Esercitazioni di Statistica Matematica A Esercitatori: Dott. Fabio Zucca - Dott. Maurizio U. Dini Lezione del 10/12/2002

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1 Esercitazioi di Statistica Matematica A Esercitatori: Dott. Fabio Zucca - Dott. Maurizio U. Dii Lezioe del 10/12/ Applicazioi del TCL 1.1 Ua ditta di trasporti iterazioali possiede 100 tir dello stesso tipo. Ogi tir percorre ua media di 600 km al gioro co ua deviazioe stadard di 50 km. 1. Suppoedo che i giori lavorativi i u ao siao 340, quati chilometri percorre mediamete u tir i u ao? 2. Ua merce deve essere trasportata da u tir ad ua distaza di km.. Viee chiesto al titolare dopo quati giori dalla parteza avverrà la cosega. Che risposta deve dare il titolare affichè co probabilità almeo pari a 0.9 la merce arrivi a destiazioe etro il tempo dichiarato? Soluzioe 1. Sia X i la v.a. che descrive lo spazio percorso el gioro i. Sappiamo che E(X i ) = 600 km. e V ar(x i ) = 50 2 km 2. Allora lo spazio percorso i 340 giori è rappresetato dalla v.a. S = 340 i=1 X i. La media di questa variabile è E(S) = 340 i=1 E(X i) = = km. 1

2 2. Bisoga calcolare quato deve valere affichè risulti P( X i 7000) 0.9. i=1 Dal TCL sappiamo che i=1 X i N (µ, σ 2 ), duque P( P i=1 X i i=1 7000) = P( X i µ σ ) = P(Z ) = 1 φ( ) 0.9 da cui deve essere φ( ) = 0.1 e quidi z 0.1 = Si ottiee così la disequazioe Poedo x = si ottiee ua disequazioe di II grado le cui soluzioi soo 3.47 e Poichè siamo iteressati solo alla radice positiva, otteiamo x 3.47 ossia Duque il titolare deve dichiarare 13 giori di attesa 1.2 Il tempo di lavorazioe di u pezzo meccaico è ua variabile aleatoria di media µ = 2 miuti e deviazioe stadard σ = 0, 3 miuti. 1. I approssimazioe ormale, calcolare la probabilità di effettuare la lavorazioe di 150 pezzi i u tempo miore di 5 ore e 10 miuti. 2. I approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che la media campioaria dei tempi di lavorazioe relativa a 100 pezzi sia compresa tra 1 miuto e 55 secodi e 2 miuti e 10 secodi. 3. Quati pezzi dobbiamo misurare per essere certi al 95% che la media campioaria dei loro tempi di lavorazioe o differisca da 2 miuti per più di 4 secodi? Soluzioe Sia T i la v.a. che misura il tempo di lavorazioe dell i-esimo pezzo. Per ipotesi le T i soo i.i.d., co E[T i ] = 2, e Var[T i ] = (0, 3 ) Si ha: [ P [T T 150 < 310 T1 + + T ] = P 0, Φ(2, 722) 0, < ] 10 0,

3 2. Ricordado che 1 55 = 115, 2 10 = 130 e 0, 3 = 18 si ha: P(115 < T 100 < 130 ) = P( ( ) < Z < ( ) ) Φ(5, 556) Φ( 2, 777) 1 (1 Φ(2, 777)) 0, Si deve imporre 0, 95 P( T ) = P( T ) = 2Φ( 2 ) da cui si deduce 2 z0,975 = 1, 96 8, U igegere civile costruisce u pote che può sopportare u peso massimo di 200 toellate. Si suppoga che il peso (espresso i to.) di u automobile sia ua v.a. di media 1 e dev.st Quate auto devoo trasitare cotemporaeamete sul pote affichè co probabilità superiore a 0.1 vega superato il peso massimo sopportato dal pote? Soluzioe Fissato u campioe di auto, idicato co X i la v.a. che descrive il peso della i-sima auto (i = 1,..., ) dal testo si sa che E(X i ) = 1 e V ar(x i ) = (0.1) 2 = Suppoiamo che le X i siao v.a. idipedeti e ideticamete distribuite. Il peso totale delle auto che trasitao sul pote è descritto dalla v.a. S = X X, quidi si tratta di determiare il valore di per cui risulta P(S > 200) > 0.1. Per il TCL si ha che S N(1, 0.01 ), quidi P(S > 200) = P( S 0.1 > ) = = P(Z > ) > 0.1 3

