FUNZIONI RADICE. = x dom f Im f grafici. Corso Propedeutico di Matematica. Politecnico di Torino CeTeM. 7 Funzioni Radice RICHIAMI DI TEORIA

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1 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice FUNZIONI RADICE RICHIAMI DI TEORIA f ( x) = x dom f Im f grafici. = = =7 =9. dispari R R Grafici di fuzioi radici co pari pari [,+ ) [,+ ).. = = =6 = Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe //

2 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice Proposizioe: le fuzioi radice verificao le relazioi: x = x per ogi x, +, [ ) [ ) x = x per ogi x, +, Proposizioe: siao a e b umeri reali tali che a, b e siao ed m umeri aturali tali che, m. Valgoo le segueti proprietà:. ab = a b a a. = b b. ( a) m = = a m m. a a m m. a = a Defiizioe: m se N, e se x defiiamo x = x ; se p e q iteri positivi, primi tra loro, e se x defiiamo x se p e q iteri positivi, primi tra loro, e se x> defiiamo x p q p q q p = x ; = x p q. Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe //

3 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice ESEMPI 8. Ridurre allo stesso idice i radicali segueti,,, 7. Calcoliamo il m.c.m tra gli idici dei radicali: m. c. m(,,, ) 8 = Utilizzado la proprietà () possiamo scrivere: = = = 7 = 7 = 7 6, = = 6 6 8, = = 8, m+ m+ m +. Semplificare l'espressioe a b, dove a, b. Utilizzado la proprietà (), abbiamo: ( m ) ( m+ ) m+ + m+ m+ m+ m+ m+ a b = a b = a b = a b. Ridurre xy ad u uico radicale, suppoedo x> e y. x Applicado le proprietà delle radici otteiamo: x xy xy xy xy y = x = x = x = x Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe //

4 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice. Date le segueti espressioi, portare fuori sego di radice i fattori il cui espoete è maggiore o uguale all'idice della radice. a b x co a, b, x I geerale, applicado le proprietà delle radici, abbiamo a b = a b = a b, suppoedo a, b. Cerchiamo di isolare el radicado u fattore di espoete (idice della radice): a b x = a b b x x = ab x bx = ab x bx 8x y z Osserviamo che, a differeza dell'esercizio precedete, i questo caso o è stato specificato il campo di variabilità di x e y: occorre, duque, applicare le proprietà co ua certa cautela (ricordiamo che le proprietà soo valide se i fattori che compogoo il radicado soo positivi). I geerale, per ogi x R, x x se x = x se x < = x, poiché la radice quadrata, come ogi radice di idice pari, è ua quatità positiva. Teedo coto di questa osservazioe abbiamo: 8x y z = xyz y = xyz y = z xy y Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe //

5 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice. Dire per quali valori di x la relazioe ( x 6 6 x 6) ( x ) ( x ) + + = + + è corretta. 6 6 Poedo, per comodità, x + x + 6 = y, la relazioe diveta: y = y. Poiché 6 y 6 y se y =, deduciamo che i valori di x da cosiderare soo quelli per cui y, y se y < vale a dire x (, ] [, + ) 6. Determiare il domiio delle fuzioi f ( x) = x, f ( x) = x x +, g x = x, = + + e dire per quali valori di x valgoo le relazioi: f ( x) = f ( x) e g ( x) g ( x) g x x x x Il domiio di f è { x R: x }, vale a dire dom f = ( ] [ + ),,. =. La fuzioe f è il prodotto di due radici quadrate: il suo domiio è l'itersezioe dei domii delle fuzioi y y = x +, vale a dire dom f = { x R: x } { x R: x } = [, + ). L'uguagliaza delle due fuzioi f e f è verificata solo ell'itersezioe dei loro domii: = dom dom = [, + ) f x f x x f f = x e Le radici cubiche, come tutte le radici di idice dispari, o dao problemi; abbiamo: dom g = R e dom g = R. quidi: g x = g x x dom g dom g = R Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe //

6 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice 7. Risolvere algebricamete ed iterpretare geometricamete l'equazioe irrazioale x + 6 = x. Dobbiamo teere coto del campo di defiizioe e della positività della radice a primo membro: - la radice quadrata esiste se e solo se il radicado è positivo o uguale a zero: x + 6 x. - la radice quadrata è ua quatità positiva, quidi il secodo membro dell'equazioe deve essere positivo: x x L'equazioe ha sigificato se queste codizioi soo verificate cotemporaeamete: Elevado al quadrato ambo i membri dell'equazioe, otteiamo: x + 6 = x x + x x = x =, x = Solo x verifica la codizioe di esisteza, ed è, pertato, l'uica soluzioe accettabile. x x. x 7 y=rad(x+6) Geometricamete, la soluzioe dell'equazioe rappreseta il puto (abbiamo y=x- 6 puto di itersezioe visto, algebricamete, che l'equazioe ha ua sola soluzioe) di itersezioe tra i grafici delle fuzioi y = x + 6 e y = x. Possiamo disegare il grafico di y = x + = ( x + ) grafico di y = x ed applicado le trasformazioi: δ, 6 partedo dal (, ) y = x τ y = x y = x + Politecico di Torio Pagia 6 di Data ultima revisioe //

