converge in probabilità alla v.a. X e si scrive: converge in media quadratica alla v.a. X e si scrive: m n

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1 98 Covergeza i probabilità Si dice che la successioe X coverge i probabilità alla v.a. X e si scrive: se, per qualsiasi ε > 0, si ha: X p X oppure plim X = X limp( X X < ε)= Covergeza i media quadratica Si dice che la successioe X coverge i media quadratica alla v.a. X e si scrive: se: X m X lime( X X) = 0 Covergeza quasi certa Si dice che la successioe X coverge quasi certamete alla v.a. X e si scrive: Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria se: Leggi dei gradi umeri X qc X ( ) = P lim X X < ε Per leggi dei gradi umeri si itedoo u isieme di teoremi cocereti la covergeza di ua successioe di v.a. ad ua costate. Tali leggi si defiiscoo deboli se la successioe coverge i probabilità alla costate, si defiiscoo, ivece, forti se la successioe coverge quasi certamete alla costate. Teorema limite cetrale Trattasi di u gruppo di risultati teorici che mostrao, sotto ua serie di codizioi, la covergeza alla v.a. ormale della somma (e quidi della media) di v.a. di qualsiasi tipo. Si cosideri ua successioe X di v.a. ideticamete distribuite co valore medio E(X ) = µ e variaza Var(X ) = σ < +, la v.a. somma S ha valore medio e variaza: E(S ) = µ; Var (S ) = σ che, per tedete ad ifiito, assumoo valori ifiiti. Ivece, la v.a. somma stadardizzata: Z S E S = Var S S σ ( ) = µ ha valore medio e variaza, rispettivamete, pari a: E(Z ) = 0; Var (Z ) =

2 Il teorema limite cetrale, o teorema cetrale limite, preseta alcue versioi che differiscoo tra loro per le codizioi imposte sempre meo restrittive. Ua prima formulazioe, già utilizzabile i molte situazioi, è dovuta a De Moivre - Laplace. 99 Teorema limite cetrale (De Moivre - Laplace) La v.a. S somma di v.a. X statisticamete idipedeti e ideticamete distribuite, co E(X ) = p e Var (X ) = p( p), coverge i distribuzioe ad ua v.a. ormale stadardizzata. I simboli: Z = S p d Z N p ( p) ( 0 ) ~, Applicazioi del teorema limite cetrale. La media di v.a. uiformi per preseta distribuzioi uimodali e simmetriche che tedoo velocemete alla distribuzioe di ua v.a. ormale stadardizzata.. Data ua v.a. biomiale X Bi(, p) i quato somma di v.a. di Beroulli di parametro p, se è grade e p o è prossimo allo zero, la v.a. X può essere approssimata da ua distribuzioe ormale stadardizzata: Z = X p p p 3. Data ua v.a. di Poisso, X Po(λ), X coverge i distribuzioe ad ua v.a. ormale e se λ è grade (per alcui autori deve essere λ 8) X può essere approssimato da ua v.a. ormale avete valore medio λ e variaza λ. 4. La v.a. chi - quadrato è data dalla somma di v.a. ormali stadardizzate e idipedeti al quadrato. La tabella a pagia seguete riporta, per ciascua delle v.a. cotiue esamiate, la fuzioe di desità, il valore medio, la variaza, l idice di asimmetria e l idice di curtosi. 3. Modelli per variabili aleatorie

3 00 TABELLA DI VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Distribuzioi f(x) Domii E(X) Uiforme b a 0 per a x b altrove < a< x x b<+ a+ b > Espoeziale λexp λx per x 0 egativa 0 per x 0 < x < + λ Gamma β λ x β Γ β exp( λx) x > 0 β > 0 β λ Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria Normale Chi-quadrato t di Studet F di Fisher µ exp x πσ σ x g x g Γ exp g + Γ x + g g πgγ g ( g + ) g Γ g g g g g x + Γ( g ) Γ( g ) ( g + g ) g + g x x < x < + < µ < + σ > 0 x 0 g =,, < x < + g > 0 > 0 g, g =,, µ g 0 per g > g g per g >

