Esercitazione due: soluzioni

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1 Esercitazioe due: soluzioi. Sia il ricavo r i pk i ti, p, k, t i > applicado la defiizioe di media di Chisii il tempo medio t che lascia ivariato il ricavo totale é quel valore tale che pk i ti pk i t possiamo allora ricavare il valore di t per il quale vale l uguagliaza: k i ti k i t t k i k i ti t k ) 2 i k i ti 2. Cosideriamo f X x) x exp x2) co x >, > a) Cosideriamo il criterio di fattorizzazioe f ) exp ) x2 i exp x 2 i ) ) exp x 2 i )) abbiamo riscritto la desitá cogiuta come il prodotto di ua fuzioe delle sole hx,..., x )) e ua fuzioe di ua statistica delle e dei parametri gsx,..., x ), )). Dalla fuzioe g vediamo che la statistica sufficiete é Sx,..., x ) x 2 i. Cosideriamo ora il criterio di sufficieza miimale. Prediamo due -uple distite x,..., x ) e y,..., y ) allora fx fy exp ) ) x2 i y i exp x ) i exp y2 y i i x 2 i yi 2 ) allora si vede che effettivamete il rapporto delle due cogiute é idipedete da solamete se Sx,..., x ) Sy,..., y ), ossia se x2 i y2 i. Abbiamo quidi verificato che la statistica S é miima. b) Cerchiamo di ricavare la desitá di T X2 i. Cosideriamo Y gx) X 2 allora e y gx) x 2, x g y) y, co x > d dy g y) 2 y cosiderado il teorema di trasformazioe si ha y f Y y) exp y ) 2 y exp y ),

2 che corrispode alla desitá di ua espoeziale di parametro, quidi Y Exp). Cerchiamo ora la desitá di T Y i, osserviamo che stiamo sommado variabili espoeziali idipedeti per cui T Γ, ). Cosideriamo allora la fuzioe geeratrice dei mometi per ua desitá di tipo gamma. T l) e lt f T t)dt e lt Γ)) t e t dt Γ)) Γ)) t e t/ l) dt abbiamo trovato il ucleo di ua gamma di parametri e che ci servoo per avere la desitá completa defiita se l >. l ) ) Γ) l t e l)t dt l, ci ricaviamo le costati ) ) t e t/ l) 2 dt l ) Sappiamo che T X i é miima potete riverificarlo applicado il criterio di fattorizzazioe) e che f X x) λx x! e λ. Per verificare la miimalitá applichiamo il criterio di sufficieza miimale. Prediamo due -uple distite x,..., x ) e y,..., y ) allora fx fy λ! e λ λ y i y i! e λ e λ λ e λ! / λ y i y i! y i!! λ y i) allora si vede che effettivamete il rapporto delle due cogiute é idipedete da solamete se T x,..., x ) T y,..., y ), ossia se y i. Abbiamo verificato che la statistica T é miima. Vediamo ora la completezza. Per la completezza dobbiamo utilizzare il criterio i base al quale ua statistica T x,..., x ) é completa se e solo se la sua famigila di desitá é completa. Ovvero se cosiderata ua fuzioe gt ) allora E [gt )] per tutti i Θ implica che P [gt ) ] per tutti i Θ. La statistica i questioe é T X i. Essedo le X i poissoiae idipedeti allora T P oλ), per cui il valor atteso di gt ) sará E[gT )]) t gt ) λ)t Impoiamo il valore attesouguale a zero: E[gT )]) e λ) e λ) e λ) t t gt ) λ) t gt ) λ)t. ma allora, poiché abbiamo ua serie di poteze, esso sará ullo se e solo se i suoi coefficieti lo soo. Si deve duque avere: e cosegue la completezza di T. gt ) gt ) 2

3 4) Per mostrare che la statistica T o é sufficiete dobbiamo trovare u cotroesempio per u isieme di valori del campioe i cui o valga la defiizioe di statistica sufficiete. Dobbiamo quidi trovare u isieme di valori per X, X 2 e X i corrispodeza dei quali la fuzioe di probabiltá cogiuta del campioe, codizioata al valore della statistica, dipeda dal parametro. Ua realizzazioe di questo tipo é data dalla tera X, X 2, X ). Ricordiamo che f X x) p X x) x x). Ora idichiamo co S X i, sappiamo che S Bi, ) essedo somma di beroulliae idipedeti. I corrispodeza della realizzazioe cosiderata si ha che T ) 2. Adiamo allora a calcolarci la fuzioe di probabilitá: P X, X 2, X T 2) P X, X 2, X T 2) P T 2) P X, X 2, X ) P T 2) calcoliamo separatamete umeratore e deomiatore metre P X, X 2, X ) P X )P X 2 )P X ) ) 2 P T 2) P S S) 2) P S 2 S+2 ) P S S ) P S )+P S 2) ) ) 2 ) + 2 ) ) ) + ) ) 2 da cui [P X, X 2, X T 2) )2 ) la probabilitá codizioata dipede acora da, per cui abbiamo provato che la statistica data T o é sufficiete. 5) Cosideriamo f X x) Γα)β α xα e x β, x > e α oto, α, β > ua gamma ella sua parametrizzazioe che cosidera β come parametro di scala. Siao ioltre X ) X i, e X i. a) Ricordiamo che se X,..., X é u campioe casuale estratto da ua desitá a parametro di scala, allora ogi statistica ) che dipede dal campioe solo attraverso ua fuzioe di valori X X,..., X X é ua statistica acillare. Vediamo se riusciamo a riscrivere X ella forma richiesta per l applicazioe del criterio: X e segue che scala. ) X i X i ) X i X X X i j i X, essedo la statistica della forma cercata, é acillare per β, parametro di b) Possiamo mostrare l idipedeza applicado il teorema di Basu. Sappiamo che se ua statistica T del campioe é completa e miimale allora é idipedete da ogi statistica acillare. Per applicare il teorema dobbiamo mostrare che X é miimale e completa per β. X j