7 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice 8. Risolvere algebricamete ed iterpretare geometricamete l'equazioe irrazioale 7x 6 = x. Geometricamete, la soluzioe dell'equazioe rappreseta il/i puto/i di itersezioe tra i grafici delle fuzioi y = 7x 6 y = x. e y=radcub(7x-6) y=x puti di itersezioe Possiamo tracciare il grafico di 6 y = 7x 6 = 7 x, partedo da quello di 7 y = x, co le segueti trasformazioi: δ, 7 y = x τ, 7 y = 7x y = 7 x Dal disego osserviamo che le due curve hao puti di itersezioe: per determiarli risolviamo algebricamete l'equazioe, elevado ambo i membri al cubo: 7x 6 = x 7x 6 = x x 7x + 6= x + x x = x = x = x = Politecico di Torio Pagia 7 di Data ultima revisioe //

8 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice 9. Risolvere graficamete e algebricamete la disequazioe irrazioale 6 x x. soluzioe grafica Disegiamo i grafici delle fuzioi f( x) = 6 x e f ( x) = x. Si tratta di trovare gli x per cui il grafico di f si svolge al di sotto del grafico di f o coicide co esso. Il grafico di 6 f x = 6 x = x si può otteere al partire dal - - x 6/ y=rad(6-x) y=x- puto di itersezioe soluzioe grafico di y = x co le trasformazioi: 6 y x y = y = x σ δ, τ, y = x 6 y = x - - Osserviamo che le due curve hao u puto di itersezioe x >: il grafico di f sta al di sotto del grafico di f per x x Per determiare x risolviamo l'equazioe 6 x = x ; elevado ambo i membri al quadrato si ha: 6 x = x 6 x = x x + x + x = x = x = Poiché x >, abbiamo x =. 6,. Politecico di Torio Pagia 8 di Data ultima revisioe //

9 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice soluzioe algebrica Osservazioe: La disequazioe irrazioale della forma f ( x) g( x) < equivale a : [ ] < < f x g x f x g x se è dispari g( x) f x f x < g x f x > se è pari [ ] < g( x) La disequazioe irrazioale della forma f ( x) g( x) > equivale a : [ ] > > f x g x f x g x se è dispari g( x) f x f x > g x g x < f x [ ] > g( x) se è pari Politecico di Torio Pagia 9 di Data ultima revisioe //

10 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice Applicado le regole suddette alla ostra disequazioe, otteiamo: 6 x 6 x x x > 6 x ( x ) 6 6 x x > > 6 + x x x, x x x x. Risolvere graficamete la disequazioe x > x. Disegiamo i grafici delle fuzioi f ( x) = x e sopra del grafico di f. f x = x. Si tratta di trovare gli x per cui il grafico di f si svolge al di Osserviamo che il grafico della fuzioe f o si può otteere a partire da y= x utilizzado le trasformazioi del piao. Per tracciare il grafico proseguiamo el seguete modo: - determiiamo dom f = (, ] [, + ) e Im f [, ) = +. - elevado al quadrato ambo i membri dell'equazioe y = x otteiamo y = x x y =, che è l'equazioe di ua iperbole equilatera riferita ai propri assi, co cetro ell'origie del sistema di riferimeto e vertici ei puti V = (-, ) e V = (,). Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe //

11 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice - il grafico di f corrispode ai rami di iperbole al di sopra dell'asse x (ifatti Im f [, ) = + ). y=rad(x^-) il grafico di f si ottiee a partire dal grafico di y= x co la seguete trasformazioe: (, ) τ y = x y = x y=rad(x^-) y= x - soluzioe Osserviamo che o vi soo puti di itersezioe tra le due curve. Il grafico di f si svolge al di sopra del grafico di f per ogi (, ] [, ) x dom f dom f = Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe //

12 Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice. Risolvere graficamete la disequazioe x < x + Tracciamo i grafici delle fuzioi f ( x) = x e. g( x) = x + Osservazioe: per costruire il grafico di y = f ( x ) a partire da quello di y = f(x) si ripete seza modifiche il grafico di y=f(x) per x e lo si estede ai valori egativi di x i modo simmetrico rispetto all'asse delle ordiate. y=rad( x -) y=rad( x+ ) puti di itersezioe soluzioe Grafico di f ( x) otteedo f ( x) Grafico di g( x) = x : applichiamo la traslazioe τ(,) a y = x, x = x + : partedo da g ( x ) = x, abbiamo g x = g x = x ; otteiamo g(x) applicado a g (x) la traslazioe τ(-,). = ; si ha f ( x) = f ( x ) La soluzioe della disequazioe è ( x, ] [, ) dell'equazioe f(x) = g(x). + dove x è la soluzioe x Per risolverla eleviamo al quadrato ambo i membri, otteedo l'equazioe x = x + x =, Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe //