Probabilità II. Concetto di variabile casuale. Variabile casuale: definizione. Concetto di variabile casuale. Cos'è una variabile casuale?

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1 Cocetto di variabile casuale Defiizioi pricipali. Valore atteso e Variaza. Probabilità II Variabili casuali discrete Teorema di Bieaymé - Čebičev. V.C. Notevoli: Beroulli e Biomiale. Cos'è ua variabile casuale? Idea di massima: ua gradezza il cui valore dipede dall'esito di u accadimeto dal risultato icerto. Perché abbia seso (e sia utile) debbo: Defiire cosa sia u accadimeto dall'esito icerto Distiguere i valori possibili da quello assuto. 1 Trovare u modo per discerere quali siao i valori più o meo probabili. Cocetto di variabile casuale Cos'è ua variabile casuale? Idea di massima: ua gradezza il cui valore dipede dall'esito di u accadimeto dal risultato icerto. Perché abbia seso (e sia utile) debbo: Defiire cosa sia u accadimeto dall'esito icerto (Nozioi di Esperimeto, Esito ed Eveto) Distiguere i valori possibili da quello assuto. (odalità ed osservazioe) Trovare u modo per discerere quali siao i valori più o meo probabili. (Calcolo delle probabilità) 3 Variabile casuale: defiizioe Defiizioe: ua variabile casuale è ua gradezza il cui valore è legato al verificarsi di u eveto. Ua v.c. viee descritta completamete associado ad ogi modalità la probabilità che questa sia osservata. Il tipo di associazioe cambia a secoda del tipo di v.c. Discrete: distribuzioe di probabilità. Cotiue: desità di probabilità. Nota: a volte si parla di variabili stocastiche o aleatorie. Esse soo sioime di v.c. 4

2 Variabile casuale: otazioi Ua v.c. viee idetificata co ua lettera maiuscola Y: esito del lacio di u dado a 6 facce. X: # mezzi pubblici usati da u veroese l'8/11/1. Variabile casuale discreta Defiita uivocamete dalla distribuzioe di probabilità. Distribuzioe di probabilità: possiamo cosiderarla come ua fuzioe reale di umeri reali così defiita p x =P X=x Le modalità si idicao co la lettera miuscola. y 1 = 1; y = ; y 3 = 3; y 4 = 4; y 5 = 5; y 6 = 6. x 1 = ; x = 1; x 3 = ; x 4 = 3; x 5 = 4;... L'eveto osservazioe della i-sima modalità si idica Y= y i => P(Y=y i ):probabilità che si osservi la modalità y i. X= x i => P(X=1):probabilità l'estratto abbia preso u mezzo. 5 Esempio D: esito del lacio di u dado a 6 facce truccato. - tabellare d i P(D=d i ) - grafica 1,16,16 3,16 4,16 5,16 6, tot 1, 6 Valore atteso E[.] Ache per ua v.c. si può defiire u idice di posizioe che sitetizzi la distribuzioe di probabilità. Valore atteso E[X] a volte idicato co µ Esempio di calcolo E[X ]= i=1 P X=xi x i D: lacio di u dado a 6 facce truccato. E[ D]= i=1 d i p d i E[ D]=1,16,16 3,16 4,16 5,16 6, E[ D]=3,6 E[X ]= i=1 p xi x i d i P(D=d i ) p(d i )d i 1,16,16,16,3 3,16,48 4,16,64 5,16,8 6, 1, 1, 7 3,6 Valore atteso E[.]: iterpretazioe Osservazioe: E[.] o è ua modalità, come la media. Osservazioe: E[X] descrive l'esito di diverse estrazioi tutte uguali (cocetto da defiire) di X. Prove idipedeti ed ideticamete distribuite (i. i. d.): Idipedeti: l'esito di ua prova o iflueza le successive. Ideticamete distribuite: tutte le prove hao la stessa p(x). E[X] descrive l'esito medio atteso a frote di tate prove i.i.d. 8