4 0 Var(X) Asym(X) Kurt (X ) ( b a) 0,8 λ 9 β λ β β σ 0 3 g 8 g 3 + g g g 6 per g > 0 3+ per g > 4 g 4 + ( ) g g g g g g 4 g+ g g g 4 g g + g g 6 g 4 + β g 8 per g > 4 per g > 6 per g > 8 3. Modelli per variabili aleatorie

5 0 Esercizio. 3.. La durata di ua batteria al litio è ua v.a. cotiua X avete fuzioe di ripartizioe: F(x) = exp ( λt) co λ costate reale positiva e t espresso i ai. Determiare, sapedo che la durata media di ua batteria è 3 ai: a) la probabilità che la batteria duri più di ao; b) la variaza della v.a. X ricorredo all espressioe: [ ] Var ( X )= E ( X ) E ( X ) Per rispodere ai due quesiti è ecessario, iazi tutto, calcolare il valore di λ. Poiché, per ua v.a. espoeziale egativa E( X)=, si ha che: λ λ = 3 a) La probabilità che la batteria duri più di ao è: Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria P( X > )= P( X )= F()= exp 3 0, 765 b) La variaza della v.a. espoeziale egativa X è pari a: Var ( X )= λ tuttavia, il quesito richiede l uso dell espressioe geerale della variaza di ua v.a. che, a sua volta, può essere calcolata ricorredo alla fuzioe geeratrice dei mometi avete espressioe aalitica: ossia: + G()= t E( exp( tx) )= exp( tx) f( x) dx + + Gt ()= E( exp( tx) )= exp( tx) λexp( λxdx ) = λ exp ( ) 0 λ t x dx 0 λ + λ = exp{ ( λ t) x} = λ 0 t λ t per cui ell espressioe della variaza si ha: Metre: d E( d X ) = Gt () t = 0 = dt dt [ E( X) ] = 0 λ t = λ λ ( λ 0) = λ 3 λ { } =

6 da cui: Var ( X )= = λ λ λ 03 che, sostituedo il valore di λ, diviee: Var ( X )= = 9 λ Esercizio. 3.. Sia data ua v.a. X rappresetate il tempo di fuzioameto di u compoete co fuzioe di desità: dove x rappreseta il umero di ai. f( x)= 05, exp 05, x Determiare la probabilità che il compoete si guasti prima di raggiugere la vita media. La vita media di tale variabile è espressa da: Pertato, la probabilità richiesta è data da: = 05, exp 05, x F= P( 0 X )= 0, 5exp ( 0, 5x) dx = 0, 5 0 = exp ( 05, ) exp( 0) = 05, 0 = exp( ) = e A tale risultato si sarebbe giuti per qualsiasi valore di λ. f(x) F(x) 0,5 0,4 0,3 0, 0, x 0,8 0,6 0,4 0, Fuzioe di desità della v.a. E (0,5) Fuzioe di ripartizioe della v.a. E (0,5) x 3. Modelli per variabili aleatorie

7 04 Esercizio I u dato ufficio postale i tempi di attesa (espressi i cetiaia di miuti) allo sportello seguoo la v.a. espoeziale egativa co parametro λ = 0,04. Determiare la probabilità che u idividuo atteda allo sportello meo di 35 miuti. Dire che il parametro λ è pari a 0,04 equivale a dire che i tempi medi di attesa soo pari a = 004, 5 miuti. Pertato, la probabilità che u idividuo atteda allo sportello meo di 35 miuti, applicado la formula della fuzioe di ripartizioe della variabile è: P(X 0,35) = e ( 0,04 0,35) = 0, = 0,03905 i cui si è idicato co 0,35 il tempo espresso i cetiaia di miuti. Esercizio I valori di due dati di ua distribuzioe soo x = 30 e x = 38, e i loro valori stadard soo, rispettivamete z = 0,9375 e z = 0,35. Determiare la media e lo scarto quadratico medio della distribuzioe. Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria Per defiizioe, il valore stadard è: Z = X µ σ Essedo oti z e z e x e x, le icogite µ e σ si determiao dal sistema: da cui µ = 36 e σ = 6,4. Esercizio µ = 0, 9375 σ 38 µ = 0, 35 σ Ua distribuzioe di dati ha media e scarto quadratico medio, rispettivamete uguali a: µ = 35 e σ = 49,5 Determiare i valori stadard dei segueti valori: a) 385; b) 54; c) 98; d) 334.