4 Osserviamo che la desitá di X appartiee alla famiglia espoeziale, possiamo quidi applicare il criterio di sufficieza, miimalitá e completezza per le famiglie espoeziali. Ricordiamo che f X x) appartiee alla famiglia espoeziale se puó essere riscritta ella forma: f X x ) ax)b)e cx)d) effettivamete, data la desitá gamma di parametri α e β co α oto, per cui β, abbiamo che ax) xα Γα), bβ) β α. cx) x, dβ) β, Per il criterio citato sopra allora si ha che 6) é sufficiete, miima e completa. Di cosegueza ache X ha i requisiti richiesti. Ifatti stiamo cosiderado ua fuzioe biuivoca della statistica sufficiete, la sufficieza é coservata e miimalitá e completezza o vegoo meo moltiplicado per ua costate positiva. Cocludiamo che, per Basu, X e X soo idipedeti. f X x) e x ) I [, ) x), > a) La desitá o puó apparteere alla famiglia espoeziale i quato il supporto dipede dal suo parametro. No possiamo quidi applicare il criterio per le famiglia espoeziali. Applichiamo il criterio di fattorizzazioe per determiare la statistica sufficiete. f ) e ) I [, ) ) e ) I[,x) )) allora Sx,..., x ) x ) é sufficiete. Vediamo se riusciamo a provare la miimalitá. Applichiamo il criterio di sufficieza miimale. Prediamo due -uple distite x,..., x ) e y,..., y ) allora fx fy e xi ) I [, ) ) e yi ) I [, ) y i ) e ) I[,x) )) e y i ) I[,x) )) allora si vede che effettivamete il rapporto delle due cogiute é idipedete da solamete se Sx,..., x ) Sy,..., y ) ossia se x ) y ) per cui abbiamo verificato che la statistica S é miima. Ci maca da provare la completezza. Per la completezza dobbiamo utilizzare il criterio i base al quale ua statistica Sx,..., x ) é completa se e solo se la sua famigila di desitá é completa. Ovvero se cosiderata ua fuzioe gs) allora E [gs)] per tutti i Θ implica che P gs) ] per tutti i Θ. La statistica i questioe é S X ). Dobbiamo allora ricavare la desitá del miimo secodo la formula: el ostro caso f X) x ) ) f S s) [ F X s)] ) f X s) 4

5 da cui F X s) s e x ) dx e x ) s e s ) + e ) ] e s ) f S s) [ + e s ) ] ) e s ) I [, )s) e s ) I [, )s). Impoiamo il valore atteso uguale a zero: E[gS)]) gs)e s ) ds l uguagliaza potrebbe valere per ogi, vediamo allora come risolvere. Suppoiamo gs) sia ua fuzioe tale che E ) [g ) S)] ma E ) [g ) S)] é costate come fuzioe di, per cui la sua derivata rispetto a é ecessariamete ulla. Abbiamo quidi che d d E )[g ) S)] d d applicado la regola di derivazioe del prodotto si avrá ) d d e) gs)e s ds + e ) d d gs)e s ) ds d d e) gs)e s ds gs)e s ds g) dove abbiamo cosiderato il primo addedo ullo i quato, sotto itegrale, abbiamo, a meo di ua costate, il valor medio che dev essere ullo per ipotesi. Dal risultato sopra risulta chiaro che g) e cosegue la completezza di S. b) Cosideriamo il criterio di acillaritá per famiglie di desitá a parametro di locazioe, el ostro caso é u parametro di locazioe. Sia T X S X i X ), il criterio afferma che se T X + c,..., X + c) T X,..., X ), co c costate, allora T é acillare per il parametro di locazioe, ma T X + c,..., X + c) X i + c) X ) + c) X i + c X ) c X i X ) T X,..., X ) per cui risulta provata l acillaritá per T rispetto a. 5