INTEGRAZIONI PER IL CORSO DI MATEMATICA E STATISTICA, SC. AMBIENTALI, 2018/19 ALESSANDRA FAGGIONATO

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1 INTEGRAZIONI PER IL CORSO DI MATEMATICA E STATISTICA, SC. AMBIENTALI, 208/9 ALESSANDRA FAGGIONATO I progress. Spazio campioario, esiti, eveti, spazio di probabilità Cosideriamo u esperimeto i seso ampio (o ecessariamete u esperimeto di fisica o chimica). Ad esempio laciamo ua moeta, oppure laciamo u dado, oppure scegliamo a caso uo studete tra quelli preseti i aula. Chiamiamo esiti i possibili risultati dell esperimeto. L isieme degli esiti, che di solito deoteremo co S, si dice spazio campioario. Ad esempio, per il lacio della moeta abbiamo S = {T, C} dove T sta per testa e C per croce, per il lacio del dado S = {, 2, 3, 4, 5, 6, }, metre se scegliamo a caso uo studete tra quelli preseti (assumiamo che ve e siao 50) abbiamo S = {s, s 2,..., s 50 } dove abbiamo riomiato i modo matematico s, s 2,..., s 50 i 50 studeti preseti. U eveto può essere descritto matematicamete come u sottisieme di S, e precisamete l eveto è idetificato co il sottisieme E degli esiti i S che realizzao l eveto. Per esempio, l eveto esce testa el lacio della moeta è descritto da E = {T }, l eveto esce u umero pari el lacio del dado è descritto da E = {2, 4, 6}. Esercizio. Cosiderare l esperimeto dato da 2 laci di ua moeta. Descrivere lo spazio campioario S associato ed esprimere come sottisiemi di S i segueti eveti: (a) le due moete dao la stessa faccia; (b) le due moete dao due facce diverse; (c) la secoda moeta dà testa. U eveto si dice eveto certo se si realizza sempre. Quidi matematicamete l eveto certo è dato da S stesso. U eveto si dice eveto impossibile se o si realizza mai. Quidi matematicamete l eveto impossibile è dato dall isieme vuoto. Due eveti E, F si dicoo icompatibili se o possoo realizzarsi simultaeamete. Quidi, o essedoci essu esito che realizza sia E che F, due eveti soo icompatibili se e solo se E F =. Notiamo che dati due eveti E e F, l eveto che si realizzi E o F (la suddetta o o è esclusiva) è descritto dall isieme uioe E F. Ivece, l eveto che si realizzio sia E che F è descritto matematicamete dall isieme itersezioe E F. Dato u eveto E, l eveto complemetare ad E è l eveto che si realizza esattamete quado E o si realizza. A livello isiemistico l eveto complemetare ad E è dato da E c = S \ E = {s S : s E}.

