Cognome, Nome e Numero di matricola:

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1 Politecico di Milao - Scuola di Igegeria Idustriale e dell'iformazioe I Appello di Statistica per Igegeria Eergetica 18 luglio 2013 c I diritti d'autore soo riservati. Ogi sfruttameto commerciale o autorizzato sarà perseguito. Cogome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. L'esercito al comado del Re oltre la Barriera è composto per lo più da Bruti, per il 20% da Gigati e per lo 0.2% da Metamor. (a) Calcolare la probabilità che, su 10 guerrieri, vi siao almeo 2 Gigati. (b) Calcolare la probabilità che, su 100 guerrieri, vi siao almeo 15 Gigati. (c) Determiare il umero miimo di guerrieri, aché la probabilità che vi siao almeo 15 Gigati superi (d) Calcolare la probabilità che, su 1000 guerrieri, vi siao almeo 3 Metamor. Risultati. (a) Detto X il umero di Gigati i u gruppo di 10, ovviamete X Biom( = 10, p = 0.2), duque [( ) ( P[X 2 = 1 P[X 1 = ) (b) Detto X il umero di Gigati u gruppo di 100, ovviamete X Biom( = 100, p = 0.2), approssimabile co ua ormale Norm(µ = p = 20, σ 2 = p(1 p) = 16), dato che p = 20 > 5 e (1 p) = 80 > 5, per cui (usado la correzioe di cotiuità) otteiamo [ X 20 P[X 15 = P P[Z = Φ(1.375) (c) Chiamiamo Y il umero di Gigati i u gruppo di, osserviamo per cofroto dal puto b) che sicuramete > 100, duque possiamo usare l'approssimazioe ormale e approssimare Y Biom( =, p = 0.2) co Norm(µ = 0.2, σ 2 = 0.16 ), usado la correzioe di cotiuità, otteiamo [ Y < P[Y 15 = P P [Z 0.16 dalle tabelle, otteiamo che P[Z > , poiamo allora , < , occorroo duque almeo 125 guerrieri. (d) Detto X il umero di Metamor i u gruppo di 1000, ovviamete X Biom( = 1000, p = 0.002), approssimado co ua Poissoiaa P ois(λ = p = 2), otteiamo [ P[X 3 = 1 P[X 2 1 e 2 + 2e 2 + e 2 2 = 1 5e ! 1

2 Problema 2. Alla Scuola di Magia e di Stregoeria di Hogwarts, ua delle materie pricipali che i giovai maghi devoo frequetare è Icatesimi, isegata dal professor Filius Vitious. I ua delle prime lezioi il professore fa la seguete osservazioe: È stato dimostrato che la lughezza media delle bacchette magiche è maggiore di 25 cm. Harry, Ro e Hermioe, tre studeti molto amici, decidoo di o darsi ciecamete di quato detto dal professore e cercao di vericare la veridicità di tale osservazioe. Pertato Hermioe, la più studiosa del trio, facedo delle ricerche scopre che ua materia (chiamata Statistica) studiata el modo dei babbai potrebbe aiutarli. I particolare trova uo strumeto molto utile i tal seso, il test d'ipotesi. Assumedo che le lughezze delle bacchette siao distribuite ormalmete co ua deviazioe stadard uguale a 2 cm, (a) impostare u test d'ipotesi di livello α = 0.01 coerete co il problema di Harry, Ro e Hermioe specicado ipotesi ulla, ipotesi alterativa e regioe critica. I tre maghetti decidoo quidi di recarsi a Diago Alley, al egozio di bacchette di Olivader, per raccogliere i dati ecessari a risolvere il loro problema. (b) Suppoedo che la lughezza media delle bacchette sia uguale a 26 cm, calcolare il umero miimo di bacchette che i tre maghi dovrao acquistare aché la probabilità dell'errore di secodo tipo del test descritto al puto (a) sia al più 0.2. (c) Per tale valore di quato vale esattamete la poteza del test? I tre maghetti per motivi di budget (la bacchetta più ecoomica costa 10 galeoi e 13 falci!!) comprao solamete 9 bacchette, ottedo ua media campioaria delle lughezze pari a 26.8 cm. (d) Calcolare il p-value dei dati per il test traedoe le opportue coclusioi. I particolare idicare se i tre amici si derao elle prossime lezioi di quello che dirà il professor Vitious. Risultati. (a) Sia X = lughezza di ua bacchetta magica (i cm). Allora X N(µ, ). Il test d'ipotesi da impostare è il seguete: H 0 : µ 25 vs H 1 : µ > 25, co statistica test e regioe critica: Z 0 = X 25 2/ RC = {Z 0 > z 0.01 } = {Z 0 > }. (b) µ vera = 26. I questo caso X N(26, /). Quidi: β = P (Z ) = P (X ) = P (Z ) = Φ( ) Φ( ) 0.2 Φ( ) (c) γ = P (Z 0 > ) = P (X > ) = P (Z > ) = 1 2 (d) Utilizzado i dati raccolti otteiamo z 0 = = 1 Φ( 0.88) = Φ(0.88) = /3 = 2.7. Quidi: p value = P (Z > z 0 ) = P (Z > 2.7) = 1 Φ(2.7) = = Quidi c'è forte evideza a favore di H 1 e pertato Harry, Ro e Hermioe si derao di ciò che dirà loro il professor Vitious elle prossime lezioi. 2