4 co Z N(0, 1). Duque deve essere 1 Φ( ) > 0.1, cioè Φ( 0.1 ) < 0.9, da cui si deduce che < z 0.9 dove z 0.9 deota il quatile di ordie 0.9 della Normale stadard. Cosultado le tavole della Normale si trova z 0.9 = 1.28 e sostituedo si ottiee quidi la disequazioe < Risolvedo la disequazioe si trova il valore miimo di, ossia > La distaza d di ua stella è calcolata come la media di ua serie di misurazioi idipedeti e ideticamete distribuite co media d e variaza 4. Quate osservazioi soo ecessarie per essere sicuri al 95% che la media delle osservazioi approssimi d etro 0.5? Soluzioe Sia X i la i-sima misurazioe della distaza. Dal testo è oto che le var. X i soo iid co media d e V ar = 4. La distaza della stella è misurata P effettuado osservazioi X i e calcolado poi la media campioaria i=1 X = X i. Il problema cosiste duque el Pdetermiare i modo tale che P( X d < i=1 0.5) = Dal TCL si sa che X i d σ N(0, 1), quidi si può scrivere: P( X i=1 d < 0.5) = P( X i i=1 d < 0.5) = P( X i d < 0.5) = i=1 X i d = P( = P( i=1 X i d < σ P( Z < σ < 2 2 ) = σ ) = 2 σ ) = co Z N(0, 1). Ma P( Z < 2 2 ) = Φ( 4 ) Φ( 4 ) = = Φ( ) (1 Φ( )) = 2Φ( 4 4 da cui segue Φ( 4 ) = = 1.96 = ) 1 =

5 1.5 Il umero gioraliero di passeggeri da Milao a Fireze è ua variabile aleatoria di distribuzioe icogita. Suppoedo che il valore atteso sia pari a 3000 e la deviazioe stadard pari a 500, si calcoli approssimativamete la probabilità che i 30 giori il umero complessivo di viaggiatori sia almeo Soluzioe Pur essedo la distribuzioe icogita possiamo affermare che le v.a. X i = {umero di viaggiatori i trasito l i-esimo gioro} soo i.i.d.. Quidi il umero complessivo di viaggiatori è rappresetato dalla v.a. S 30 = X X 30 N( , ). Quidi: ( ) P(S ) = 1 P(S ) 1 Φ = = 1 Φ(3.6516) = = Approssimazioe ormale della distribuzioe Biomiale 2.1 La percetuale di realizzazioe ei tiri da due puti di u giocatore di pallacaestro è del 55%. Si calcolio: 1. la probabilità che segi o più di 50 puti i 50 tiri 2. il umero miimo di tiri che deve effettuare affichè la probabilità di segare almeo 100 puti sia o iferiore a 0.9 Soluzioe 1. Sia X 50 la v.a. che idica il umero di caestri su 50 tiri, allora X 50 Bi(50, 0.55). Poichè p = 27.5 > 5 e (1 p) = 22.5 > 5, possiamo utilizzare l approssimazioe ormale, ossia X 50 N(27.5, ). Duque P(X 50 25) = P( X < ) Φ( 0.57) = 5

6 = 1 Φ(0.57) = Detta X la v.a. che idica il umero di caestri su tiri, si chiede di determiare i modo che risulti P(X 50) 0.9. Utilizzado l approssimazioe ormale si ha X Bi(, 0.55) N(0.55, ). Duque 0.9 P(X 50) = P(X > 49.5) = P( X > da cui segue Φ( ) Φ( ), ) z 0.1 = Risolvedo la disequazioe si ottiee ossia Due dadi equilibrati vegoo laciati 300 volte. Sia X la variabile aleatoria che idica il umero di volte che si è otteuto u doppio uo. 1. Calcolare E(X) e V ar(x) 2. Calcolare i modo approssimato la probabilità di otteere u doppio uo più di 10 volte. 3. Quate volte bisoga laciare i due dadi affichè la probabilità di otteere u doppio uo più di 10 volte sia maggiore di 0.5? Soluzioe 1. Poichè X B(300, = ), si ha che E(X) = = 8.33 e V ar(x) = 2. Utilizzado l approssimazioe della biomiale co la ormale si ottiee P(X > 10) = 1 P(X 10) = 1 P(X 10.5) 1 P( X E(X) V ar(x) ) = 1 P(Z 0.76) 1 φ(0.76)

7 3. Occorre determiare tale che P(X > 10) > 0.5. Utilizzado uovamete l approssimazioe ormale si ha P(X > 10) = 1 P(X 10) = 1 P(X 10.5) = = 1 P( X ) > 0.5 P(Z ) < 0.5 φ( ) < < 0 > Si cosideri u sistema elettroico composto da = 100 compoeti e che fuzioa se e solo se almeo 30 compoeti su 100 fuzioao. Si suppoga ioltre che tutte le compoeti abbiao la stessa probabilità di fuzioare p = 0.2 e che fuzioio idipedetemete ua dall altra. 1. I base al modello dato, qual è il umero atteso di compoeti fuzioati? Quato vale la variaza del umero di compoeti fuzioati? 2. Calcolare i modo approssimato la probabilità che il sistema testé descritto fuzioi. 3. Forite ua stima della probabilità che il umero di compoeti NON fuzioati sia compreso fra 72 e 88 (iclusi). Soluzioe Idicata co X la variabile aleatoria che cota il umero di compoeti fuzioati su 100, allora X ha legge biomiale di parametri p = 0.2 e = 100. Pertato, 1. E(X) = = 20 e var(x) = = 16. 7