3 Valore atteso E[.]: proprietà - I I valori attesi di due vv.cc. lieari fra loro, hao lo stesso legame. Esempio: X = costo del pae i euro al kg i Italia. E[X] =.1 Y = costo del pae i euro all'etto i Italia. Y= 1 1 X E[Y ]= 1 1 E [ X ]= I valori attesi di due vv. cc. affii, hao lo stesso legame. Esempio Y=c X E[Y]=c E[ X] c R Y=a X b E [Y ]=a E [ X ] b a,b R X = temperatura a Veroa misurata i C. E[X] = 14.7 Y = temperatura a Veroa misurata i F. Y=1.8 X E[Y]=1.8 E[X ] 57.6=8.6 Valore atteso E[.]: proprietà - II Il valore atteso di ua combiazioe lieare di due vv. cc. è dato dalla stessa combiazioe lieare dei loro valori attesi. Z=c 1 X c Y Esempio: E[Z]=c 1 E[ X ] c E[Y] c 1, c R X = cosumo al km di ua auto gpl E[X] = Y = pedaggio al km di ua autostrada. E[Y] =.7 Z = costo di u viaggio di 4 km di cui 3 i autostrada. Z=4 X 3 Y E [ Z ]=4 E[ X ] 3 E[Y ]=6.1 La proprietà si estede alla combiazioe lieare di u umero qualuque (purché fiito) di vv. cc. Y= i=1 K K ci X i E[Y]= i=1 ci E[ X i ] c i R 1 Variaza Var[.] e deviazioe stadard Ache per le v.c. si può defiire u idice di variabilità. Variaza Var[X] Var[ X]= i=1 P X=xi x i E[ X] Var[ X]= i=1 p xi x i E[ X] Var[ X]= i=1 Deviazioe Stadard sd= = Var[X] Esempio di calcolo D: lacio di u dado truccato. E[ D]=3,6 d i p(d i ) d i Var[ D]= i=1 d i p d i E[D] Var[ D]= 16 3,6 =16 1,96=3,4 sd[ D]= Var[ D]= 3,4=1,74 xi p x i E[ X] p(d i )d i 1,16 1,16,16 4,64 3,16 9 1,44 4,16 16,56 5,16 5 4, 6, 36 7, 11 1, 16, Variaza Var[.]: proprietà - I Date due vv. cc. affii si ha la seguete relazioe Esempio: Y=a X b X = temperatura a Veroa misurata i C. Var[X] = 4.7 Y = temperatura a Veroa misurata i F. Y=1.8 X 57.6 Var[Y]=a Var[ X] a,b R Var[Y]= 1.8 Var[ X]=15.8 Osservazioe: La costate di proporzioalità fra le vv. cc. a compare al quadrato el legame fra le variaze. Questo fatto è facilmete iterpretabile ricodado come la variaza esprima la media del quadrato degli scarti. Osservazioe: La somma di ua quatità ota ad ua v.c. iflueza il valore atteso ma o la variaza (e quidi la variabilità). 1

4 Variaza Var[.]: proprietà - II La variaza della somma o delle differeza di vv. cc. idipedeti è data dalla somma delle variaze delle due vv. cc. Z= X Y Var[Z]=Var[X] Var[Y] Z= X Y Var[Z]=Var[X] Var[Y] Osservazioe: la variaza della somma algebrica di due vv. cc. è destiata a crescere rispetto a quelle origiali idipedetemete dal fatto che si le vv. cc. siao sommate o sottratte. 13 Teorema di Bieaymé - Čebičev Si dimostra che: data ua v.c. X co E[X] = µ e Var[X] = σ, La probabilità che X assuma valori che si discostao dal suo valore atteso più ε o supera la variaza divisa per il quadrato di ε. P X Cosiderado l'eveto complemetare si ha: V.c. (o prova) di Beroulli olto semplice: alcui autori la chiamao prova Beroulliaa. V. c. discreta X co due modalità x 1 = e x = 1. Le due probabilità solitamete hao omi propri p = P(X=1). q = P(X=) = 1 P(X=) = 1 P(X=1) = 1 p. P X 1 Esempio:ua v.c. X ha E[X]=1 e Var[X]=1, determiare u itervallo che abbia almeo il 6% di probabilità di coteere ua osservazioe Valore atteso: E[X] = p. Dimostrazioe: Variaza: Var[X] = pq. E[X ]= i=1 p x i x i = q 1 p= p [8.4 ; 11.58] Dimostrazioe: Var[ X]= i=1 p x i x i E[ X] Var[ X]=q p p 1 p =q p p q = pq p q = pq