3 Problema 3. U tetro gioro d'autuo due hobbit della Cotea, Frodo e Sam, stao girovagado allegramete ella foresta di Fagor, quado si imbattoo i ua miacciosa improta di orco. A tale vista, si iterrogao subito su quato possa pesare quell'essere spavetoso. Per rispodere a questa domada, Frodo cosulta il suo vecchio libro di statistica i cui si trovao i dati relativi a 172 orchi: per ciascuo di essi si ha il peso corporeo P (kg) e la lughezza dei piedi L (cm). Frodo decide di spiegare la relazioe fra queste due quatità impostado u modello empirico lieare gaussiao co resposo P e predittore L. a) Aiuta Frodo a scrivere la relazioe ipotizzata fra P ed L el suo modello. Per vericare la validità del suo modello, utilizza il software statistico R sul suo portatile, di cui riportiamo i Figura 1 ua sitesi dell'aalisi e alcui graci dei residui del modello. b) Sapedo ache che per i 172 orchi catalogati l i = p i = (p i p)(l i l) = (l i l) 2 = (p i p) 2 = 02.5 completa l'output di R i Figura 1, riportado i calcoli eettuati. c) Spiega a Frodo se e perché, sulla base dei dati aalizzati, si può cocludere che l'itercetta del suo modello sia ulla. Il suo amico Sam decide ivece di impostare u'altro modello empirico gaussiao, sempre co resposo P, ma co due predittori: L ed L 2. d) Aiuta Sam a scrivere la relazioe ipotizzata fra P ed L el suo modello. I Figura 2 riportiamo ua sitesi dell'aalisi e alcui graci dei residui del modello assuto da Sam. Naturalmete etrambi gli hobbit sostegoo di aver creato il modello migliore. e) Aiuta Frodo e Sam a stabilire chi ha realizzato il modello migliore (giusticadoe le ragioi..) Fialmete i due hobbit misurao l'improta di orco trovata ella foresta: 33 cm. f) Aiuta Frodo e Sam a stimare il peso atteso di u orco che lasci improte come quella trovata. 3

4 Risultati. a) Modello Frodo: P = β 0 + β 1 L + ɛ, ɛ N(0, σ 2 ). b) β 1 = (pi p)(li l) (li l)2 = β 0 = p β 1 l = se( β 1 ) = bσ 2 t 0 = b β 0 se( b β 0) = t 1 = b β 1 se( b β 1) = = (li l)2 p value = 2(1 P (T (172 2) > t 0 )) 2(1 φ( t 0 )) = R 2 = 1 SSE/SST = 1 (172 2) bσ2 (pi p)2 = c) Si può cocludere che β 0 = 0 perché β 0 è molto poco sigicativo i base ai dati raccolti: p-value molto grade. d) Modello Sam: P = β 0 + β 1 L + β 2 L 2 + ɛ, ɛ N(0, σ 2 ). e) Il primo modello (realizzato da Frodo) preseta dei residui che o sembrao idipedeti dalla variabile idipedete lughezza dei piedi L: ifatti essi tedoo ad essere positivi per valori estremi di L e egativi per valori cetrali di L. Le ipotesi di errori ɛ 1,.., ɛ 172 i.i.d. ormali a media ulla o sembra vericata (si veda ache il basso p-value di Shapiro-Wilks: ) e azi il graco dei residui suggerisce l'itroduzioe di L 2 fra i regressori. Il secodo modello ivece (realizzato da Sam) preseta u graco dei residui molto buoo, co il classico adameto a uvola, tipico el caso di errori casuali e omoschedastici, e u più alto p-value di Shapiro-Wilks: Ioltre i quest'ultimo modello i coecieti soo tutti sigicativi ed R 2 corretto è più alto (quidi essua idicazioe di elimiare il predittore L 2 ). f) Utilizzado il modello migliore: p = β 0 + β β =

5 Figura 1: Output del modello di Frodo: P = β 0 + β 1 L + ɛ Figura 2: Output del modello di Sam: P = β 0 + β 1 L + β 2 L 2 + ɛ 5