2 2 ALESSANDRA FAGGIONATO Defiizioe.. Lo spazio di probabilità che descrive u dato esperimeto è ua coppia (S, P), dove S è lo spazio campioario (l isieme dei possibili esiti dell esperimeto) e P, detta fuzioe di probabilità o semplicemete probabilità, è ua fuzioe che associa ad ogi eveto E S u umero P(E) [0, ] ed avete le segueti proprietà (assiomi) P(S) =, cioè la probabilità dell eveto certo è ; P( ) = 0, cioè la probabilità dell eveto impossibile è 0; dati eveti E, E 2,..., E a due a due icompatibili, vale P ( i=e i ) = P(E i ). Il terzo assioma ella suddetta defiizioe viee detto additività della probabilità. Osserviamo che la probabilità P(E) di u eveto E è u umero tra 0 e che quatifica la ostra speraza che l eveto E si verifichi. È quidi aturale che tale speraza sia massima, e quidi, se E è l eveto certo (cioè P(S) = ) e che tale speraza sia miima, e quidi 0, se E è l eveto impossibile (cioè P( ) = 0). Osserviamo che gli eveti E, E 2,..., E soo a due a due icompatibili se comuque scegliamo due eveti distiti tra questi E i e E j, co i j, loro soo icompatibili e quidi E i E j =. Notiamo che gli eveti E, E 2,..., E soo a due a due icompatibili se e solo se si può realizzare al più uo tra gli eveti E, E 2,..., E. Proposizioe.2. Per ogi eveto E vale P(E c ) = P(E). Proof. Per assioma abbiamo P(S) =. Abbiamo che S = E E c quidi P(S) = P(E E c ). Siccome E e E c soo eveti icompatibili, per additività abbiamo P(E E c ) = P(E) + P(E c ). Mettedo isieme le suddette idetità otteiamo i= = P(S) = P(E E c ) = P(E) + P(E c ) e quidi = P(S) = P(E E c ), che equivale a P(E c ) = P(E). Proposizioe.3. Dati due eveti E, F co E F vale P(E) P(F ). Proof. Abbiamo F = E (F \ E) e quidi P(F ) = P (E (F \ E)). Siccome E e F \E soo icompatibili, per additività abbiamo P (E (F \ E)) = P(E)+P (F \ E). Siccome P(F \E) 0 abbiamo P(E)+P (F \ E) P(E). Assemblado le precedeti osservazioi otteiamo P(F ) = P (E (F \ E)) = P(E) + P (F \ E) P(E), e quidi P(F ) P(E) che è la tesi. Proposizioe.4. Sia S fiito. Allora per ogi eveto E abbiamo P(E) = s E P({s}). () Proof. Sia E = {s, s 2,..., s k }. Allora abbiamo E = {s } {s 2 } {s k } e quidi P(E) = P({s } {s 2 } {s k }). Però gli eveti {s },{s 2 },...,{s k } soo a due a due icompatibili e quidi, per additività, P({s } {s 2 } {s k }) = P({s }) + P({s 2 }) + + P({s k }).

3 INTEGRAZIONI 208/209 3 Assembliamo e otteiamo P(E) = P({s } {s 2 } {s k }) = P({s }) + P({s 2 }) + + P({s k }) = s E P({s}) e quidi P(E) = s E P({s}). La suddetta proposizioe Prop..4 implica che per cooscere la probabilità di u geerico eveto basta sapere la probabilità degli eveti elemetari P({s}) dove s S. Esempio Abbiamo u dado truccato per cui, 2, 3, 4, 5, 6 escoo rispettivamete co probabilità 30%, 20%, 20%, 0%, 0%, 0% (cioè 0.3, 0.2, 0.2, 0., 0., 0.). Calcoliamo la probabilità che esca u umero pari. Abbiamo E = {2, 4, 6} e quidi, per la Prop..4, P(E) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = = 0.4 = 40%. 2. Spazi co esiti equipossibili Uo spazio di probabilità è detto avere esiti equipossibili se la speraza che si realizzi u dato esito è uguale alla speraza che si realizzi u qualsiasi altro esito, e quidi P({s}) è lo stesso umero per ogi s S. Questo avviee se l esperimeto ha qualche simmetria (ad esempio el lacio del dado se il dato e u cubo co desità omogeea). Proposizioe 2.. Suppoiamo di avere uo spazio di probabilità co esiti equipossibili. Sia S fiito. Allora e, per ogi eveto E, abbiamo P({s}) = S P(E) = E S = s S (2) esiti favorevoli esiti (equipossibili). (3) Proof. Scriviamo S = {s, s 2,..., s }. Quidi = S. Siccome gli esiti soo equipossibili abbiamo P({s }) = P({s 2 }) = = P({s }). Chiamo x il suddetto valore comue. Siccome = P(S), applicado ache la Prop..4 co E = S, abbiamo = P(S) = P({s }) + P({s 2 }) + + P({s }) = x. Avedo = x deve essere x = /. Questo prova (2). Per otteere (3) applichiamo (2) e la Prop..4. Otteiamo che P(E) = s E P({s}) = s E = E = E S.