8 05 La variabile stadardizzata è: da cui: Z = X µ σ a) z = = 303, 49, b) z = = 038, 49, c) z = = 075, 49, d) z = = 49, 5 Esercizio Determiare la probabilità: P( 0,5 < Z 0,75) Per determiare questa probabilità si può utilizzare la Tavola che forisce i valori di Φ (Z = z) (fuzioe di ripartizioe) i corrispodeza dei diversi valori assuti da Z. Ioltre, è ecessario teer coto che, i geerale, si ha: P(z < Z z ) = Φ(Z = z ) Φ (Z = z ) La probabilità P( 0,5 < Z < 0,75) è: Φ(0,75) Φ( 0,5) Per ricercare il valore Φ(0,75) sulla tavola della v.a. stadardizzata è ecessario procedere lugo la coloa verticale segata z fio al valore 0,7; poi si procede fio alla coloa orizzotale segata 5 si legge così il valore 0, Per determiare il valore Φ( 0,5) è ecessario teer coto che, per la simmetria della ormale stadardizzata: Φ( 0,5) = Φ(0,5) Ifatti, la Tavola ci forisce solo le probabilità P(Z z), cioè le probabilità alla siistra dei valori cosiderati e solo per valori positivi. Siccome l area alla siistra di 0,5 è uguale all area alla destra di +0,5, calcoliamo quest ultima. Quidi va ricercato sulla tavola, co il procedimeto già visto, il valore Φ(0,5) che è pari a 0,5987; per cui Φ(0,5) = 0,5987 = 0,409. Da cui abbiamo: P( 0,5 Z 0,75) = 0, ,409 = 0, Modelli per variabili aleatorie

9 06 Graficamete tale probabilità corrispode all area più scura al di sotto della fuzioe di ripartizioe: -0,5 0 0,75 Esercizio Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria Facedo uso della Tavola i Appedice determiare le segueti probabilità: a) P(Z 0,4); b) P(Z >,99); c) P(0 Z,85); d) P(,54 < Z < 0); e) P(,33 < Z < 0,4); f) P(0,5 < Z <,58); g) P(,43 < Z < 0,94). La Tavola i Appedice forisce i valori della probabilità P(Z z) = Φ(Z = z) Pertato si ha: a) P(Z 0,4) = Φ(0,4) = 0,6554; b) P(Z >,99) = P(Z,99) = Φ(,99) = 0,97670 = 0,033; c) P(0 Z,85) = P(Z,85) P(Z 0) = Φ(,85) Φ(0) = 0,9978 0,5 = 0,4978; d) P(,54 < Z < 0) = P(0 < Z <,54) = Φ(,54) Φ(0) = 0,938 0,5 = 0,438; e) P(,33 < Z < 0,4) = P(Z < 0,4) [ P(Z <,33)] = Φ(0,4) [ Φ(,33)] = 0,6554 [ 0,9900] = 0,6455; f) P(0,5 < Z <,58) = P(Z <,58) P(Z < 0,5) = Φ(,58) Φ(0,5) = 0, ,6946 = 0,3036; g) P(,43 < Z < 0,94) = P(Z <,43) P(Z < 0,94) = Φ(,43) Φ(0,94) = 0,9364 0,8639 = = 0,0975.

