soo i radi di libertà, rispettivamete, del umeratore e del deomiatore. Il valore medio e la variaza della v.c. soo, rispettivamete: E( X) = ( ) ( ) ( ), per > ; Var ( X ) = ( ) +, per > TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE Trattasi di u ruppo di risultati teorici che mostrao, sotto ua serie codizioi, la covereza alla v.c. ormale della somma (e quidi della media) di v.c. di qualsiasi tipo. I ua sua formulazioe parziale ma ià utilizzabile i molte situazioi l euciato del teorema è dato di seuito. TEOREMA La v.c. S somma di v.c. X i statisticamete idipedeti co la stessa distribuzioe, co medie e variaze fiite, al tedere di ad ifiito, tede ad assumere ua distribuzioe ormale o aussiaa co media e variaza, rispettivamete: E(S ) = µ Var(S ) = σ

10 0 Glossario Parte Prima - Statistica metodoloica Distribuzioe biomiale: al feomeo umero di successi i prove idipedeti è associata la seuete distribuzioe di probabilità: xi pi 0 q pq pq co q = p p dove la probabilità di successo resta costate i ciascua sottoprova.