8 2. = P {il sistema fuzioa} = P {almeo 30 compoeti su 100 fuzioao} = 1 P {al più 29 compoeti su 100 fuzioao} = 1 P(X 29) = 1 P(X ) ( ) Φ = Φ(2.375) Y = 100 X rappreseta il umero di compoeti o fuzioati su 30; Y ha legge biomiale di parametri q = = 0.8 e = 100. Segue che il umero medio di compoeti NON fuzioati è = 80 co var(y ) = 16. Come prima, stimiamo la probabilità cercata usado l approssimazioe ormale per la legge biomiale e la correzioe di cotiuità, che migliora l approssimazioe per variabili aleatorie a valori itere. Pertato, P(72 Y 88) = P(Y 88) P(Y 72) = Φ( = P(Y ) P(Y ) ) Φ( ) = Φ(2.125) Φ( 2.125) = 4 4 = 2Φ(2.125) Due dadi vegoo laciati per 60 volte cosecutive. Qual è la probabilità di otteere il umero 7 almeo 10 volte? Per rispodere: si determii la legge seguita dalla v.a. umero di volte i cui si ottiee 7, laciado 60 volte due dadi e si scriva la formula esatta che assega la probabilità dell eveto cercato; si calcoli poi la stessa probabilità facedo uso di ua approssimazioe. Soluzioe Eseguiamo quato richiesto: poiché la probabilità di otteere 7 laciado due dadi è p = 1/6, possiamo affermare che X = {umero di volte 8

9 i cui ottego 7 su 60 tiri} B(60, 1/6). La formula esatta per il calcolo è: P(X 10) = 1 P(X 9) = 9 k=0 ( ) 60 (1/6) k (5/6) 60 k k Co la approssimazioe ormale (p = 10 > 5 e (1 p) = 50 > 5) otteiamo: ( ) P(X 10) = 1 P(X 9) 1 Φ = 10 5/6 ( ) 0.5 = 1 Φ 5/ = 1 Φ( 0.1 3) = 1 Φ( ) = Φ(0.1732) Il partito politico A ha avuto il 18% dei voti i ua torata elettorale. Ua società ha effettuato u sodaggio exit-poll, chiededo a u campioe casuale di 1000 elettori, all uscita dal seggio elettorale, per che partito avessero votato e stimado da questo campioe le percetuali dei voti ai diversi partiti. Qual è la probabilità che, i base al proprio campioe, la società abbia dichiarato, per il partito A, ua percetuale sbagliata di almeo u puto percetuale? Rifare i coti ell ipotesi che l ampiezza del campioe sia 10 volte maggiore e cofrotare i risultati. Soluzioe Dobbiamo calcolare la probabilità che il partito A abbia preso meo del 17% o più del 19% dei voti totali. Detta X = {umero elettori del campioe che ha votato per A} B(1000, 0.18) la v.a. biomiale di media p = 180 e variaza p(1 p) = = 147.6, dobbiamo calcolare Pr(X 170) + Pr(X 190) Affrotado il calcolo diretto dovremmo computare, ad esempio, 170 ( ) 1000 Pr(X 170) = 0.18 k k k k=0 Utilizzado, ivece, l approsimazioe ormale, il fatto che essa è simmetrica itoro alla sua media µ = 180 e la correzioe di cotiuità, i calcoli si 9

10 riducoo a: Pr(X 170) + Pr(X 190) = 2Φ Se, ivece, = otteiamo: ( ) = 2 Φ( 0.782) = = 2(1 Φ(0.872)) = = Pr(X 1700) + Pr(X 1900) = 2Φ ( ) = 2 Φ( 2.590) = = 2(1 Φ(2.590)) = = Se, oltre a = 10000, poiamo ache p = 0.04 otteiamo: ( ) Pr(X 300) + Pr(X 500) = 2Φ = 2 Φ( 5.078) = 384 = 2(1 Φ(5.078)) 0 3 Approssimazioe ormale della distribuzioe di Poisso 3.1 Si suppoga che il umero di molecole di sodio i u cl. di acqua mierale sia descritto da ua v.a. di Poisso co media Si calcoli la probabilità che 10 cl. di acqua cotegao più di molecole. Soluzioe 1. Sia X la v.a. che idica il umero di molecole di sodio i 10 cl. di acqua, X P(10000). Si deve calcolare P(X > 10000) = 1 P(X 10000). Approssimado co la Normale seza utilizare la correzioe di cotiuità si ha 1 P(X 10000) = 1 P( X ) = 1 P(Z 0) =