4 4 ALESSANDRA FAGGIONATO 3. Probabilità codizioata Defiizioe 3.. Dati due eveti E, F co P(F ) > 0, la probabilità di E codizioa ta all eveto F è defiita come P(E F ) = P(E F ) P(F ) Se lo spazio di probabilità è ad esiti equipossibili la suddetta defiizioe si riduce a P(E F ) = E F F Esempio. Laciamo ua dado. Sapedo che è uscito u umero miore o uguale di 5, determiare la probabilità che sia uscito u umero pari. Sia E := {2, 4, 6}, F = {, 2,..., 5}. Dobbiamo calcolare P(E F ). Siccome il lacio del dato ha esiti equiprobabiliti (se o si dice iete si itede che il dado sia oesto) abbiamo P(E F ) = E F = 2 F Variabili aleatorie Defiizioe 4.. Dato lo spazio di probabilità (S, P), ua variabile aleatoria X è semplicemete ua fuzioe X : S R. 4.. Variabili aleatorie discrete. Defiizioe 4.2. Ua variabile aleatoria X di dice variabile aleatoria discreta se i suoi valori formao u isieme fiito x, x 2,..., x oppure u isieme ifiito umerabile (questo sigifica che i valori formao ua successioe x, x 2,... ). Per semplicità cosideriamo di seguito variabili aleatorie discrete i cui possibili valori formao u isieme fiito. Defiizioe 4.3. Sia X ua v.a. discreta che assume valori x, x 2,..., x. Il valore atteso EX di X è defiito come E[X] = x i P(X = x i ). (4) i= Esempio. Cosideriamo il lacio del dado e chiamiamo X il valore uscito. X assume valori, 2,..., 6. Ne deriva che E[X] = 6 kp(x = k) = k= 4.2. Variabili aleatorie cotiue.. 6 k=. k 6 = 3.5. Defiizioe 4.4. Ua variabile aleatoria X di dice variabile aleatoria cotiua se esiste ua fuzioe o egativa f - detta fuzioe di desità - tale che per ogi itervallo [a, b] R abbiamo P(X [a, b]) = b a f(x)dx. (5)

5 INTEGRAZIONI 208/209 5 Defiizioe 4.5. Sia X ua variabile aleatoria cotiua co fuzioe di desità f. Il valore atteso E[X] di X è defiito come E[X] = xf(x)dx. Defiizioe 4.6. Dati c < d, ua variabile aleatoria X è detta uiforme sull itervallo [c, d] se X è variabile aleatoria cotiua co fuzioe di desità { f(x) = d c se c x d, 0 altrimeti. Esempio Sia X v.a. uiforme sull itervallo [, 5]. Calcoliamo la probabilità che (a) X abbia valore i [, 5], (b) X abbia valore i [0, 3]. Svolgiamo prima (a). Sia f la fuzioe di desità di X. Abbiamo { f(x) = 4 se x 5, 0 altrimeti. Quidi P(X [, 5]) = La risposta al puto (a) è quidi. Svolgiamo (b). Abbiamo P(X [0, 3]) = 3 0 f(x)dx = La risposta al puto (b) è quidi / f(x)dx + f(x)dx = 3 5 f(x)dx = 4 dx = dx + 4 = 2 4 = 2. Esempio Sia X v.a. uiforme sull itervallo [, 5]. Calcoliamo E[X]. Sia f la fuzioe di desità di X (vedi esempio sopra). Abbiamo 5 E[X] = xf(x)dx = x 4 dx = 5 xdx = [ ] x 2 5 = (52 2 ) = Liearità del valore atteso. Dato v.a. X, X 2,..., X defiite sullo stesso spazio campioario e umeri a, a 2,..., a abbiamo E[a X + + a X ] = a E[X ] + + a E[X ]. (6) Esempio. Se X e Y soo variabili aleatorie defiite sullo stesso spazio campioario e se E[X] = 2 e E[Y ] = 3, allora E[2X 5Y ] = 2E[X] 5E[Y ] = 2 2 5( 3) = Iterpretazioe frequetistica della probabilità di u eveto Cosideriamo u esperimeto descritto dallo spazio di probabilità (S, P). Fissiamo u eveto E S. Vogliamo illustrare l iterpretazioe frequetistica della probabilità P(E). A tal fie immagiiamo di ripetere tate volte l esperimeto (immagiiamo perfio ifiite volte), i modo che i vari esperimeti siao tra loro operativamete idipedeti (o si ifluezio). Sia N() il umero di volte che l eveto E si è verificato ei primi esperimeti (quidi N() è la frequeza relativa dell eveto E ei primi

6 6 ALESSANDRA FAGGIONATO esperimeti). Tipicamete, per grade, abbiamo che N() è circa P(E). Questa è l iterpretazioe frequetistica di P(E). No è stata formulata i maiera molto precisa perchè o abbiamo chiarito il sigificato dei termii sottolieati: tipicamete, circa. Per ua formulazioe precisa bisoga cosiderare lo spazio di probabilità (Ŝ, ˆP) che descrive la successioe degli esperimeti. Notiamo che questo è u altro spazio di probabilità, distito da (S, P). L iterpretazioe frequetistica si formula rigorosamete co la seguete legge matematica: [ ˆP lim N() ] = P(E) =. (7) 6. Iterpretazioe frequetistica del valore atteso di ua variabile aleatoria Cosideriamo u esperimeto descritto dallo spazio di probabilità (S, P). Sia X ua variabile aleatoria su (S, P). Di seguito diamo u iterpretazioe frequetistica del valore atteso E(X). A tal fie immagiiamo di ripetere tate volte l esperimeto (immagiiamo perfio ifiite volte), i modo che i vari esperimeti siao tra loro operativamete idipedeti (o si ifluezio). Chiamiamo X i il valore della variabile X assuto ell esperimeto i esimo. L iterpretazioe frequetistica di E[X] è la seguete: Tipicamete, per grade, abbiamo che X +X 2 + +X è circa E[X]. Ua formulazioe precisa si ha cosiderado lo spazio di probabilità (Ŝ, ˆP) che descrive la successioe degli esperimeti. Allora vale la seguete legge (detta legge dei gradi umeri) [ X + X X ˆP lim ] = E(X) =. (8) 7. Variaza e deviazioe quadratica stadard Defiizioe 7.. Sia X : S R variabile aleatoria (discreta o cotiua) e sia E(X) il suo valore atteso. Allora il valore atteso della v.a. (X E(X)) 2 : S R è detto variaza di X e si deota V ar(x). I modo succito, abbiamo [ (X ) ] 2 V ar(x) := E E(X). Ioltre, il valore σ X := V ar(x) è detto deviazioe quadratica stadard di X. La variaza, e la deviazioe quadratica stadard, misurao quado la variabile aleatoria X sia delocalizzata rispetto al valore medio. Miore la variaza (miore la deviazioe quadratica stadard) maggiore è la probabilità che X sia vicia a E[X]. Cosideriamo ad esempio le variabili aleatorie X, Y, Z tali che { co prob. /2, X = co prob. /2,

7 INTEGRAZIONI 208/209 7 { 0 co prob. /2, Y = 0 co prob. /2, { 00 co prob. /2, Z = 00 co prob. /2, X, Y, Z hao lo stesso valore atteso (zero) ma V ar(x) =, V ar(y ) = 00, V ar(z) = 0000, σ X =, σ Y = 0, σ Z = 00. Proposizioe 7.2. Valgoo le segueti proprietà: (i) V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2. (ii) Data X v.a. e dati umeri a, b R abbiamo V ar(ax + b) = a 2 V ar(x). (9) Nota: Il suddetto puto (i) dà ua regola di calcolo della variaza che spesso è molto utile. 8. Variabile aleatoria di Beroulli Defiizioe 8.. Ua variabile aleatoria X è detta di Beroulli di parametro p [0, ] se X assume solo valore 0 o e P(X = ) = p, P(X = 0) = p. È facile calcolare valore atteso e variaza di u v.a. di Beroulli di parametro p. Ifatti E[X] = 0 P(X = 0) + P(X = ) = 0 + p = p. Per calcolare Var(X) osserviamo che X 2 = X (dato che 2 = e 0 2 = 0). Quidi Var(X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 = E[X] (E[X]) 2 = p p 2 = p( p). 9. Variabile aleatoria gaussiaa Defiizioe 9.. Ua variabile aleatoria X è detta gaussiaa di media µ e variaza σ 2 se X è variabile aleatoria cotiua co fuzioe di desità f(x) = 2πσ e (x µ)2 2σ 2. Si verifica che µ è il valore atteso di X e σ 2 è la variaza di X. Le variabili aleatorie gaussiae soo ache dette ormali. Se X è variabile aleatoria gaussiaa di media µ e variaza σ 2 scriviamo brevemete X N (µ, σ 2 ). Defiizioe 9.2. Ua variabile aleatoria X è detta gaussiaa stadard se è ua variabile aleatoria gaussiaa di media 0 e variaza. I particolare X ha fuzioe di desità f(x) = e x2 2. 2π Ricordiamo la fuzioe Φ(x) := x 2π e z2 2 di cui si trovao le tabelle co vari valori assuti. Per (5), data Z variabile gaussiaa stadard abbiamo Φ(x) = P[Z x].