5 V.c. (o prova) di Beroulli: esempi V.c. Biomiale X: lacio di ua moeta oesta. Somma di variabili di Beroulli i.i.d. Se impogo che X= se esce testa => P(X= ) =.5. Y= i=1 X i X i ~Ber p X= 1 se esce croce => P(X= 1) = modalità y 1 =, y = 1, y 3 =,, y +1 =. X ha la stessa distribuzioe di probabilità di ua v.c. Beroulliaa co p=.5, I simboli Si legge: X è distribuita come... Y: Estrazioe di u umero primo laciado u dado a 6 facce Se impogo che X~Ber.5 Y = se o esce u primo => P(Y = ) = /6. Si dimostra che: è detto coefficiete biomiale e vale Valore atteso: P Y=y k = p y k = y k p y k q y k a b a b = a! E[Y]= i=1 E[ X i ]= i=1 p=p b! a b! Ho che: Y = 1 se esce u primo => P(Y = 1) = 4/6. Y~Ber /3 17 Variaza: Var[Y]= i=1 Var[ X i ]= i=1 pq=pq 18 V.c. Biomiale: esempi - I B: # di 6 otteuti laciado di u dado oesto 1 volte. Se creo 1 variabili X 1,X,..., X 1 per cui impogo ho che X i = se l'esito del i-simo tiro sia diverso da 6 X i = 1 se l'esito del i-simo tiro sia 6 le variabili create soo idipedeti X~Ber 1/6 B= i=1 X i B: ha la stessa distribuzioe di probabilità di ua v.c. Biomiale co p=1/6 ed = 1. I simboli B~Bi 1 ;1/6 19 V.c. Biomiale: esempi - II T: # di teste otteute laciado ua moeta oesta 4 volte. T~Bi 4 ;.5 T : # di teste otteute laciado ua moeta oesta 1 volte. T ~Bi 1 ; T Bi(4,.5) T Bi(1,.5) E[T]= Var[T]=1 E[T]=5 Var[T]=.5

6 V.c. Biomiale: esempi - III T 3 : # di teste otteute laciado ua moeta disoesta 1 volte. T 3 ~Bi 1 ;.65 T 4 : # di teste otteute laciado ua moeta disoesta 1 volte. T 4 ~Bi 1 ; T 3 Bi(1,.65) T 4 Bi(1,.35) E[T 3 ]=6.5 Var[T 3 ]=.75 E[T 4 ]=3.5 Var[T 4 ]=.75 1 Ricapitolado - I Distribuzioe di probabilità di ua v.c. X: Valore atteso: Variaza: Variabili affii: p x =P X=x E[X ]= i=1 p xi x i Var[ X]= p xi i=1 x i E[ X] Y=a X b E[Y]=aE[ X] b Var[Y]=a Var[ X] K Combiazioe lieare di vv. cc. idipedeti Y= ci i=1 X i K E[Y]= ci i=1 E[ X i ] K Var[Y]= ci i=1 Var[ X i ] Teorema di Bieaymé - Čebičev Var[ X] P X E[X ] Ricapitolado - II Beroulliaa X~Ber p Biomiale X~Bi ; p p 1 = p ; p =1 p=q E[X ]= p Var[ X]= pq p k = k pk q k E[X ]=p Var[ X]=pq 3