11 Utilizzado il fattore di correzioe ivece 1 P(X 10000) = 1 P( X ) = 1 P(Z ) Il costo di ua iserzioe sul News è il seguete: 60 cetesimi per auci di lughezza o superiore a 8 righe 1 euro per auci di lughezza superiore a 8 righe ma o superiore a euro per auci di lughezza superiore a 12 righe ma o superiore a euro per auci di lughezza superiore a 16. U ciema pubblicizza gli spettacoli sulle pagie del News, mediate auci di lughezza media (calcolata lugo u ao) pari a 12 righe. Si suppoga che la lughezza delle iserzioi del ciema sia descrivibile co ua v.a. di Poisso. Usado l approssimazioe ormale si determii il costo medio delle iserzioi. Soluzioe Sia X la v.a. che idica il umero di righe di ua iserzioe ed Y la v.a. che e idica il costo. Scrivedo Y i cetesimi, si ha che Y = 60 se X 8, Y = 100 se 8 < X 12, Y = 125 se 12 < X 16, Y = 155 se X > 16. Allora E(Y ) = 60 P(X 8) P(8 < X 12) P(12 < X 16) + 155P(X > 16). Utilizzado l approssimazioe ormale di X P(12) co la ormale N(12, 12) possiamo calcolare le probabilità ad essa relative. Si ha quidi: P(X 8) = P(1 X 8) = P(1 0.5 X ) P( Z ) == Φ( ) Φ( ) = = Φ( ) Φ( ) = Aalogamete si calcolao P(9 X 12) P( Z ) = 11

12 e = Φ( ) Φ( ) P(13 X 16) Si ha poi che P(X > 16) = 1 P(X 15) 1 Φ( ) = 1 Φ(1.010) = Sostituedo si ottiee E(Y ) = = cetesimi di euro 4 Approssimazioe ormale e Poisso della distribuzioe Biomiale 4.1 I media i u paracadute su 1000 il paracadute pricipale è difettoso e o si apre durate il lacio. U paracadutista professioista compie 4000 laci ella sua carriera; idichiamo co X la variabile aleatoria che cota il umero di volte i cui il paracadute pricipale o si apre. 1. Se si approssima la distribuzioe di X co ua Normale, quato vale la probabilità che il paracadute pricipale o si apra i almeo uo dei 4000 laci? 2. Quato vale la probabilità appea calcolata, se si approssima la distribuzioe di X co ua Poisso? 3. Quale delle due approssimazioe è migliore? Soluzioe La X è ua var. Biomiale di parametri = 4000 e p = = 0, I approssimazioe Normale, risulta X Y N (p, p(1 p)), cioè Y N(4, 3.996). Duque P(X 1) = P(X > 0) P(Y > 0.5) = P( Y > ) = Φ(1.75) = I approssimazioe Biomiale, risulta X W P ( p), cioè W P (4). Duque P(X 1) = 1 P(X = 0) 1 P(W = 0) = 1 e 4 =

13 3. La migliore approssimazioe è la secoda: ifatti, il umero esatto calcolato co la Biomiale è P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 (0.999) 4000 = U libro ha 400 pagie. Suppoiamo che la probabilità che ua pagia sia priva di errori sia 0.98 e che la preseza o meo di errori i pagie diverse siao eveti idipedeti. Sia X il umero di pagie che richiedoo correzioi. 1. Ricooscere la legge di X. 2. Calcolare la probabilità che sia X 4 facedo uso dell approssimazioe ormale. 3. La probabilità calcolata i b potrebbe essere approssimata ache facedo uso di ua v.a. otevole diversa dalla ormale: quale? Si esegua il calcolo approssimato della probabilità che sia X 4 facedo uso di questo secodo metodo. Soluzioe 1. Poiché si ipotizza che le pagie seza errori siao eveti idipedeti tutti di probabilità p = 0.98 possiamo subito cocludere che X B(400, 0.02) co media µ = 8 e variaza σ 2 = Dobbiamo calcolare P(X 4) = 1 P(X 3). Facedo uso della approssimazioe ormale otteiamo: ( ) P(X 3) 1 Φ = = 1 Φ( 1.607) = Φ(1.607) = Poiché p è fortemete sbilaciato, possiamo fare uso della approssimazioe poissoiaa ovvero X P(8). Quidi: 3 ( 8 8k 1 P(X 3) = 1 e k! = 1 e ) k=0 13