8 8 ALESSANDRA FAGGIONATO 0. Eveti idipedeti Vorremmo dire che due eveti E, F soo idipedeti se P(E F ) = P(E) e P(F E) = P(F ). Affichè le suddette probabilità codizioate abbiao seso dobbiamo pero limitarci ad eveti E, F co P(E) > 0 e P(F ) > 0. Si oti che P(E F ) = P(E) equivale a P(E F ) P(F ) = P(E), cioè P(E F ) = P(E)P(F ) e quest ultima idetità ha seso ache per eveti E, F co P(E) = 0 e P(F ) = 0. Aalogamete, P(F E) = P(F ) equivale a P(E F ) = P(E)P(F ). Essedo piu geerale (i quato vale ache per eveti di probabilità zero) l ultima idetità è stata scelta come defiizioe di idipedeza di due eveti: Defiizioe 0.. Due eveti E, F si dicoo idipedeti se P(E F ) = P(E)P(F ). Esiste la defiizioe di idipedeza di tre o più eveti ma o la diamo perchè più complessa. La seguete regola è molto utile e ituitiva: Suppoiamo di avere u esperimeto fatto da vari sottoesperimeti che tra loro o si ifluezao. Allora eveti relativi a sottoesperimeti diversi soo tra loro idipedeti. Cosideriamo ad esempio l esperimeto dato da 0 laci di u dado. I 0 laci soo i sottoesperimeti e tra di loro o si ifluezao. Allora gli eveti E= il primo lacio dà 4, F = il settimo lacio dà u umero pari e G= il secodo lacio dà 6 soo idipedeti, i quato riferiti a sottoesperimeti diversi.. Variabili aleatorie idipedeti Defiizioe.. Le variabili aleatorie X, X 2,..., X defiite sullo stesso spazio campioario si dicoo idipedeti se, comuque fissiamo sottisiemi A, A 2,..., A R, abbiamo che gli eveti {X A }, {X 2 A 2 },..., {X A } soo idipedeti. La seguete regola è molto utile e ituitiva: Suppoiamo di avere u esperimeto fatto da vari sottoesperimeti che tra loro o si ifluezao. Allora variabili aleatorie che soo determiate da sottoesperimeti differeti soo variabili aleatorie idipedeti. Cosideriamo ad esempio l esperimeto dato da 0 laci di u dado. I 0 laci soo i sottoesperimeti. Per i =,..., 0, defiiamo X i come il valore uscito al lacio i esimo. Logicamete X i è determiata dal sottoesperimeto i esimo. Quidi X, X 2,..., X 0 soo variabili aleatorie idipedeti. Proposizioe.2. Siao X, X 2,..., X v.a. idipedeti defiite sullo stesso spazio S. Allora abbiamo V ar[x + + X ] = V ar[x ] + + V ar[x ]. (0) 2. Variabili aleatorie i.i.d. Defiizioe 2.. Due variabili aleatorie X, Y soo dette ideticamete distribuite se P(X A) = P(Y A) per ogi A R. Se X e Y soo variabili aleatorie discrete, loro soo ideticamete distribuite se P(X = a) = P(Y = a) per ogi a R. Ivece se X e Y soo variabili aleatorie cotiue, loro soo ideticamete distribuite se hao la stessa fuzioe di desità.

9 INTEGRAZIONI 208/209 9 Variabili aleatorie ideticamete distribuite hao lo stesso valore atteso e la stessa variaza. Se le variabili aleatorie X, X 2,..., X soo sia idipedeti che ideticamete distribuite, allora scriviamo più brevemete che soo i.i.d. Defiizioe 2.2. U campioe casuale di ampiezza è ua famiglia di variabili aleatorie i.i.d. 3. Media campioaria Defiizioe 3.. Dato il campioe casuale X, X 2,..., X, la media campioaria X è data da X := X i. Proposizioe 3.2. Cosideriamo u campioe casuale X, X 2,..., X, dove tutte le v.a. soo distribuite come la variabile aleatoria X. Allora i= E[ X ] = E[X], () Var( X ) = Var(X) 2. (2) Proof. Proviamo (). Per defiizioe di X e liearità del valore atteso (v. (6)) abbiamo E[ X ] = E[ X + X X ] = E[X ] + E[X 2] + + E[X ]. (3) Siccome X, X 2,..., X soo distribuite come X abbiamo E[X ] = E[X 2 ] = = E[X ] = E[X]. Ne deriva che l ultima espressioe i (3) è data da E[X ] + E[X 2] + + E[X ] = E[X] + E[X] + + E[X] = E[X]. Questo completa la dimostrazioe di (). Proviamo (2). Applichiamo (9) co X = X + + X, a = / e b = 0 e otteiamo Per (0) abbiamo V ar( X ) = V ar((x + + X )/) = 2 V ar(x + + X ). (4) V ar(x + + X ) = Combiado (4) e (5) abbiamo V ar(x i ) = V ar(x). (5) i= V ar( X ) = 2 V ar(x + + X ) = V ar(x) V ar(x) =. (6) 2 La suddetta proposizioe ci dice che la media campioaria X è u buoo stimatore di E[X]. Notiamo che Var( X ) diveta piccolo per grade grazie a (2). Siccome la variaza misura la deviazioe di ua variabile aleatoria dal suo valore atteso e siccome il valore atteso di X è pari a E[X], per grade abbiamo che tipicamete X assume valore vicio a E[X], e quidi X è u buoo stimatore di E[X].

10 0 ALESSANDRA FAGGIONATO 4. Teorema del limite cetrale Proposizioe 4. (Teorema del limite cetrale). Data ua successioe X, X 2,... di variabili aleatorie i.i.d., posto µ = E[X i ] e σ 2 = Var(X i ), per ogi a < b abbiamo lim P(a X µ b) = b σ 2π a e z2 2 dz. Alcui commeti sul teorema del limite cetrale: ) Il limite 2π b a e z2 2 dz è pari a P(a Z b) co Z gaussiaa stadard; 2) Il limite suddetto è lo stesso, o dipede dal tipo di variabili aleatoria, ed è quidi uiversale. 3) posto W := i= X i abbiamo X µ σ = W µ σ, quidi il teorema del limite cetrale si scrive ache 4) La variabile aleatoria X µ σ gaussiaa stadard. lim P(a W µ b) = b σ 2π = W µ σ a e z2 2 dz. ha media zero e variaza uo, come la

11 INTEGRAZIONI 208/ ESERCIZI () Si lacia u dado due volte. Calcolare la probabilià che escao due facce uguali. (2) Si lacia ua moeta due volte. Calcolare il valore atteso della variabile aleatoria X defiita come il umero di teste uscite. (3) Si estrae ua carta da u mazzo da 40. Calcolare la probabilità che esca ua carta di bastoi. (4) Si estraggoo 2 carte da u mazzo da 40 seza rimpiazzo. Calcolare la probabilità che le due carte estratte siao di bastoi. (5) Si lacia ua moeta due volte. Sapedo che o soo uscite due teste, determiare la probabilità che siao uscite due croci. (6) Si lacia u dado truccato per cui esce co probabilità /2 e gli altri umeri 2,3,4,5,,6 escoo ciascuo co probabilità /0. (a) Calcolare la probabilità che esca u umero dispari. (b) Calcolare il valore atteso della variabile aleatoria X data da umero uscito el lacio. (7) Sia X v.a. uiforme a valori i [ 2, 6]. (a) Calcolare la probabilità che X abbia valore i [ 2, ] [5, 6]. (b) Calcolare il valore atteso di X. (8) Sia X ua v.a. che assume valori, 2, 5 co probabilità /6, 2/6, 3/6, rispettivamete. Calcolare E[X], V ar(x), σ X.