Probabilità e Statistica Laurea Triennale in Matematica 17/06/2014 Soluzioni traccia B

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1 Probabilità e Statistica Laurea Trieale i Matematica 7/06/204 Soluzioi traccia B Esercizio 2. (Appello completo) Cosideriamo due ure A e B. L ura A cotiee 4 biglie rosse e 2 ere, metre l ura B cotiee biglia biaca, 2 rosse e 2 ere. Scegliamo u ura a caso ed estraiamo due biglie (seza reiserimeto). Per i {, 2} siao B i, R i e N i gli eveti l i-esima biglia estratta è biaca, rossa, era. Idichiamo ifie co A risp. B gli eveti le biglie soo state estratte dall ura A risp. B. (Se possibile esprimere i risultati sotto forma di frazioi) (a) Calcolare P (R 2 A). (b) Calcolare P (N R 2 A). (c) Calcolare P (R ). (d) Calcolare P (R A). (e) Calcolare P (A R ). (f) Calcolare P (R N 2 ). (g) Calcolare P (B R N 2 ). (h) Sia l umero di biglie rosse estratte, quato vale E[X]? (a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) (e) 5 (f) 7 (g) 3 (h)

2 Esercizio 3. Sia (X ) N ua successioe di variabili aleatorie idipedeti ed ideticamete distribuite sullo spazio di probabilità (Ω, A, P ). Suppoiamo che le v.a. X abbiao distribuzioe uiforme sull itervallo (, 3), X Uif(, 3). Per ogi N siao defiite le segueti variabili aleatorie: Y := i= 2 i W := i= Y i Calcolare media e variaza di Y. Le variabili aleatorie (Y ) N soo idipedeti? Soo o correlate? Dimostrare che vale la seguete uguagliaza: P ({ω Ω lim W (ω) = 4}) = (Può essere utile l uguagliaza m j= αj = α α m+ α ). (3 )2 E[X] = 2 V ar(x) = = 2 3 [ ] E[Y ] = E = 2 i E[X 2 i 2 i ] = 4 ( 2 ) i= i= [ ] 2 i [ ] 2 i V ar[y ] = V ar 2 X i = V ar 2 X i = 4 i V ar(x 4 i ) i= V ar[y ] = 3 4 i= 4 i = 4 9 ( 4 ) i= Mostreremo che le variabili aleatorie (Y ) N o soo scorrelate e quidi o soo emmeo idipedeti. Per dimostrare che o soo scorrelate basterà mostrare che Cov(Y, Y 2 ) 0. ( Cov(Y, Y 2 ) = Cov X, X ) 2 + X 2 = 2 Cov(X, X ) + Cov(X, X 2 ) i= sappiamo che Cov(X, X ) = V ar(x ) = 3 idipedeti si ha Cov(X, X 2 ) = 0 duque metre poiché X e X 2 soo Cov(Y, Y 2 ) = 6 0 2

3 Resta da mostrare che per quasi ogi ω Ω si ha lim W (ω) = 4. W = i= da cui si ricava W = Y i = j= i= i j= 2 i j = i,j j i 2 i j = (2 j (2 2 ( ))) = 2 j 2 + j j= siamo duque giuti alla seguete decomposizioe di W : W = 2 j= j= 2 j ( ) j 2 j 2 i j= j= i= 2 j Le variabili aleatorie (X ) N soo i.i.d. co E[X ] = 2 duque per la legge dei gradi umeri vale: lim 2 j= = 4 quasi certamete () Per stimare la secoda sommatoria possiamo utilizzare il fatto che X Uif(, 3) duque X 3. 2 j 3 2 = 6 ( 2 ) j quidi si ha j= lim dalle equazioi () e (2) si ottiee j= j= = 0 (2) 2 j lim W = 4 quasi certamete 3

4 Esercizio 4. U azieda produce barrette di cioccolato. Cosideriamo u isieme costitutito da = 25 barrette. Idichiamo co (X ) {,...,25} il loro peso (i grammi) e suppoiamo che si distribuisca come ua distribuzioe ormale di media µ e variaza σ 2, co µ e σ o oti. (Assumiamo che le v.a. siao idipedeti). Idichiamo co X := 25 i= la media campioaria, co S 2 := 25 ( X) 2 i= la variaza campioaria, e sia ifie T := 25 i= X2 i. Suppoiamo che si realizzi (ω) = x i, per i {,..., 25} co 25 i= x i = 2475 e 25 i= x2 i = (a) Determiare u itervallo di cofideza cetrato per µ co livello di cofideza γ = 95%. (b) Determiare u itervallo di cofideza destro per µ co livello di cofideza γ = 99%. Per poter calcolare gli itervalli di cofideza bisoga prima determiare x i x := s 2 (x i x) 2 := i= il calcolo di x è immediato x := i= x i 25 = 25 i= metre il calcolo di s 2 richiede più attezioe s 2 = i= (x i x) 2 24 = 24 ( 25 i= x i = = 99 ) x 2 i 2 x i x + x 2 i= i= i= s 2 = 24 ( ) = 25 duque s = 5. (a) (x s t 24,0.025, x + s t 24,0.025 ) = (96.936, 0.064) (b) (x s t 24,0.0, + ) = (96.508, + ) 4

5 Esercizio 5. (Secodo compitio) Sia X e Y due variabili aleatorie. Suppoiamo che Y abbia distribuzioe uiforme sull itervallo (0, ), metre X sia ua variabile aleatoria assolutamete cotiua co desità f X data da: { x (, α) f X (x) = x 0 altrimeti per ua qualche costate α > (a) Determiare α. (b) Calcolare la fuzioe di ripartizioe di X. (c) Trovare ua fuzioe g : (0, ) R crescete tale che posto T := g(y ) si abbia X T. (a) Affiché f X sia ua desità di ua variabile aleatoria deve soddisfare f X (x) 0 per ogi x e f R X(x)dx =. Duque = R f X (x)dx = α dx = l(α) x quidi α = e. 0 x < (b) F X (x) = l(x) x < e e x (c) Per trovare la fuzioe g bisoga trovare la pseudoiversa della fuzioe di ripartizioe, el ostro caso la fuzioe F X è ivertibile sul codomiio (0, ) e si ha g(y) = e y. 5