10 Esercizio Le moete di u collezioista presetao u diametro distribuito ormalmete co media cm e scarto quadratico medio 0,898. Determiare la probabilità che ci sia ua moeta co u diametro al massimo pari a 3 cm. Per determiare la probabilità richiesta è ecessario calcolare il valore stadardizzato: Z = X µ 3 = = σ 0, 898, da cui: P(Z,) = 0,86864 Esercizio Ua ditta cofezioa pomodori i scatola il cui peso è distribuito come ua ormale co media uguale a 500 gr e scarto quadratico medio pari a 8 gr. Determiare la probabilità che: a) ci sia ua scatola co u peso compreso tra 480 e 490 gr; b) il peso di ua scatola differisca dalla media per più di 0 gr. a) Si deve calcolare la probabilità: stadardizzado si ottiee: P(480 X 490) 480 µ 490 µ P Z P Z = ( ) ( 0 500) 5 5 σ σ 8 8 = P, Z, Teedo coto della simmetria della distribuzioe ormale si ha: Φ(,5) Φ(,5) = Φ(,5) Φ(,5) Ricorredo alla Tavola si ha: Φ(,5) Φ(,5) = 0, ,89435 = 0,09944 b) Dovedo calcolare la probabilità che il peso di ua scatola differisca dal valore medio per più di 0 gr si dovrà calcolare la probabilità che il peso di ua scatola differisca i più o i meo rispetto al suo valore medio cioè che superi 50 gr o che sia iferiore a 480 gr. Essedo la curva ormale simmetrica rispetto al suo valore medio è sufficiete calcolare ua delle due probabilità e poi moltiplicarla per due. Si calcola allora: ( ) P ( X 500) 0 = P( X 50)= P Z 8 = P Z 5, Φ 5, = 0, = 0, 006 = = 3. Modelli per variabili aleatorie

11 08 Per la simmetria della ormale moltiplichiamo per due e otteiamo: 0,006 = 0,04 C è ua probabilità pari all,4% di trovare ua scatola il cui peso differisca dal valore medio per più di 0 gr. Esercizio Le altezze dei giocatori delle squadre di calcio di u campioato soo distribuite ormalmete co media 78 cm e scarto quadratico medio 8 cm. Determiare: a) la probabilità che u giocatore abbia altezza iferiore a 70 cm; b) la probabilità che u giocatore abbia altezza superiore a 90 cm. Per determiare le probabilità richieste è ecessario calcolare i valori stadardizzati. a) Il valore stadardizzato che corrispode a 70 cm è: Z = = 8 Per la simmetria della curva è: Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria P(Z < ) = P(Z > ) = Φ() = 0,8434 = 0,5866 b) Il valore stadardizzato che corrispode a 90 cm è: Dalla Tavola i Appedice si evice che: Esercizio Z = = 5, 8 P(Z >,5) = P(Z <,5) = 0,9339 = 0,0668 Il,75% dei bambii di ua scuola matera ha u peso miore o uguale a 5 kg, ache u altro,75% ha u peso maggiore o uguale a 9 kg. Determiare: a) µ e σ; b) la percetuale di bambii co u peso miore o uguale a 3,5 kg. a) Sia X la variabile Peso dei bambii, i termii di probabilità il testo dell esercizio può essere espresso el modo seguete: P(X 5) = 0,075 P(X 9) = 0,075

12 i termii di variabili stadardizzate: 09 5 µ P Z = 0, 075 σ 9 µ P Z = 0, 075 σ La Tavola forisce i valori di Z per cui: P(Z z) per cui i termii dell esercizio dato si ha: 5 µ P Z = 0, 075 = 0, 9775 σ 9 µ P Z = 0, 075 = 0, 9775 σ cui corrispodoo ella Tavola rispettivamete, i valori di Z * = e Z* =. Sostituedo risulta il sistema di equazioi elle due icogite µ e σ: 5 µ = σ 9 µ = σ da cui si ricavao facilmete i valori µ = e σ = 3,5. b) La percetuale di bambii co u peso miore o uguale a 3,5 kg, si esprime i termii di probabilità el modo seguete: 3, 5 P Z P Z P Z = ( 5, )= ( 35 5, )= Φ(, 5)= 0, = 0, 006, Esercizio. 3.. La resisteza a trazioe X di u lattice i gomma aturale è del tipo: X N(30,,5 ) è, cioè, distribuita ormalmete co media µ = 30 MPA e deviazioe stadard σ =,5 MPA. U idividuo decide di acquistare il lattice solo se lo stesso preseta ua resisteza di almeo 8,5MPa. Determiare la probabilità che il lattice rietri elle specifiche. La probabilità richiesta può essere espressa formalmete el modo seguete: P(X 8,5) che, procededo alla stadardizzazioe di X, diviee: 8, 5 30 P( X 8, 5)= P Z P Z = ( )= Φ( ) 5, 3. Modelli per variabili aleatorie

13 0 che, per la simmetria della distribuzioe ormale stadardizzata, è uguale a: Φ( ) = Φ() Dalla Tavola i Appedice si ha: Φ() = 0,8434 = 0,5866 8,5 30 x,5 0 z Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria Aree sottostati la curva ormale e la curva ormale stadardizzata, relative a pezzi o coformi Esercizio Dimostrare che l itegrale della fuzioe di desità della v.a. ormale è pari a. x µ Utilizzado la proprietà di simmetria della fuzioe e la trasformazioe t = σ Per cui: x = µ + t σ dx = t σ dt La fuzioe di ripartizioe della v.a. ormale è: + x µ + x µ exp dx = = exp πσ σ σ π 0 σ che, teedo coto della trasformazioe, diviee: dx, si ha: + σ σ + + exp( ) = exp( ) σ π tt dt tt dt 0 σ π = 0 exp( tt ) dt π 0

14 che, teedo coto della proprietà della fuzioe Gamma, Γ = π, è pari a: π Γ = π π = Esercizio Facedo uso della Tavola i Appedice determiare i valori della probabilità α per cui: a) P(0 < χ < 43,773) = α co 30 gradi di libertà; b) P(0 < χ < 66,766) = α co 40 gradi di libertà. I valori della probabilità si calcolao scorredo lugo la riga dei gradi di libertà dati i modo da idividuare il valore di χ, e quidi saledo lugo la coloa icrociata. α; a) χ = 43, 773 α = 0,05; α; 30 b) χ = 66,766 α = 0,005. α; 40 Esercizio Facedo uso della Tavola i Appedice determiare i valori di χ tali che: α; a) P(0 < χ < χ ) = 0,995; 0,005; 4 b) P(0 < χ < χ ) = 0, ,005; 9 I valori di χ si determiao i corrispodeza dell icrocio tra la riga di gradi di libertà dati e la α; coloa della probabilità α. a) χ = 3,39; 0,005; 4 b) χ = 54,967. 0,005; 9 Esercizio Facedo uso della Tavola 3 i Appedice, determiare i valori di t α; tali che: a) P(t > t 0,05; 30 ) = 0,05; b) P(t > t 0,00; ) = 0,00. I valori di t α; si leggoo ella tabella all icrocio tra il umero di gradi di libertà dati e i valori dell area (α) i ua coda. a) t 0,05; 30 =,697; b) t 0,00; = 3, Modelli per variabili aleatorie

15 Esercizio Facedo uso della Tavola 3 i Appedice, determiare i valori di t α; tali che: a) P( < t < t 0,005; 8 ) = 0,995; b) P( < t < t 0,05; 5 ) = 0,975. I valori di t α; si desumoo dalla Tavola i corrispodeza dell icrocio tra i gradi di libertà dati e il valore dell area (α) i ua coda. a) t 0,05; 8 =,878; b) t 0,05; 5 =,57. Esercizio Facedo uso della Tavola 3 i Appedice determiare i valori di α tali che: a) t α; 7 = 3,057; b) t α; =,38. Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria I valori della probabilità α si evicoo dalla Tavola scorredo lugo la riga dei gradi di libertà dati i modo da idividuare il valore di t α; esposto el testo, quidi saledo lugo la coloa i corrispodeza del valore dell area i ua coda. a) t α; 7 = 3,057 α = 0,005; b) t α; =,38 α = 0,00. Esercizio Facedo uso della Tavola 3 i Appedice, determiare i valori di t α/; tali che: a) P( t 0,0; 5 < t < t 0,0; 5 ) = 0,96; b) P( t 0,005; 70 < t < t 0,005; 70 ) = 0,99. Il valore di t α/; è i corrispodeza dell area elle due code, otteuta moltiplicado il valore di α/ per. a) t 0,0; 5 =,49; b) t 0,005; 70 =,648.

16 Esercizio Facedo uso delle Tavola 4 i Appedice determiare i valori F a) F 0,05; 4; 5 ; b) F 0,05; 40; 6 ; c) F 0,05; 4; , ; g ; g : I valori F α; g ; g per α = 0,05 si trovao elle caselle i corrispodeza dell icrocio tra la coloa cotrassegata dai gradi di libertà al umeratore (g ) e la riga cotrassegata dai gradi di libertà al deomiatore (g ), e soo ella prima riga della casella. a) F 0,05; 4; 5 = 5,9; b) F 0,05; 40; 6 = 3,77; c) F 0,05; 4; 5 = 4,53. Esercizio. 3.. Facedo uso della Tavola 4 i Appedice determiare i valori F a) F 0,0; 0; 0 ; b) F 0,0; 30; 0 ; c) F 0,0; 75; 5. 00, ; g ; g : I valori F, ; g ; g si trovao seguedo il procedimeto spiegato ell esercizio. 3..0, solo che 00 essi si idividuao ella secoda riga di ciascua casella. a) F 00; 0; 0 = 4,85; b) F 0,0; 30; 0 = 4,5; c) F 0,0; 75; 5 = 3,00. Esercizio. 3.. Facedo uso della Tavola 4 i Appedice determiare i valori F a) F 0,99; ; 8 ; b) F 0,95; ; 8 ; c) F 0,95; 6; 5. α; g ; g : Ache se la Tavola 4 i Appedice o riporta i valori F α; g ; g essi soo determiabili ricorredo alla relazioe: F α; g; g = F α; g; g 3. Modelli per variabili aleatorie

17 4 a) F 0998, ; ; = = = F 450 0, ; 008, ; ;, b) F c) F 0958, ; ; 09565, ; ; = = = F 85 0, 35 ; 0058, ; ;, = = = F 439 0, , ; ;, Esercizio Sia data la successioe X = X co X N ( 0),. Dimostrare che X coverge i distribuzioe a X. Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria Si dimostra che X d X se, per ogi puto i cui F(x) è cotiua, si ha: F x F x X dove F x e F x soo, rispettivamete, la fuzioe di ripartizioe di X e di X. Si ha, ioltre: X X F ( x)= P( X < x)= P ( ) X < x Se è pari, allora ( ) = per cui X = X e si ha: X X F ( x)= P( X < x)= P X < x F x = X X Se è dispari, allora ( ) = per cui X = X e si ha: ciò per la simmetria di X, per cui: F ( x)= P( X < x)= P( X < x)= P( X > x)= P X < x Quidi, per ogi, si ha che F x F x Esercizio X X X F x F x X = X = e si dice che X coverge i distribuzioe a X. Siao date due v.a. X N( 34, ) e Y N,. Sapedo che ρ( XY, )= 03,, calcolare il coefficiete di correlazioe lieare: ρ X Y,X + Y Per calcolare il coefficiete richiesto occorre applicare la formula: Cov X Y, X + Y ρ( X Y, X + Y)= σ σ x y x+ y

18 Determiiamo, iazi tutto, i valori dei quadrati degli scarti quadratici medi al deomiatore, ossia le variaze delle due combiazioi lieari di v.a. 5 Si ha: = + = + Var X Y Var X Var Y ρ X, Y σ x σ y 4 0,3 = 38, = + + = + Var X + Y 4Var X Var Y ρ X, Y σ x σ y , = 94, Ioltre, la covariaza al umeratore è pari a: = + Cov X Y, X + Y Var X Cov X, Y Cov X, Y VarY = = Var ( X ) Cov ( X, Y ) Var ( Y )= 8 0, 3 = 64, Pertato, il coefficiete di correlazioe lieare richiesto è: ρ( X Y, X + Y)= 64, =, 3894,, Modelli per variabili aleatorie

19 6 Prove scritte assegate Di seguito propoiamo due esercizi assegati dal Professor Lucio Torelli all esame di Statistica del corso di laurea i Biotecologie presso la facoltà di Medicia e Chirurgia dell Uiversità degli Studi di Trieste. Il Professore forisce ache i risultati; i questa sede svolgiamo l esercizio. ESERCIZIO N. U eo su due si brucia etro u periodo di sei mesi se lasciato acceso iiterrottamete. Viee motato u eo su ciascuo degli otto piaerottoli di u palazzo. Qual è la probabilità che essu eo si sia bruciato dopo sei mesi? Qual è la probabilità che si siao bruciati tutti e otto i eo dopo sei mesi? I media quati eo mi aspetto che si brucerao i tale periodo? [ca. 0,4%; ; 4] Il umero di eo che si bruciao segue ua distribuzioe biomiale, X Bi (8, /), dove 8 idica il umero di eo metre / è la probabilità p che u eo ha di bruciarsi etro u periodo di sei mesi. Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria La probabilità che essu eo si sia bruciato dopo sei mesi si ottiee applicado, quidi, la formula: da cui: P( X = x)= x p p x x P( X = )= 8 0 = ,, 0, che, espressa i termii percetuali, è pari a 0,39065% 0,4%. Aalogamete, la probabilità che si siao bruciati tutti e otto i eo dopo sei mesi si ottiee applicado la stessa formula, da cui: ed ha lo stesso valore pari circa allo 0,4%. P( X = )= 8 8 = ,, 0, Ifie, la media dei eo che ci si aspetta si brucerao el periodo di sei mesi è pari al valore medio della v.a. biomiale pari a: EX p 8 0, 5 4 = = =

20 ESERCIZIO N. 7 Il peso alla ascita dei eoati italiai segue ua legge ormale di media 3, kg e di variaza 0,36 kg. Qual è la probabilità che u eoato scelto a caso abbia peso compreso tra,5 kg e,7 kg? Qual è la probabilità che u eoato scelto a caso abbia peso miore di kg? [9,3 %; 3,3 %] Per rispodere al primo quesito si deve calcolare la probabilità seguete: P(,5 X,7) che, i termii di v.a. ormale stadardizzata, diviee: 5, 3, 7, 3, P Z P Z 0, 6 036, 036, = 7 Cosiderado che Φ(X = x) è la fuzioe di ripartizioe della v.a. ormale e, teedo coto della simmetria di tale distribuzioe, si ha che: Φ( 0,67) Φ( ) = Φ( ) Φ( 0,67) Ricorredo ad ua tavola della v.a. ormale stadardizzata si ha che: Φ( ) Φ( 0,67) = 0,8434 0,74857 = 0,0977 che, espressa i termii percetuali, è pari a 9,77% 9,3%. La probabilità che u eoato scelto a caso abbia u peso miore di kg si esprime simbolicamete el modo seguete: P(X < ) e, i termii stadardizzati: 3, P Z < P Z 036 = < 83,, Ricorredo ad ua tavola della v.a. ormale stadardizzata si ha che: Φ(,83) = Φ(,83) = 0,96638 = 0,336 che, espressa i termii percetuali, è pari a 3,36%. 3. Modelli per variabili aleatorie

21 8 Quesiti a scelta multipla. La v.a. X Ud( 45) ha valore medio: A) E(X) = 3 B) E(X) = 0 C) E(X) = 45. La variaza di ua v.a. X Ber( p) è massima se: A) p = B) p = 0,5 C) p = 0, 3. La v.a. X Bi( 4, 0,4) ha variaza: A) Var ( X )= 56, B) Var ( X )= 336, C) Var ( X )= 04, Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria 4. La v.a. X Bi( 0, 3): A) ha valore medio E(X) = 60 B) o è be defiita C) è la somma di 0 v.a. di Beroulli 5. Il valore medio della v.a. X avete fuzioe di desità f( x) = 0,4exp 0,4x è: A) E(X) = 0,4 B) E(X) = 4 C) E(X) =,5 6. Per ua v.a. X N( µσ, ): A) µ = Me = Mo B) µ Me Mo C) µ Me Mo 7. Ua v.a. X Z ha: A) E(X) = ; Var(X ) = 0 B) E(X) = 0; Var(X ) = C) E(X) = 0; Var(X ) = 0

22 8. Al crescere dei gradi di libertà la variaza di ua v.a. X ~ T g è: 9 A) Var (X) 0 B) Var (X) = 0 C) Var (X) 9. La somma o media di v.a. gaussiae: A) ha sempre distribuzioe ormale B) ha distribuzioe ormale solo per C) ha distribuzioe ormale solo se le v.a. soo idipedeti 0. Ua v.a. X Bi(, p) può essere approssimata da ua v.a. ormale stadardizzata se: A) la v.a. X è idipedete da Z B) è grade e p o è prossimo allo zero C) la v.a. X è asimmetrica. A (v. cap. 3 par. ).. B (v. cap. 3 par. 3). 3. B (v. cap. 3 par. 4). 4. B (v. cap. 3 par. 4). 5. C (v. cap. 4 par. 3). 6. A (v. cap. 4 par. 5). 7. B (v. cap. 4 par. 5). 8. C (v. cap. 4 par. 6.). 9. A (v. cap. 4 par. 9). 0. B (v. cap. 4 par. 9). Risposte (Per approfodimeti teorici si rimada al volume PT0 - Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria) 3. Modelli per variabili aleatorie

23 0 Ulteriori quesiti a scelta multipla (le soluzioi soo dispoibili sul sito Si suppoga che il 5% della popolazioe degli studeti della facoltà di Igegeria abbia gli occhi di colore azzurro. Scegliedo i modo casuale u campioe di 0 studeti da questa popolazioe determiare la probabilità che vi siao 4 persoe co gli occhi azzurri. 0,85 0,6 0,5 0,8. U ura cotiee 5 pallie biache e 75 pallie ere. Determiare la probabilità di otteere, i 3 estrazioi seza reimmissioe, 6 pallie biache: 0,0559 0,0494 0,086 0, Presso il proto soccorso di u ospedale ogi 5 miuti arrivao i media 5 ambulaze. Suppoedo che il umero X di ambulaze si distribuisca secodo la legge di Poisso, determiare la probabilità che, aspettado 5 miuti, arrivio o più di 5 ambulaze: 0,0067 0,755 0,660 0,4405 Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria 4. Misurazioi ripetute di ua barra metallica dao luogo ad ua distribuzioe ormale di media 5,3 cm e scarto quadratico medio 0, cm. Determiare la probabilità che ua barra abbia ua lughezza compresa tra 5,5 cm e 5,35 cm. 0,6946 0, ,389 0, La durata di vita X di ua data tipologia di apparecchio elettrico preseta distribuzioe ormale co media 3 ai e scarto quadratico medio 0,8 ai. Determiare la probabilità che u apparecchio scelto a caso preseti ua vita media maggiore di 4 ai. 0,8434 0, , ,0565

24 Test di verifica (Vero/Falso) (le soluzioi soo dispoibili sul sito La v.a. biomiale preseta asimmetria ulla.. Il valore medio di ua v.a. di Poisso è sempre maggiore della variaza della v.a. stessa. 3. La v.a. ipergeometrica è associata ad u estrazioe co ripetizioe da ua popolazioe di ampiezza fiita. 4. La v.a. ormale preseta asimmetria ulla. 5. La v.a. ormale stadardizzata ha valore medio uitario e variaza ulla. 6. Ua combiazioe lieare di v.a. ormali idipedeti è acora ormale. 7. Al crescere dei gradi di libertà la v.a. di Studet coverge ad ua v.a. ormale stadardizzata. 8. La variaza di ua v.a. chi-quadrato è sempre il doppio del valore medio della medesima v.a. 9. La v.a. F di Fisher è defiita come il rapporto di due v.a. t di Studet idipedeti tra loro, divise per i rispettivi gradi di libertà. 0. Il teorema limite cetrale mostra che la somma di due v.a. ha sempre distribuzioe ormale, quale che sia la loro distribuzioe. 3. Modelli per variabili aleatorie

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